Về phức koszul

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀ NỘI- 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Phụ Hoàng Lân HÀ NỘI- 2015 LỜI CẢM ƠN Nhân dịp này, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Nguyễn Phụ Hoàng Lân, thầy trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo tạo điều kiện nhiều mặt để hoàn thành luận văn Đồng thời, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy giáo, cô giáo khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, người dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, cô Hội đồng bảo vệ luận văn Các thầy, cô đọc, góp ý, giúp đỡ để chỉnh sửa luận văn tốt Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện động viên cổ vũ để hoàn thiện nhiệm vụ Xin chúc người sức khỏe, đạt nhiều thành tích cao công tác, học tập nghiên khoa học Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Các phức đồng điều phức 1.1.1 Các phức 1.1.2 Đồng điều phức 1.1.3 Các cách xây dựng phức khác từ phức cho 13 Các dãy giải môđun mở rộng 15 1.2.1 Các dãy giải 15 1.2.2 Các môđun mở rộng 16 Đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số 17 1.3.1 Đại số tenxơ 17 1.3.2 Đại số đối xứng 21 1.3.3 Đại số 25 Độ sâu 28 Phức Koszul 35 3.1 Cách xây dựng Phức Koszul theo tích 35 3.2 Cách xây dựng Phức Koszul cách lấy tenxơ phức 37 3.3 Một số tính chất phức Koszul 39 Ứng dụng phức Koszul 41 4.1 Phức Koszul dãy quy 41 4.2 Phức Koszul độ sâu 43 4.3 Phức Koszul dãy giải tự đại số đối xứng 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Sau ký hiệu dùng luận văn k R M I M ⊗R N T (M ) S(M ) ∧(M ) HomR (M, N ) C• ⊗ K• ExtnR (M, N ) R[x1 , , xn ] (x1 , x2 , , xn ) (R, m) depth(I, M ) K• (x) K• (x; M ) Ann(M ) trường vành giao hoán có đơn vị R-môđun R-iđêan tích tenxơ M N với hệ số R R-đại số tenxơ môđun M R-đại số đối xứng môđun M R-đại số môđun M tập R-đồng cấu môđun từ M vào N tích tenxơ hai phức C• K• môđun mở rộng thứ n M N vành đa thức n biến với hệ số R R-iđêan sinh phần tử x1 , x2 , , xn vành địa phương R với iđêan cực đại m Độ sâu iđêan I môđun M phức Koszul dãy x phức Koszul dãy x với hệ số M linh tử M MỞ ĐẦU Phức Koszul đối tượng quan trọng đại số đồng điều Phức đặt theo tên nhà toán học người Pháp Jean-Louis Koszul, có mối liên hệ mật thiết với dãy quy độ sâu iđêan Nội dung luận văn trình bày lại số kiến thức dãy quy, độ sâu, phức Koszul nêu vài ứng dụng phức Koszul Bố cục luận văn trình bày sau Chương 1: Trình bày lại số kiến thức đại số đại cương đại số đồng điều như: phức, đồng điều phức, tích tenxơ hai phức, đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, dãy giải môđun mở rộng Chương 2: Trình bày lại số kiến thức dãy quy, dãy quy cực đại, từ đến khái niệm độ sâu iđêan Chương 3: Trình bày cách xây dựng phức Koszul số tính chất Chương 4: Nêu vài ứng dụng phức Koszul như: phức Koszul dãy quy cho ta dãy giải tự iđêan sinh dãy đó, kiểm tra dãy phần tử iđêan cực đại vành địa phương dãy quy, tính độ sâu iđêan, xây dựng phức với đồng điều vị trí đại số đối xứng iđêan Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương trình bày lại số kiến thức đại số đại cương đại số đồng điều: phức, đồng điều phức, tích tenxơ phức, đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, dãy giải môđun mở rộng Nội dung chương dựa tài liệu [2], [7], [6], [8], [10], [11], [12], [14], [15] Trong suốt luận văn, giả sử R vành giao hoán có đơn vị Các môđun đồng cấu hiểu R-môđun đồng cấu R-môđun 1.1 1.1.1 Các phức đồng điều phức Các phức Các nghiên cứu môđun đồng cấu chúng diễn tả thông qua phức Định nghĩa 1.1 Một dãy môđun đồng cấu ∂n+1 ∂ n M• : · · · → Mn+1 −−→ Mn −→ Mn−1 → (1.1) gọi phức ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z Tương tự, dãy môđun đồng cấu ∂ n−1 ∂n M • = · · · → M n−1 −−→ M n −→ M n+1 → , (1.2) gọi đối phức ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z Một phức gọi khớp vị trí thứ n Ker ∂n = Im ∂n+1 Một phức gọi khớp khớp vị trí Lưu ý rằng, phức (khớp) hữu hạn, dãy (1.1) hữu hạn Ví dụ 1.2 Cho hai phần tử x, y ∈ R Khi dãy sau phức (−y (x y) x ) → R −−→ R2 −−→ R → Hơn nữa, x không ước không R y không ước không R/(x) phức khớp Nhận xét 1.3 Theo định nghĩa, ta có (i) M môđun tự ∃n ∈ N∗ : Rn → M → dãy khớp, f (ii) f : A → B đơn ánh → A → − B dãy khớp, g (iii) g : B → C toàn ánh B → − C → dãy khớp Việc kết hợp dãy khớp tạo nên loại dãy khớp quan trọng, gọi dãy khớp ngắn Định nghĩa 1.4 Một dãy khớp với môđun có dạng 0→M →M →M →0 gọi dãy khớp ngắn ∂n+1 ∂ n → Mn−1 → Nhận xét 1.5 Mọi dãy khớp dài · · · → Mn+1 −−→ Mn − phân tích thành dãy khớp ngắn −−→ ker ∂n −−→ Mn −−→ im ∂n −−→ 0 −−→ ker ∂n+1 −−→ Mn+1 −−→ im ∂n+1 −−→ Để liên kết phức, ta sử dụng khái niệm đồng cấu phức Định nghĩa 1.6 Một đồng cấu hai phức M• M• họ đồng cấu f• := {fn : Mn → Mn }n∈Z cho biểu đồ sau giao hoán ∂n+2 ∂n+1 ∂n−1 ∂ −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→    f f f n+1 ∂n+2 n−1 n ∂n+1 ∂ ∂n−1 −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ tức fn−1 ◦ ∂n = ∂n ◦ fn , ∀n Ta kí hiệu f• : M• → M• Kết nói lên mối liên hệ đồng cấu thành phần đồng cấu hai dãy khớp ngắn Bổ đề 1.7 (Bổ đề đẳng cấu) Cho biểu đồ giao hoán hai dãy khớp ngắn f g f g −−→ A −−→ B −−→ C −−→    ϕ ψ ρ −−→ A −−→ B −−→ C −−→ Nếu ϕ ρ đẳng cấu ψ đẳng cấu Chứng minh Giả sử u ∈ ker ψ , sử dụng tính giao hoán biểu đồ ta ρ(g(u)) = g (ψ(u)) = g (0) = Vì ρ đơn cấu nên g(u) = 0, u ∈ ker g Tính khớp B u ∈ ker g ⇒ u ∈ im f , ∃a ∈ A : f (a) = u Sử dụng lần tính giao hoán biểu đồ, ta f (ϕ(a)) = ψ(f (a)) = 0, f đơn cấu nên ϕ(a) = 0, lại ϕ đơn cấu nên a = Do đó, u = f (0) = Vậy ψ đơn cấu Xét b ∈ B Khi g (b ) ∈ C Do ρ toàn cấu nên ∃c ∈ C : ρ(c) = g (b ), g toàn cấu nên ∃b ∈ B : g(b) = c Sử dụng tính giao hoán biểu đồ ta g (ψ(b)) = g (b ), g (ψ(b) − b ) = 0, hay ψ(b) − b ∈ ker g Tính khớp B ψ(b) − b ∈ im f , tức ∃a ∈ A : f (a ) = ψ(b) − b , ϕ toàn cấu nên ∃α ∈ A : ϕ(α) = a , sử dụng tính giao hoán biểu đồ ta ψ(b) − b = f (a ) = f (ϕ(α)) = ψ(f (α)) Do vậy, b = ψ(b) − ψ(f (α)) = ψ(b − f (α)), hay ψ toàn cấu 1.1.2 Đồng điều phức Việc nghiên cứu tính khớp phức quy việc nghiên cứu đồng điều chúng Tài liệu tham khảo [1] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addision-Wesley Publishing Company, Inc.: Reading, Massachusetts, 1969 [2] N Bourbaki, Algebra I Chap - 3: Elements of Mathematics, Hermann, Paris, 1974 [3] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge studies in advanced mathematics, No 39, Cambridge University Press: Cambridge, 1993 [4] D A Buchsbaum and D Eisenbud, Some structure theorems for Finite Free Resolutions, Advances in Mathematics 12(1), 84-139, 1974 [5] L Busé and M Chardin, Implicitizing rational hypersufaces using approximation complexes, Journal of Symbolic Computation, Elsevier, 40(4-5), pp.1150-1168, 2005 [6] H Cartan and S Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press: Princeton, New Jersey, 1956 [7] D S Dumit and R M Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons, Inc, 2004 [8] D Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebra Geometry, Graduate Texts in Mathematics No.150, Spring-Verlag: New York, 1995 50 [9] J Herzog, A Simis, and W V Vasconcelos, Koszul homology and blowing-up rings, Lecture note in Pure and Applied Math.,84:79-169, 1983 [10] N.H.V Hưng, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1998 [11] N.H.V Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, 2000 [12] S Sather-Wagstaff, Commutative Algebra Mini-Course, 2004 http://www.math.utah.edu/vigre/minicourses/algebra/satherwagstaff.pdf [13] S Sather-Wagstaff, Koszul notes, 2011 https://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/sp14/790/koszul120611.pdf [14] Irena Swanson, Homological Algebra, Rome, 2010 http://people.reed.edu/ iswanson/homologicalalgebra.pdf [15] G Valla, On the Symmetric and Rees algebras of an ideal, Manuscripta math.30, 239-255, 1980 51 [...]... and W V Vasconcelos, Koszul homology and blowing-up rings, Lecture note in Pure and Applied Math.,84:79-169, 1983 [10] N.H.V Hưng, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1998 [11] N.H.V Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, 2000 [12] S Sather-Wagstaff, Commutative Algebra Mini-Course, 2004 http://www.math.utah.edu/vigre/minicourses/algebra/satherwagstaff.pdf [13] S Sather-Wagstaff, Koszul notes, 2011 https://www.ndsu.edu/pubweb/... Sather-Wagstaff, Commutative Algebra Mini-Course, 2004 http://www.math.utah.edu/vigre/minicourses/algebra/satherwagstaff.pdf [13] S Sather-Wagstaff, Koszul notes, 2011 https://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/sp14/790 /koszul1 20611.pdf [14] Irena Swanson, Homological Algebra, Rome, 2010 http://people.reed.edu/ iswanson/homologicalalgebra.pdf [15] G Valla, On the Symmetric and Rees algebras of an ideal, Manuscripta math.30,