Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch với nhiều tài sản rủi ro

  ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI  TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN           NGUYỄN VĂN TRÁNG                 ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN RỦI RO                       LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC                 Hà Nội – Năm 2014    ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI  TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN             NGUYỄN VĂN TRÁNG             ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN RỦI RO       Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học    Mã số: 60 46 01 06    LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC  NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:         NCVCC.TS.Nguyễn Hồng Hải      Hà Nội – Năm 2014            MỤC LỤC     LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN     TÀI CHÍNH   5    1.1.  Một số khái niệm thị trường tài  5  1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính   5  1.1.2.Mô hình động của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu   8  1.1.3.Bài toán phân bổ vốn đầu tư, tính chất không cơ lợi và tính đầy đủ  của một thị trường tài chính   10    1.2.  Một số khái niệm xác suất toán tài  14  1.2.1.  Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục   14  1.2.2.  Quá trình chuyển động  Brown   16  1.2.3.  Martingale với thời gian liên tục   17  1.2.4.  Vi phân ngẫu nhiên  Itô  và công  thức Itô  19      CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH  ………………………21    2.1.  Mô hình   21  2.1.1.  Thị trường vốn   21  2.1.2.  Bài toán của nhà đầu tư.   21    2.2.  Chính sách tối ưu trường hợp chi phí giao dịch 23    2.3.  Các trường hợp riêng.   25  2.3.1.  Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch tỉ lệ.   25  2.3.2.  Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch cố định.   32    2.4.  Trường hợp có chi phí cố định chi phí tỉ lệ   38      2.5.  Chi phí cố định phí tỉ lệ với lợi suất tài sản tương quan  . 63    2.6.  Phân tích sách tối ưu   69  2.6.1.  Các giới hạn tối ưu.   70  2.6.2.  Tần số giao dịch  . 74  2.6.3.  Lượng tiền trung bình đầu tư vào cổ phiếu.   81    KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỞ RỘNG   88   TÀI LIỆU THAM KHẢO  . 89                              Luận văn Thạc sĩ Khoa học  LỜI NÓI ĐẦU       Thị trường tài chính là sản phẩm tất yếu của nền kinh tế thị trường, đó là nơi  diễn ra các hoạt động mua bán những sản phẩm phát hành bởi những cơ sở tài  chính  như:  các  công  ty,  nhà  xưởng,  ngân  hàng,  nhà  nước…Sự  xuất  hiện  và  tồn tại của thị trường này xuất phát từ yêu cầu khách quan của việc giải quyết  mâu  thuẫn  giữa  nhu  cầu  và  khả  năng  cung  ứng  vốn  trong  nền  kinh  tế  phát  triển. Trong nền kinh tế luôn tồn tại hai trạng thái trái ngược nhau giữa  một  bên là nhu cầu và một bên là khả năng về vốn. Mâu thuẫn này ban đầu được  giải  quyết  thông  qua  hoạt  động  của  ngân  hàng  với  vai  trò  trung  gian  trong  quan hệ vay mượn giữa người có vốn và người cần vốn. Khi kinh tế hàng hóa  phát triển cao, nhiều hình thức huy động vốn mới linh hoạt hơn nảy sinh và  phát triển, góp phần tốt hơn vào việc giải quyết cân đối giữa cung và cầu về  các nguồn  lực  tài chính trong  xã  hội,  làm  xuất  hiện các  hình thức  huy động  vốn  như  trái  phiếu,  cổ  phiếu  của  các  doanh  nghiệp,  trái  phiếu  chính  phủ…-  Đó là những loại giấy tờ có giá trị, gọi chung là các loại chứng khoán. Và từ  đó xuất hiện nhu cầu mua bán, chuyển nhượng giữa các chủ sở hữu của các  loại chứng khoán khác  nhau.  Điều  này  làm  xuất  hiện  một  loại thị trường để  tổng hòa các mối quan hệ cung cầu về vốn trong nền kinh tế là thị trường tài  chính.  Thị  trường  tài  chính  phát  triển  góp  phần  thúc  đẩy  mạnh  mẽ  sự  phát  triển kinh tế của một quốc gia.     Toán học tài chính (Financial mathematics) ra đời hơn 100 năm nay, nhưng  đặc  biệt phát triển trong thời  gian  gần  đây và  ngày càng tỏ ra  hữu  ích trong  thực tiễn đời sống kinh tế của các quốc gia. Nó là một ngành ứng dụng toán  học  để  nghiên  cứu  thị  trường  tài  chính  nhằm  phân  tích  một  cách  khoa  học  những sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng hoảng tài chính, bảo hiểm,  … vốn là những vấn đề tài chính có tính thời sự. Trong những năm gần đây  ngành tài chính đã thực sự trở thành một ngành công nghiệp then chốt có tác  Trang 1    Luận văn Thạc sĩ Khoa học  dụng điều chỉnh và thúc đẩy mọi hoạt động của ngành kinh tế và đã trở thành  nơi hội tụ của các ý tưởng xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực  tế khác  nhau.  Hiện  nay chúng ta đang chứng kiến  một sự cộng  tác  chặt chẽ  giữa  các  nhà  toán  học,  các  nhà  kinh  tế  và  các  nhà  tài  chính  trong  việc  ứng  dụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc  nghiên cứu các mô hình kinh  tế, phân tích và thấu hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có  những  hành  động  và  quyết  sách  hợp  với  quy  luật.  Một  số  mô  hình  toán  tài  chính  nổi  tiếng  như:  “Mô  hình  về  định  giá  các  tài  sản  vốn”  của  W.Sharpe  (1964), mô hình Markowitz, mô hình Black – Scholes, mô hình khuếch tán…      Tại  Việt  Nam,nền  công  nghiệp  tài  chính  đã  có  nhiều  thành  tựu  và  việc  ra  đời của thị trường chứng khoán đòi  hỏi các nhà quản lý phải có  những  hiểu  biết  sâu  sắc  về  các  hoạt  động  cũng  như  các  quy  luật  chi  phối  thị  trường  đó.Toán học tài chính sẽ là công cụ không thể thiếu để các chuyên gia kinh tế  và tài chính điều hành hữu hiệu mọi hoạt động của thị trường này.     Trước đây, các nhà toán học nghiên cứu các mô hình theo kiểu ghép giá và  chi phí giao dịch vào làm một. Tức là chi phí giao dịch đã bị tính lẫn vào giá.  Tuy  nhiên chi  phí  giao dịch có tính cố định  và đã biết còn  giá có tính  ngẫu  nhiên  nên điều  này dẫn đến  việc  ghép  những thông tin đã biết  vào cái chưa  biết làm thông tin bị đánh mất. Bây giờ chi phí giao dịch được biết trước nên  cần tách riêng chúng ra. Luận văn này làm về một mô hình có tính đến chi phí  giao dịch như vậy. Đây là một mô hình  giúp ta đưa ra kết quả sâu sắc và xác  thực cho bài toán tài chính có tính đến chi phí giao dịch.     Với việc nghiên cứu như vậy cấu trúc luận văn như sau:   Chương I : Kiến thức sở toán tài    Chương này nhằm trình bày những khái niệm cơ bản về thị trường tài chính,  các bộ phận tạo nên thị trường tài chính và lý thuyết hiện đại về toán học ngày  nay được áp dụng trong thị trường tài chính. Ngoài ra còn giới thiệu một số  Trang 2          Luận văn Thạc sĩ Khoa học  mô hình và bài toán cơ bản trong tài chính cũng như những kiến thức cơ sở về  xác suất được dùng trong toán tài chính như: quá trình Wiener, Mactingal và  tích phân Itô.  Chương II : Đầu tư tối ưu trường hợp có chi phí giao dịch     Chương  này  dành  cho  việc  xây  dựng  một  mô  hình  toán  tài  chính  để  giải  quyết bài toán đầu tư và tiêu thụ tối ưu với thời gian liên tục cho một nhà đầu  tư  phải  chịu  cả  hai  loại  chi  phí  giao  dịch  là:  chi  phí  giao  dịch  cố  định  (Constant  Absolute  Risk  Aversion(CARA))  và  chi  phí  giao  dịch  tỉ  lệ  (Constant Relative Risk Aversion(CRRA)) trong việc giao dịch (n+1) tài sản  bao gồm một tài sản không rủi ro (gọi là trái phiếu(Bond)) và n tài sản rủi ro  (gọi là cổ phiếu(Stoke)) (n  1)  Với mục đích so sánh, trước tiên chúng ta sẽ  trình bày một số kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp không  có chi phi giao dịch. Tiếp đến ta xét trường hợp chỉ có một loại chi phí giao  dịch là chi phí giao dịch tỉ lệ hoặc chi phí giao dịch cố định. Sau cùng chúng  ta trình bày các kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp có cả chi  phí  giao  dịch  cố  định  và  chi  phí  tỉ  lệ  để  từ  đó  đưa  ra  những  phân  tích  tổng  quan nhất cho các chính sách tối ưu trong đầu tư.     Trong  nghiên cứu  này, kết quả đầu  tiên  mà chúng  ta tìm ra được  là chính  sách giao dịch tối ưu trong  trường hợp nhiều loại tài sản rủi ro phải chịu các  chi phí giao dịch cố định và lợi suất của các tài sản rủi ro không tương quan  (lợi suất tài sản không tương quan nên chúng ta có thể tách  những tính toán  về các loại tài sản rủi ro thành phép tính cho mỗi loại tài sản riêng biệt). Khi  đó chính sách đầu tư tối ưu với mỗi tài sản rủi ro đó là nhà đầu tư giữ lượng  vốn  đầu tư  vào  tài sản  giữa  hai  mức cố định đó  là  hai  hằng số  mà ta có thể  tính toán bằng một công thức rõ ràng. Khi lượng vốn này đạt đến một trong  hai ngưỡng nhà đầu tư sẽ giao dịch để đạt mục tiêu tối ưu.  Trang 3          Luận văn Thạc sĩ Khoa học     Đóng góp thứ hai của nghiên cứu này đó là chúng ta sẽ tiến hành phân tích  tổng  quan  chiến  lược  kinh  doanh  tối  ưu.  Chúng  ta  cung  cấp  được  một  cách  thức đơn giản để tính toán các giới hạn của miền không giao dịch và giới hạn  mục tiêu. Chúng ta sẽ phân tích những ảnh hưởng của sự ác cảm rủi ro, phí  rủi ro và tính dễ biến động trên miền không giao dịch, lượng tiền mục tiêu và  tần số giao dịch. Chúng ta cũng rút ra được dạng đóng của sự phân bổ ổn định  của lượng tiền đầu tư vào tài sản rủi ro đồng thời ta cũng kiểm tra được lượng  tiền trung bình ổn định đầu tư vào tài sản.          Luận  văn  được  hoàn  thành  nhờ  sự  hướng  dẫn  và  chỉ  bảo  tận  tình  của  NCVCC.TS Nguyễn Hồng Hải. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành  và sâu sắc tới  người thầy của mình!     Em  xin  chân  thành  cảm  ơn  các  thầy  cô  giáo  đã  giảng  dạy  và  giúp  đỡ  em  trong quá trình học tập và nghiên cứu tại khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa  Học Tự Nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội!         Xin cảm ơn  gia đình  và  bạn bè  những  người đã động  viên  và  giúp đỡ  em  trong suốt thời gian qua!     Do thời gian nghiên cứu và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh  khỏi những hạn chế và thiếu sót, kính mong các thầy cô giáo và các bạn chỉ  dẫn và góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn !  Hà Nội,năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tráng Trang 4          Luận văn Thạc sĩ Khoa học  CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN TÀI CHÍNH 1.1 Một số khái niệm thị trường tài    Trong  phần  này  chúng  ta  sẽ  trình  bày  một  số  khái  niệm  cơ  bản  về  thị  trường  tài  chính  cũng  như  các  kiến  thức  xác  suất  cơ  sở  cần  thiết  cho  việc  thiết  lập  mô  hình toán  tài chính chúng ta  sẽ xây dựng  và  nghiên cứu trong  luận văn này 1.1.1.Cấu trúc thị trường tài chính       Thị  trường tài chính là thị trường mà ở đó diễn ra các hoạt động mua bán,  trao đổi, chuyển nhượng quyền sử dụng các tài sản tài chính thông qua những  phương thức giao dịch và công cụ tài chính nhất định.      Cấu trúc cơ bản của thị trường tài chính bao gồm các bộ phận sau đây:  1) Các cá nhân: những cá nhân hoạt động riêng lẻ, các bà nội trợ…  2) Các hãng: các hãng kinh doanh, các công ty, các liên doanh…  3) Thị trường chứng từ có giá trị: thị trường vốn, thị trường tiền tệ…  4) Các cấu trúc trung gian: các nhà băng, các ngân hàng công thương,  ngân hàng đầu tư, các công ty bảo hiểm…       Bốn bộ phận đó liên kết chặt chẽ với nhau trong đó thị trường các chứng từ  có giá trị đóng vai trò then chốt. Ta hãy làm rõ hơn hoạt động của các bộ phận  nói trên:  1) Các cá nhân: trong hoạt động tài chính của họ có một vấn đề trung tâm  đó là các vấn đề về tích lũy vốn và tiêu dùng. Gắn liền với vấn đề này có bài  toán  tối  ưu  về  tiêu  dùng  và  tích  lũy  (bài  toán  về  phân  bổ  đầu  tư).  Dựa  trên  nguyên lý của Von Neumann – Morgenstern về sự hoạt động hợp lý của các  Trang 5          Luận văn Thạc sĩ Khoa học  cá nhân trong các điều kiện bất định người ta đã tìm cách tốt nhất để xác định  việc phân bổ vốn, xác định quan hệ giữa tích lũy và tiêu dùng sao cho hàm lợi  ích đạt cực đại.  2) Các hãng : đó là một tổ chức có đất đai, nhà máy, công xưởng và các  loại tài sản có giá trị khác như  chợ, các phát minh… Hoạt động của các hãng  là tổ chức, điều hành các hoạt động sản xuất, kinh doanh để đạt lợi nhuận cao  nhất.  3) Các cấu trúc trung gian ( cấu trúc về các phương diện tài chính): đó là  các ngân hàng công thương, ngân hàng tín dụng, các hãng bảo hiểm…  4) Thị trường chứng từ có giá trị: đó là tập hợp các thị trường có tổ  chức để mua bán, trao đổi những chứng từ (các hợp đồng) đã được tiêu chuẩn  hóa như: trái phiếu (bonds), cổ phiếu (stocks), quyền lựa chọn (options), các  hợp  đồng trong tương  lai (futures) … Như sau  này ta sẽ thấy thị trường trái  phiếu và thị trường các quyền lựa chọn là hai thị trường quan trọng nhất.     Dựa trên các thị trường này các hãng có thể tăng vốn của họ để phát triển  sản xuất kinh doanh, các cá  nhân có cơ hội và phương tiện để hoạt động tài  chính.     Ngoài các chức  năng  hoạt  động của  nó,  thị trường các chứng  từ  có  giá trị  đóng một vai trò quan trọng trong việc cung cấp các thông tin về giá cổ phiếu,  lãi suất, các chỉ số tài chính… có thể sử dụng được trong các lĩnh vực kinh tế,  các cá nhân có thể sử dụng các thông tin đó để thực thi các quyết định về các  dự án đầu tư về phương diện tài chính.     Người ta quan tâm đến các hoạt động trong thị trường các chứng từ có giá  trị. Vì vậy ta cũng nên tìm hiểu về các loại chứng từ đó.  a) Trái phiếu: đó là một loại hợp đồng dài hạn được phát hành bởi chính  phủ,  các  ngân  hàng,  các  công  ty  tín  dụng  và  các  thể  chế  tài  chính  khác  với  mục tiêu là tích lũy vốn.  Trang 6          Luận văn Thạc sĩ Khoa học  TÀI LIỆU THAM KHẢO   Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán   học tài chính, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.  [2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất bản           Khoa học và Kĩ thuật.  [3] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất ứng dụng,Phần              3:Giảitích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.  [4] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2006), Lý Thuyết Xác Suất, Nhà xuất            bản giáo dục.  Tiếng Anh [5] Admati, Anat R.,and Paul C. Pfleiderer (1988), “A theory ofintraday             patterns: Volume  and   price variability”, Review of Financial Studies 1, 3–40.  [6] Barberis,  Nicholas (2000), “ Investing  for  the   long  run  when          returns  are   predictable”, Journal of Finance 55,  225–264.  [7] Brekke, Kjell  A., and  Bernt Øksendal (1998), “A verification   theorem for  combined stochastic  control  and  impulse control, in            J.Gjerde, L.Decreusefond, B.Øksendal, and  A. S.  U¨  stunel, eds”.  [8] Dumas, Bernard (1991), “Super contact and  related optimality    conditions”,Journal of Economic Dynamics and Control 4,675-685.  [9] Grossman, Sanford J., and  Guy  Laroque (1990), “Asset  pricing         and optimal  portfolio choice  in  the presence of illiquid durable        consumption goods”,  Econometrica 58,  23–51.  [10] Hong Liu, and Mark Loewenstein (2002), “Optimal portfolio       selection with transaction  costs  and finite horizons”, Review of Financial Studies 15, 805–835.  [11] Hong Liu (2004), “Optimal Consumption and Investment  with      Transaction Costs and Multiple Risky Assets”, The journal of finance, Vol Lix, No 1, 289-338.  [12] Ibbotson, Roger  G.,  and  Rex  A. Sinquefeld (1982), “Stocks,          Bonds, Bills and Inflation: The  Past  and the  Future”,Financial Research Analyst’s Foundation, Charlottesville Trang 89          Luận văn Thạc sĩ Khoa học  [13] Judd, Kenneth L. (1999), Numerical Methods in Economics,  MIT Press,  Cambridge,  MA.  [14] Karatzas, Ioannis,  and Steven  E. Shreve (1988), “Brownian         Motion  and   Stochastic  Calculus”, Springer-Verlag, New  York.  [15] Korn,  Ralf (1998), “ Portfolio optimization with strictly positive       transaction costs  and  impulse controls”, Finance and Stochastics 2, 85–114.  [16] Morton, Andrew J., and  Stanley R. Pliska, 1995, “Optimal           portfolio management with fixed  trans- action costs”,            Mathematical Finance 5, 337–356.  [17] Rogers, L. C. G., and  David  Williams (2000),  Diffusions, Markov Processes and Martingales ,Volume 2: Itoˆ Calculus, Cambridge            University Press, Cambridge.  [18] Williams,  David  (1994), Probability withMartingales,   Cambridge University  Press,  Cambridge, MA.        Trang 90          [...]...Luận văn Thạc sĩ Khoa học  TÀI LIỆU THAM KHẢO   Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán   học trong tài chính, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.  [2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất bản           Khoa học và Kĩ thuật.  [3] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác... Brekke, Kjell  A., and  Bernt Øksendal (1998), “A verification   theorem for  combined stochastic  control  and  impulse control, in            J.Gjerde, L.Decreusefond, B.Øksendal, and  A. S.  U¨  stunel, eds”.  [8] Dumas, Bernard (1991), “Super contact and  related optimality    conditions”,Journal of Economic Dynamics and Control 4,675-685.  [9] Grossman, Sanford J., and  Guy  Laroque (1990), “Asset  pricing         and optimal  portfolio choice  in ... Portfolio optimization with strictly positive       transaction costs  and  impulse controls”, Finance and Stochastics 2, 85–114.  [16] Morton, Andrew J., and  Stanley R. Pliska, 1995, “Optimal           portfolio management with fixed  trans- action costs”,            Mathematical Finance 5, 337–356.  [17] Rogers, L. C. G., and  David  Williams (2000),  Diffusions, Markov Processes and Martingales ,Volume 2: Itoˆ Calculus, Cambridge    ... 289-338.  [12] Ibbotson, Roger  G.,  and  Rex  A. Sinquefeld (1982), “Stocks,          Bonds, Bills and Inflation: The  Past  and the  Future”,Financial Research Analyst’s Foundation, Charlottesville Trang 89          Luận văn Thạc sĩ Khoa học  [13] Judd, Kenneth L. (1999), Numerical Methods in Economics,  MIT Press,  Cambridge,  MA.  [14] Karatzas, Ioannis,  and Steven  E. Shreve (1988), “Brownian         Motion ... Rogers, L. C. G., and  David  Williams (2000),  Diffusions, Markov Processes and Martingales ,Volume 2: Itoˆ Calculus, Cambridge            University Press, Cambridge.  [18] Williams,  David  (1994), Probability withMartingales,   Cambridge University  Press,  Cambridge, MA.        Trang 90