Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 Học kì I (Lê Văn Đoàn)

Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 Học kì I (Lê Văn Đoàn) Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 Học kì I (Lê Văn Đoàn) Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 Học kì I (Lê Văn Đoàn) Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 Học kì I (Lê Văn Đoàn) Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 Học kì I (Lê Văn Đoàn) Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 Học kì I (Lê Văn Đoàn)

TRUNG TÂM HOÀNG GIA

A'

E

D

C B

I G

PHẦN i Giải tích

Chương 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

π

sinx

cosx

IV III

2 Công thức lượng giác cơ bản

tan cot  1 sin2cos21 1 tan2 12

3 Cung góc liên kết

cos( a) cosa sin(  a) sina sin cos

tan(   a) tana tan cot

4 Công thức cộng cung

sin(a b)sinacosbcosasin b cos(a b)cosacosbsinasin b

tan tantan( )

x x

sin 3 3 sin 4 sin

cos 3 4 cos 3 cos

3 tan tantan 3

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

sin cos 2sin 2cos

2

a b   a b  a b 

  sinasinb  12 cos(a b ) cos(a b)

1sin cos sin( ) sin( )

§ 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

f   x f x Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

b Hàm số đ n điệu: Cho hàm số y  f x( ) xác định trên tập ( ; )a b 

 y  f x( ) gọi là đồng biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; )a b cĩ x1 x2  f x( )1 f x( ).2

 y  f x( ) gọi là nghịch biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; )a b cĩ x1 x2  f x( )1  f x( ).2

c Hàm số tuần hồn:

 Hàm số y  f x( ) xác định trên tập hợp D, đ ợc gọi là hàm số tuần hồn nếu cĩ số

0

T  sao cho với mọi x D ta cĩ (x T)D và (x T )Dvà f x( T) f x( )

 Nếu cĩ số d ơng T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm

 Hàm số y tanx tuần hoàn với chu kì T o   y  tan(ax b) tuần hoàn với chu

Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

 Ph ng pháp gi i Để tìm tập xác định của hàm số l ợng giác ta cần nhớ

f x

f x

sin ( )

f x

 Một số tr ờng hợp tìm tập xác định th ờng gặp

1

( )

P x

  y 2n P x( )ĐKXĐ P x( )0

2

1

( )

n

y P x

P x

 ĐKXĐ 



 L u ý rằng  1 sin ( ); cos ( )f x f x 1 và 0 0

0

A

A B

B

 



   

 Với k , ta cần nhớ những tr ờng hợp đặc biệt

2 sin 0

2

x x k

x x k

x x k

 



 

      



cos 1 2 cos 0 2 cos 1 2 x x k x x k x x k                       tan 0 tan 1 4 tan 1 4 x x k x x k x x k                       

cot 0 2 cot 1 4 cot 1 4 x x k x x k x x k                          Ví d Tìm tập xác định của hàm số ( ) sin 32 2 cos 1 cos tan 1 x x y f x x x        Gi i

Ví d Tìm tập xác định của hàm số ( ) 2 2

cos

x

y f x

x



 

Gi i

BÀI T P V N D NG BT Tìm tập xác định của các hàm số l ợng giác sau a y cos4 x   b y cos 2 x c 1 cos sin x y x    d tan 5 2 3 y   x        e 2 tan 2 5 sin 2 1 x y x     f tan 22 1 cos x y x    g tan 2 sin 1 x y x    h cos 4 sin 1 x y x     i cos 2 1 sin x y x     j 2 sin cos 1 x y x     k

2 cot2 1 cos x y x    l 1 sin 1 cos x y x     m sin x y x    n cos2 tan 1 sin x y x x    o 2 1 cos x y x x    p tan 2 sin 1 x y x    BT Tìm tập xác định của các hàm số l ợng giác sau a 2 2 sin 2 x y x     b y  2 4x2 tan 2 x c

tan 2 4 1 sin 8 x y x                          d

tan

4

1 cos

3

x y

x





  



   



e

1 tan 4 cos 2 x y x               f 3 sin 4 cos 1 x y x     g 3

cos cos 3 y x x    h cot 2 tan 2 3 y   x  x      i 2 sin 21 tan 1 y x x      j 2 4 2 sin cos y x x    k cot 1 cos 6 1 cos x y x x               l

2 1 cot 3 tan 3 4 x y x                          Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác  Ph ng pháp gi i  Dựa vào tập giá trị của hàm số l ợng giác, chẳng hạn 2 0 sin 1 1 sin 1 0 sin 1 x x x          hoặc 1 cos 1 0 cos2 1 0 cos 1 x x x           ”iến đổi về dạng m  y M  Kết luận max y M và miny m Ví d Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 4 ( ) 5 2 cos sin y f x x x     Gi i

Ví d Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f x( )3 sin2x 5 cos2x4 cos2x2 Gi i

Ví d Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( ) sin6 cos6 2, ;

2 2

f x  x  x    x   

Gi i

BÀI T P V N D NG BT Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số l ợng giác sau a y 5 3cos 2x 4 b y  1 cos 4  x c y 3 sin 22 x 4 d y  4 5 sin 2 cos 2 2 x 2 x e y  3 2 sin 4 x f y  4 2 sin 2 5 x 8 g 4 2 1 3 cos y x    h

2 2 4 5 2 cos sin y x x    i

2 2 4 2 sin 3 y x    j 3

3 1 cos y x     k 4

2 cos 3 6 y x              l 2

3 sin 2 cos2

y



BT Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số l ợng giác sau

a y  sin2x cosx 2 b y sin4x 2 cos2x 1

c y cos2x 2 sinx 2 d y sin4x cos4x 4

e y  2cos 2x sin 2x f y sin6x cos 6x

g y  sin 2x  3 cos 2x 4 h y cos2x 2 cos2 x

i y 2 sin2x cos 2 x j y 2 sin 2 (sin 2x x 4 cos 2 ).x

k y  3 sin2x 5 cos2x4 cos 2 x l y 4 sin2x  5 sin 2x 3

m y (2 sinx cos )(3 sinx x cos ).x n y sinx cosx 2 sin cosx x1

o y  1 (sin 2x cos 2 ) x 3 p y  5 sinx 12 cosx 10 

4

y  x   x



3

y   x   x  



  

BT Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số l ợng giác sau

a sin 2 , 0;

2

y  x  x  

 

y  x    x   

y   x     x   

6

y  x  x  x  

 

 

f 2 sin2 cos 2 , 0;

3

y  x  x  x  

 

y  x    x   

Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

 Ph ng pháp gi i

 B ớc Tìm tập xác định D của hàm số l ợng giác

Nếu x D  thì x D   D là tập đối xứng và chuyển sang b ớc

 B ớc Tính f(x), nghĩa là sẽ thay x bằng ,x sẽ cĩ kết quả th ờng gặp sau

 Nếu f( x) f x( )f x( ) là hàm số chẵn

 Nếu f(  x) f x( )f x( ) là hàm số lẻ

L u ý

 Nếu khơng là tập đối xứng ( x D   x D) hoặc f x( ) khơng bằng f x( ) hoặc

( )

f x

 ta sẽ kết luận hàm số khơng chẵn, khơng lẻ

 Ta th ờng sử dụng cung gĩc liên kết dạng cung đối trong dạng tốn này, cụ thể cos( a) cos , sin(a   a) sin , tan(a   a) tan , cot(a   a) cot a

Ví d Xét tính chẵn lẻ của hàm số

a f x( )sin 22 x cos 3 x b f x( )cos x2 16

BÀI T P V N D NG

BT Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a y  f x( )tanx cot x b y f x( ) tan 2 sin 5 7 x x

c ( ) sin 2 9

2

y  f x   x  



2

y f x    x  



e yf x( ) sin (3 3 x5 ) cot(2  x7 ). f y  f x( )cot(4x 5 )tan(2 x3 ).

g y  f x( )sin 9x2 h y  f x( )sin 22 x cos 3 x

C ố gắng h e át sức ơ û giây ph út này se õ đ ặt bạn vào vị trí tuy e ät vơ øi nh ất ơ û nh ưng k h oảng k h ắc sau

O Winfrey

§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



I Phương trình lượng giác cơ bản

Với k , ta cĩ các ph ơng trình l ợng giác cơ bản sau

2 sin sin

k (1 2 cos )(3 x cos )x 0 l tan(x 30 ).cos(20 x150 )0 0.

m 2 sin2x 2 cosx 0 n sin 3 sin 0

II Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác

1 Sử dụng thành thạo cung liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung ph nhau

cos( a) cosa sin(  a)  sina sin cos

sin(x k2 ) sinx cos(x k2 ) cosx

sinx (k2 )   sinx cosx (k2 )   cosx

tan(x k )tanx cot(x k )cotx

Ví d Giải ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định

a sin 2 cos

3

x  x 



     

Ví d Giải ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định a sin 3 cos 0 3 x   x      b tan tan 3x x  1 0

BÀI T P V N D NG BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định a sin 2 cos 6 x   x      b sin 3 2 cos 9 3 4 x  x                          c cos 2 sin 4 x  x            d cos2 sin 2 3 x  x        e cos 4 sin 2 0 5 x  x             f sin 3 2 cos 9 3 4 x  x                          g cot 2 3 tan 4 6 x  x                          h tan 3 cot 5 x  x             Muốn biến đổi sin thành cos, tan thành cot và ngược lại, ta sẽ làm như thế nào ?

 Hãy viết các công thức cung góc liên kết dạng cung góc phụ nhau ?

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định

a cos(3x 45 )0  cos x b cos 2 cos

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sin 4x2 cos2x  1 0 b 2 cos 5 cos 3x x sinx cos 8 x

c sin 5x 2 cos2x 1 d cos2 cosx x cosx sin 2 sin x x

2 Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

 cos cos 2 cos cos

Ví d Giải ph ơng trình sin 5x sin 3x sinx 0.

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình cos 3x cos 2x cosx  1 0

Gi i

BÀI T P V N D NG

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sinx sin 2x sin 3x 0 b cosx cos 3x cos 5x 0

c 1 sin x cos2x sin 3x 0 d cosx cos 2x cos 3x cos 4x 0

e sin 3x cos 2x sinx 0 f sinx 4 cosx sin 3x 0

g cos 3x 2 sin 2x cosx 0 h cosx cos 2x sin 3 x

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sin 5x sinx 2 sin2x 1 b sinxsin2xsin3x  1 cosxcos2 x

c cos 3x2 sin 2x cosx sinx 1 d 4 sin 3x sin 5x 2 sin cos2x x 0

e sin5x sin3x 2cosx  1 sin 4 x f cos2xsin3xcos5x sin10x cos 8 x

g 1 sin x cos 3x cosx sin 2x cos2 x

h sinx sin 2x sin 3x cosx cos2x cos 3 x

3 Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos

 L u ý đối với cẫng thức h b c của sin và cosin:

― Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số 1

2 và cung gĩc tăng gấp đơi

― M c đích của việc h b c hạ bậc để triệt tiêu hằng số khơng mong muốn và nhĩm

hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng cơng thức tổng thành tích sau khi hạ bậc sẽ

xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài tốn đơn giản hơn

Ví d Giải ph ơng trình sin 22 cos 82 1cos10

2

x  x  x

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình cos2 cos 22 cos 32 cos 42 3 2 x  x  x  x   Gi i

BÀI T P V N D NG

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 2 1

sin

2

x   b cos 22 3

c cos2 2 3

4

e sin 32 2 sin2 7

x  x  



g sin 22 x sin2x 1 h sin 22 x cos 32 x 1

i sin2 sin 22 sin 32 3

2

x  x  x   j cos2 cos 22 cos 32 3

2

x  x  x  

k sin2x sin 22 x sin 32 x 2 l sin2x sin 32 x cos 22 x cos 4 2 x

m sin3 cos sin cos3 2

8

4

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sin 42 cos 62 sin10 , 0;

2

x x  x  x  



 

  b cos3 sin7 2sin2 5 2cos29

x x   



c 2 sin 22 x sin 7x  1 sin x d cos2x cos 22 x cos 32 x cos 42 x 2.

e cos2 cos 22 cos2 3 7

g sin 32 xcos 42 x sin 52 xcos 6 2 x h tan2x sin 22 x 4 cos 2x

i cos 3 cos22 x x cos2x  0 j 2 2 3

4sin 3 cos2 1 2cos

4 Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích số

Đa số đề thi, kiểm tra th ờng là những ph ơng trình đ a về tích số Do đĩ, tr ớc khi giải

ta phải quan sát xem chúng cĩ những l ợng nhân tử chung nào, sau đĩ định h ớng để tách, ghép, nhĩm phù hợp Một số l ợng nhân tử th ờng gặp

— Các biểu thức cĩ nhân tử chung với cosx sinx th ờng gặp là

Ví d Giải ph ơng trình 2 cosx  3 sinx sin 2x  3.

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình cos2x  (1 sin )(sinx x cos )x 0 Gi i

Ví d Giải ph ơng trình (sinx cosx 1)(2 sinx cos ) sin 2x  x 0 Gi i

Ví d Giải ph ơng trình (2 sinx  3)(sin cosx x  3) 1 4 cos 2x Gi i

BÀI T P V N D NG

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sin 2x  3 sinx 0 b (sinx cos )x 2  1 cos x

c sinx cosx cos 2 x d cos2x  (1 2 cos )(sinx xcos )x 0

e (tanx 1)sin2x cos 2x 0 f sin (1x cos2 )x sin 2x  1 cos x

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 2 sin2x 3 sin cosx x cos2x 1 b 4sin2 sinx x2sin2x2sinx 4 4cos 2x

c 4 sin2x 3 3 sin 2x 2 cos2x 4 d (cosx1)(cos2x 2cos ) 2sinx  2x 0

e (2cosx1)(sin2x2sinx 2) 4cos2x1 f (2sinx1)(2cos2x2sinx 3) 4sin2x1

g (2sinx1)(2sin2x 1) 4cos2x 3 h (2sinx1)(2cos2x2sinx  1) 3 4cos 2x

i sin2x(sinxcosx1)(2sinxcosx2) j 2(cos4x sin ) 14x   3 cosxsin x

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sinx 4 cosx  2 sin 2 x b sin 2x  3 2 cosx  3 sin x

c 2(sinx 2 cos )x  2 sin 2 x d sin 2x sinx  2 4 cos x

e sin 2x 2 cosx sinx  1 0 f sin 2x 2 sinx 2 cosx  2 0

g sin 2x  1 6 sinx cos 2 x h sin 2x cos2x 2 sinx 1

i sin 2x 2 sinx  1 cos 2 x j sin (1x cos 2 )x sin 2x  1 cos x

l sin 2xsinx 2 cos 2x 1 m (2cosx1)(2sinxcos ) sin2x  xsin x

n tanx cotx 2(sin 2x cos 2 ).x o (1 sin )cos 2x x (1 cos )sin2x x 1 sin2 x

p sin 2x 2 sin2x sinx cos x q cos 3x cosx 2 3 cos 2 sin x x

r cos 3x cosx 2 sin cos 2 x x s 2 sin2x sin 2x sinx cosx 1

t cosx tanx  1 tan sin x x u tanx sin 2x 2 cot2 x

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a cosx2sin (1 cos )x  x 2  2 2sin x b 2(cosxsin2 ) 1 4 sin (1 cos2 ).x   x  x

c 1 sin cos 2 sin cos2

g sin3x cos3x  sinx cos x h sin3x cos3x 2(sin5x cos ).5x

i 2 sin3x cos 2x cosx 0 j 8 8 10 10 5

sin cos 2(sin cos ) cos2

4

x x x x  x

l sin 2x cos 2x 2 sinx 0 m tan 2x cotx  8 cos 2x

n 3sin3x 2 sin (3 8cos ) 3cos x  x  x o 2 sin (2 cos2x x 1 sin )x cos2x 2

III Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đ a ph ơng trình về cùng một hàm l ợng giác cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn

Nếu đặt t sin2X, cos2X hoặc t  sinX , cosX thì điều kiện là 0 t 1

Ví d Giải ph ơng trình 4 cos2x 4 sinx 1 0

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình cos2x 3 cosx  2 0

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình 3 cos2x 7 sinx  2 0

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình 4 sin4x 5 cos2x  4 0

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình cos 4x 12 sin2x  1 0

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình 1tan2 2 5 0.

2 x cosx 2

Gi i

BÀI T P V N D NG

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 2 sin2xsinx 1 0 b 4 sin2x 12 sinx  7 0

c 2 2 sin2x  (2 2)sinx  1 0 d 2 sin3x sin2x 2 sinx 1 0

e 2 cos2x 3 cosx  1 0 f 2 cos2x 3 cosx  2 0

g 2 cos2x ( 22)cosx  2 g 4 cos2x 2( 3 2)cosx  6

i tan2x 2 3 tanx  3 0 j 2 tan2x2 3 tanx  3 0

k tan2x  (1 3)tanx 3 0 l 3 cot2x 2 3 cotx  1 0

m 3 cot2x  (1 3)cotx  1 0 n 3 cot2x  (1 3)cotx 1 0

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 6 cos2x 5 sinx  2 0 b 2 cos2x 5 sinx  4 0

c 34 cos2x sin (2 sinx x 1) d sin2x3 cosx  3 0

e 2 sin2x 3 cosx  3 0 f 2 cos 22 x 5 sin 2x  1 0

g 3 sin2x 2 cos4x  2 0 h 4 sin4x 12 cos2x 7

i 4 cos4x 4 sin2x1 j 4 sin4x 5 cos2x  4 0

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 2 cos2x 8 cosx  5 0 b 1 cos2 x 2 cos x

c 9 sinx cos2x 8 d 2 cos2 x 5 sinx 0

e 3 sinx cos 2x 2 f 2 cos2x 8 sinx  5 0

g 2 cos 22 x 5 sin 2x  1 0 g 5 cos 2 sin 7 0

2

x

x   

h sin2x cos 2x cosx 2 k cos2x cos2x sinx  2 0.

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 3 cos2x 2 cos2x 3 sinx 1 b cos 4x 12 sin2x  1 0

c cos 4x 2 cos2x  1 0 d 16 sin2 cos 2 15

g 1cos 4x 2 sin2x 0 h 8 cos2x cos 4x 1

i 6 sin 32 x cos12x 4 j 5(1cos )x  2 sin4x cos 4x

k cos4xsin4x cos 4x 0 l 4(sin4x cos )4x cos 4x sin 2x 0

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

    f cos2x 3 sin2x 3 sinx  4 cos x

g 3sin2x 3sinxcos2xcosx2 h 2

2

coscos

x x

x x

x x

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 8 sin cosx x cos 4x  3 0 b 2 sin 82 x 6 sin 4 cos 4x x 5

x x



h 3 cos 4x 2 cos2x  3 8 cos 6x k 3 cosx   2 3(1 cos ).cot  x 2x

l sin 3x cos2x  1 2 sin cos 2 x x m 2 cos 5 cos 3x x sinx cos 8 x

n 4(sin6x cos )6x 4 sin 2 x o sin 4x  2 cos 3x 4 sinx cos x

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

2

cos cos 1cos2 tan

c (2 tan2x1)cosx  2 cos2 x d 2cos2x3cosx2cos3x 4sin sin2 x x

e 4 sinx  3 2(1 sin )tan  x 2x f 2sin3x 3 (3sin2x2sinx3)tan x

g 5sin 3(1 cos )cot2 2

x x

x x

x

x x x x

     

2 Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)

D ng tổng quát asinx bcosx c ( ) , ,  a b \ 0  

Điều kiện cĩ nghiệm của ph ơng trình a2 b2 c2, kiểm tra tr ớc khi giải

L u ý Hai cơng thức sử dụng nhiều nhất là sin cos cos sin sin( )

.sin cos sin cos , ( )

Ví d Giải ph ơng trình sinx  3 cosx   3.

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình cos2 3 sin 2 2 cos

Ví d Giải ph ơng trình cos 4x sinx  3(cosx sin 4 ).x

Gi i

BÀI T P ÁP D NG

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sinx  3 cosx 1 b 3 sinx cosx  1

c 3 cosx sinx  2 d sinx  3 cosx 2

e 3 sin 3x cos 3x  2 f cos7x  3 sin 7x   2

p 2 sin2x  3 sin 2x  2 0 q cos7 cos5x x 3 sin2x  1 sin7 sin5 x x

r cos sin3x x 3cos2x 3 cos3 sin  x x s 2(cos4xsin ) 14x   3 cosx sin x

t 3 sin 2x cos2x 2 cosx1 u 2 sin2x sin 2x 3 sinx cosx 2

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 3 sin cos 2 sin

12

x  x    b cosx  2 sin 2xsin x

c sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2 x d sinx cosx 2 2 sin cos x x

e 2 cos 3x  3 sinx cosx 0 f (sinxcos )x 2 3 cos2x  1 2 cos x

g 2 cos2x sinx cosx 0 g sin 3x  3 cos 3x 2 sinx 0

h cos 3 sin 2 cos

l sinx 3 cosx  2 4 cos 2x m 4 sin2x sinx  2 3 cos x

n 2 cos ( 3 sinx x cosx  1) 1 o 3 sin 2x 2 sin2x 4 sin 3 cosx x 2

p 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x x sin x q 2(cos6xcos4 )x  3(1 cos2 ) sin2  x  x

r 3 sin 7x 2 sin 4 sin 3x x cos x s 2sin (cosx 2xsin )2x sinx  3 cos3 x

t sin2 sin2 2 sin sin 3

v 2 3 cos2x sin 2x 4 cos 3 2 x x 3 sin 2x2 cos2x 2 22 cos 2 x

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sin 2x cosx cos 2x sin x b cos2x 3 sin 2x  3 sinx cos x

c 3(cos2x sin 3 )x sin2x cos 3 x d cos 7x sin 5x  3(cos 5x sin 7 ).x

e sin 2x 2 cos2x sinx cosx 1 f 4 sin2xtanx 2(1 tan )sin3 x x 1

n 3 cos2x2sin cosx x 3 sin2x1 o 2(cosx 3sin )cosx xcosx 3sinx1

p 3(cos2xsin ) cos (2sinx  x x 1) 0 q cos2 1 tan tan tan 2sin 1

a sin 2x 2 3 cos2x 2 cos x b 3 sin 2x  1 cos2x 2 cos x

c sin 2x cosx sinx 1 d cos2x 2 sinx  1 3 sin 2 x

e 3 sin 2x cos2x 4 sinx1 f 2sin6x2sin4x 3cos2x  3 sin2  x

g tan sin 2 cos2 2

x x

3 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

D ng tổng quát a.sin2X b.sinX cosX c.cos2X d (1) , , , a b c d 

Dấu hiệu nh n d ng Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin

tan và cotan đ ợc xem là bậc

atan2X btanX  c d(1tan2X)

 ” ớc Đặt t  tanX để đ a về ph ơng trình bậc hai theo ẩn t x

 L u ý Giải t ơng tự đối với ph ơng trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn.

Ví d Giải ph ơng trình 2 cos2x 2 sin 2x4 sin2x 1

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình 4 sin3x 3(cos3x sin )x sin2xcos x

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình sin (tan2x x  1) 3 sin (cosx x sin )x 3

Gi i

BÀI T P V N D NG

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 2 sin2x 3 3 sin cosx x cos2x 2

b sin2x sin cosx x 2 cos2x  0

c cos2x  3 sin 2x  1 sin 2x

d 2 cos2x 3 3 sin 2x  4 4 sin 2x

e 3 sin2x  (1 3)sin cosx x cos2x  1 3

f 2 sin2x (3 3)sin cosx x ( 3 1)cos 2x  1 0

g 4 sin2x5 sin cosx x 6 cos2x  0

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sinx 2 cos 3x b cos3x sin3x sinx cos x

c sinx4 sin3x cosx 0 d 4(sin3x cos )3x cosx 3 sin x

e 6 sinx 2 cos3x 5 sin 2 cos x x f cos3x 4 sin3x sinx  3 cos sin x 2x

g 3 cos4x sin4x 4 sin2xcos 2x g 4 sin3x 3(cos3x sin )x sin2xcos x

i 2 2 cos3 3 cos sin

k cos2xtan 42 x  1 sin 2x 0 l tan sinx 2x2sin2x3(cos2xsin cos ).x x

m sin3x 3 cos3x sin cosx 2x 3 sin2xcos x

n 4sin4x4cos4x5sin2 cos2x xcos 22 x6 o 3 cot2x 2 2 sin2x (23 2)cos x

4 Phương trình lượng giác đối xứng

 D ng a(sinx cos )x  b sin cosx x  c 0 d ng tổng/hiệu – tích

PP

 Đăt t sinx cos , x t  2 t2    và viết sin cosx x theo t

L u ý, khi đặt t  sinx cosx thì điều kiện là 0 t 2

 D ng a(tan2x cot )2x  b (tanx cot )x  c 0

PP

 Đặt t tanx cot , x t  2 t2   và biểu diễn tan2x cot2x

theo t và lúc này th ờng sử dụng tan cot 1, tan cot 2

Ví d Giải ph ơng trình 2 tan2x 2 cot2x  (4 2)(tanx cot )x  4 2 20

Gi i

BÀI T P V N D NG

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sin 2x 2 2(sinx cos )x 5 b 2(sinx cos )x 6 sin cosx x 2

c sinx cosx sin cosx x 1 d (1 2)(sinxcos ) 2sin cosx  x x 1 2

e 2 2(sinx cos )x  3 sin 2 x f (1 2)(1sinx cos )x sin 2 x

g 2 2(sinxcos ) 2 sin 2x  x 1 g sinx cosx 2 6 sin cos x x

  l 2 sin2x  8 3 6 sinx cos x

m sinx cosx 4 sin 2x 1 n cos sinx x  cosx sinx 1

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 3 tan2x 4 tanx 4 cotx 3 cot2x  2 0

c tanx 3 cotx 4(sinx  3 cos ).x d 2 sin3x cos 2x cosx 0

e 2 cos3x cos2x sinx 0 f 2sin3xsinx 2cos3xcosxcos2 x

g sin3xcos3x  1 sin 2 x h cos2x  5 2(2cos )(sinx x cos ).x

i (3cos 4 )(sinx xcos )x 2 j tan2x (1 sin )3x cos3x 1

5 Một số phương trình lượng giác dạng khác

D ng m.sin 2x n.cos 2x p.sinx q.cosx  r 0

 Ta luơn viết sin 2x 2 sin cos ,x x cịn

2 2

 Nếu thiếu sin 2x , ta sẽ biến đổi cos2x theo (1) và lúc này th ờng sẽ đ a đ ợc

t t là hai nghiệm của at2 bt  c 0 để xác định l ợng nhân tử chung

Ví d Giải ph ơng trình cos2x cosx 3 sinx  2 0

Gi i

Ví d Giải ph ơng trình 2 sin2x cos 2x 7 sinx 2 cosx 4.

Gi i

BÀI T P V N D NG

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a cos2x 3 cosx  2 sin x b 5 cos 2 2 cos

3 2 tan

x

x x

g cosx sinxsin 2xcos2x 1 g sin2xcosx2sinx cos2x3sin 2x

i sin 2x 2 cos2x 3 sinx cos x j 2 2 sin2xcos2x7sinx 4 2 2 cos x

k sin 2x cos 2x 3 sinx cosx 1 l sin 2x cos 2x 3 cosx  2 sin x

m sin2x2cos2x  1 sinx4cos x n 2 sin2x cos 2x 7 sinx 2 cosx 4

r 3(sin2x3sin ) 2cosx  2x3cosx5

D ng Ph ơng trình có chứa R( , tan , cot , sin 2 , cos 2 , tan 2 , ),X X X X X sao cho cung

của sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan Lúc đó đặt t tanX và sẽ biến đổi

Ví d Giải ph ơng trình sin 2x 2 tanx 3.

Gi i

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 1 3 tan x 2 sin 2 x b cos2x tanx 1

c sin 2x 2 tanx  3 d (1 tan )(1 x sin 2 )x  1 tan x

2 1 sin 2

x x

D ng Áp dụng tan( )tan( ) 1 khi 2

cot( )cot( ) 1 khi

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sin2 sin cos3 2cos2 cos

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau đặt ẩn phụ t bởi cung phức tạp

  g cosx 2 cos 3x  1 3 sin x

D ng Ph ơng trình l ợng giác có cách giải đặc biệt

sin 1sin 1

u v

u v

u v

sin 1sin 1

u v

u v

u v

cos 1cos 1

u v

u v

u v

cos 1cos 1

u v

u v

u v

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 4 cos2x 3 tan2x 4 3 cosx 2 3 tanx  4 0

b 4 cos2x 4 cosx 3 tan2x 2 3 tanx  2 0.

c 2 sin2x 3 tan2x 6 tanx 2 2 sinx  4 0

d 8 sin3x sin 22 x 6 sinxcos2x  1 0

e cos2xtan 42 x  1 sin 2x 0

f 4 sin2x sin 32 x 4 sin sin 3 x 2 x

g 5 sin2x 3 cos2x  3 sin 2x 2 3 cosx 2 sinx  2 0

2

1sin 2 2 sin 2 2 tan 1 0

cos

x x x

x

i 4 cos2x 3 tan2x 2 3 tanx 4 sinx 6

j 8 cos 4 cos 2x 2 x  1 cos 3 x  1 0

k sin2 sin 32 cos 3 sin3 sin 3 cos3  sin sin 3 2

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a cos cos2x x 1 b sin 2 cos 4x x 1

c sin sin 3x x  1 d cos2 cos6x x 1

e (cos2x sin )sin 52x x  1 0 f (cosx sin )(sin 2x x cos 2 ) 2x  0

g sin 7x sinx 2 g cos 4xcos 6x 2

i sin3x cos3x 1 j sin5x cos3x 1

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a cos cos2x x 1 b sin 2 cos 4x x 1

c sin sin 3x x  1 d cos2 cos6x x 1

e (cos2x sin )sin 52x x  1 0 f (cosx sin )(sin 2x x cos 2 ) 2x  0

g sin 7x sinx 2 g cos 4xcos 6x 2

i sin3x cos3x 1 j sin5x cos3x 1

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a tan2 cot2 2 sin5

4

x  x  x 



  b 2cosx 2 sin10x 3 2 2cos28 sin  x x

c 2 sin 5x cos 4x  3 cot 2x d tan 2 tan 3 1

sin cos2 cos 3

x x

x x x



e (cos 2x cos 4 )x 2  6 2 sin 3 x f sin4x cos4x  sinx  cos x

g cos 3 cos 22 x x cos2x 0 g cos2 cos3 2 0

4

x

x   

i cos2x cos 4x cos 6x cos cos 2 cos 3x x x 2.

BT Tìm tham số m để các ph ơng trình sau đây có nghiệm

a cos(2x 15 )0 2m2 m b cosm x  1 3 cosx 2 m

c (4m1)sinx  2 msinx 3 d (m2m)cos2x m2  m 3 m2cos2 x

e sinm x 2 cosx 1 f mcos 2x (m 1)sin 2x m2

g msin cosx x sin2x m g sinx  5 cosx  1 m(2sin ).x

i sin 2x 4(cosx sin )x m j 2(sinx cos )x sin 2x m 1

k sin2x2 2 (sinm xcos ) 1 4 x   m l 3 sin2x msin 2x 4 cos2x 0

m (m2)cos2x msin 2x (m1)sin2x m2

n sin2x (2m2)sin cosx x  (1 m)cos2x m

BT Cho ph ơng trình cos2x(2m1)cosx m 1 0

a Giải ph ơng trình khi 3

BT Cho ph ơng trình cos 4x 6 sin cosx x m

a Giải ph ơng trình khi m 1

b Tìm tham số m để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn 0;

§ 3 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG 1



BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 5 sin cos 3 sin 3 cos 2 3, (0; 2 )

b sin 32 xcos 42 x sin 52 x cos 6 2 x ĐH khối B năm

c cos 3x 4 cos 2x 3 cosx  4 0,   x 0; 14  ĐH khối D năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 5 sinx 2 3(1 sin )tan  x 2x ĐH khối B năm

b (2 cosx 1)(2 sinx cos )x sin 2x sin x ĐH khối D năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a cos 3 cos 22 x x cos2x 0 ĐH khối A năm

b 1 sin x cosx sin 2x cos2x 0 ĐH khối B năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 2(cos6 sin ) sin cos6 0

c cos 3x cos 2x cosx  1 0 ĐH khối D năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a (1sin )cos2x x  (1 cos )sin2x x  1 sin 2 x ĐH khối A năm

b 2 sin 22 x sin 7x  1 sin x ĐH khối B năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

2

x x

b sin3x 3 cos3x sin cosx 2x 3 sin2xcos x ĐH khối B năm

c 2 sin (1x cos 2 )x sin 2x  1 2 cos x ĐH khối D năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

b sinx cos sin 2x x  3 cos 3x 2(cos 4x sin ).3x ĐH khối B năm

c 3 cos 5x 2 sin 3 cos 2x x sinx 0 ĐH khối D năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

b (sin 2x cos 2 )cosx x 2 cos 2x sinx 0 ĐH khối B năm

c sin 2x cos 2x 3 sinx cosx  1 0 ĐH khối D năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x x

x x x



b sin 2 cosx x sin cosx x cos 2x sinx cos x ĐH khối B năm

c sin 2 2 cos sin 1 0

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a 3 sin 2x cos2x 2 cosx1 ĐH khối A năm

b 2(cosx  3 sin )cosx x cosx  3 sinx 1 ĐH khối B năm

c sin 3x cos 3x sinx cosx  2 cos2 x ĐH khối D năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

b sin 5x 2 cos2x 1 ĐH khối B năm

c sin 3x cos 2x sinx  0 ĐH khối D năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a sinx 4 cosx  2 sin 2 x ĐH khối A năm

b 2(sinx 2 cos )x  2 sin 2 x ĐH khối B năm

BT Giải ph ơng trình 2 sin2x 7 sinx 4 0 TN THPT QG năm

BT Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

a cos cos 3x x sin 2 sin 6x x sin 4 sin 6x x 0

b cos cos 2 cos 3 sin sin 2 sin 3 1

2

x x x x x x  

c cotx cos2x sinx  sin 2 cotx x cos cot x x

d 43 sinx sin3x  3 cos2x cos 6x

e 2 sin3x cos 2x cosx 0

f 2 cos cos2 cos 3x x x  5 7 cos2 x

g sin (4 cos2x 2x  1) cos (sinx x cosx sin 3 ).x

h cosx  3(sin 2x sin ) 4 cos 2 cosx  x x 2 cos2x  2 0

i (sin cos )22 2 sin2 2 sin sin 3

o (tanx 1)sin2x cos 2x  2 3(cosx sin )sin x x

p sin3x cos3x 3 sin2x 4 sinxcosx  2 0

q sin 2x 3 cos 2x  3(sinx 3)7 cos x

r 8(sin6x cos ) 3 3 cos 26x  x 11 3 3 sin 4 x 9 sin 2 x

s sin 5 2 sin 3 2 cos 3 5

sin sin cos

x x x

x  x  x 

t 2 cos 2x sin2xcosx sin cosx 2x 2(sinx cos ).x

u sinx sin2x sin3x sin4x  cosx cos2x cos3x cos 4x

v 1 sin3 cos3 cos 2 2 cos

Chương 2 : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

§ 1 CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN



 Qui tắc cộng

Ví d Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất n ớc Việt Nam, ban tổ chức cơng bố danh sách

các đề tài bao gồm 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con ng ời và 6

đề tài về văn hĩa Hỏi mỗi thí sinh cĩ bao nhiêu khả năng chọn đề tài ?

Gi i

Ví d Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B cĩ thể đi bằng các ph ơng tiện ơ tơ, tàu hỏa hoặc

máy bay Mỗi ngày cĩ 10 chuyến ơ tơ, 5 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay Hỏi cĩ bao

nhiêu cách lựa chọn chuyến đi từ tỉnh A đến tỉnh B ?

Gi i

Ví d Lớp 11A cĩ 30 học sinh Tập thể lớp muốn bầu ra một lớp tr ởng, một lớp phĩ và

một thủ quỹ Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp nh trên ?