ĐỀ LUYỆN TỔNG HỢP SỐ NGÀY 5/12 Thầy Mẫn Ngọc Quang Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ BÀI x x 3x C Câu 1: Cho hàm số y Câu 2: Cho hàm số f x sin x cos x cos x 4sin x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số cho Chứng minh f ' x 0, x R Câu 3: Cho sin a cos a a Tính sin 2a, cos 2a tan 2a Câu 4: Tính tích phân I x cos 3x xdx Câu 5: Cho số nguyên dương Newton x x n thỏa mãn điều kiện Cnn Cnn 1 An 821 Tìm hệ số x 31 khai triển n Câu 6: Cho hình lăng trụ x 2 ABC A ' B ' C ' , đáy ABC có AC a 3, BC 3a, ACB 300 Cạnh bên hợp với A ' BC vuông góc với mặt phẳng ABC Điểm H cạnh BC cho BC 3BH mặt phẳng A ' AH vuông góc với mặt phẳng ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ B đến mặt phẳng A ' AC mặt phẳng đáy góc 60 mặt phẳng Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ x t d : y t z t Oxyz , cho ba điểm Viết phương trình mặt phẳng A 1;1;2 , B 0;1;1 , C 1;0; ABC tìm tọa độ giao điểm d đường thẳng với mặt phẳng ABC Câu 8: Các em chọn câu sau a) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC , CD , DA lấy điểm M,N E cho CM = DN = DE = 13 BC Gọi H giao điểm AN DM , biết H ; E(0,2) Viết phương trình đường thẳng 10 10 BH tìm tọa độ điểm B , Biết yB dương b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2,1) , thỏa mãn góc AIB = 90o Chân đường cao kẻ từ A đến BC D(-1,-1) , Đường thẳng AC qua điểm M(-1,4) Tìm tọa độ đỉnh A ,B biết điểm A có hoành độ dương Câu 9: Các em chọn câu sau Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn a) Giải hệ phương trình sau 4 x x x y y x y y x y b) Giải hệ phương trình sau x y x y y xy y 2 x x x y y xy x x, y Câu 10: x y 1 Tìm : P x2 1 x y y2 ( ) x y x 1 y 1 Lời giải Câu 1: - TXĐ: D R Sự biến thiên: + lim ; lim x x x 1 + y x2 4x 3; y x 3 + Bảng biến thiên: x y’ 3 1 1 y + Hàm số dồng biến ;3 1; Hàm số nghịch biến 3;1 + Hàm số đạt cực đại x 3; yCD 1 Hàm số đạt cực tiểu x 1; yC T - Đồ thị: Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn Câu 2: f x sin4 x 4cos2 x cos4 x sin2 x Biến đổi ta được: sin4 x 4sin2 x cos4 x 4cos2 x f x sin x2 cos x 2 1 sin x Do f x sin2 x cos2 x cos x Từ suy f x 0.Đây điều phải chứng minh Câu 3: sin a cosa Do ; a 4 a cos2a 0.Từ giả thiết ta có: 2 sin a cosa 25 25 sin 2a sin 2a 16 16 16 sin 2a cos 2a sin 2a Có cos 2a sin 2a tan 2a 16 cos 2a 35 cos 2a Câu 4: Ta có: I 03 x cos3x xdx 03 x2dx 03 x cos3xdx I1 I2 Ta tinh I1;I2 x3 I1 x dx Đặt u x v ' cos3x 3 81 u ' x sin 3x 3 cos3x sin 3xdx sin 3x I2 3 0 v Từ suy I I1 I2 3 81 Câu 5: Từ giả thiết cho ta: C nn C nn 1 n2 n A n 821 C 1n A n2 821 n 821 2 Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn n 40 t/m n 41 L 1 Khai triển trở thành: x x 40 x x2 40 40 40 C k 40 x40k xk k C k 40 x403k k Số hạng TQ: C k40 x403k Số hạng chứa x31 40 3k 31 k Từ suy hệ số cần tìm C 340 Câu 6: Từ giả thiết, áp dụng định lí Cosin tam giác AHC ta tinh A H a A BC A BC Do A H A B C A A H 60 A A H A B C A H tan 60 a Do A A H vuông H suy A H d A ; A B C Suy V A B C A B C SA B C d A ; A B C 12 3a.a 3.sin 30.a 9a3 H D A C A C A H D A A C A H D A D ; H D C H sin 30 a Kẻ A C A H Kẻ H K A D A A C H K d H ; A A C Xét tam giác A H D vuông H có HK BC d H ; A A C H C d B ; A A C Mà ta lại có HD A H d B ; A A C HK a 32 a 23 3a4 Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn Câu 7: Có A B 1;0;1 , A C 2;1;2 n VTPT A BC n A B ;A C 1;4;1 Suy phương trình mặt phẳng A BC : x 4y z Gọi M d A BC M t;2 t;3 t Do M A BC nên ta có: t t t 2t t 3 Từ suy M 3;1;6 Câu 8b: Do A IB 90 A CB 45 A D C vuông cân D thuộc trung trực A C ID A C A C :x 2y Gọi A C ID E Có ID 1;2 E 3;3 ID :2x y E Gọi A 2a 9;a A C C 2a;6 a Ta có: a A 5;1 L D C D A 2a 2a a a a A 1;5 ,C 7;1 t/m qua C 7;1 Phương trình B C x 3y n A D 2 Có IA phương trinh đtròn ngoại tiếp tam giác A B C x 2 y 1 25 x y y B 7;1 C L Tọa độ B thỏa mãn: 2 x y 1 25 y 2 B 2; 2 Vậy A 1;5 ; B 2; 2 Câu 8a : Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn Bước : Chứng minh tính chất : EH vuông góc BH Cách : Dùng kỹ thuật chuẩn hóa : Chúng ta chuyển trục tọa độ : O A, Ox AB, Oy AD Khi ta tọa độ điểm hình vẽ Việc quan trọng ta xác định đượng tọa độ điểm H hệ trục tọa độ : Ta viết phương trình đường thẳng AN qua a A 0, , N ( , a) : 3x – y Phương trình đường thẳng DM D 0, a , M (a, 2a ) : x y – 3a 3a 9a , ) 10 10 3a 7 a a 9a HE ( , ) HB( , ) HB.HE 10 30 , 10 10 H( Cách : Dùng phương pháp véc tơ : biểu diễn vecto EH HB qua vecto AB , véc tơ AD Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn Cách : Dùng hình học túy : Vẫn chứng minh AN vuông góc DM cách Tứ giác AHMB nội tiếp đường tròn đường kính AM , Tâm N trung điểm AM trung điểm BE (Do ABME hình chữ nhật ) , ABME ABMH nội tiếp đường tròn tâm N đường kính AM , BE , EHB = 90O Bướ : Tính toán : Phương trình đường thẳng BH có véc tơ pháp tuyến EH , qua điểm H : 9x – 7y + = Điểm B thuộc đường thẳng BH thỏa mãn : HB.HE Từ ta tính điểm B(3,4) , yB > Câu : 4 x x x y y a) Giải hệ phương trình sau x y y x y Xét phương trình trước : x 2 y y x y x y x y 3( y y 1) 3( y 1)2 x y x 1, y Nhận thấy phương trình (1) có : x ta nghĩ đến việc nhân liên hợp với x Tuy nhiên ta cần xét trước : +)Nếu x x lúc hệ trở thành : y 3y y hệ có nghiệ (0,1) y y y +)Nếu x2 1 x (1) x x2 1 x2 x2 1 x2 y3 y 2 Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn x2 x2 x2 x2 y3 y 2 x2 x2 y3 y x x y y x x y y ( x 1)( x 3) ( y 2)( y 1) (*) Nhận thấy VT(*) 0, VP(*) , điểu kiện x 1, y , x2 x Vậy nghiệm hệ phương trình : (x,y)=-(0,1) x y x2 y 2y2 xy 2y2 Câu 9b: 2x x2 x y 2y2 3xy x2 x2 a;a Đặt Hệ phương trinh trở thành: 2y2 b;b x y a yb xy 2y2 2xa x y b 3xy x Xét hệ phương trình với ẩn a;b ; tham số x;y D x2 y2 0,x;y Ta có: D a 2x2y 2y3 D b x xy a b Da D Db D x2 2y x 2y x 2y 1 ,x 0;y 2 x Lấy 1 2. 2 , ta được: x2 x 3 x 3 Thế vào ta x 2y2 2y2 y2 y Vậy ta có nghiệm hệ x;y 3;2 x;y Tìm Min P Câu 10: x y 1 4x2 4y2 x x y y x y 1 Cách : Ta xét hai đánh giá sau: 4x2 4y2 x xy y Có f' x y xy xy 32 1 x y xy 16 xy f xy 0,0 x y f x y f Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn x y Dấu " " xảy xy x y x y x y Xét f x f x f 1 y 1 y y Điều 2y 1 y 2 1 x2 y y 1 y3 x y y2 có f' x Ta CM f 1 y y y 2y x x 1 x2 x 1 ,0 y y y 1 x y Dấu " " xảy xy y Dấu " "xảy x y Từ hai đanh giá ta suy P Ta chứng minh số BĐT phụ sử dụng: 1 1 ;x;y Xét x y xy đpcm x y xy x y xy a2 b2 c2 d2 a c b d Xét u a;b ;v c;d u v a c;b d Ta có: u v u v a2 b2 b2 d2 Cách : Bài toán biến đối xứng dễ nhìn thấy điểm rơi x y x;y Tìm Min P x y 4x2 4y2 x a c b d đpcm x y y x y 1 Dùng phương pháp tham số hóa để dùng BĐT Bunhia - Copxky 4x2 1 b (4 x )(a b ) (2 x.a ) 2 x x x b 2x x b 1 Điều kiện xảy dấu : , thay điểm rơi x , cho a = , b = 2 a a b a 2x 4x2 1 1 (4 x )(12 22 ) (2 x.1 ) x (2 x.1 ) x x x x x Chứng minh tương tự ta có : y2 1 (2 y.1 ) y y Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn Nên A = x 12 y 12 (2 x y ) ( xy ) (4 xy xy ) x y x y xy xy Vậy ta có : 4 x y (4 xy xy ) (2 xy )2 5 xy xy Tiếp đến ta tìm max : ) A 4x x y x y 4y B x y x2 y2 x y 4 4 3 3 12 (1 1 ) 2( ) 2 4x 4y 4x y 4x y Vậy ta có : P Dấu " "xảy x y BÀI GIẢI NGÀY 5/12/2015 Thầy Quang Sưu tập chỉnh sử làm Nguyễn Đình Huynh – THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh Nhóm toán : HỌC SINH THẦY QUANG BABY - Thayquang.edu.vn 10