Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch với nhiều tài sản rủi ro

 ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN      NGUYỄN VĂN TRÁNG         ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN RỦI RO            LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC         HàNội–Năm2014      ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN       NGUYỄN VĂN TRÁNG       ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN RỦI RO    Chuyênngành:Lýthuyếtxácsuấtvàthốngkêtoánhọc  Mãsố:60460106  LUẬNVĂNTHẠCSĨKHOAHỌC NGƯỜIHƯỚNGDẪNKHOAHỌC: NCVCC.TS.NguyễnHồngHải   HàNội–Năm2014   MỤC LỤC   LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN  TÀI CHÍNH 5  1.1. Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính 5 1.1.1.Cấutrúccủathịtrườngtàichính 5 1.1.2.Môhìnhđộngcủagiácácloạicổphiếuvàtráiphiếu 8 1.1.3.Bàitoánphânbổvốnđầutư,tínhchấtkhôngcơlợivàtínhđầyđủ củamộtthịtrườngtàichính 10  1.2. Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính 14 1.2.1. Quátrìnhngẫunhiênvớithờigianliêntục 14 1.2.2. QuátrìnhchuyểnđộngBrown 16 1.2.3. Martingalevớithờigianliêntục 17 1.2.4. ViphânngẫunhiênItôvàcôngthứcItô 19   CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH………………………21  2.1. Mô hình 21 2.1.1. Thịtrườngvốn 21 2.1.2. Bàitoáncủanhàđầutư. 21  2.2. Chính sách tối ưu trong trường hợp không có chi phí giao dịch 23  2.3. Các trường hợp riêng. 25 2.3.1. Trườnghợpchỉcóchiphígiaodịchtỉlệ. 25 2.3.2. Trườnghợpchỉcóchiphígiaodịchcốđịnh. 32  2.4. Trường hợp có cả chi phí cố định và chi phí tỉ lệ 38      2.5. Chi phí cố định và phí tỉ lệ với lợi suất tài sản tương quan 63  2.6. Phân tích các chính sách tối ưu 69 2.6.1. Cácgiớihạntốiưu. 70 2.6.2. Tầnsốgiaodịch 74 2.6.3. Lượngtiềntrungbìnhđầutưvàocổphiếu. 81  KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỞ RỘNG 88  TÀI LIỆU THAM KHẢO 89           LuậnvănThạcsĩKhoahọc Trang1  LỜI NÓI ĐẦU   Thịtrườngtàichínhlàsảnphẩmtấtyếucủanềnkinhtếthịtrường,đólànơi diễnracáchoạtđộngmuabánnhữngsảnphẩmpháthànhbởinhữngcơsởtài chínhnhư:cáccôngty,nhà xưởng,ngânhàng,nhànước…Sựxuất hiệnvà tồntạicủathịtrườngnàyxuấtpháttừyêucầukháchquancủaviệcgiảiquyết mâu thuẫn giữa nhucầuvàkhả năngcungứng vốntrong nềnkinh tế phát triển.Trongnềnkinhtếluôntồntạihaitrạngtháitráingượcnhaugiữamột bênlànhucầuvàmộtbênlàkhảnăngvềvốn.Mâuthuẫnnàybanđầuđược giải quyết thôngqua hoạt độngcủa ngân hàng với vaitrò trung giantrong quanhệvaymượngiữangườicóvốnvàngườicầnvốn.Khikinhtếhànghóa pháttriểncao,nhiềuhìnhthứchuyđộngvốnmớilinhhoạthơnnảysinhvà pháttriển,gópphầntốthơnvàoviệcgiảiquyếtcânđốigiữacungvàcầuvề cácnguồnlựctàichínhtrongxãhội,làmxuấthiệncáchìnhthứchuyđộng vốnnhưtráiphiếu,cổphiếucủacácdoanhnghiệp,tráiphiếuchínhphủ…- Đólànhữngloạigiấytờcógiátrị,gọichunglàcácloạichứngkhoán.Vàtừ đóxuấthiệnnhucầumuabán,chuyểnnhượnggiữacácchủsởhữucủacác loạichứngkhoánkhácnhau.Điềunàylàmxuấthiệnmộtloạithịtrườngđể tổnghòacácmốiquanhệcungcầuvềvốntrongnềnkinhtếlàthịtrườngtài chính. Thịtrườngtàichính phát triển góp phầnthúc đẩy mạnh mẽ sự phát triểnkinhtếcủamộtquốcgia. Toánhọctàichính(Financialmathematics)rađờihơn100nămnay,nhưng đặcbiệtpháttriểntrongthờigiangầnđâyvàngàycàngtỏrahữuíchtrong thựctiễnđờisốngkinhtếcủacácquốcgia.Nólàmộtngànhứngdụngtoán họcđể nghiên cứuthịtrường tàichính nhằmphântích mộtcáchkhoa học nhữngsựkiệntăngtrưởng,rủiro,lạmphát,khủnghoảngtàichính,bảohiểm, …vốnlànhữngvấnđềtàichínhcótínhthờisự.Trongnhữngnămgầnđây ngànhtàichínhđãthựcsựtrởthànhmộtngànhcôngnghiệpthenchốtcótác LuậnvănThạcsĩKhoahọc Trang2     dụngđiềuchỉnhvàthúcđẩymọihoạtđộngcủangànhkinhtếvàđãtrởthành nơihộitụcủacácýtưởngxuấtpháttừcáclĩnhvựctrithứcvàứngdụngthực tếkhácnhau.Hiệnnaychúngtađangchứngkiếnmộtsựcộngtácchặtchẽ giữacácnhàtoánhọc,các nhàkinhtếvàcácnhà tàichínhtrongviệcứng dụngcácthànhtựutoánhọchiệnđạivàoviệcnghiêncứucácmôhìnhkinh tế,phântíchvàthấuhiểucácquyluậtchiphốicáchoạtđộngkinhtế,từđócó những hànhđộng vàquyếtsáchhợp vớiquy luật.Mộtsố mô hìnhtoántài chính nổi tiếng như: “Mô hình vềđịnh giá các tài sản vốn” của W.Sharpe (1964),môhìnhMarkowitz,môhìnhBlack–Scholes,môhìnhkhuếchtán… TạiViệtNam,nềncông nghiệptàichínhđãcónhiềuthànhtựuvàviệcra đờicủathịtrườngchứngkhoánđòihỏicácnhàquảnlýphảicónhữnghiểu biết sâu sắc về các hoạt động cũng như các quy luật chi phối thị trường đó.Toánhọctàichínhsẽlàcôngcụkhôngthểthiếuđểcácchuyêngiakinhtế vàtàichínhđiềuhànhhữuhiệumọihoạtđộngcủathịtrườngnày. Trướcđây,cácnhàtoánhọcnghiêncứucácmôhìnhtheokiểughépgiávà chiphígiaodịchvàolàmmột.Tứclàchiphígiaodịchđãbịtínhlẫnvàogiá. Tuynhiênchiphígiaodịchcótínhcốđịnhvàđãbiếtcòngiácótínhngẫu nhiênnênđiềunàydẫnđếnviệcghépnhữngthôngtinđãbiếtvàocáichưa biếtlàmthôngtinbịđánhmất.Bâygiờchiphígiaodịchđượcbiếttrướcnên cầntáchriêngchúngra.Luậnvănnàylàmvềmộtmôhìnhcótínhđếnchiphí giaodịchnhưvậy.Đâylàmộtmôhìnhgiúptađưarakếtquảsâusắcvàxác thựcchobàitoántàichínhcótínhđếnchiphígiaodịch. Vớiviệcnghiêncứunhưvậycấutrúcluậnvănnhưsau: Chương I :Kiến thức cơ sở về toán tài chính Chươngnàynhằmtrìnhbàynhữngkháiniệmcơbảnvềthịtrườngtàichính, cácbộphậntạonênthịtrườngtàichínhvàlýthuyếthiệnđạivềtoánhọcngày nayđượcápdụngtrongthịtrườngtàichính.Ngoàiracòngiớithiệumộtsố LuậnvănThạcsĩKhoahọc Trang3     môhìnhvàbàitoáncơbảntrongtàichínhcũngnhưnhữngkiếnthứccơsởvề xácsuấtđượcdùngtrongtoántàichínhnhư:quátrìnhWiener,Mactingalvà tíchphânItô. Chương II :Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch Chươngnàydành cho việc xâydựng một môhìnhtoántàichính đểgiải quyếtbàitoánđầutưvàtiêuthụtốiưuvớithờigianliêntụcchomộtnhàđầu tư phải chịu cả hai loại chi phí giao dịch là: chi phí giao dịch cố định (Constant Absolute Risk Aversion(CARA)) và chi phí giao dịch tỉ lệ (ConstantRelativeRiskAversion(CRRA))trongviệcgiaodịch(n+1)tàisản baogồmmộttàisảnkhôngrủiro(gọilàtráiphiếu(Bond))vàntàisảnrủiro (gọilàcổphiếu(Stoke)) ( 1) n  .Vớimụcđíchsosánh,trướctiênchúngtasẽ trìnhbàymộtsốkếtquảvềchínhsáchđầutưtốiưutrongtrườnghợpkhông cóchiphigiaodịch.Tiếpđếntaxéttrườnghợpchỉcómộtloạichiphígiao dịchlàchiphígiaodịchtỉlệhoặcchiphígiaodịchcốđịnh.Saucùngchúng tatrìnhbàycáckếtquảvềchínhsáchđầutưtốiưutrongtrườnghợpcócảchi phí giaodịchcốđịnhvàchiphítỉlệđểtừđóđưaranhữngphântíchtổng quannhấtchocácchínhsáchtốiưutrongđầutư. Trongnghiêncứunày,kếtquảđầutiênmàchúngtatìmrađượclàchính sáchgiaodịchtốiưutrongtrườnghợpnhiềuloạitàisảnrủirophảichịucác chiphígiaodịchcốđịnhvàlợisuấtcủacáctàisảnrủirokhôngtươngquan (lợisuấttàisảnkhôngtươngquannênchúngtacóthểtáchnhữngtínhtoán vềcácloạitàisảnrủirothànhphéptínhchomỗiloạitàisảnriêngbiệt).Khi đóchínhsáchđầutưtốiưuvớimỗitàisảnrủirođólànhàđầutưgiữlượng vốnđầutưvàotàisảngiữahaimứccốđịnhđólàhaihằngsốmàtacóthể tínhtoánbằngmộtcôngthứcrõràng.Khilượngvốnnàyđạtđếnmộttrong haingưỡngnhàđầutưsẽgiaodịchđểđạtmụctiêutốiưu. LuậnvănThạcsĩKhoahọc Trang4     Đónggópthứhaicủanghiêncứunàyđólàchúngtasẽtiếnhànhphântích tổngquanchiếnlượckinhdoanhtốiưu.Chúngtacungcấpđượcmộtcách thứcđơngiảnđểtínhtoáncácgiớihạncủamiềnkhônggiaodịchvàgiớihạn mụctiêu.Chúngtasẽphântíchnhữngảnhhưởngcủasựáccảmrủiro,phí rủirovàtínhdễbiếnđộngtrênmiềnkhônggiaodịch,lượngtiềnmụctiêuvà tầnsốgiaodịch.Chúngtacũngrútrađượcdạngđóngcủasựphânbổổnđịnh củalượngtiềnđầutưvàotàisảnrủirođồngthờitacũngkiểmtrađượclượng tiềntrungbìnhổnđịnhđầutưvàotàisản. Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của NCVCC.TSNguyễnHồngHải.Emxinđượcbàytỏlòngbiếtơnchânthành vàsâusắctớingườithầycủamình! Em xinchânthànhcảmơncácthầycôgiáođãgiảngdạy vàgiúpđỡem trongquátrìnhhọctậpvànghiêncứutạikhoaToán-TintrườngĐạihọcKhoa HọcTựNhiên-ĐạihọcQuốcGiaHàNội! Xincảmơngiađìnhvàbạnbènhữngngườiđãđộngviênvàgiúpđỡem trongsuốtthờigianqua! Dothờigiannghiêncứuvàtrìnhđộcònhạnchếnênluậnvănkhôngtránh khỏinhữnghạnchếvàthiếusót,kínhmongcácthầycôgiáovàcácbạnchỉ dẫnvàgópýđểluậnvănđượchoànthiệnhơn.Xinchânthànhcảmơn! Hà Nội,năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tráng LuậnvănThạcsĩKhoahọc Trang5     CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN TÀI CHÍNH 1.1. Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về thị trườngtàichínhcũngnhưcáckiếnthứcxácsuấtcơsởcầnthiếtcho việc thiếtlậpmôhìnhtoántàichínhchúngtasẽxâydựngvànghiêncứutrong luậnvănnày. 1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính Thịtrườngtàichínhlàthịtrườngmàởđódiễnracáchoạtđộngmuabán, traođổi,chuyểnnhượngquyềnsửdụngcáctàisảntàichínhthôngquanhững phươngthứcgiaodịchvàcôngcụtàichínhnhấtđịnh. Cấutrúccơbảncủathịtrườngtàichínhbaogồmcácbộphậnsauđây: 1) Các cá nhân:nhữngcánhânhoạtđộngriênglẻ,cácbànộitrợ… 2) Các hãng:cáchãngkinhdoanh,cáccôngty,cácliêndoanh… 3) Thị trường các chứng từ có giá trị:thịtrườngvốn,thịtrườngtiềntệ… 4) Các cấu trúc trung gian:cácnhàbăng,cácngânhàngcôngthương, ngânhàngđầutư,cáccôngtybảohiểm…  Bốnbộphậnđóliênkếtchặtchẽvớinhautrongđóthịtrườngcácchứngtừ cógiátrịđóngvaitròthenchốt.Tahãylàmrõhơnhoạtđộngcủacácbộphận nóitrên: 1) Các cá nhân:tronghoạtđộngtàichínhcủahọcómộtvấnđềtrungtâm đólàcácvấnđềvềtíchlũyvốnvàtiêudùng.Gắnliềnvớivấnđềnàycóbài toántối ưuvềtiêudùngvàtích lũy(bàitoánvềphânbổđầutư).Dựatrên nguyênlýcủaVonNeumann–Morgensternvềsựhoạtđộnghợplýcủacác LuậnvănThạcsĩKhoahọc Trang6     cánhântrongcácđiềukiệnbấtđịnhngườitađãtìmcáchtốtnhấtđểxácđịnh việcphânbổvốn,xácđịnhquanhệgiữatíchlũyvàtiêudùngsaochohàmlợi íchđạtcựcđại. 2) Các hãng:đólàmộttổchứccóđấtđai,nhàmáy,côngxưởngvàcác loạitàisảncógiátrịkhácnhưchợ,cácphátminh…Hoạtđộngcủacáchãng làtổchức,điềuhànhcáchoạtđộngsảnxuất,kinhdoanhđểđạtlợinhuậncao nhất. 3) Các cấu trúc trung gian(cấutrúcvềcácphươngdiệntàichính):đólà cácngânhàngcôngthương,ngânhàngtíndụng,cáchãngbảohiểm… 4) Thị trường các chứng từ có giá trị:đólàtậphợpcácthịtrườngcótổ chứcđểmuabán,traođổinhữngchứngtừ(cáchợpđồng)đãđượctiêuchuẩn hóanhư:tráiphiếu(bonds),cổphiếu(stocks),quyềnlựachọn(options),các hợpđồngtrongtươnglai(futures)…Nhưsaunàytasẽthấythịtrườngtrái phiếuvàthịtrườngcácquyềnlựachọnlàhaithịtrườngquantrọngnhất. Dựatrêncácthịtrườngnàycáchãngcóthểtăngvốncủahọđểpháttriển sảnxuấtkinhdoanh,cáccánhâncócơhộivàphươngtiệnđểhoạtđộngtài chính. Ngoàicácchứcnănghoạtđộngcủanó,thịtrườngcácchứngtừcógiátrị đóngmộtvaitròquantrọngtrongviệccungcấpcácthôngtinvềgiácổphiếu, lãisuất,cácchỉsốtàichính…cóthểsửdụngđượctrongcáclĩnhvựckinhtế, cáccánhâncóthểsửdụngcácthôngtinđóđểthựcthicácquyếtđịnhvềcác dựánđầutưvềphươngdiệntàichính. Ngườitaquantâmđếncáchoạtđộngtrongthịtrườngcácchứngtừcógiá trị.Vìvậytacũngnêntìmhiểuvềcácloạichứngtừđó. a) Trái phiếu:đólàmộtloạihợpđồngdàihạnđượcpháthànhbởichính phủ,cácngânhàng,cáccôngtytíndụngvàcácthểchếtàichínhkhác với mụctiêulàtíchlũyvốn. [...]... Chính sách tối ưu này đòi hỏi phải liên tục giao dịch trong tất cả các cổ phiếu.  Trong phần sau, chúng ta sẽ chỉ ra rằng những kết quả này đều không có tính  đến sự hiện diện của chi phí giao dịch.     2.3 Các trường hợp riêng 2.3.1 Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch tỉ lệ Chúng ta bắt đầu với việc giải quyết trường hợp chỉ có chi phí giao dịch tỉ lệ  (tức là  >0 và F=0). Trái với trường hợp không tính đến chi phí giao dịch,  lúc  này việc giao dịch cổ phiếu sẽ ít thường xuyên hơn. Trong phần này chúng ta ... định Khi có chi phí giao dịch cố định, chính sách giao dịch tối thiểu được đề xuất  trong các phần trước không còn tối ưu. Trong trường hợp này, tất cả các giao dịch đều bao gồm các giao dịch trọn gói (lump-sum trades) bởi vì chi phí độc  lập với quy mô của việc giao dịch. Trong phần này chúng ta xem xét trường hợp nhà đầu tư chỉ phải trả chi phí giao dịch cố định  mà không phải trả chi phí theo tỉ lệ giao dịch (tức là : F>0 và ... này phát sinh từ một chuyển động Brown tiêu chuẩn n -chi u w    Có n+1 tài sản mà nhà đầu tư có thể giao dịch. Tài sản đầu tiên là tài khoản  thị  trường tiền  tệ  tăng  trưởng  ở  một  mức  cố  định,  với lãi  suất  kép  là  > 0  (còn gọi là trái phiếu). n tài sản còn lại là các tài sản rủi ro (ta còn gọi là cổ  phiếu).  Nhà  đầu tư có thể  mua  cổ  phiếu  i  với giá  ( )  và  bán  nó  với giá  (1 − ) ( ) với 0 ≤ . 1) n  . Với mụcđíchsosánh,trướctiênchúngtasẽ trìnhbàymộtsốkếtquảvềchínhsách đầu tư tối ưu trong trường hợp không có chi phi giao dịch. Tiếpđếntaxét trường hợp chỉ có mộtloại chi phí giao dịch là chi phí giao dịch tỉlệhoặc chi phí giao dịch cốđịnh.Saucùngchúng tatrìnhbàycáckếtquảvềchínhsách đầu tư tối ưu trong trường hợp có cả chi phí . 1) n  . Với mụcđíchsosánh,trướctiênchúngtasẽ trìnhbàymộtsốkếtquảvềchínhsách đầu tư tối ưu trong trường hợp không có chi phi giao dịch. Tiếpđếntaxét trường hợp chỉ có mộtloại chi phí giao dịch là chi phí giao dịch tỉlệhoặc chi phí giao dịch cốđịnh.Saucùngchúng tatrìnhbàycáckếtquảvềchínhsách đầu tư tối ưu trong trường hợp có cả chi phí giao dịch cốđịnhvà chi phí tỉlệđểtừđóđưaranhữngphântíchtổng quannhấtchocácchínhsách tối ưu trong đầu tư.   Trong nghiêncứunày,kếtquả đầu tiênmàchúngtatìmrađượclàchính sách giao dịch tối ưu trong trường hợp nhiều loại tài sản rủi ro phảichịucác chi phí giao dịch cốđịnhvàlợisuấtcủacác tài sản rủi ro không tư ngquan (lợisuất tài sản không tư ngquannênchúngta có thểtáchnhữngtínhtoán vềcácloại tài sản rủi ro thànhphéptínhchomỗiloại tài sản riêngbiệt).Khi đóchínhsách đầu tư tối ưu với mỗi tài sản rủi ro đólànhà đầu tư giữlượng vốn đầu tư vào tài sản giữahaimứccốđịnhđólàhaihằngsốmàta có thể tínhtoánbằngmộtcôngthứcrõràng.Khilượngvốnnàyđạtđếnmột trong haingưỡngnhà đầu tư sẽ giao dịch đểđạtmụctiêu tối ưu.  LuậnvănThạcsĩKhoahọc . giao dịch cốđịnhvà chi phí tỉlệđểtừđóđưaranhữngphântíchtổng quannhấtchocácchínhsách tối ưu trong đầu tư.   Trong nghiêncứunày,kếtquả đầu tiênmàchúngtatìmrađượclàchính sách giao dịch tối ưu trong trường hợp nhiều loại tài sản rủi ro phảichịucác chi phí giao dịch cốđịnhvàlợisuấtcủacác tài sản rủi ro không tư ngquan (lợisuất tài sản không tư ngquannênchúngta có thểtáchnhữngtínhtoán vềcácloại tài sản rủi ro thànhphéptínhchomỗiloại tài sản riêngbiệt).Khi đóchínhsách đầu tư tối ưu với mỗi tài sản rủi ro đólànhà đầu tư giữlượng vốn đầu tư vào tài sản giữahaimứccốđịnhđólàhaihằngsốmàta có thể tínhtoánbằngmộtcôngthứcrõràng.Khilượngvốnnàyđạtđếnmột trong haingưỡngnhà đầu tư sẽ giao dịch đểđạtmụctiêu tối ưu.  LuậnvănThạcsĩKhoahọc