Luận văn đa thức tâm trên đại số các ma trận và ứng dụng trên các đại số khác

Đa thức tâm đại số ma trận ứng dụng đại số khác Nguyễn Thị Hồng ĐHSP Tp.HCM, 2004 MỞ ĐẦU Người ta đưa khái niệm "Một đa thức f(x1,… , xn) gọi đa thức tâm A f không đồng thức A giao hoán tử [f(x1,…, xn ),xn+1] đồng thức A" Dựa vào đònh nghóa từ cách xây dựng đồng thức Wagner f (x1, x2)= (x1 x2 - x2 x1 ) đa thức tâm đại số ma trận M2(K) Trong thời gian dài toán đặt xây dựng đa thức tâm cho Mn(K), với n >2 để từ tìm đồng thức thỏa mãn cho đại số ma trận Mn(K) Vấn đề giải cách cặn kẻ Formanek Luận văn trình bày hệ thống lại phương pháp xây dựng đa thức tâm M n(K) Formanek số ứng dụng – áp dụng đa thức tâm đại số khác Luận văn gồm 03 chương : *Chương I : Các vấn đề sở Trong phần chủ yếu trình bày số khái niệm,đònh lý, bổ đề ( có chứng minh ) làm sở cho chương II chương III : ma trận, đại số đơn tâm , đại số nguyên tố ,đồng thức , PI đại số , , đònh lý quan trọng Pi Đại số Đònh lý Kaplanski, Wederburn *Chương II : Đa thức tâm Đại số ma trận cấp n vành giao hoán có đơn vò Trong chương nêu lên đònh nghóa đa thức tâm, số khái niệm dùng làm sở cho việc xây dựng đa thức tâm Mn(K).Phần trọng tâm chương cách xây dựng đa thức Formanek , từ xây dựng đa thức tâm cho Mn(K) với n > qua đònh lý Formanek *Chương III : Một số áp dụng – ứng dụng đa thức tâm lý thuyết PI Đại số Trong phần nêu ứng dụng áp dụng đa thức tâm vào việc chứng minh số kết qủa đại số đơn tâm đại số nguyên tố Tôi xin trân trọng cám ơn tất Thầy, Cô Tổ Đại Số Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, Trường Đại học Khoa Tự nhiên TP.HCM, Phòng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường ĐHSP tất bạn học viên Cao học Đại số nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khoá học Tôi xin đặc biệt tri ân PGS TS Bùi Tường Trí tận tình hướng dẫn suốt qúa trình thực luận văn Do trình độ hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót, kính mong thông cảm góp ý xây dựng Trân trọng cám ơn Học viên NGUYỄN THỊ HỒNG Cao học Đại số Khoá 12 (2001-2004) Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1- Ma trận 1.1.1- Đònh nghóa : Một ma trận cấp mxn K hệ thống gồm mn số aij thuộc trøng K đánh số theo hai số i, j ( với i =1, m j = 1, n ) thành bảng chữ nhật: a 11a 12 a1n A= a 21a 22 a2n a a m1 m a gồm m dòng , n cột , ký hiệu A=( aij)mxn mn Tập hợp tất ma trận cấp mxn ký hiệu M m,n(K) Khi m = n ta có ma trận vuông cấp n , ký hiệu A = ( aij)n Tập hợp tất ma trận vuông cấp n , ký hiệu Mn(K) Đối với ma trận vuông A = ( aij)n , phần tử có hai số a11,… , ann nằm đường chéo mà ta gọi đường chéo A Đường chéo lại hình vuông gọi đường chéo phụ A 1.1.2- Ma trận chéo cấp n Là ma trận vuông cấp n mà tất phần tử nằm đường chéo A= a10 0 a .0 0 a n 1.1.3 – M a trận đơn vò cấp n (Ký hiệu I n ) Là ma trận chéo cấp n mà tất phần tử đường chéo 1).Ma trận a-λI n In = 10 01 00 1.1.4 – Giá trò riêng Cho ma trận a∈ Mn(K), số λ gọi giá trò riêng n a tồn vectơ x = (x1,…, xn) ∈ K \ {0} cho x a x x x =λ x n x Vectơ x gọi vectơ riêng A ứng với giá trò n riêng λ Để thuận tiện viết ax =λx 1.1.5 – Vết ma trận vuông a cấp n Là tổng phần tử đường chéo , ký hiệu Tr(a) 1.1.6- Ma trận đặc trưng Cho a ma trận vuông cấp n K (n ≥ ma trận đặc trưng a Tính toán trực tiếp đònh thức ma trận (a- λ I n ) đa thức bậc n biến λ với hệ số K gọi đa thức đặc trưng ma trận a, ký hiệu χa(λ) (hoặc χ(λ) hiểu lầm) n n χa(λ)=det(a - λ I n)=(-1) λ + (-1) n-1 tr(a) λ n-1 +….+det a Phương trình χa(λ)=0 phương trình đặc trưng a 1.1.7 – Đònh lý Hamilton – Caley Mọi ma trận vuông nghiệm đa thức đặc trưng ∀ a∈Mn(K) , χa(a)=0 n n ⇔ (-1) a + (-1) n-1 tr(a) a n-1 +….+det aIn = 1.2 - Đa thức 1.2.1 - Đa thức đối xứng 1.2.1.1- Đa thức f ( x1,…, xn ) gọi đối xứng với hoán vò σ {1,…,n } ta có f ( x1,…, xn ) = f (x σ (1) ,…, x σ (n) ) Các đa thức đối xứng : σ = x1 + x2+… + xn σ = x1 x2 + x1 x3+… + xn-1xn σ = x1 x2 x3 + x1x2 x4+… + xn-2 xn-1xn ……… σn = x1 x2 x3 ….xn-2 xn-1xn Mọi đa thức đối xứng f ( x 1,…, xn ) thuộc A[x1,.,xn ] A miền nguyên biểu diễn dạng đa thức Q(σ 1,…, σ n) đa thức đối xứng với hệ tử A 1.2.2 - Đa thức tách Một đa thức P K[X] gọi đa thức phân rã K tồn λ ∈ K\ {0}, n ∈N* ; x1,….xn ∈ K cho n P= λ ∏( X − xi) ( xi không thiết phải khác ) i =1 1.2.3– Đa thức tối tiểu Cho a∈Mn(K) Khi đo ùtập hợp J= { f(λ) ∈ K [λ] / f (a) = 0} ideal khác K [λ] Phần tử sinh J với hệ số cao gọi đa thức tối tiểu ma trận a, ký hiệu pa(λ) -Nhận xét : Đa thức tối tiểu pa(λ) ước K[λ] đa thức g(λ) ∈K[λ] nhận a nghiệm 1.2.4- Dạng song tuyến tính Với K trường có đặc số khác (tức 2.1K ≠ 0K), E K- khơng gian vectơ Ta gọi ánh xạ ϕ : E x E → K cho : (i) ∀α∈K , ∀ (x,x',y)∈ E3 , ϕ(αx+x',y)= αϕ(x,y) +ϕ(x',y) (ϕ tuyến tính vị trí thứ ) (ii) ∀β∈K , ∀ (x,y,y')∈ E3 , ϕ(x,βy+y')= βϕ (x,y) + ϕ(x,y') (ϕ tuyến tính vị trí thứ hai ) dạng song tuyến tính E x E 1.3 - Một số đònh nghóa kết qủa - M R -Mun trung thành Mr = (0) r = - M gọi R- mun bất khả quy MR ≠ (0) modun M (0) M - Nếu M R-mun bất khả quy C(M) thể(Bổ đề Schur) - Vành R gọi nửa đơn J(R) = (0) - Một vành R gọi nguyên thủy có modun bất khả quy trung thành - Một vành gọi vành Artin tập khác rỗng ideal A có phần tử tối tiểu 1.4- Đại số đơn tâm 1.4.1 – Đònh nghóa Một vành R g đơn R ≠(0) R ideal thật (0) K, va 1.4.2 – Đònh nghóa A đại số vành K : -A K-modun -A vành - ∀ k∈K , ∀ a,b ∈ A : k(ab)=(ka)b=a(kb) 1.4.3– Đònh nghóa Một đại số A gọi đơn tâm trường K A đại số đơn có tâm đẳng cấu với K (Ta xem C=K.1) 1.4.4 –Đònh nghóa Nếu A đại số đơn tâm hữu hạn chiều K Khi F/K (với F trường chứa K hay F trường mở rộng K) gọi trường tách A : F A = F ⊗K A ≅ Mn(K) 1.4.5 – Đònh lý - Bao đóng đại số K K trường tách - Nếu A ≅ Mr (Δ) với thể F trường tối đại , F trường tách Chứng minh : Với trường F / K AF đại số F Nếu A đơn tâm hữu hạn chiều F AF đơn tâm hữu hạn chiều với : F [A : F ] = [A: K ] F Theo đònh lý Wedderburn :A ≅ Mn ( ) đại số có phép chia F Nếu F = K đại số hữu hạn chiều có phép chia F : Giả sử q(x1,…xm) đa thức tâm với số hạng tự đònh giá trò x i = yi X Mn-1(K) xem tập hợp K – tổ hợp tuyến tính eij với i,j = 1,…,n-1 Khi ta có phần tử M n-1(K) Nói cách khác phần tử phần tử tâm Mn(K) có dạng k1,k ∈ Mn-1(K) Nó dẫn đến k=0 q đồng thức M n-1(K) Tóm lại, để xây dựng đa thức tâm Mn(K) thực chất tìm hàm f ∈ Z[ η1,…, ηn+1 ] (là đại số vành số nguyên ) thỏa mãn tính chất sau : (i) f ( η1,…, η n+1 ) chia hết cho (ηi –ηj) với i≠j ngoại trừ (η1 –ηn+1) (ii) g ( η1,…, η n ) = f (η1,…, η n,η 1) đa thức đối xứng η1, ,η n (iii) ∃ a ∈ Mn(K) : G (a) ≠ Để cụ thể hoá qúa trình ta xét ví dụ sau 2.8- Ví dụ Xây dựng đa thức tâm M3(K) theo phương pháp Formanek Chọn f(η1,η 2,η 3,η 4)∈ Z [η1,η 2,η 3,η 4] sau 3 f(η1,η 2,η 3,η 4) = ∏ (η1- ηi) (η4- ηi) ∏ (ηi- ηj) i=2 i , j=2 i[...]... đồng nhất thức trên A và f là chính quy chặt Nếu f là đồng nhất thức chính quy chặt trên đại số A thì nó cũng là đồng nhất thức chính quy chặt trên đại số con của đại số con của đại số A và điều này còn đúng đối với mọi ảnh đồng cấu 1.7.3- Đònh nghóa PI – đại số Một đại số A trên vành giao hoán có đơn vò K được gọi là PI đại số hay đại số với đồng nhất thức đa thức nếu tồn tại một đa thức f(a1, a2,….,am)... biết nếu A là đại số dày đặc của các phép biến đổi tuyến tính trên V/ , với là đại số có phép chia và F là trường con tối đại K của thì : A’= FLA là đại số dày đặc các phép biến đổi trên V/ F Áp dụng vào trường hợp đặc biệt A là đơn tâm hữu hạn chiều , ta có thể lấy V là hữu hạn chiều trên và là hữu hạn chiều trên K Theo bổ đề thì : A’= FLA ≅ F ⊗K A Cũng thế ta đã biết A là đại số đầy đủ các phép biến... 0 không phụ thuộc vào αi Suy ra A là một PI đại số P.I đại số tồn tại rất phong phú Tuy nhiên có những đại số không phải là Pi đại số Điều này thể hiện bằng các bổ đề sau : **Bổ đề 1 Nếu d là một số nguyên và f là một đa thức khác không trong đại số tự do F [x 1,x2,…,xd] thì tồn tại một số n sao cho Fn không thỏa mãn f **Bổ đề 2 F n không thỏa mãn các đồng nhất thức có bậc < 2n Chứng minh Nếu Fn thỏa... thực sự khi và chỉ khi A là đại số đơn và hữu hạn chiều trên tâm C của nó Nếu d là bậc nhỏ nhất của đồng 2 nhất thức thực sự trên A thì d = 2n là số chẵn và {A:C ] = n , đồng thời A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn tắc S d Chứng minh: Nếu A là đại số nguyên thủy và thỏa mãn đồng nhất thức thực sự bậc d thì theo đònh lý Kaplanski- Amitsur ⇒ A là đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm C của nó và [ A : C ]... thì mọi đa thức đa tuyến tính thay phiên có bậc m > n là đồng nhất thức của A 1.7.1.6 –f là đa thức chính quy chặt nếu f ≠ 0 và các hệ số khác 0 của f là đơn vò hoặc khả nghòch trong K 1.7.1.7 – Đa thức chuẩn +Định nghĩa Đa thức Sk+1(x1, x2,…, xk+1)= ∑ ( sgπ ) .xπ x π 1 x π k 2 π trong đó tổng được lấy trến nhóm đối xứng và Sgπ là dấu của phép hoán vò π , được gọi là đa thức chuẩn bậc k  +Đa thức chuẩn... (V0), ma= (ωa)τ = (ωτ)a suy ra (m -ωτ)a = 0 Theo giả thiết quy nạp thì m -ωτ ∈ V0 Do đó m ∈ V0+ωτ ⊂ V0+ωΔ =V Vô lý Đònh lý đã được chứng minh 1.6.5- Đònh lý Một đại số nguyên thủy thì đẳng cấu với một đại số dày đặc của các phép biến đổi tuyến tính trong một không gian vectơ trên một đại số chia được 1.7 – PI Đại số Để đònh nghóa khái niệm đồng nhất thức đa thức của một đại số và của một PI đại số trước... thì tâm C của A là một trường , A là đơn và [A : C ] ≤ [ d/2 ] 2 1.9 - Đònh lý Amitsur – Levitzky Đa thức chuẩn tắc S2n là một đồng nhất thức của Mn(K) Chứng minh Trước hết ta có một vài nhận xét về đa thức chuẩn tắc : 1) Sk+1(x1, x2,…, xk+1)= x1Sk+1(x2,…, xk+1)- x2Sk+1(x1 ,x3,…, xk+1) +… + (-1)k xk+1Sk+1(x1 ,…, xk) Do đó nếu Sk là đồng nhất thức trên đại số thì Sk+1cũng là đồng nhất thức trên đại số. .. là đơn tâm hữu hạn chiều trên trường K Theo chứng minh trong đònh lý Kaplanski – Amitsur và nhận xét 1 nói trên thì A’= FLA ≅ F ⊗ K A đồng thời là đại số các phép biển đổi tuyến tính trong V ( xem là không gian vectơ trên F ) của các đại số đơn tâm hữu hạn chiều luôn là số chính phương 1.10 – Đònh lý Kaplanski – Amitsur – Levitzki Giả sử A là đại số nguyên thủy Khi đó A thỏa mãn đồng nhất thức thực... nhất thức thật sự nếu f là đồng nhất thức của A và tồn tại một hệ số của f không linh hoá A Nhận xét : -Nếu K là một trường thì f là đồng nhất thức thật sự của A tương đương với f là đồng nhất thức trên A và f ≠ 0 -Nếu f là một đồng nhất thức mà trong nó có một hệ số là 1 hoặc -1 thì f là đồng nhất thức thật sự 1.7.2.3 - f gọi là đồng nhất thức chính quy chặt trên đại số A, nếu f là đồng nhất thức trên. .. là đại số đơn và [ A : C ] hữu hạn.Khi đó rõ ràng A là đại số đơn tâm trên trường C Theo nhận xét ở trên thì [ A : C ] = 2 n và ta có K sao cho K ⊗C A ≅ Mn(K) Nhưng theo đònh lý Amitsur – Levitzki thì M n(K) thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn tắc S2n Do đó K ⊗C A cũng thỏa S2n và vì vậy A thỏa mãn S2n 1.11 - Đại số nguyên tố Trong phần này ta vẫn ký hiệu K là vành giao hoán có đơn vò 1, A là đại số trên