Phương pháp phần tử hữu hạn

2.2 Bài tập giải sẵnBài tập 1 Tìm hàm dạng của các phần tử một chiều trong hai không gian tham chiếu và không gian thực ở hình sau:... Bài tập 3Tìm các hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút

PHẦN TỬ DẦM GỐI TỰA LÒ XO

CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN

Xét dầm chịu lực như ở hình sau:

1 Xác định các chuyển vị nút.

2 Xác định các chuyển vị nút khi có thêm gối tựa lò xo tại điểm

giữa dầm.

θ 3L L / 2 0 2L 3L L / 2

Tải nút tương đương

Phần tử ②

2

2

2 2

3 2

3

qL v 4

qL θ 48

F

qL

v 4

qL

θ 48

2 2

2

qL v 4

qL θ 48

F

qL

v 4

qL

θ 48

Đưa điều kiện v1 = θ1 = v3 = θ3 = 0 phương trình [K][u] = [F]

ta được:

22

3

242

2 Khi có lò xo

Đưa điều kiện v1 = θ1 = v3 = θ3 = 0 phương trình [K][u] = [F],

ta được:

Kết quả cho bởi phần mềm RDM

1 Trường hợp không có lò xo v2 = - 2,790 mm

Kết quả cho bởi phần mềm RDM

2 Trường hợp có lò xo v2 = - 0,976 mm

HÀM DẠNG







2.2 Bài tập giải sẵn

Bài tập 1

Tìm hàm dạng của các phần tử một chiều trong hai không gian tham chiếu và không gian thực ở hình sau:

Áp dụng đa thức Lagrange, các hàm dạng của phần

tử tham chiếu như sau:

         1 

2

1 1

1 0

Bài tập 2

Dùng đa thức Lagrange, tim các hàm dạng của phân

tử tứ giác 4 nút sau:

Áp dụng đa thức Lagrange cho hai phương và ta tìm được các hàm dạng tương ứng với các nút 1,2,3 và 4 như sau:

1

1

1 1

1

1

1

1 1

1

1

1

1 1

1

, 4 4

Bài tập 3

Tìm các hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút trong không gian thực sau:

- Phương pháp 1

Dùng hàm đa thức có dạng

u = A + Bx + Cy + Dxy (1) Gọi u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , lần lượt là các biến nút liên kết với các nút 1,2,3,4 ta có hệ phương trình:

1

u Cb

u Dab

Cb a

u a

u

Giải hệ phương trình (2) với các ẩn A, B, C và D, ta được:

Thay các giá trị của A, B, C và D, vào (1) cà sắp xếp lại dưới dạng:

u = N 1 (x, y)u 1 + N 2 (x, y)u 2 + N 3 (x, y)u 3 + N 4 (x, y)u 4

ab

u u

u

u D

b

u

u C

x a

b

b y

a

a

x L

L y

x b

b y

a

x L

L y

0

y a

a

x L

L y

a b

y a

a

x L

L y

0

.

4

2 6 5

2 4 3

2 1



2 2

2 2





2/ Hãy minh họa đồ thị sự thay đổi giá trị của các hàm dạng trên phần tử.

Các hàm dạng

Dùng phương pháp 1 ở bài tập 3, ta tìm được các hàm dạng tương ứng với các nút 1, 2, 3, 4,5,6,7 và 8 như sau:

1 ,

, 2

1 1

1 ,

2

1 1

1 ,

, 2

1 1

1 ,

4

1 1

1 ,

, 4

1 1

1 ,

4

1 1

1 ,

, 4

1 1

1 ,

87

65

43

21

Bài tập 5

Dùng đa thức Lagrange để tìm các hàm dạng của phần tử tứ giác 9 nút sau:

1 1 0

1

1

0

1 1 0

1

1

0

4

1 1

1 ,

0 1

1 1

0

1

0 1

1 1

0

1

4

1

1 ,

0 1 1

1

0

1

4

1

1 ,

1 0

1 0

1

1

2

1 1

1 ,

0 1

1 1

0

1

2

1 1

1 ,

         

        1     1     1 0  

0

1

1 0

1 0

0 1

1

2

1 1

1 ,

0 1

1 1

0

1

1

1 ,

1 0

1 0

0 1

1

                 



Bài tập 6

Trên không gian thực, hãy tìm các hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút sau:

Với x - x =a, y - y =b

x x

y y

y y

x x

x

x y

2 1

2 2

x x

y y

y y

x x

x

x y

2 1

2 1

x x

y y

y y

x x

x

x y

12

11

x x

y y

y y

x x

x

x y

1 2

1 2

Gọi giá trị các biến nút liên tiếp với các nút 1,2,3 là

θ 1 , θ 2 , θ 3. Thay các giá trị này vào phương trình (1), ta có

Giải hệ phương trình (2), ta được:

213

12

13

12

32

3

31

21

23

23

2133

2

x y x

y y

x y

x x

y y

x

x x

x x

x y

x C

1 2

1 3

1 2

3 2

3

2 3

2 1 3

3 1

3 1

2 3

2 3

x y x

y y

x y

x x

y y

x

y y

y y

y

y C

1 2

1 3

1 2

3 2

3

3 1 2 2

1 3 3

3 2 3

1 3 2

1 3 2

1 3 1

x y x

y y

x y

x x

y y

x

y x x

y x

y x

y x

y y

x C

Thay các giá trị C 1 C 2 C 3 vào (1) và sắp xếp lại dưới dạng:

, ta có:

33

22

y y

y x y

x y

x y

y y

y x y

x y

x y

y y

y x y

x y

x y

x

1 1

Bài tập 8

Hãy kiểm nghiệm tính chất 1 và tính chất của các hàm dạng phần tử tứ giác 4 nút sau:

  , 14

1 ,

, 1

1 4

1 ,

1

1 4

1 ,

, 1

1 4

1 ,

4 3

2 1

1 1

1 4

1 ,

1 4 1

, 4

,

1 4

,

, 1 2

,

, 1 ,

, 1 2

2 1

4 3

2 1

2 2

2 2

Tính chất 1

Tại nút 1 (ζ = 0, η = 0), ta có

N 1 = 1, N 2 = 0, N 3 = 0, N 4 = 0, N 5 = 0, N 6 = 0 Tại nút 2 (ζ = 1, η = 0), ta có

N 1 = 0, N 2 = 1, N 3 = 0, N 4 = 0, N 5 = 0, N 6 = 0 Tại nút 3 (ζ = 0, η = 1), ta có

N 1 = 0, N 2 = 0, N 3 = 1, N 4 = 0, N 5 = 0, N 6 = 0 Tại nút 4 (ζ = 1/2, η = 0), ta có

N 1 = 0, N 2 = 0, N 3 = 0, N 4 =1, N 5 = 0, N 6 = 0 Tại nút 5 (ζ = 1/2, η = 1/2), ta có

N 1 = 0, N 2 = 0, N 3 = 0, N 4 = 0, N 5 = 1, N 6 = 0 Tại nút 6 (ζ = 0, η = 1/2), ta có

N 1 = 0, N 2 = 0, N 3 = 0, N 4 = 0, N 5 = 0, N 6 = 1

Bài tập 10

Biết các hàm nội suy của phân tử dầm 2 nút có chiều dài L =

x2 – x1 là

0 L x

Trong đó N1(x), N2(x) là hàm nội suy của bậc tự do độ võng

v và góc xoay v’ tương ứng với nút 1 Các hàm N3 (x) , N4(x) là

hàm nội suy của bậc tự do độ võng v và góc xoay v’ tương ứng với nút 2 Hãy kiểm nghiệm tính chất:

d dx

N d

d

Bài tập 11

Xét phần tử tam giác 3 nút

Các tọa độ diện tích được định nghĩa như sau:

L1 là tỉ số giữa diện tích tam giác 2-3-P và diện tích tam giác 1-2-3:

L2 là tỉ số giữa diện tích tam giác 3-1-P và diện tích tam giác 1-2-3:

L3 là tỉ số giữa diện tích tam giác 1-2-P và diện tích tam giác 1-2-3:

1/ Chứng tỏ L1, L2, L3 có các tính chất và tính chất 1 của hàm dạng

1 1

1 det 2

1 3

2 1

3

2 ,

23

32

233

21

32

32

1

x x

y y

y x y

x y

x y

x L

y y

y

x x

x DT

DT y

x L

y y

y x y

x y

x y

x L

y y

y x y

x y

x y

x L

Bài tập 12

1/ Dùng tọa độ diện tích L 1 , L 2 , L 3 , xác định các hàm dạng của phần tử tam giác 3 nút

i = 1,2,3 nghĩa là

Với

tại nút 1, tương ứng với L1 = 1, L2 = 0, L3 = 0 tại nút 2, tương ứng với L1 = 0, L2 = 1, L3 = 0 tại nút 3, tương ứng với L1 = 0, L2 = 0, L3 = 1

11

12

11

0 0

2 2

1

1 1

0 1

0 ,

0 1

0 ,

0 1

0

L

L L

L L

2/ Biểu thức các hàm dạng trong không gian tham chiếu:

Từ định nghĩa tọa độ diện tích ta có:

Tương tự, các hàm dạng còn lại được xác định qua biểu thức:

0

1 1

,

1

2 1

0 1

0 0

1 1

1 2 1

3 2

1

1

3 ,

       

1 1 1 1

0 1 2

, 1

1 4

, 1

1 4

1

3

1 4

1 4

1 ,

1 ,

1 ,

1 ,

1 ,

1 ,



Bài tập 14

Dùng tọa độ diện tích L 1 , L 2 , L 3 , hãy xác định các hàm dạng của phần tử tam giác 10 nút (bậc 3) ở hình sau:

Các nút 4,5,6,7,8,9 ở vị trị chia đều các cạnh Nút 10 ở ngay trọng tâm của tam giác

* Phương pháp 1

Biểu diễn tổng quát các hàm dạng

Với tính chất các hàm dạng N 1 :

N 1 = 1 tại nút 1 tương ứng với L 1 = 1, L 2 = 0, L 3 = 0

N 1 = 0 tại nút 2 tương ứng với L 1 = 0, L 2 = 1, L 3 = 0

N 1 = 0 tại nút 3 tương ứng với L 1 = 0, L 2 = 0, L 3 = 1

10 , , 2 , 1

, 3 2 1 10

1

2 3 9

3

2 2 8

2

1 2 7 1

3 6

3 2 5

2 1 4

3 3

2 2

1 1

L

L L L

L L

L

L L L

L L

L L

i i

i i

i

i i

i i

i i

N 1 = 0 tại nút 4 tương ứng với L 1 =2/3 , L 2 = 1/3, L 3 = 0

N 1 = 0 tại nút 5 tương ứng với L 1 = 1/3 , L 2 = 2/3, L 3 = 0

N 1 = 0 tại nút 6 tương ứng với L 1 = 0, L 2 = 2/3, L 3 = 1/3

N 1 = 0 tại nút 7 tương ứng với L 1 = 0, L 2 = 1/3, L 3 = 2/3

N 1 = 0 tại nút 8 tương ứng với L 1 = 1/3 , L 2 =0, L 3 = 2/3

N 1 = 0 tại nút 9 tương ứng với L 1 = 2/3, L 2 =0, L 3 = 1/3

N = 0 tại nút 10 tương ứng với L = 1/3, L = 1/3 , L = 1/3

Ta có hệ phương trình:

1 1 1 2 1 3

Nghiệm của hệ phương trình trên:

Biến đổi đại số và chú đến quan hệ , ta được

2 3 2

2 1 3

1 1

1

2

9 2

9 2

9 2

9

L L L L

L L

L L

9

9 2

1

1 1

1 1

2 1 1

Tương tự cho hàm dạng tương ứng với các nút ở đỉnh 2,3:

Với tính chất của hàm dạng N 4 :

2 1

2 3

1

3 2

1

33

33

22

22

L

L L

L

tại nút 1 tương ứng với L1 = 1, L2 = 0, L3 = 0 tại nút 2 tương ứng với L1 = 0, L2 = 1, L3 = 0 tại nút 3 tương ứng với L1 = 0, L2 = 0, L3 = 1 tại nút 4 tương ứng với L1 = 2/3, L2 = 1/3, L3 = 0 tại nút 5 tương ứng với L1 = 1/2, L2 = 2/3, L3 = 0 tại nút 6 tương ứng với L1 = 0, L2 = 2/3, L3 = 1/3 tại nút 7 tương ứng với L1 = 0, L2 = 1/3 , L3 = 2/3 tại nút 8 tương ứng với L1 = 1/3, L2 =0, L3 = 2/3 tại nút 9 tương ứng với L1 = 2/3, L2 =0, L3 = 1/3 tại nút 10 tương ứng với L1 = 1/3 ,L2 = 1/3 , L3 = 1/3

Ta có hệ phương trình sau:

4 1 4 2 1 3

Nghiệm của hệ phương trình trên:

Tương tự cho các hàm dạng tương ứng với nút nằm trên cạnh N5, N6, N7,

1

3 2

9 ,

1

3 2

9

1

3 2

9 ,

1

3 2

9

1 3

1 9

3 1

3 8

3 3

2 7

2 3

2 6

2 2

1 5

L

L L

L L

L L

L L

L L

L L

tại nút 1 tương ứng với L1 = 1, L2 = 0, L3 = 0 tại nút 2 tương ứng với L1 = 0, L2 = 1, L3 = 0 tại nút 3 tương ứng với L1 = 0, L2 = 0, L3 = 1 tại nút 4 tương ứng với L1 = 2/3, L2 = 1/3, L3 = 0 tại nút 5 tương ứng với L1 = 1/2, L2 = 2/3, L3 = 0 tại nút 6 tương ứng với L1 = 0, L2 = 2/3, L3 = 1/3 tại nút 7 tương ứng với L1 = 0, L2 = 1/3 , L3 = 2/3 tại nút 8 tương ứng với L1 = 1/3, L2 =0, L3 = 2/3 tại nút 9 tương ứng với L1 = 2/3, L2 =0, L3 = 1/3 tại nút 10 tương ứng với L1 = 1/3 ,L2 = 1/3 , L3 = 1/3

Ta có hệ phương trình sau:

10 1 10 2 10 3

Nghiệm của hệ phương trình trên:

3 1 3

1 3

3 2 3

1 3

1 3

2 1

3 2

3

1 1

3 1

0 1

0

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

L

L L

L L

L L

 3 1   3 2 

2 1

3 1 3

1 3

3 2 3

1 3

1 3

2 1

3 2

3

1 1

3

1

0 1

0

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

L

L

L L

L L

L

2 1

3 1 3

1 3

3 2 3

1 3

1 3

2 1

3 2

3

1 1

3

1

0 1

0

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

L

L

L L

L L

L

 3 1 

2 9

3 1 3

1 3

3 1 3

1 3

3

2 0

3 2

0

3

1 3

2

3 1

0 3

2

0

12

14

11

22

11

L

L

L L

L

L L

 3 1 

2 9

3 1 3

1 3

3

2 3

1 3

1 3

2

3 1

0 3

2

0

0 3

1

0

22

15

22

1

22

15

L

L L

L

L L

L

 3 1 

2 9

3

1 3

1 3

1 3

3

2 0

3 1

0 3

1 3

2

0

0 3

2

0

23

26

3

22

32

26

L

L

L L

L L

L

 3 1 

2 9

3 1 3

1 3

3

2 3

1 3

` 3

2

3 1

0 3

2

0

0 3

1

0

33

27

23

2

33

27

L

L L

L

L L

L

 3 1  2

9

3 1 3

1 3

3

2 3

1 3

1 3

2

3 1

0 3

2

0

0 3

1

0

3 1

3 8

3 3

1

3 3

1 8

L

L L

L

L L

L

 3 1 

2 9

3

1 3

1 3

1 3

3

2 0

3 1

0

3

1 3

2

3 1

0 3

2

0

1 3

1 9

3

1 1

3

1 1

L

L

L L

L

L L

3 2 1 10

3 2

1 3

2 1

10

27

3

1 3

1 3

2 0

3 1

0

0 3

1

0

0 3

1

0

L L L

L L

L L

L L

Bài tập 15

Xét phần tử tứ diện như ở hình sau:

Tương tự các tọa độ diện tích, các tọa độ thể tích được

định nghĩa như sau:

Với V j là thể tích của tứ diện tạo bởi điểm P(x,y,z) và 3 đỉnh còn lại, V là thể tích của tứ diện (1-2-3-4)

N







2/ Biểu thức tổng quát của các hàm dạng:

i = 1,2,3,4

Với tính chất của hàm dạng N1:

tại nút 1 tương ứng với L1 = 1, L2 = 0, L3 = 0, L4 = 0 tại nút 2 tương ứng với L1 = 0, L2 = 1, L3 = 0, L4 = 0 tại nút 3 tương ứng với L1 = 0, L2 = 0, L3 = 1, L4 = 0 tại nút 4 tương ứng với L1 = 0, L2 = 0, L3 = 0, L4 = 1

Ta có hệ phương trình:

Tương tự, ta có:

N = L , N = L , N = L

4 4

3 3

2 2

1 3 1 4

1 0 0 0

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Đình Huấn, Bài tập phương pháp phần tử hữu hạn

tập 1, Nhà xuất bản Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007

PHẦN TỬ TẤM

CHỊU TẢI PHẲNG

0 x

ε

u

v y

2 x

x ε

y γ

v

v B

D b

D a 3b 3a

PHÉP BIẾN ĐỔI

HÌNH HỌC

3.1 Tóm tắt lý thuyết

3.1.1 Phần tử tham chiếu và phép biến hình

Để đơn giản hóa việc tính toán trên các phần tử thực có hình dạng phức tạp, khái niệm phần tử tham chiếu được đưa ra.

Phần tử tham chiếu V r là một phần tử có hình dạng đơn giản được xác định trong không gian tham chiếu.

Phần tử tham chiếu có thể được chuyển đổi qua mỗi phần tử thực bằng cách dùng phép biến đổi hình học τ e

Phép biến hình τe có các tính chất sau:

 τe là một song ánh cho tất cả các điểm nằm bên trong và nằm trên biên phần tử

 Các nút hình học của phần tử tham chiếu tương ứng với các nút hình học của phần tử thực

 Các đoạn biên của phần tử tham chiếu tương ứng với các đoạn biên của phần tử thực

Xét phần tử tham chiếu và phần tử thực trong không gian

3 chiều

Tọa độ các điểm bên trong và bên trên phần tử của hai không gian có quan hệ qua biểu thức:

(3.1)

với (x, y, z), (xi ,yi ,zi ) lần lượt là tọa độ của một điểm bất kỳ và tọa

độ của các nút hình học trên phần tử thực, là các hàm dạng trên phần tử tham chiếu.

111

i n

Tương tự ta có mối quan hệ:

3.2 Bài tập giải sẵn

Bài tập 1

Xét phần tử tham chiếu và phần tử thực sau:

1/ Viết lại biểu thức (3.1) cho hai phần tử trên

2/ Kiểm chứng các tính chất của phép biến hình τ

3/ Xác định ma trận Jacobi Ma trận này suy biến trong trường hợp nào?

(1) Tương tự, ta có:

3/ Ma trận Jacobi

Thay (1) vào ma trận Jacobi ,ta được:

với A là diện tích của tam giác (i, j, k)

Do vậy, định thức ma trận Jacobi bằng không khi ba đỉnh i, j, k của phần tử thực thẳng hàng.

Bài tập 2

Xét phần tử tứ giác 4 nút trong hai không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau

Hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút trên không gian tham chiếu:

Ảnh B’ của điểm B được nội suy từ biểu thức

Bài tập 3

Xét phần tử tam giác 3 nút trong không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau:

1/ Xác định tọa độ điểm A’, ảnh của điểm A(ξ = 1/3, η = 1/3)

2/ Tìm ma trận Jacobi của phép biến đổi hình học tại điểm A

Bài tập 4

Xét phần tử tứ giác 4 nút trong hai không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau:

Nút 1: x1 = 2, y1 = 1; Nút 2: x2 = 5, y2 = 2 Nút 3: x3 = 3, y3 = 5; Nút 4: x4 = 1, y4 = 4

1/ Tìm ảnh của điểm A(ξ = 0,2; η = 0,6)

2/ Hãy:

a/ Viết biểu thức tổng quát của ma trận Jacobi b/ Xác định ma trận Jacobi tại điểm B( - 0,57735; - 0,57735)

1 ,

4 ,

1

1 4

1 ,

, 1

1 4

1 ,

, 1

1 4

1 ,

3

2 1

2/ Ma trận Jacobi

a/ Biểu thức tổng quát

Quan hệ giữa tọa độ các điểm trên phần tử tham chiếu và phần

tử thực được thể hiện qua biểu thức:

Biểu thức tổng quát của ma trận Jacobi:

(1)

           

   1    2    3    4

4 3

2 1

1

1 4

1 1

1 4

1 1

1 4

1 1

1 4

1

1

1 4

1 1

1 4

1 1

1 4

1 1

1

4

1

y y

y y

y

x x

x x

b/ Ma trận Jacobi tại điểm (ξ = - 0,57735; η = - 0,57735 )

Thay giá trị ξ, η, x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4 vào biểu thức (1) ta được:

-0,50000

1,39434 J

PHÉP BIẾN ĐỔI

HÌNH HỌC

3.1 Tóm tắt lý thuyết

3.1.1 Phần tử tham chiếu và phép biến hình

Để đơn giản hóa việc tính toán trên các phần tử thực có hình dạng phức tạp, khái niệm phần tử tham chiếu được đưa ra.

Phần tử tham chiếu V r là một phần tử có hình dạng đơn giản được xác định trong không gian tham chiếu.

Phần tử tham chiếu có thể được chuyển đổi qua mỗi phần tử thực bằng cách dùng phép biến đổi hình học τ e

Phép biến hình τe có các tính chất sau:

 τe là một song ánh cho tất cả các điểm nằm bên trong và nằm trên biên phần tử

 Các nút hình học của phần tử tham chiếu tương ứng với các nút hình học của phần tử thực

 Các đoạn biên của phần tử tham chiếu tương ứng với các đoạn biên của phần tử thực

Xét phần tử tham chiếu và phần tử thực trong không gian

3 chiều

Tọa độ các điểm bên trong và bên trên phần tử của hai không gian có quan hệ qua biểu thức:

(3.1)

với (x, y, z), (xi ,yi ,zi ) lần lượt là tọa độ của một điểm bất kỳ và tọa

độ của các nút hình học trên phần tử thực, là các hàm dạng trên phần tử tham chiếu.

111

i n

Tương tự ta có mối quan hệ:

3.2 Bài tập giải sẵn

Bài tập 1

Xét phần tử tham chiếu và phần tử thực sau:

1/ Viết lại biểu thức (3.1) cho hai phần tử trên

2/ Kiểm chứng các tính chất của phép biến hình τ

3/ Xác định ma trận Jacobi Ma trận này suy biến trong trường hợp nào?

(1) Tương tự, ta có:

3/ Ma trận Jacobi

Thay (1) vào ma trận Jacobi ,ta được:

với A là diện tích của tam giác (i, j, k)

Do vậy, định thức ma trận Jacobi bằng không khi ba đỉnh i, j, k của phần tử thực thẳng hàng.

Bài tập 2

Xét phần tử tứ giác 4 nút trong hai không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau

Hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút trên không gian tham chiếu:

Ảnh B’ của điểm B được nội suy từ biểu thức

Bài tập 3

Xét phần tử tam giác 3 nút trong không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau:

1/ Xác định tọa độ điểm A’, ảnh của điểm A(ξ = 1/3, η = 1/3)

2/ Tìm ma trận Jacobi của phép biến đổi hình học tại điểm A

Bài tập 4

Xét phần tử tứ giác 4 nút trong hai không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau:

Nút 1: x1 = 2, y1 = 1; Nút 2: x2 = 5, y2 = 2 Nút 3: x3 = 3, y3 = 5; Nút 4: x4 = 1, y4 = 4

1/ Tìm ảnh của điểm A(ξ = 0,2; η = 0,6)

2/ Hãy:

a/ Viết biểu thức tổng quát của ma trận Jacobi b/ Xác định ma trận Jacobi tại điểm B( - 0,57735; - 0,57735)

1 ,

4 ,

1

1 4

1 ,

, 1

1 4

1 ,

, 1

1 4

1 ,

3

2 1

2/ Ma trận Jacobi

a/ Biểu thức tổng quát

Quan hệ giữa tọa độ các điểm trên phần tử tham chiếu và phần

tử thực được thể hiện qua biểu thức:

Biểu thức tổng quát của ma trận Jacobi:

(1)

           

   1    2    3    4

4 3

2 1

1

1 4

1 1

1 4

1 1

1 4

1 1

1 4

1

1

1 4

1 1

1 4

1 1

1 4

1 1

1

4

1

y y

y y

y

x x

x x