ứng dụng đạo hàm bài toán tiếp tuyến

ứng dụng đạo hàm, bài toán tiếp tuyến I. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1. B¶ng ®¹o hµm c¸c hµm sè c¬ b¶n. Hµm sè (y = f(x)) §¹o hµm (y’ = f’(x)) Hµm sè §¹o hµm y = c 0 y = tanx y = x 1 y = cotx y = xn nxn1 y = ex ex y = 1x y = ax ax. lna y = lnx 1x y = sinx cosx y = logax y = cosx sinx 2. §¹o hµm cña hµm hîp. Ta xÐt hµm sè y = f(u(x)). Ta tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè ®• cho theo x nh­ sau B¶ng ®¹o hµm cña hµm sè hîp Hµm sè §¹o hµm Hµm sè §¹o hµm y = un n.un1.u’ y = tanu . u’ y = 1u y = cotu . u’ y = eu u’.eu y = sinu u’.cosu y = au u’.au. lna y = cosu u’.sinu y = lnu y = logau Chó ý: Khi ¸p dông tÝnh ®¹o hµm cña hµm hîp ta chó ý ban ®Çu tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè theo biÕn u råi nh©n víi ®¹o hµm cña hµm sè u theo biÕn x. 3. C¸c phÐp to¸n ®¹o hµm. Cho hai hµm sè y = u(x), y = v(x). Khi ®ã ) (u + v)’ = u’ + v’ ) (u v)’ = u’ – v’ ) (uv)’ = u’v + v’u ) (ku)’ = k.u’ ( k lµ h»ng sè) ) 4. §¹o hµm bËc cao cña hµm sè. §¹o hµm bËc n cña hµm sè y = f(x) lµ ®¹o hµm bËc 1 cña ®¹o hµm bËc n – 1 cña hµm sè y = f(x) ( n > 1).

Chng I: o Hm I Kiến thức Bảng đạo hàm hàm số Hàm số Đạo hàm (y = f(x)) (y = f(x)) Hàm số Đạo hàm cos x y=c y = tanx y=x y = cotx y = xn nxn-1 y = ex ex y = 1/x x2 y = ax ax lna x y = lnx 1/x cosx y = logax ln a x y= x y = sinx sin x y = cosx -sinx Đạo hàm hàm hợp Ta xét hàm số y = f(u(x)) Ta tính đạo hàm hàm số cho theo x nh sau y x' = f x' = f u' u x' Bảng đạo hàm hàm số hợp Hàm số Đạo hàm y = un y = 1/u n.un-1.u u ' u2 Hàm số Đạo hàm y = tanu cos u y = cotu u sin u u u ' y = eu u.eu y = sinu u.cosu y = au u.au lna y = cosu - u.sinu y = lnu u ' u y = logau ln a u ' u y= u u Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm hàm hợp ta ý ban đầu tính đạo hàm hàm số theo biến u nhân với đạo hàm hàm số u theo biến x Các phép toán đạo hàm Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x) Khi *) (u + v) = u + v *) (u - v) = u v *) (uv) = uv + vu *) (ku) = k.u ( k số) ' u u 'v v 'u ữ= v2 v *) Đạo hàm bậc cao hàm số Đạo hàm bậc n hàm số y = f(x) đạo hàm bậc đạo hàm bậc n hàm số y = f(x) ( n > 1) II Các dạng toán Dạng Tính đạo hàm hàm số Phơng pháp Ta vận dụng quy tắc phép tính đạo hàm, đặc biệt đạo hàm hàm hợp Nếu yêu cầu tính đạo hàm điểm ta cần tính đạo hàm thay vào đe đợc kết Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau y = x3 x + 3x + y = sin x cos x + tan x a) b) y = cot x x + y= x +2 x c) a) Ta có d) Giải y ' = ( x3 x + 3x + ) = x x + ' b) Ta có y ' = ( sin x cos x + tan x ) = cos x + sin x + ' c) Ta có ( ) cos x x ' y ' = x + x = x3 + d) Ta có y ' = ( cot x 3x + ) = ' sin x Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau điểm tơng ứng y = x3 + x x + a) x0 = -1 x0 = y = sin x + cos x b) y = x 2x c) a) Ta có x0 = Giải y ' = ( x + 3x x + 1) = 3x + x ' b) Ta có y ' (1) = = 13 suy y ' = ( sin x + cos x ) = 2cos x sin x ' y ' ữ = 2cos ữ sin ữ = suy c) Ta có y' = ( ) ' x 2x = x Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau 2x y= x+2 a) b) y' ( 2) = 2 suy x + 3x y= x +1 2 y = x + 3x + c) y = sin(2 x + 1) + cos(1 x) y = 3x + d) e) y = x + 4x + y = tan( x + x + 1) f) a) Ta có 2= g) Giải x ( x 1) ( x + ) ( x 1) ( x + ) x + x + y = = = = ữ 2 x+2 ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) ' ' ' ' b) Ta có ' x + x (2 x + 3)( x + 1) ( x + x 1) x + x + y = = ữ= 2 ( x + 1) ( x + 1) x +1 ' c) Ta có y ' = ( x + 3x + ) = x3 + x ' d) Ta có y ' = ( sin(2 x + 1) + cos(1 x ) ) = 2cos(2 x + 1) + sin(1 x) ' e) Ta có y' = ( 3x + = y = ( x + 4x + = f) Ta có ' ) ' 3x + ) 2x + ' x2 + x + g) Ta có ( ) x = = 2 cos ( x + x + 1) 2x + ( ' y ' = tan( x + x + 1) = = a) x2 + x + ) x2 + x + ' cos ( x + x + 1) 2x x + x cos ( x + x + 1) Dạng Giải phơng trình y = Phơng pháp Ta tính y sau giải phơng trình Ví dụ Giải phơng trình y = biết x2 y= x x+2 y = y = x3 3x b) y = x3 12 x + x c) d) x2 + x + y= x +1 e) x + 3x + y= x +1 x +x+2 y= x y= f) y = x4 2x2 + g) h) Giải a) Ta có ' x2 x2 x y = ữ= x ( x 1) y =0 ' ' x2 x ( x 1) i) x4 3x + 2 2x2 + x y= x +1 x = = x2 2x = x = suy Vây phơng trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = b) Ta có y = ( x 3x ' ) ' = 3x x x = y ' = 3x x = x = suy Vây phơng trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = c) Ta có y ' = ( x 12 x + x 1) = 12 x 24 x + ' Suy x = y ' = 12 x 24 x + = x = Vây phơng trình y = có hai nghiệm phân biệt d) Ta có x= ,x= 2 ' x2 + 2x + x2 + 2x y = ữ= x + ( x + 1) ' y =0 ' x = = x + x = x = ( x + 1) x2 + 2x suy Vậy phơng trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = -2 e) Ta có ' x + 3x + x + x y = ữ= x + ( x + 1) ' y =0 ' x = = x2 + x = ( x + 1) x = x2 + 2x suy Vậy phơng trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = -2 f) Ta có ' x4 y = 3x + ữ = x x ' Suy x = y ' = x3 x = x = x = 0, x = Vậy phơng trình y = có ba nghiệm phân biệt g) Ta có y ' = ( x x + 3) = x x ' y ' = x3 x = x = Suy Vậy phơng trình y = có nghiệm x = h) Ta có ' x2 + x + x2 x ' y = ữ= x ( x 1) y =0 ' ' x2 2x ( x 1) x = = x2 x = x = Suy Vậy phơng trình y = có hai nghiệm phân biệt x = -1 x = i) Ta có ' x2 + x x2 + x + y = ữ= x + ( x + 1) ' x= 2x + 4x + y' = = 2x2 + 4x + = ( x + 1) + x = 2 Suy x= 2 + ,x= 2 Vậy phơng trình y = có hai nghiệm phân biệt Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm Phơng pháp: Tính đạo hàm sử dụng phép biến đổi đặc biệt hàm lợng giác Ví dụ Chứng minh a) y y2 -1 = với y = tanx b) y + 2y2 + = với y = cot2x c) y2 + 4y2 = với y = sin2x Giải y' = a) Ta có Khi cos x sin x sin x cos x y y = = cos x cos x cos x ( sin x + cos x ) 11 = = =0 cos x cos x ' Vậy ta có điều cần chứng minh y' = b) Ta có Khi sin 2 x + ( sin 2 x + cos 2 x ) 2cos 2 x y + 2y + = + +2= =0 sin x sin 2 x sin 2 x ' Vậy ta có điều cần chứng minh c) Ta có y = 2cos2x (y) ' + y = 4cos 2 x + 4sin 2 x = Khi Vậy ta có điều cần chứng minh Bài tập tự luyện Phn o hm Bài Tính đạo hàm hàm số sau y= a) x2 + x + x +1 y= b) y = x x +1 x2 2x + x y= f) y = x3 3x + b) x + x+2 c) y= x x + 2x a) x + 3x + x +1 x2 y= x +1 d) e) Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm tơng ứng y= x 3x x y = x3 + 3x d) e) Bài Tính đạo hàm hàm số sau a) c) y = x + 3x x2 y= x y= y = x + x f) điểm x0 = -1 y = x 5x + 4 b) điểm x0 = y= x 5x + x + x0 = c) điểm Bài Giải phơng trình y = trờng hợp sau a) x + 3x + y= x +1 b) y = x 5x + 4 2x2 + y= x + y = x3 3x + c) y = x x + 4 y = x3 3x + 2 d) e) Bài 5: Tớnh o hm ca cỏc hm s a) f) y = x5 + x x3 x + x y= b) y = 2x x3 + x c) y= x + x x x e) d) 1 x + x 0,5 x 4 x x3 x2 y = + x + a3 (a const) y = 2x x3 + x f) y = x5 x3 + x x g) Bi 6: Tớnh o hm ca cỏc hm s sau: x + 5x a) y = (x + 3x)(2 x) y= 3x i) b) j) y = (2 x 3)( x x) p) c) q) y = ( x + 1)(5 x ) d) y = x(2 x 1)(3 x + 2) ( ) x +1 1ữ x y= 2x +1 k) 2x + y= 3x l) y= y= + x x2 x 3x + y= f) y = x x x n) 2x y= 2x 4x + 4x y= g) x3 o) x + 10 y= 4x h) Bi 7: Tớnh o hm ca cỏc hm s sau: e) y = ( x + x) x 2x 2x x u) y= 2x x v) w) y= 5x x2 + x + y = ( x x + 1) ( x + x + 1) y = (2 x3 x x + 1) y = (1 x )3 c) y = ( x x )32 2x2 4x + y= 2x + x) x2 + x + y= x x +1 x2 + x y= x f) y = (x + x + 1) g) y = (1 2x ) 2x + y= ữ x h) y= i) y= j) x x2 + x + y= x +1 t) a) b) y = x +1 y= r) s) y= e) x + x2 2 m) y = ( x x + 3).(2 x + 3) 2x (x + 1)2 (x 1)3 (x 2x + 5)2 2) ( k) y = 2x d) y= k) ( x x + 1)5 y= l) x 2+ x 5x x y= x + 3x m) n) y = (1 + x)( + x )(3 x ) o) y= ( x )(3 x ) x + x2 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 f ( x) = x x Bi 8: Cho hm s f '(4); f '( a ) Tớnh ú a l hng s khỏc y = f ( x) = ax + bx + cx + d Bi 9: Tớnh o hm ca hm s a thc y = f ( x) = ax + b cx + d y = f ( x) = ax + bx + c mx + n Bi 10: Cho hm s Bi 11: Cho hm s f '( x) (a, b, c, d l hng s) Tớnh f '( x) (a, b, c, m, n l hng s) Tớnh 9 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 Chng II: Tip tuyn ca th hm s I Kiến thức Bảng đạo hàm hàm số Hàm số Đạo hàm (y = f(x)) (y = f(x)) Hàm số Đạo hàm cos x y=c y = tanx y=x y = cotx y = xn nxn-1 y = ex ex y = 1/x x2 y = ax ax lna x y = lnx 1/x cosx y = logax ln a x y= x y = sinx sin x y = cosx -sinx Đạo hàm hàm hợp Ta xét hàm số y = f(u(x)) Ta tính đạo hàm hàm số cho theo x nh sau y x' = f x' = f u' u x' Bảng đạo hàm hàm số hợp Hàm số Đạo hàm y = un y = 1/u n.un-1.u u ' u2 Hàm số Đạo hàm y = tanu cos u y = cotu u sin u u u ' y = eu u.eu y = sinu u.cosu y = au u.au lna y = cosu - u.sinu y = lnu u ' u y = logau ln a u ' u y= u u Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm hàm hợp ta ý ban đầu tính đạo hàm hàm số theo biến u nhân với đạo hàm hàm số u theo biến x Các phép toán đạo hàm Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x) Khi *) (u + v) = u + v 10 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 y = x 3x (C ) Bài 22 Cho hàm số Tìm điểm đờng thẳng x = kẻ đợc ba tiếp tuyến với (C) ( ĐH cần thơ 2000_ k A) y= x + (C ) x +1 Bài 23 Cho hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = -x ( ĐH đà lạt 2000_ k A) y = x x (C ) Bài 24 Cho hàm số 3) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A(1; ( ĐH tây nguyên 2000_ k A) y = x + 3x + (C ) Bài 25 Cho hàm số Đờng thẳng y = tiếp xúc với (C) A cắt (C ) điểm B, tìm tọa độ điểm B ( ĐH tây nguyên 2000_ k D) y = x3 3x + (C ) Bài 26 Cho hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến với (C ) qua điểm A(1; 0) ( ĐH an ninh nhân dân 2000_ k D) Bài 27 Tìm điểm trục hoành kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị x2 + x (C ) : y = x+2 2x2 x + (C ) : y = x Bài 28 Cho đồ thị CMR đờng thẳng y = có bốn điểm cho từ điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) tạo với góc 450 (C ) : y = x + x Bài 29 Cho đồ thị Tìm tậ hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy thoả mãn a) Từ không kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị (C) b) Từ kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị (C) c) Từ kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị (C) d) Từ kẻ đợc hai tiếp tuyến với đồ thị (C) e) Từ kẻ đợc hai tiếp tuyến với đồ thị (C) hai tiếp tuyến đo vuông góc với Bài 30 Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm A(1; 0) tới đồ thị ( ĐH dợc 1999) x2 + x + (C ) : y = x +1 Bài 31 Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm A(-1; ) tới đồ thị ( ĐH xây dựng 1995) x2 + x + (C ) : y = x +1 Bài 32 Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm A(0; 5/4 ) tới đồ thị ( ĐHsp vinh 1998) Bài 33 Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm A(1; ) tới đồ thị ( ĐH đà lạt 1999) x2 + x + (C ) : y = x +1 x2 x + (C ) : y = x2 I Kiến thức 32 32 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 Tiếp tuyến điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x0 điểm thuộc vào TXĐ hàm số tồn đạo hàm Khi ta có tiếp tuyến với (C) điểm (x0; f(x0)) có phơng trình y = y/(x0)(x-x0) + f(x0) Nhận xét: ta có y/(x0) hệ số góc tiếp tuyến Ta cần tìm đợc hệ số góc tiếp điểm trờng hợp muốn viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong Các tập hay gặp phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay giao điểm đồ thị hàm số với đờng thẳng Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị Cho hai hàm số y = f(x) (C1), y = g(x) (C2) f ( x ) = g ( x) ' ' f ( x) = g ( x) Khi (C1) tiếp xúc với (C2) hệ phơng trình có nghiệm Chú ý: + Nếu hai đồ thị (C1) (C2) hai đờng cong chúng tiếp xúc với hai điểm hệ có hai nghiệm phân biệt + Nếu hai đờng đờng thẳng để có hai tiếp tuyến ta cần hệ có hai nghiệm phân biệt II Dạng toán Dạng Viết phơng trình tiếp tuyến điểm Phơng pháp: Ta cần tìm đợc toạ độ tiếp điểm dựa vào kiện toán cho Nhận xét: Trong dạng ta thờng gặp trờng hợp sau + Cho biết tọa độ tiếp điểm + Cho biết hoành độ tiếp điểm điều kiện để tìm đợc hoành độ tiếp điểm + Biết tung độ tiếp điểm điều kiện để tìm đợc tung độ tiếp điểm + Tiếp điểm giao điểm đồ thị với đồ thị khác Khi ta cần giải hệ phơng trình để tìm toạ độ tiếp điểm Dạng Tiếp tuyến qua điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm M(xM; yM) Phơng pháp: Cách 1: Tìm tiếp điểm Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm M0(x0; y0) Khi tiếp tuyến cần tìm có phơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0) Mà tiếp tuyến qua điểm M(xM; yM) suy yM = f/(x0)(xM-x0) + f(x0) giải phơng trình ta tìm đợc hoành độ tiếp điểm sau tìm y0 = f(x0) viết phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc Giả sử đờng thẳng qua M(xM; yM) có hệ số góc k có phơng trình y = k(x-xM) + yM f ( x ) = k ( x xM ) + y M / f ( x) = k Ta có đờng thẳng y = k(x-xM) + yM tiếp tuyến đờng cong (C) giải hệ ta tìm đợc hoành độ tiếp điểm sau viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng Nhận xét: có nghiệm x ta có nhiêu tiếp tuyến qua điểm M Dạng Tiếp tuyến cho trớc hệ số góc: Phơng pháp Cách Tìm tiếp điểm Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm M0(x0; y0) Khi tiếp tuyến cần tìm có phơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0) Khi theo giải thiết ta có f/(x0) = k Giải phơng trình ta tìm đợc hoành độ tiếp điểm sau tìm y0 = f(x0) viết phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng Nhận xét: Trong dạng ta gặp tập nh sau: *) Tiếp tuyến có hệ số góc k ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phơng trình f/(x0) = k sau viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng a *) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b tiếp tuyến có hệ số góc k = sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phơng trình f/(x0) = k viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng *) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax+ b tiếp tuyến có hệ số góc k= a sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phơng trình f/(x0) = k viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng *) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc hệ số góc tiếp tuyến k = tan sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phơng trình f/(x0) = k viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng 33 33 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 *) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y = ax +b góc hệ số hóc tiếp tuyến k thoả mãn k a = tan + ka dùng tích vô hớng hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phơng trình f/(x0) = k viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng III Ví dụ y = f ( x) = x + x + x (C ) Ví dụ 1: Cho hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết d) Hoành độ tiếp điểm lần lợt -1; 3; e) Tung độ tiếp điểm lần lợt -4 f) Tiếp điểm giao (C) với trục hoành TXĐ: Giải D=Ă y / = f / ( x) = x + x + Ta có f / ( x0 ) = f / (1) = a) Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có y0 = f(x0) = f(-1) = - 4; tuyến với (C) có phơng trình y = f/(-1)(x+1) hay y = - suy tiếp f / ( x0 ) = f / (3) = 40 Với hoành độ tiếp điểm x0 = ta có y0 = f(x0) = f(3) = 44; với (C) có phơng trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x 76 b) Với tung độ tiếp điểm y0 = - ta có x0 = -1 x0 = suy tiếp tuyến f / ( x0 ) = f / (1) = Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có ơng trình y = f/(-1)(x+1) hay y = - suy tiếp tuyến với (C) có ph- f / ( x0 ) = f / (0) = Với x0 = ta có suy tiếp tuyến với (C) có phơng trình y = f/(0)(x+1) hay y = x c) Giao điểm (C) với trục hoành có hoành độ nghiệm phơng trình y = x + x + x = ( x 1)( x + x + 4) = x = f / (1) = Khi suy tiếp tuyến với (C) có phơng trình y = f/(1)(x-1) hay y = 8x y = f ( x) = x3 m( x + 1) + Ví dụ 2: Cho hàm số (Cm) Viết phơng trình tiếp tuyến (Cm) giao điểm với Oy, tìm m để tiếp tuyến chắn hai trục tạo tam giác có diện tích Giải D=Ă TXĐ: Ta có (Cm) giao với Oy điểm A(0; -m) y / = f / ( x) = 3x m Khi tiếp tuyến cần tìm y = y/(0)x +1 m hay y =-mx +1-m 34 34 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 m B( ; 0) (m 0) m Tiếp tuyến cắt trục hoành điểm suy 1 m SOAB = | y A | | xB |= |1 m | | |= 16 | m |= m 2m + 2 m m = 16m = m 2m + m2 + 14m + = 2 m = 16m = m 2m + m 18m + = Với m = đồ thị hàm số cho không cắt trục hoành suy không tồn tam giác OAB Vậy với m = m = tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo tam giác có diện tích y = f ( x) = x 3x (C ) Ví dụ 3: Cho hàm số a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết y= x b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng D=Ă Giải y = f ( x) = x x / / TXĐ: Ta có a) Gọi A(xA; yA) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm ta có x A = f / ( x A ) = x A2 x A = 3x A2 x A = xA = x A = y A = Với ta có tiếp tuyến với (C) cần tìm y = 9(x+1) hay y=9x+5 Với xA = ta có yA = tiếp tuyến với (C ) cần tìm y =9(x-3) hay y= 9x 27 Vậy có hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k = y=9x+5 y= 9x 27 b) Gọi M(xM ;yM) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm y= x Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đờng thẳng k = -3 (Làm tơng tự nh phần a) suy hệ số góc y = x3 x 12 x Ví dụ 4: Cho hàm số (C) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) trờng hợp sau c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x d) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng D=Ă y = x+5 Giải góc 450 y = x x 12 / TXĐ: Ta có a) Vì tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x suy hệ số góc tiếp tuyến k = Gọi M0(x0; y0) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Khi ta có 35 35 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 13 x0 = y / ( x0 ) = x02 x0 12 = x02 x0 = + 13 x0 = x0 = Với 13 y = 6( x x0 = Với ta có 20 13 23 tiếp tuyến cần tìm 13 20 13 23 26 13 29 )+ y = 6x + 2 + 13 y = 6( x y0 = y0 = ta có 13 + 23 tiếp tuyến cần tìm + 13 13 + 23 13 13 + 29 ) y = 6x 2 b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đờng thẳng tuyến k thoả mãn y = x+5 góc 450 suy hệ số góc tiếp 1 = tan 450 2k + = 2k + =| k | 2k + = k k = 2k + = k k 2k k = k+ sau làm tơng tự nh phần a (Tìm tiếp điểm) y = x 3x + Ví dụ 5: Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) : Giả sử đờng thẳng qua y = kx + 19 A ; ữ 12 Giải qua điểm 19 A ; ữ 12 có hệ số góc k, có dạng 19 k 12 (d) Ta có (d) tiếp xúc với (C) hệ phơng trình sau có nghịêm 19 2 x x + = kx + k (1) 12 x x = k (2) Thay (2) vào (1) ta có 36 36 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 x3 x + = (6 x x ) x + 19 (6 x x) x 25 x + 19 x = 12 x =1 ( x 1)(8 x 17 x + 2) = x = x = Vậy có ba tiếp tuyến với (C) qua điểm 19 A ; ữ 12 ( Tự viết phơng trình tiếp tuyến) y = x + x + x + (C ) Ví dụ Cho hàm số a) CMR: Không tồn hai điểm (C ) cho tiếp tuyến hai điểm vuông góc với b) Tìm k cho (C) có điểm cho tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = kx + m Giải a) Giả sử (C) có hai điểm M1(x1; y1) M2(x2; y2) mà tiếp tuyến với (C) vuông góc với Ta có y = 3x2 + 6x + = 3(x+1)2 Khi ta có -1 = y'(x1 ).y'(x1 ) = 9.(x1 +1) (x + 1) Suy giả sử sai hay ta có điều cần chứng minh b) vô lý Ví dụ Cho hàm số y = x3 - x2 có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A(3; 0) Giải Đờng thẳng () qua A(3; 0) có hệ số góc k có dạng: y = k(x - 3) +) () tếp tuyến với (C) k = x2 x x x = k ( x 3) Thế (1) vào (2): (2) Hệ có nghiệm x x = ( x x )( x 3) 2x3 -12x2 + 18x = +) Với x1 = (1) k1 = x = x = PTT2: y = 37 37 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 +) Với x2 = k2 = PTT2: y = 3x - Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho thoả mãn yêu cầu toán y = y = 3x Ví dụ Tìm a để đồ thị hàm số x2 x + y= x (C) tiếp xúc với (P) : y = x2 + a Giải Điều kiện tiếp xúc đồ thị (C) với (P) Hệ có nghiệm x2 x (1) 2x = ( x 1)2 x x + = x + a (2) x Giải (1) x = Thế vào (2) a=-1 Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P) x2 2x + y= x Ví dụ Cho đờng cong (C) Tìm điểm Ox từ kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến vuông góc với Giải: Gọi M(a; 0) Ox; đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) () tiếp tuyến (C) k = ( x 1)2 k ( x a ) = x + x (1) (I) (2) Hệ có nghiệm k ( x 1) = x (1) x k ( x a) = x + (2) x (2) - (1) k (1 a) = (3) x 38 38 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 k k (1 a)2 (4) k = Kết hợp (3) (1) ta có: (4) k2(1 - a)2 + 4k - = Từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với tới (C) k1.k2 = -1 a = (1 a) Hệ có hai nghiệm phân biệt k1, k2 a a = - 1, a = Vậy điểm cần tìm (-1; 0); (3; 0) Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tơng đơng mà có a k Nhận thấy tính đợc x theo a k thay vào phơng trình (1) đợc hệ tơng đơng có phơng trình chứa a k từ ta có phép biến đổi nh cách giải ngắn gọn x2 2x + y= x Ví dụ 10 Cho đờng cong (C) Tìm điểm mặt phẳng toạ độ mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến vuông góc với Giải: () đờng thẳng qua M(a; b) có hệ số góc k nên PT (): y = k(x - a) + b () tiếp tuyến (C) k = ( x 1)2 k ( x a) + b = x + x (1) (2) k ( x 1) = x x k ( x a) + b = x + x Lấy (4) - (3) k (1 a) + b = k (1 a) + b = x x 39 Hệ có nghiệm (3) (4) (5) 39 NGUYN TH THU HNG Kết hợp (5) (1) ta có hệ (k THPT Mấ LINH -0982586829 k k (1 a) + b ữ k = từ (1) k = (6) x, hệ vô nghiệm.) k 2 k (1 a) + 2((1 a)b + 2)k + b = (7) Vì từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với tới (C) k1.k2 = - hệ có hai nghiệm phân biệt k 1, k2 a b = (8) a ) ( (1 a)2 + 2((1 a)b + 2) + b (9) a 2 (1 a) + b = a + b Thế (10) vào (9): 2[(1 - a)b + 2] Từ (10) (10) (11) (1 - a)b + (I) (1 - a)2 + b2 + 2(1 - a)b = + 2(1 - a)b (1 - a + b)2 = 2(2 + (1 - a)b) Vì 2+ (1 - a)b 1-a+b Vậy ta có tập hợp điểm M cần tìm đờng tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 2, bỏ điểm giao đờng thẳng x = - x + y + = với đờng tròn điểm (1; + 2; 2); ( ); ( 2; ) y= Ví dụ 11 Cho đờng cong: 2x2 x + x (C) 40 40 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 Tìm tất điểm đờng thẳng y = mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến với đờng cong (C) mà hai tiếp tuyến hợp với góc Gọi M đt: y = = 450 Giải: M(a; 7) Phơng trình đờng thẳng () qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) + () tiếp tuyến (C) k = (1) ( x 1)2 k ( x a) + = x + + (2) x Hệ có nghiệm k ( x 1) = 2( x 1) (3) x k ( x a) + = x + + (4) x 3+ Lấy (4) - (3): Kết hợp (5) (1) k (1 a) + = k (1 a) + = x x (5) k k (1 a) + ữ k = k 2 k (1 a) + 8k (2 a) = (6) y Từ M kẻ hai tiếp tuyến hợp với góc 450 Không tính chất tổng quát = = 450 + 2 O Ta giả sử: + tan + k2 tan = k1 = tan k2 x k1 - k1.k2 = + k2 (7) 41 41 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 Vì (6) phải có hai nghiệm phân biệt mà c =0 a có nghiệm nghiệm khác Vậy từ (6) a k1 = k Kết hợp (8) (7) ta có: a k1 k = (8) k1 = k2 = k1 = k2 = a a (1 a)2 + 8(2 a) = a=52 Nếu k1 = 1, từ (6) : a a (1 a)2 8(2 a) = a =-32 Nếu k2 = -1 , từ (8) : 52 Vậy điểm tìm đợc : M1;2 ( ; 7); M3;4( Ví dụ 12 Viết phơng trình tiếp tuyến chung hai (P) sau : y = x2 - 3x + (1) y = - x2 + 7x - 11 (2) Giải: ; 7) M '0 ( x '0 ; y '0 ) Gọi tiếp tuyến chung : y = ax + b Gọi M0(x0 ; y0) Parabol (1) (2) Theo điều kiện tiếp xúc hai đờng ta có hệ sau : 42 tiếp điểm tiếp tuyến với 42 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 (1) a = x0 a = x ' + (2) (3) x0 x0 + = ax0 + b x '20 x '0 11 = ax ' + b (4) Hệ có nghiệm x0 = x '0 Từ (1) (2) (5) (5 x ' )2 + = x '20 11 Từ (3) (4) x ' 0(1) = a1 = 3; b1 = Giải tìm đợc x ' 0(2) = a2 = 1; b2 = Kết luận: Tiếp tuyến chung là: y = 3x - y = x Ví dụ 13 Tìm tiếp tuyến cố định họ đờng cong có phơng trình: y= (m 1) x + m xm (m 0) Giải: Gọi đờng thẳng: y = ax + b tiếp tuyến cố định họ đờng cong Hệ phơng trình sau có nghiệm m m2 m + x m = ax + b m =a ( x m)2 Lấy (3) - (4): (1) (2) m(a 1) + b + = xm 2m2 a= Kết hợp (2) (5) ta đợc: m2 m + x m = ax + b m = a( x m) xm (3) (4) (5) (m(a 1) + b + 1)2 4m (a + 1)2m2 + 2(a - 1)(b + 1)m + (b + 1)2 = Phơng trình thỏa mãn m (a + 1)2 = a = 2(a 1)(b + 1) = b = (b + 1)2 = 43 43 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 Kết luận: Vậy họ đờng cong có tiếp tuyến cố định là: y = - x - IV Bài tập tự luyện (Cm ) : y = x + mx + Bài Cho (Cm ) Tìm m để cắt đờng thẳng y = -x + ba điểm A(0; (Cm ) 1), B, C cho tiếp tuyến với B C vuông góc với y = x3 x + 3 Bài Tìm điểm đồ thị hàm số mà tiếp tuyến vuông góc với đờng y= x+ 3 thẳng y = x3 3x + (C ) Bài Cho hàm số CMR: Trên (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song với đồng thời đờng thẳng nối cặp điểm đồng quy điểm cố định y = x + 3x x + (C ) Bài Cho Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ y = x x + x (C1 ) y = x x + x (C2 ) Bài Cho điểm chúng Viết phơng trình tiếp tuyến với hai đồ thị giao (C ) y = x3 + k ( x + 1) Bài Viết phơng trình tiếp tuyến với giao điểm với trục Oy Tìm k để tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích (C ) : y = x3 x + x Bài Cho hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) trờng hợp sau h) Có hệ số góc k = - i) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc 600 j) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc 150 k) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc 750 l) Tiếp tuyến tạo song song với đờng thẳng y = - x + m) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = 2x n) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= 3x + góc 450 (C ) : y = x x + Bài Cho hàm số A( 23 ; 2) c) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm d) Tìm đờng thẳng y = - điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với (C ) : y = x3 + x + Bài Cho hàm số với (C) Tìm trục hoành điểm kẻ đợc ba tiếp tuyến (ĐH SPHN2- KB-1999) (C ) : y = x x Bài 10 Cho hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A(2; 0) (ĐH THHN- 1994) 44 44 NGUYN TH THU HNG (C ) : y = Bài 11 Cho hàm số 450 (C ) : y = Bài 12 Cho hàm số góc 450 3x x 4x x THPT Mấ LINH -0982586829 Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với đờng thẳng y = 3x (C ) : y = Bài 13 Tìm Oy điểm kẻ đợc tiếp tuyến với (C ) : y = x +1 x x + x +1 x Bài 14 Cho hàm số Tìm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tạo tam giác OAB vuông cân (HVBCVTHN - 1997) 2x2 + 5x (C ) : y = x+2 Bài 15 Cho hàm số CMR: Tiếp tuyến với (C) điểm M tùy ý tạo với hai tiệm cận tam giác có diện tích không đổi (C ) : y = x x + 3 Bài 16 Tìm điểm đồ thị y= x+ 3 thẳng mà tiếp tuyến vuông góc với đờng (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 2001) (C ) : y = x3 + x x + Bài 17 Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ với đồ thị (ĐH Ngoại Thơng TPHCM 1998) Bài 18 Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ với đồ thị (C ) : y = x3 mx x + m ( Học viện quan hệ quốc tế 2001) (C ) : y = x + 3x 12 x Bài 19 Tìm điểm M đồ thị qua gốc tọa độ ( ĐH Công Đoàn 2001) cho tiếp tuyến với (C) tai M (Cm ) : y = x3 + mx m Bài 20 Viết phơng trình tiếp tuyến điểm cố định mà đồ thị Tìm quỹ tích giao điểm tiếp tuyến ( ĐH an ninh 2000_ k A) (C ) : y = x x + Bài 21 Cho đồ thị hàm số 23 A ; ữ a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm b) Tìm đờng thẳng y = -2 điểm mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C) chúng vuông góc với 45 45 NGUYN TH THU HNG THPT Mấ LINH -0982586829 y = x 3x (C ) Bài 22 Cho hàm số Tìm điểm đờng thẳng x = kẻ đợc ba tiếp tuyến với (C) ( ĐH cần thơ 2000_ k A) y= x + (C ) x +1 Bài 23 Cho hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = -x ( ĐH đà lạt 2000_ k A) y = x x (C ) Bài 24 Cho hàm số 3) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A(1; ( ĐH tây nguyên 2000_ k A) y = x + 3x + (C ) Bài 25 Cho hàm số Đờng thẳng y = tiếp xúc với (C) A cắt (C ) điểm B, tìm tọa độ điểm B ( ĐH tây nguyên 2000_ k D) y = x3 3x + (C ) Bài 26 Cho hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến với (C ) qua điểm A(1; 0) ( ĐH an ninh nhân dân 2000_ k D) Bài 27 Tìm điểm trục hoành kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị x2 + x (C ) : y = x+2 2x2 x + (C ) : y = x Bài 28 Cho đồ thị CMR đờng thẳng y = có bốn điểm cho từ điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) tạo với góc 450 (C ) : y = x + x Bài 29 Cho đồ thị Tìm tậ hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy thoả mãn a) Từ không kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị (C) b) Từ kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị (C) c) Từ kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị (C) d) Từ kẻ đợc hai tiếp tuyến với đồ thị (C) e) Từ kẻ đợc hai tiếp tuyến với đồ thị (C) hai tiếp tuyến đo vuông góc với Bài 30 Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm A(1; 0) tới đồ thị ( ĐH dợc 1999) x2 + x + (C ) : y = x +1 Bài 31 Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm A(-1; ) tới đồ thị ( ĐH xây dựng 1995) x2 + x + (C ) : y = x +1 Bài 32 Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm A(0; 5/4 ) tới đồ thị ( ĐHsp vinh 1998) Bài 33 Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm A(1; ) tới đồ thị ( ĐH đà lạt 1999) 46 x2 + x + (C ) : y = x +1 x2 x + (C ) : y = x2 46