MỤC LỤC
Phần trọng tâm của luận văn chính là giới thiệu phương pháp xây dựng đa thức tâm trên Mn(K) với n >2 của Formanek.Từ đó có thể tìm được đồng nhất thức cho đại số các ma trận và các ứng dụng, áp dụng đa thức tâm để chứng minh một số vấn đề trên các đại số khác. P(V) là một đại số trên K với phép cộng,phép nhân thông thường của các hàm và tích vô hướng của một phần tử của trường K và một hàm. Khi đó đối với K thì các tập đóng là tập các nghiệm của một đa thức.
Tập con mở bất kỳ trong topo Zariski đều dày đặc (theo nghĩa bao đóng của nó trùng với V). Do đó một hàm đa thức mà triệt tiêu trên một tập con mở của V thì cũng triệt tiêu khắp nơi trong V. Tiếp theo ta tìm hiểu việc xây dựng đa thức tâm trên đại số các ma trận Mn(K) theo phương pháp của Formanek.
Giả sử K là một vành giao hoán và Mn(K) là tập các ma trận vuông cấp n trên K. Rừ ràng D(a)≠0 khi và chỉ khi cỏc nghiệm đặc trưng của ma trận a là phân biệt. Tập hợp các ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo phân biệt là một tập con mở trong topo Zariski.
*Nếu K là trường vô hạn, ta có thể lấy a là một ma trận chéo với các hệ số trên đường chéo phân biệt. Chỉ cần chỉ ra điều này đúng với tất cả các ma trận a trong tập các tập con mở Zariski của Mn(K)được xác định bởi G(a)≠0. Do đó a tương đương với một ma trận chéo và do đó có một tự đồng cấu của Mn(K).
Do tính tuyến tính của qf đối với các yi và thực tế rằng bất kỳ cở sở nào của Mn(K) đều là cơ sở của Mn( K ), do đó ta cũng có thể chọn các bi sao cho. Vì G và L được xác định bởi các đa thức với các hệ số nguyên trong các hệ số của các đa thức đặc trưng dẫn đến rằng đồng cấu của ta biến L(X) vào L(a). Lấy f là đa thức Formanek, c và l được lấy một cách thích hợp với các thành phần là các đa thức đối xứng.
Với mục 3 trong định lý 1 và định lý Hamilton - Caley cho ta kết qủa nhờ vào Amitsur thể hiện qua định lý sau. Do đó ta có thể chọn a là một ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo phân biệt.
Trong trường hợp này , ta có đa thức đặc trưng của mỗi phần tử của Mn(K), định lý Hamilton – Caley và các kết qủa của Chương II. 3.Gọi một phần tử aXA là có thể tách nếu χa(l) có các nghiệm phân biệt trên đại số đóng K của K. Đối với một a như vậy thì χa(l) là đa thức tối tiểu của a trong A’ (theo một định lý cơ bản của ma trận).
Tính chất của T và N nêu ra trong mệnh đề 2.(của định lý ) là rừ ràng từ cỏc tớnh chất của vết và các hàm định thức của ma trận. Việc chứng minh mệnh đề 3 và 4 được suy từ Định lý 2 Chương II(2.7) Trong trường hợp K là hữu hạn ,A=Mn(K)thì đa thức tối thiểu,vết và chuẩn là đa thức đặc trưng, vết, định thức. Nếu (e1,…,en)là một cơ sở của không gian vectơ V và f(x,y) là một dạng đối xứng song tuyến tính trên V thì f không suy biến khi và chỉ khi.
Do đó f là không suy biến trên V khi và chỉ khi mở rộng của nó là không suy biến trên VF đối với F là một trường mở rộng của trường cơ sở. Do đó chỉ cần chứng minh rằng dạng vết song tuyến tính tr(a,b) là không suy biến trên đại số các ma trận Mn(K). “Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố thỏa mãn các đồng nhất thức thực sự có bậc bị chặn và nếu tâm C của nó là một trường thì A là một đại số đơn”.
Mọi đồng nhất thức f trên đại số A cũng là đồng nhất thức trên đại số As ( As được xem là đại số trên K ). Đảo lại nếu mọi phần tử của S đều là phần tử chính quy của A thì đồng nhất thức f trên As cũng là đồng nhất thức trên đại số A. Nếu A là đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thật sự bậc n thì A thoả mãn đồng nhất thức chuẩn S 2{n/2].
Nếu A là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự thì A không chứa nil – ideal khác < 0 >. Thật vậy, vì A là đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự , theo 3.2.3 thì A thỏa mãn một đa thức chuẩn mà đa thức này là đa thức này là chính quy mạnh. Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố thỏa mãn các đồng nhất thức thực sự có bậc bị chặn thì mọi ideal I ≠ 0 của A giao với tâm C khác 0.