chuyen de chung minh bdt (tran kim oanh)

MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I Mở đầu: Bất đẳng thức phần quan trọng toán học Nó toán khó mà ta thường gặp kì thi học sinh giỏi thi đại học Mặc dù học sinh học bất đẳng thức từ lớp trung học sở đến trung học phổ thông kỳ thi em lúng túng, khó khăn mảng Cả giáo viên học sinh nhiều thời gian mảng không khó có kì mà chứa nhiều sáng tạo suy luận Đề tài toán bất đẳng thức ngắn gọn dễ hiểu trình tìm lời giải lại chứa nhiều suy luận sáng tạo để lời giải lại ngắn gọn đẹp đẽ dễ hiểu Như biết có nhiều phương pháp để giải toán bất đẳng thức chẳng hạn dùng bất đẳng thức cổ điển, dùng đạo hàm, dùng hàm lồi, dùng phương trình tiếp tuyến… Nó không đạo hàm có công thức tìm đạo hàm tất hàm sơ cấp Đứng trước toán bất đẳng thức việc khó khăn nhận phương pháp để giải Nhiều ta đọc lời giải bất đẳng thức câu hỏi xuất đầu họ lại nghĩ cách làm nhỉ? Và câu hỏi thứ hai họ lại nghĩ đề hay vậy? Có cách nhận dạng nhanh phương hướng giải cho toán hay không? Có cách sáng tạo toán sử dụng phương pháp không? Đặc biệt với sử dụng phương pháp tiếp tuyến đồ thị hàm số để chứng minh bất đẳng thức Đây phương pháp nêu sách giáo khoa việc trình bày toán dựa vào phương pháp rõ nên làm người đọc tò mò trình suy nghĩ để tìm lời giải Ta dung phương pháp để tìm biểu thức đánh giá sau ta lại biến đổi đánh giá bình thường Và nội dung làm rõ đề phần trả lời cho bạn câu hỏi lại nghĩ Đồng thời phần đưa số hướng phát triển toán II để ta có bất đẳng thức Nội dung Cơ sở lý thuyết f ( x) Giả sử khả vi cấp hai liên tục miền D⊂¡ với D khoảng đoạn nửa khoảng Với x0 ∈ D theo công thức Lagrange ta có: f ( x) = f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) + f ( n ) [ x0 + θ ( x − x0 ) ] ( x − x0 ) θ ∈ [ 0,1] Trong trường hợp Khi tồn Suy f '' ( x0 ) ≠ ta giả sử ( a, b ) ⊂ D, x0 ∈ ( a, b ) f '' ( x0 ) > cho f ( x) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ), ∀x ∈ ( a, b ) f '' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a, b ) Ta thấy vế phải phương trình đường tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) x0 điểm có hoành độ Từ ta có kết sau: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục có đạo hàm tuyến đồ thị hàm số điểm y = f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) y = f ( x) M ( x0 ; f ( x0 )), x ∈ D D⊂¡ Khi tiếp có phương trình nằm nằm đồ thị hàm số nên ta có: f ( x ) ≤ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ), ∀x ∈ D f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ), ∀x ∈ D Từ tính chất ta liên tưởng đến việc áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức dạng Hoặc Với f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + + f ( xn ) ≥ nf ( x0 ) + f '( x0 )( x1 + x2 + + xn − nx0 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + + f ( xn ) ≤ nf ( x0 ) + f '( x0 )( x1 + x2 + + xn − nx0 ) x1 , x2 , , xn ∈ D giả thiết x1 + x2 + + xn = nx0 dấu xảy x1 = x2 = = xn = x0 Ta xây dựng bước để chứng minh bất đẳng thức dựa vào tiếp tuyến sau: Bước 1: Tìm dấu xảy x0 , xác định hàm số Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến M ( x0 ; f ( x0 )) f ( x) ≤ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) y = f ( x) f ( x) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) Bước 3: Kiểm tra Bước 4: Áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức kết luận Có thể nói phương pháp mạnh phương pháp sử dụng bất đẳng thức Jensen – Bất đẳng thức hàm lồi Những toán mà sử dụng hàm lồi sử dụng tiếp tuyến điều ngược lại chưa Ta minh họa đồ thị sau: Ta thấy hàm số [ p, q ] y = f ( x) không lồi miền nằm tiếp tuyến y Trong trường hợp dùng tiếp tuyến mạnh hàm lồi y=ax+b y=f(x)) p O α q x Sử dụng tiếp tuyến việc chứng minh bất đẳng thức Ta bắt đầu với toán đơn giản sau Bài 1: Cho bốn số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a+b+c+d = a b c d + + + ≤ 2 2 + 3a + 3b + 3c + 3d Chứng minh rằng: Phân tích tìm lời giải: Ta nhận thấy vế trái bất đẳng thức tổng hàm ta nhận f ( x) = hàm số x + 3x Ta dự đoán dấu xảy Đặc biệt giả thiết cho a = b = c = d =1 a+b+c+d = nên áp dụng phương pháp tiếp tuyến ta đánh giá đưa biểu thức giống với giả thiết Lời giải f ( x) = Xét hàm số thị hàm số f '( x ) = Ta có x =1 x , x ∈ [ 0, +∞ ) + 3x Ta viết phương trình tiếp tuyến đồ − 3x ( − 3x ) 2 ⇒ f '(1) = 32 f (1) = y= Do ta có phương trình tiếp tuyến Ta chứng minh Thật ta có ( x + 3) 32 x ≤ ( x + 3), ∀ x ∈ [ 0, 4] + 3x 32 x ≤ ( x + 3) + 3x 32 ⇔ 32 x ≤ ( + x ) ( x + 3) ⇔ 3x + x − 27 x + 15 ≥ ⇔ x3 + 3x2 − x + ≥ ⇔ ( x − 1) ( x + 5) ≥ Luôn với Vậy với ∀x ∈ [ 0, 4] a, b, c, d ∈ [ 0, 4] ta có: a ≤ (a + 3) + 3a 32 b ≤ (b+ 3) + 3b 32 c ≤ (c+ 3) + 3c 32 d ≤ (d + 3) + 3d 32 Cộng vế bất đẳng thức ta được: a b c d 1 + + + ≤ ( a + b + c + d + 12 ) = 2 2 + 3a + 3b + 3c + 3d 32 a = b = c = d =1 Dấu xảy Nhận xét: Với toán nảy việc nhận phương pháp tiếp tuyến đơn giản giả thiết yêu cầu toán giống với toán tổng quát phương pháp Nếu chưa biết đến phương pháp tiếp tuyến cảm thấy khó hiểu tác giả lời giải lại biết đánh giá trung gian sau: a ≤ (a + 3) + 3a 32 b ≤ (b+ 3) + 3b 32 c ≤ (c+ 3) + 3c 32 d ≤ (d + 3) + 3d 32 Và ta nghĩ người ta dự đoán ngẫu nhiên hay sao? Còn biết phương pháp ta thấy cách làm có sở có suy luận lôgic Tương tự ta xét thêm toán đề thi Olympic Pháp – 2007 Hồng Kông – 2005 Bài 2: Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện 6(a + b3 + c + d ) ≥ ( a + b + c + d ) + a + b + c + d =1 Chứng minh rằng: Phân tích tìm lời giải: Cũng tương tự ta chuyển vế bất đẳng thức thành 6(a + b3 + c + d ) − ( a + b + c + d ) ≥ ⇔ ( 6a − a ) + ( 6b3 − b ) + ( 6c − c ) + ( 6d − d ) ≥ Từ ta có hàm số f ( x) = x3 − x ∀x ∈ ( 0,1) với giả thiết nghĩ đến áp dụng phương pháp tiếp tuyến Lời giải: Từ giả thiết ta suy f ( x) = x − x , x ∈ ( 0,1) Xét hàm số a, b, c, d ∈ ( 0,1) a=b=c=d = Dự đoán dấu xảy a +b + c + d =1 ta Do ta viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ta có 1 f '( x) = 18 x − x ⇒ f '  ÷ = 4 1 5x −1 y = (x − ) + = 32 x3 − x ≥ Ta chứng minh Thật ta có: 1 M( , ) 32 suy phương trình tiếp tuyến 5x −1 , ∀ x ∈ ( 0,1) 5x − ⇔ 48 x − x − x + ≥ x3 − x ≥ ⇔ ( x − 1) ( 3x + 1) ≥ Luôn với Thay x ∀x ∈ ( 0,1) a, b, c, d ∈ ( 0,1) 5a − 5b − 6b3 − b ≥ 5c − 6c3 − c ≥ 5d − 6d − d ≥ ta được: 6a − a ≥ Cộng vế bất đẳng thức ta được: ( 6a − a ) + ( 6b3 − b ) + ( 6c3 − c ) + ( 6d − d ) ≥ 5a − 5b − 5c − 5d − + + + 8 8 ⇔ 6(a + b3 + c + d ) − ( a + b + c + d ) ≥ 5 ( a + b + c + d ) −  ⇔ 6(a + b3 + c + d ) ≥ ( a + b + c + d ) + Vậy ta có điều phải chứng minh dấu xảy a=b=c=d = Trên hai tập mà từ đề ta nhìn dung phương pháp tiếp tuyến Tuy nhiên có số mà ta cần phải biến đổi chút xuất hàm số để áp dụng phương pháp tiếp tuyến Bài tập ví dụ điển hình a, b, c > 0, a + b + c = Bài (Rusia MO 2000): Cho a + b + c ≥ ab + bc + cd Chứng minh rằng: Phân tích tìm lời giải: Giả thiết toán phù hợp với phương pháp tiếp tuyến biểu thức yêu cầu chứng minh lại chưa có dạng tổng hàm Vậy muốn áp dụng phương pháp ta phải đưa biểu thức dạng tổng hàm Ta phải làm để ab, bc, ca Theo suy nghĩ ta có biến đổi sau: a + b + c ≥ ab + bc + cd ⇔2 ( ) a + b + c + a + b + c ≥ a + b + c + ( ab + bc + cd ) = ( a + b + c ) = 32 = Đến ta nhìn hàm số f ( x ) = x2 + x Vậy ta có sở để áp dụng phương pháp tiếp tuyến Lời giải: Ta có: a + b + c ≥ ab + bc + cd ⇔2 ( ) a + b + c + a + b + c ≥ a + b + c + ( ab + bc + cd ) = ( a + b + c ) = 32 = Từ giả thiết ta suy Xét hàm số a, b, c ∈ ( 0,3) f ( x ) = x + x , x ∈ ( 0,3) Ta dự đoán dấu xảy tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm f '( x ) = x + ⇒ f '(1) = x Có y = 3( x − 1) + ⇔ y = 3x a = b = c =1 M (1,3) Ta viết phương trình Suy phương trình tiếp tuyến Ta chứng minh x + x ≥ 3x, ∀x ∈ ( 0,3 ) Thật ta có: x + x ≥ 3x ⇔ x + x − 3x ≥ ⇔ ( ) ( x+2 x) ≥ x −1 Luôn với Thay x ∀x ∈ ( 0,3) a , b, c ta được: a + a ≥ 3a b + b ≥ 3b c + c ≥ 3c Cộng vế ba bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Dấu a = b = c =1 xảy Nhận xét: Bài toán ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh Chẳng hạn áp dụng Cauchy cho số không âm ta có: a + a = a + a + a ≥ 3 a a a = 3a b + b = b2 + b + b ≥ 3 b b b = 3b c + c = c + c + c ≥ 3 c c c = 3c Ở ta làm hai cách Có toán làm ta e ngại chưa nhận hàm số mà giả thiết cho chưa có dạng tổng biến Tuy nhiên ta áp dụng 10 phương pháp biến đổi khéo léo chút Bài toán sau minh chứng a, b, c > 0, a + b2 + c = Bài 4: Cho Chứng minh rằng: 1 1  + + ÷− ( a + b + c ) ≥ a b c Phân tích tìm lời giải: f ( x) = Bài ta nhận hàm số a + b2 + c2 = 1 −x x giả thiết lại cho Điều làm ta e ngại việc sử dụng phương pháp tiếp tuyến muốn dùng ta phải đưa giả thiết dạng a+b+c Việc không khó ta đánh giá Vậy có sở để áp dụng phương trình tiếp tuyến vào Lời giải: a =b=c = Ta dự đoán dấu xảy Xét hàm số f ( x) = − x, x ∈ ( 0,1) x M( hàm số f '( x ) = Ta có: 1 ; 3− ) 3 Ta viết phương trình tiếp tuyến đồ thị −1 − ⇒ f '( ) = −4 x Suy phương trình tiếp tuyến là: 1 y = −4( x − )+ 3− ⇔ y = −4 x + 3 Ta chứng minh − x ≥ −4 x + x 11 Thật vây ta có: 1 − x2 − x ≥ −4 x + ⇔ ≥ −4 x + 3, x ∈ ( 0,1) x x ⇔ − x ≥ −4 x + x ⇔ Luôn với Thay x ( ∀x ∈ ( 0,1) a, b, c ∈ ( 0,1) ) 3x − ≥ ta được: − a ≥ −4a + a − b ≥ −4b + b − c ≥ −4c + c Cộng vế bất đẳng thức ta được: 1 − a + − b + − c ≥ −4a + − 4b + − 4c + a b c  1 1 ⇔  + + ÷− ( a + b + c ) ≥ − ( a + b + c ) (*) a b c Mà áp dụng bất đẳng thức bunhia ta có: ( a + b + c) ≤ ( a + b + c ) , a, b, c ∈ ( 0,1) ⇔ a + b + c ≤ ( a + b + c ) = 3(**) 1 1  + + ÷− ( a + b + c ) ≥ a b c Từ (*) (**) ta được: Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c= Trong trình làm bất đẳng thức hay gặp tập mà biểu thức có tính đối xứng đồng bậc Nhờ kỹ thuật chuẩn hóa mà ta làm đơn giản tập dạng đưa sử dụng 12 phương pháp tiếp tuyến để giải tiếp Dưới số a, b, c > Bài 5: Cho Chứng minh rằng:  a  b c + +  ÷ a + b + c) ≥ 2 (  ( b + c) ÷ ( c + a ) ( a + b)   Phân tích tìm lời giải: Ta nhận thấy hai vế bất đẳng thức cần chứng minh đồng bậc nên ta sử dụng kỹ thuật chuẩn hóa để làm cho toán đơn giản Vậy để đơn giản ta đặt a ( − a) + b ( − b) + c ( − c) a +b+c = bất đẳng thức trở thành ≥ Ta dễ dàng nhận dạng tổng hàm ta nghĩ đến phương pháp tiếp tuyến Lời giải: a + b + c = ⇒ a, b, c ∈ ( 0,3) Không tính tổng quát ta giả sử a ( − a) Khi bất đẳng thức trở thành f ( x) = Ta xét hàm số ( − x) tuyến đồ thị hàm số f '( x) = Ta có y= −x + ( − x) + b ( − b) + c ( − c) ≥ x Dự đoán dấu xảy 2 M (1, ) ⇒ f '(1) = 1 2x −1 ( x − 1) + ⇔ y = 4 a = b = c =1 nên ta viết phương trình tiếp Từ suy phương trình tiếp tuyến là: 13 x ( − x) Ta chứng minh Thật ta có: x ≥ ≥ 2x −1 , ∀x ∈ ( 0,3) 2x −1 ⇔ −2 x3 + 13 x − 20 x + ≥ ( − x) ⇔ ( x − 1) ( − x ) ≥ Luôn với Thay x a ( − a) 2b − ≥ 2c − ta được: 2a − ≥ ≥ c ( − c) a, b, c ∈ ( 0,3) b ( − b) ∀x ∈ ( 0,3) Cộng vế bất đẳng thức ta được: a ( − a) ⇔ + b ( − b) a ( − a) + + c ( − c) b ( − b) + ≥ 2a − 2b − 2c − + + 4 c ( − c) ≥ a=b=c Vậy ta điều phải chứng minh Dấu xảy Nhận xét: Nếu kỹ thuật chuẩn hóa ta nhận phương pháp tiếp tuyến dùng Đây kỹ thuật hay sử dụng Nhờ mà ta có thêm điều kiện đưa toán dạng quen thuộc Tương tự ta xét thêm vài toán thi học sinh giỏi số nước giới Bài 6: (USA – 2003) Cho a , b, c > Chứng minh rằng: 14 (2a + b + c) 2a + ( b + c ) + (2b + c + a)2 2b + ( c + a ) (2c + a + b) + 2c + ( a + b ) ≤8 Phân tích tìm lời giải: Bất đẳng thức có dạng đối xứng biến hai vế đồng bậc nên tương tự ta sử dụng kỹ thuật chuẩn hóa để đưa toán dạng a+b+c = đơn giản Ta giả sử (a + 3) 2a + ( − a ) 2 + (b + 3) 2b + ( − b ) 2 + bất đẳng thức trở thành: (c + 3) 2c + ( − c ) 2 ≤8 Đến ta thấy giả thiết yêu cầu phù hợp với tiêu chí áp dụng phương pháp tiếp tuyến Vậy có sở để ta sử dụng phương pháp Lời giải: a + b + c = ⇒ a, b, c ∈ ( 0,3) Không tính tổng quát ta giả sử bất đẳng thức trở thành: (a + 3) 2a + ( − a ) + (b + 3) 2b + ( − b ) f ( x) = Ta xét hàm số + (c + 3) 2c + ( − c ) ( x + 3) 2x + ( − x) Dự đoán dấu xảy tuyến đồ thị hàm số f '( x) = Ta có 2 ≤8 , x ∈ ( 0,3) a = b = c =1 Do ta viết phương trình tiếp  8 M 1, ÷  3 −4(2 x + 3x − 9) ⇒ f '(1) = 2 3( x − x + 3) y = ( x − 1) + ⇒ y = ( x + 1) 3 15 Suy phương trình tiếp tuyến là: ( x + 3) 2x + ( − x) Ta chứng minh Thật ta có: ( x + 3) 2x + ( − x) 2 ≤ ≤ ( x + 1), ∀x ∈ ( 0,3) ( x + 1), x ∈ ( 0,3) x2 + 6x + ⇔ − ( x + 1) ≤ 3x − x + −(4 x + 3)( x − 1) ⇔ ≤0 x2 − x + −(4 x + 3)( x − 1) ⇔ ≤0 ( x − 1) + Luôn với Thay x (a + 3) 2a + ( − a ) 2 (b + 3) 2b + ( − b ) 2c + ( − c ) a, b, c ∈ ( 0,3) ta được: ≤ ( a + 1) ≤ (b + 1) ≤ (c + 1) (c + 3) 2 ∀x ∈ ( 0,3) Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: (a + 3) 2a + ( − a ) ⇔ + (b + 3) 2b + ( − b ) (a + 3) 2a + ( − a ) + + (c + 3) 2c + ( − c ) (b + 3) 2b + ( − b ) + ≤ 4 (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) 3 (c + 3) 2c + ( − c ) ≤8 a=b=c Vậy ta điều phải chứng minh Dấu xảy Nhận xét: Ở chứng minh bất đẳng thức sử dụng kỹ thuật chuẩn hóa việc chọn tổng a+b+c tùy thuộc vào người Chẳng hạn ta chọn 16 a +b + c =1 Tuy nhiên ta nên chọn cho trình tính toán biến đổi đơn giản gọn gàng cành tốt Và điều ý dấu xảy a=b=c a=b=c= a = b = c =1 hay Qua tập ta thấy rõ ứng dụng phương pháp tiếp tuyến chưa phải tất Nếu có chẳng khác phương pháp hàm lồi Phương pháp tiếp tuyến làm điều tuyệt vời Các toán hầu hết ta xét tổng hàm độc lập dấu xảy số Dưới số toán sử dụng phương pháp tiếp tuyến hàm số có chứa tham số Bài 7: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c3 a +b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 Phân tích tìm lời giải: Bài toán dạng tổng hàm đơn giản ví dụ Cũng dạng đồng bậc chuẩn hóa không làm đơn giản toán biểu thức a + ab + b không đưa biến Nhận thấy vế trái bất đẳng thức tổng a+b+c nên áp dụng tiếp tuyến f (a ) = tốt Vậy ta thử xét hàm ví dụ hàm b coi tham số Từ ta tìm bất đẳng thức phụ Lời giải: 17 a3 a + ab + b ta f ( a) = Ta xét hàm số a=b=c tọa độ với b tham số Thấy dấu xảy nên ta viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có  b  b, ÷  3 f '(a ) = a + 2a 3b + 3a 2b Ta có là: a3 a + ab + b (a + ab + b ) 2 ⇒ f '(b) = b 2a − b y = ( a − b) + ⇒ y = 3 Từ ta có phương trình tiếp tuyến a 2a − b ≥ a + ab + b 3 Ta chứng minh Thật ta có: a3 2a − b ≥ 2 a + ab + b 3 ⇔ 3a ≥ 2a + a b + ab − b3 ⇔ a + b3 − (a 2b + ab ) ≥ ⇔ ( a + b) ( a − b) ≥ ∀a, b > Luôn với Chứng minh tương tự ta được: b3 2b − c ≥ 2 b + bc + c 3 c 2c − a ≥ 2 c + ca + a Từ ta 18 a3 b3 c3 2a − b 2b − c 2c − a + + ≥ + + 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 3 3 a b c a +b+c ⇔ + + ≥ 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a a=b=c Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu xảy Nhận xét: Ta thường thấy toán kiểu trình bày cách xét bổ đề chứng minh bất đẳng thức phụ Tuy nhiên cách trình bày tự nhiên làm cho người đọc không khỏi thắc mắc lại có bất đẳng thức phụ Ngược lại nhìn theo quan điểm phương trình tiếp tuyến việc tìm bất đẳng thức phụ tự nhiên hợp lôgic Đây điều thú vị phương pháp Dưới ta xét tiếp toán vấn đề rõ ràng Bài 8: : Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a+b+c + 2+ ≥ 2 a +b b +c c +a 3 Phân tích tìm lời giải: Tương tự ta xét hàm số mà ẩn coi đối số ẩn lại tham số Lời giải: f (a) = a3 a + b2 Xét hàm số xảy a=b=c a ẩn b tham số Ta có thấy dấu nên ta viết phương trình tiếp tuyến điểm 19 b M (b, ) f '(a ) = Ta có: y = 1(a − b) + tuyến là: a + 3a 2b ( a + b2 ) ⇒ f '(b) = Từ ta có phương trình tiếp b 2a − b ⇔ y= 2 Ta chứng minh a3 2a − b ≥ ⇔ b3 + ba − 2ab ≥ 2 a +b 2 ⇔ b( a − b) ≥ Luôn Chứng minh tương tự ta được: b3 2b − c c3 2c − a ≥ ≥ 2 2 b +c c +a Cộng vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Một số hướng phát triển toán sáng tạo bất đẳng thức sử dụng phương pháp tiếp tuyến Đối với giáo viên nói riêng người làm toán nói chung việc giải toán chưa thực thỏa mãn Người giáo viên băn khoăn làm để tạo bất đẳng thức vậy? Bài toán phát triển lên với nhiều biến không? Có thể đặt toán tương tự hay không? Bất đẳng thức làm chặt tốt không? Để giải phần câu hỏi đưa số hướng để phát triển toán tạo bất đẳng thức 3.1 Thay đổi hàm số Khi ta lấy hàm số viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước Sau ta kiểm tra xem đồ thị khoảng nằm hay nằm tiếp tuyến ta có bất đẳng thức tương ứng 20 Chẳng hạn tương tự tập phần với giả thiết a, b, c, d ≥ 0, a + b + c + d = ta xét hàm số  x  f ( x) =  ÷ , x ∈ [ 0, ]  x+2 M (1, viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số [0, 4] kiểm tra thấy đồ thị hàm số khoảng ta có bất đẳng thức sau: ) 27 Và ta sau ta nằm tiếp tuyến nên 3  a   b   c   d   ÷ + ÷ + ÷ + ÷ ≥  a +   b +   c +   d +  27 f ( x) = ta có toán Hay lấy hàm đặc trưng Vậy x 4− x ta a b c d + + + ≥ 4−a 4−b 4−c 4−d bất đẳng thức: Việc kiểm tra hàm số ta dùng công cụ hỗ trợ phần mềm Maple để tính đạo hàm, khảo sát vẽ đồ thị, viết phương trình tiếp 3.2 tuyến Thay đổi giả thiết Đôi ta thay đổi giả thiết để có toán Khi thay đổi giả thiết ta làm thay đổi khoảng xét hàm số cho ta hai bất đẳng thức hoàn toàn khác Chẳng hạn ta xét biểu thức 1 + + − ab − bc − ca với điều kiện a , b, c khác ta thu bất đẳng thức khác Nếu với điều kiện 21 a + b + c = 1, a, b, c > 1 27 + + ≤ − ab − bc − ca , a , b, c > 16 1 + + ≤4 − ab − bc − ca bất Nếu với điều kiện ta bất đẳng thức sau: a4 + b4 + c4 = ta đẳng thức sau: a + b + c = 1, a, b, c > 1 + + ≤ − ab − bc − ca Nếu với điều kiện ta lại có bất đẳng thức: Vậy cần thay đổi giả thiết ta có toán Ta sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc để biến đổi giả thiết Cauchy, Bunhia, … Chẳng hạn tập số ta đổi giả thiết a +b + c + d =1 thành ab + bc + cd + da = cần phải đánh giá trung gian giải ta a + b + c + d ≥ ab + bc + cd + da nhờ bất đẳng thức quen thuộc 3.3 Dấu hàm đặc trưng Ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá trung gian nhằm dấu hàm đặc trưng số Theo cách ta tạo nhiều bất đẳng thức Chẳng hạn từ bất đẳng thức 22 4a 4b 4c + + ≥ 2 + (1 − a) + (1 − b) + (1 − c) 10 − a,1 − b,1 − c b + c, c + a, a + b với a + b + c = 1, a, b, c > ta thay ta bất đẳng thức mới: 4a 4b 4c + + ≥ 2 + (b + c) + (c + a ) + (a + b) 10 bất đẳng thức không khác gốc Ta dựa vào đánh giá ( b + c) ≥ 4bc, (c + a ) ≥ 4ca, ( a + b) ≥ 4ab ta có bất đẳng thức a b c + + ≥ + bc + ac + ab 10 đệp gọn nhiều: Ta dấu hàm đặc trưng nhờ vào kỹ thuật chuẩn hóa Ta làm ngược lại trình chuẩn hóa ta có bất đẳng thức Cụ thể ta thay số biến chẳng hạn ta lấy bất đẳng thức 3 3  a   b   c   d   ÷ + ÷ + ÷ + ÷ ≥  a +   b +   c +   d +  27 2= a+b+c+d phần 3.1 ta thay ta bất đẳng thức 3 3 a b c d          ÷ + ÷ + ÷ + ÷ ≥  3a + b + c + d   a + 3b + c + d   a + b + 3c + d   a + b + c + 3d  54 Bất đẳng thức không cần điều kiện cần Kết luận a, b, c, d ≥ 23 a, b, c, d ≥ 0, a + b + c + d = mà Trải qua trình tìm hiểu phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức thực cảm thấy công cụ mạnh Nó kết hợp với bất đẳng thức cổ điển giúp người làm toán giải hầu hết toán bất đẳng thức phổ thông Phương pháp giúp cho học sinh có hướng rõ ràng có sở lý thuyết mò mẫm bực tức đọc lời giải mà ngỡ từ giời rới xuống Nhờ mà học sinh giáo viên có cách nhìn tổng quát toàn diện tự tin phải đối diện với toán khó chứng minh bất đẳng thức.Trong mạnh dạn đưa số hướng để sáng tác bất đẳng thức phát triển bất đẳng thức có Tuy nhiên phương pháp vạn giải toán Để giải toán ta cần hỗ trợ từ tất phương pháp Cuối cố gắng song thời gian có hạn kinh nghiệm chưa nhiều nên nhiều chỗ chưa thực thể tưởng III Tài liệu tham khảo [1] Bài giảng thầy Nguyễn Đức Huy [2] Đoàn Quỳnh, Tài liệu chuyên toán giải tích 12, NXB Giáo dục [3] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri thức [4] www.diendantoanhoc.net [5].www.mathscope.org 24 [...]... ⇔ y= 2 2 Ta đi chứng minh a3 2a − b ≥ ⇔ b3 + ba 2 − 2ab 2 ≥ 0 2 2 a +b 2 2 ⇔ b( a − b) ≥ 0 Luôn đúng Chứng minh tương tự ta được: b3 2b − c c3 2c − a ≥ ≥ 2 2 2 2 b +c 2 c +a 2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh 3 Một số hướng phát triển bài toán và sáng tạo bất đẳng thức sử dụng phương pháp tiếp tuyến Đối với giáo viên nói riêng và người làm toán nói chung thì việc giải... phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= 1 3 Trong quá trình làm về bất đẳng thức chúng ta rất hay gặp các bài tập mà các biểu thức có tính đối xứng và đồng bậc Nhờ kỹ thuật chuẩn hóa mà ta làm đơn giản được các bài tập dạng này và đôi khi đưa về các bài có thể sử dụng 12 được phương pháp tiếp tuyến để giải quyết tiếp Dưới đây là một số bài như vậy a, b, c > 0 Bài 5: Cho Chứng minh rằng:... + (c + 3) 2 2c 2 + ( 3 − c ) (b + 3) 2 2b 2 + ( 3 − b ) 2 + 2 ≤ 4 4 4 (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) 3 3 3 (c + 3) 2 2c 2 + ( 3 − c ) 2 ≤8 a=b=c Vậy ta được điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Nhận xét: Ở các bài chứng minh bất đẳng thức sử dụng kỹ thuật chuẩn hóa việc chọn tổng a+b+c là tùy thuộc vào từng người Chẳng hạn ở bài trên ta có thể chọn 16 a +b + c =1 Tuy nhiên ta nên chọn... 2a − b y = ( a − b) + ⇒ y = 3 3 3 Từ đó ta có phương trình tiếp tuyến a 2a − b ≥ 2 a + ab + b 3 3 2 Ta đi chứng minh Thật vậy ta có: 2 3 a3 2a − b ≥ 2 2 a + ab + b 3 3 3 2 ⇔ 3a ≥ 2a + a b + ab 2 − b3 ⇔ a 3 + b3 − (a 2b + ab 2 ) ≥ 0 ⇔ ( a + b) ( a − b) ≥ 0 2 ∀a, b > 0 Luôn đúng với Chứng minh tương tự ta được: b3 2b − c ≥ 2 2 b + bc + c 3 3 c 2c − a ≥ 2 2 c + ca + a 3 Từ đó ta được 18 a3 b3 c3 2a... + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 3 3 3 3 3 a b c a +b+c ⇔ 2 + 2 + 2 ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 a=b=c Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi Nhận xét: Ta thường thấy những bài toán kiểu này được trình bày bằng cách xét bổ đề chứng minh một bất đẳng thức phụ Tuy nhiên cách trình bày như vậy rất mất tự nhiên và làm cho người đọc không khỏi thắc mắc tại sao lại có bất đẳng thức...được phương pháp này nếu biến đổi khéo léo một chút Bài toán sau là một minh chứng a, b, c > 0, a 2 + b2 + c 2 = 1 Bài 4: Cho Chứng minh rằng: 1 1 1  + + ÷− ( a + b + c ) ≥ 2 3 a b c Phân tích tìm lời giải: f ( x) = Bài này ta có thể nhận ngay ra hàm số là a 2 + b2 + c2 = 1 1 −x x nhưng giả thiết... dụng Nhờ nó mà ta có thêm điều kiện và đưa bài toán về dạng quen thuộc Tương tự ta xét thêm một vài bài toán thi học sinh giỏi của một số nước trên thế giới Bài 6: (USA – 2003) Cho a , b, c > 0 Chứng minh rằng: 14 (2a + b + c) 2 2a 2 + ( b + c ) 2 + (2b + c + a)2 2b 2 + ( c + a ) 2 (2c + a + b) 2 + 2c 2 + ( a + b ) 2 ≤8 Phân tích tìm lời giải: Bất đẳng thức có dạng thuần nhất đối xứng 3 biến và hai... trình tiếp  8 M 1, ÷  3 −4(2 x + 3x − 9) 4 ⇒ f '(1) = 2 2 3( x − 2 x + 3) 3 2 4 8 4 y = ( x − 1) + ⇒ y = ( x + 1) 3 3 3 15 Suy ra phương trình tiếp tuyến là: ( x + 3) 2 2x + ( 3 − x) 2 Ta đi chứng minh Thật vậy ta có: ( x + 3) 2 2x + ( 3 − x) 2 2 ≤ 2 ≤ 4 ( x + 1), ∀x ∈ ( 0,3) 3 4 ( x + 1), x ∈ ( 0,3) 3 x2 + 6x + 9 4 ⇔ 2 − ( x + 1) ≤ 0 3x − 6 x + 9 3 −(4 x + 3)( x − 1) 2 ⇔ ≤0 x2 − 2 x + 3 −(4 x... '( x ) = Ta có: 1 1 ; 3− ) 3 3 Ta đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị −1 1 − 1 ⇒ f '( ) = −4 2 x 3 Suy ra phương trình tiếp tuyến là: 1 1 y = −4( x − )+ 3− ⇔ y = −4 x + 2 3 3 3 Ta đi chứng minh 1 3 1 − x ≥ −4 x + 2 3 x 11 Thật vây ta có: 1 1 − x2 − x ≥ −4 x + 2 3 ⇔ ≥ −4 x + 2 3, x ∈ ( 0,1) x x ⇔ 1 − x 2 ≥ −4 x 2 + 2 3 x ⇔ Luôn đúng với Thay x bởi ( ∀x ∈ ( 0,1) a, b, c ∈ ( 0,1) ) 2 3x −... toán trên hầu hết là ta đi xét tổng của các hàm độc lập và dấu bằng xảy ra là hằng số Dưới đây là một số bài toán sử dụng phương pháp tiếp tuyến nhưng hàm số có chứa tham số Bài 7: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a b c3 a +b+c + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 3 3 Phân tích tìm lời giải: Bài toán không có dạng tổng hàm đơn giản như các ví dụ trên Cũng không có dạng thuần nhất đồng