VỀ PHỨC KOSZUL

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Phụ Hoàng Lân HÀ NỘI- 2015 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Các phức đồng điều phức Các phức Định nghĩa 1.1 Một dãy môđun đồng cấu ∂n+1 ∂ n M• : · · · → Mn+1 −−→ Mn −→ Mn−1 → (1.1) gọi phức ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z Tương tự, dãy môđun đồng cấu ∂ n−1 ∂n M • = · · · → M n−1 −−→ M n −→ M n+1 → , (1.2) gọi đối phức ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z Một phức gọi khớp vị trí thứ n Ker ∂n = Im ∂n+1 Một phức gọi khớp khớp vị trí Lưu ý rằng, phức (khớp) hữu hạn, dãy (1.1) hữu hạn Định nghĩa 1.2 Một dãy khớp với môđun có dạng 0→M →M →M →0 gọi dãy khớp ngắn ∂n+1 ∂ n Nhận xét 1.3 Mọi dãy khớp dài · · · → Mn+1 −−→ Mn − → Mn−1 → phân tích thành dãy khớp ngắn −−→ ker ∂n −−→ Mn −−→ im ∂n −−→ 0 −−→ ker ∂n+1 −−→ Mn+1 −−→ im ∂n+1 −−→ Định nghĩa 1.4 Một đồng cấu hai phức M• M• họ đồng cấu f• := {fn : Mn → Mn }n∈Z cho biểu đồ sau giao hoán ∂n+2 ∂n+1 ∂n−1 ∂ −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→    f f f n+1 ∂n+2 n−1 n ∂n+1 ∂n−1 ∂ −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ tức fn−1 ◦ ∂n = ∂n ◦ fn , ∀n Ta kí hiệu f• : M• → M• 1.1.2 Đồng điều phức Định nghĩa 1.5 Môđun thương Hn (M• ) := ker ∂n /im ∂n+1 gọi môđun đồng điều thứ n phức M• Một cách tương tự, môđun thương H n (M • ) := ker ∂ n /im ∂ n−1 gọi môđun đối đồng điều thứ n đối phức M • Mệnh đề 1.6 Cho đồng cấu f• hai phức M• M• ∂n+1 ∂ −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→    f f f n+1 n−1 n ∂n+1 ∂ −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ Khi với n có đồng cấu (f∗ )n : Hn (M• ) → Hn (M• ) cảm sinh fn sau (f∗ )n ([m]) = [fn (m)] , ∀m ∈ ker ∂n Định nghĩa 1.7 Cho phức M• , M• , M• đồng cấu f• : M• → M• , g• : M• → M• Nếu với n dãy fn gn → Mn − → Mn − → Mn → dãy khớp ngắn, ta gọi dãy f• g• → M• − → M• − → M• → dãy khớp ngắn phức M• , M• , M• Định lý 1.8 Cho dãy khớp ngắn phức f• g• → M• − → M• − → M• → Dãy cảm sinh dãy khớp dài đồng điều (f∗ )n (g∗ )n δ n · · · → Hn (M• ) −−−→ Hn (M• ) −−→ Hn (M• ) − → Hn−1 (M• ) (f∗ )n−1 (g∗ )n−1 δn−1 −−−−→ Hn−1 (M• ) −−−−→ Hn−1 (M• ) −−→ Hn−2 (M• ) → (1.3) Các đồng cấu δn : Hn (M• ) → Hn−1 (M• ) gọi đồng cấu nối 1.1.3 Tích tenxơ phức Cho (C• , ∂• ) (K• , λ• ) hai phức Ta tạo tích tenxơ hai phức (C• , ∂• ) (K• , λ• ), kí hiệu C• ⊗R K• , theo cách sau: (C• ⊗R K• )n := ⊗ Kn−i , đồng cấu gn : (C• ⊗R K• )n → (C• ⊗R K• )n−1 xác định thành phần Ci ⊗ Kn−i ∂i ⊗ idKn−i + (−1)i idCi ⊗ λn−i i Ci 1.2 1.2.1 Các dãy giải môđun mở rộng Các dãy giải Định nghĩa 1.9 Một dãy giải môđun M phức ϕ2 ϕ1 M• : → − M2 −→ M1 −→ M0 → − 0, (1.4) với Hi (M• ) = 0, ∀i > H0 (M• ) = M Hơn nữa, tồn n ≥ cho Mn = Mk = 0, ∀k > n dãy giải gọi có độ dài n Nhận xét 1.10 Đôi khi, dãy giải M viết dạng ϕ2 ϕ1 → − M2 −→ M1 −→ M0 → − M → Khi phức dãy khớp Định nghĩa 1.11 Dãy giải (1.4) gọi dãy giải xạ ảnh (tự do) M Mi môđun xạ ảnh (tự do) với i Mệnh đề 1.12 Mọi môđun M có dãy giải tự Định nghĩa 1.13 Một dãy giải nội xạ môđun M phức môđun nội xạ → Q0 → Q1 → Q2 → , với H i (Q• ) = 0, ∀i > H (Q• ) = M Đôi khi, ta viết dãy giải nội xạ M dạng → M → Q0 → Q1 → Q2 → , phức dãy khớp Mệnh đề 1.14 Mỗi môđun M có dãy giải nội xạ 1.2.2 Các môđun mở rộng Cho M, N môđun P• dãy giải xạ ảnh M · · · → P2 → P1 → P0 → Tác động hàm tử HomR ( , N ) lên dãy giải trên, ta phức đối đồng điều HomR (P• , N ) → HomR (P0 , N ) → HomR (P1 , N ) → HomR (P2 , N ) → (1.5) Định nghĩa 1.15 Ta định nghĩa ExtnR (M, N ) := H n (HomR (P• , N )) Mệnh đề 1.16 Ta có Ext0R (M, N ) ∼ = HomR (M, N ), ∀M, N Nhận xét 1.17 Môđun ExtnR (M, N ) xây dựng theo cách khác sau Xuất phát từ dãy giải nội xạ N → Q0 → Q1 → Q2 → Tác động hàm tử HomR (M, ) lên dãy giải ta phức đối đồng điều HomR (M, Q• ) → HomR (M, Q0 ) → HomR (M, Q1 ) → HomR (M, Q2 ) → (1.6) Ta định nghĩa ExtnR (M, N ) := H n (HomR (M, Q• )) Người ta chứng minh rằng, hai cách xây dựng môđun ExtnR (M, N ) tương đương Định lý 1.18 Cho M môđun tùy ý, dãy khớp ngắn môđun: → A → B → C → Khi đó, ta có dãy khớp dài sau δ 0 → HomR (M, A) → HomR (M, B) → HomR (M, C) − → Ext1R (M, A) δ → Ext1R (M, B) → Ext1R (M, C) − → Ext2R (M, A) → 1.3 1.3.1 Đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số Đại số tenxơ Cho M môđun Với số nguyên dương k , ta đặt T k (M ) = M ⊗ M ⊗ · · · ⊗ M (k lần), quy ước T (M ) = R Các phần tử T k (M ) gọi k -tenxơ M ∞ T k (M ) tổng trực tiếp R-môđun Mỗi phần Đặt T (M ) := k=0 tử T (M ) tổ hợp tuyến tính hữu hạn k -tenxơ Ta trang bị cho T (M ) phép nhân để trở thành R-đại số Vì tích tenxơ có tính chất kết hợp, ta có đẳng cấu tuyến tính tự nhiên sau µij : T i (M ) ⊗ T j (M ) → T i+j (M ) Các đẳng cấu cảm sinh đẳng cấu tắc µ : T (M ) ⊗ T (M ) → T (M ) Đẳng cấu µ xác định phép nhân T (M ) sau T (M ) × T (M ) → T (M ) (α, β) → µ(α ⊗ β) Ta chứng minh R-môđun T (M ) với phép nhân R-đại số Định nghĩa 1.19 R-đại số T (M ) gọi đại số tenxơ M Đặc biệt, M môđun tự ta mô tả tường minh T (M ) sau Mệnh đề 1.20 Giả sử M môđun tự với sở β = (e1 , e2 , , en ) Khi đó, T k (M ) R-môđun có sở gồm k -tenxơ dạng (ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik : ≤ i1 , i2 , , ik ≤ n), T (M ) có sở dạng (ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik : ≤ k < ∞, ≤ i1 , i2 , , ik ≤ n) Do phép nhân T (M ) thỏa mãn T i (M )T j (M ) ⊆ T i+j (M ), nên T (M ) R-đại số phân bậc Định lý 1.21 Cho M môđun T (M ) đại số tenxơ Nếu A R-đại số ϕ : M → A đồng cấu R-môđun, tồn đồng cấu R-đại số ψ : T (M ) → A cho ψ M = ϕ Giả sử f : M → N đồng cấu R-môđun Khi đó, f cảm sinh đồng cấu R-đại số T (f ) : T (M ) → T (N ) Đồng cấu tổng trực tiếp ánh xạ thành phần T (f ) = idR T k (f ) : T k (M ) → T k (N ), (0 < k < ∞), T k (f )(m1 ⊗ · · · ⊗ mk ) = f (m1 ) ⊗ · · · ⊗ f (mk ), ∀m1 , , mk ∈ M Mệnh đề 1.22 Cho hai dãy khớp môđun u v s t E → −E → − E →0, F → −F → − F →0 Khi đồng cấu v ⊗ t : E ⊗ F → E ⊗ F toàn cấu hạt nhân Im(u ⊗ 1F ) + Im(1E ⊗ s) Mệnh đề 1.23 Cho M N môđun Nếu f : M → N toàn cấu đồng cấu T (f ) : T (M ) → T (N ) toàn cấu hạt nhân iđêan T (M ) sinh P := ker f ⊂ M ⊂ T (M ) 1.3.2 Đại số đối xứng Ta gọi C(M ) iđêan T (M ) sinh phần tử có dạng m1 ⊗ m2 − m2 ⊗ m1 , ∀m1 , m2 ∈ M Định nghĩa 1.24 Đại số đối xứng môđun M , kí hiệu S(M ), thương đại số tenxơ T (M ) cho iđêan C(M ) Đại số tenxơ T (M ) sinh R = T (M ) M = T (M ) Các phần tử M giao hoán với đại số thương S(M ) Do đó, đại số đối xứng S(M ) đại số giao hoán Hơn nữa, iđêan C(M ) sinh phần tử nên C(M ) iđêan phân bậc Vậy S(M ) R-đại số giao hoán phân bậc với thành phần bậc k S k (M ) = T k (M )/C(M )k R-môđun S k (M ) gọi lũy thừa đối xứng cấp k M Để thuận tiện, ta kí hiệu M (k) := M × · · · × M (k lần) Định lý 1.25 Cho M môđun S(M ) đại số đối xứng (1) Lũy thừa đối xứng cấp k M , S k (M ), S k (M ) = T k (M ) , (m1 ⊗ m2 ⊗ · · · ⊗ mk − mσ(1) ⊗ mσ(2) ⊗ · · · ⊗ mσ(k) ) với ∀mi ∈ M phép hoán vị σ nhóm đối xứng Sk (2) Nếu ϕ : M (k) → N ánh xạ đa tuyến tính đối xứng, tồn đồng cấu ψ : S k (M ) → N cho ϕ = ψ ◦ i, ánh xạ i : M (k) → S k (M ), (m1 , , mk ) → m1 ⊗· · ·⊗mk mod C(M ) (3) Nếu A R-đại số giao hoán ϕ : M → A đồng cấu R-môđun, tồn đồng cấu R-đại số ψ : S(M ) → A cho ψ M = ϕ Hệ 1.26 Cho M môđun tự có hạng n Khi S(M ) đẳng cấu (như R-đại số phân bậc) với vành đa thức n biến R Giả sử f : M → N đồng cấu R-môđun Khi đó, f cảm sinh đồng cấu R-đại số S(f ) : S(M ) → S(N ) Đồng cấu tổng trực tiếp ánh xạ thành phần S (f ) = idR S k (f ) : S k (M ) → S k (N ), (0 ≤ k < ∞), S k (f )(m1 mk ) = f (m1 ) f (mk ), ∀m1 , , mk ∈ M Mệnh đề 1.27 Cho M, N môđun Nếu f : M → N toàn cấu S(f ) : S(M ) → S(N ) toàn cấu hạt nhân iđêan S(M ) sinh P := ker f ⊂ M ⊂ S(M ) Hệ 1.28 Cho I = (x1 , , xn ) iđêan R toàn cấu f : Rn → I , ei → xi Khi đó, tồn toàn cấu ψ : R[T1 , , Tn ] → S(I) hạt nhân iđêan N R[T1 , , Tn ] n n Ti cho sinh đa thức bậc i=1 xi = i=1 Hệ 1.29 Với giả thiết Hệ 1.28 Khi n n fi Ti f1 , , fn ∈ R[T1 , , Tn ] N= i=1 1.3.3 fi xi = i=1 Đại số Gọi A(M ) iđêan T (M ) sinh phần tử có dạng m⊗ m, ∀m ∈ M Định nghĩa 1.30 Đại số môđun M , kí hiệu ∧(M ), thương đại số tenxơ T (M ) cho iđêan A(M ) Ảnh phần tử m1 ⊗· · ·⊗mk ∧(M ) kí hiệu m1 ∧· · ·∧mk Tương tự đại số đối xứng, iđêan A(M ) sinh phần tử nhất, nên ∧(M ) R-đại số phân bậc với thành phần bậc k ∧k (M ) = T k (M )/A(M )k R-môđun ∧k (M ) gọi lũy thừa bậc k M Định nghĩa 1.31 Phép nhân (m1 ∧ · · · ∧ mk ) ∧ (m1 ∧ · · · ∧ mh ) = m1 ∧ · · · ∧ mk ∧ m1 ∧ · · · ∧ mh đại số gọi tích Theo định nghĩa ∧(M ), phép nhân có tính thay phiên, tức tích m1 ∧ · · · ∧ mk = ∧(M ) tồn cặp số (i, j), ≤ i, j ≤ k mà mi = mj với i = j Khi đó, ∀m, m ∈ M ta có = (m + m ) ∧ (m + m ) = (m ∧ m) + (m ∧ m ) + (m ∧ m) + (m ∧ m ) = (m ∧ m ) + (m ∧ m) Điều rằng, phép nhân ∧ có tính phản đối xứng m ∧ m = −m ∧ m, ∀ m, m ∈ M Áp dụng lặp lại đẳng thức nhiều lần ta có mσ(1) ∧ · · · ∧ mσ(k) = sgn(σ)m1 ∧ · · · ∧ mk , với m1 , , mk ∈ M, σ ∈ Sk Định lý 1.32 Cho M môđun ∧(M ) đại số (1) Lũy thừa cấp k M , ∧k (M ), T k (M ) ∧ (M ) = (m1 ⊗ m2 ⊗ · · · ⊗ mk : mi = mj , với i = j) k (2) Nếu ϕ : M (k) → N ánh xạ đa tuyến tính thay phiên, tồn đồng cấu ψ : ∧k (M ) → N cho ϕ = ψ ◦ i, ánh xạ i : M (k) → ∧k (M ), (m1 , , mk ) → m1 ∧ · · · ∧ mk Hệ 1.33 Cho M môđun tự với sở β = (e1 , , en ) Khi tập sau sở ∧k (M ) (ei1 ∧ · · · ∧ eik , ≤ i1 < · · · < ik ≤ n), ∧k (M ) = k > n Nói riêng, rankR ∧k (M ) = n k Chương Độ sâu Định nghĩa 2.1 Một dãy phần tử α1 , α2 , , αn ∈ R gọi dãy quy môđun M (hoặc M -dãy) (i) (α1 , α2 , , αn )M = M (ii)Với i = 1, 2, , n, αi không ước không M/(α1 , , αi−1 )M (với i = 1, α1 không ước không M ) Khi n gọi độ dài M -dãy α1 , α2 , , αn Nếu điều kiện (ii) thỏa mãn, dãy α1 , α2 , , αn gọi quy yếu (trên M ), hay M -dãy yếu Mệnh đề 2.2 Những điều kiện sau tương đương (i) x1 , , xn M -dãy (ii) x1 , , xs M -dãy xs+1 , , xn M/(x1 , , xs )M dãy, ∀ < s < n, s ∈ N∗ Bổ đề 2.3 Nếu x1 , x2 M -dãy x2 , x1 M -dãy x2 không ước không M Điều với vành Noether địa phương Mệnh đề 2.4 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M môđun hữu hạn sinh Khi đó, hoán vị M -dãy M -dãy Mệnh đề 2.5 Cho R vành Noether M môđun Khi dãy quy M hữu hạn 10 Định nghĩa 2.6 Một dãy quy cực đại môđun M M -dãy x1 , , xn cho với y ∈ R, dãy x1 , , xn , y không M -dãy Bổ đề 2.7 Cho iđêan I R, môđun M M -dãy x1 , , xk có độ dài k chứa I Đặt Ik = (x1 , , xk ) Mk = M/Ik M với k = 1, n (và M0 = M ) Khi Extk (R/I, M ) ∼ = HomR (R/I, Mk ) R Định lý 2.8 Cho R vành Noether, M môđun hữu hạn sinh, iđêan thực I ⊂ R cho IM = M , dãy quy cực đại M mà chứa I có độ dài inf{i | ExtiR (R/I, M ) = 0} Hệ 2.9 Cho R vành Noether M môđun Khi M -dãy R bổ sung thành M -dãy cực đại Định nghĩa 2.10 Cho môđun M iđêan thực I ⊂ R Độ sâu I M , kí hiệu depth(I, M ), định nghĩa độ dài cực đại M -dãy chứa iđêan I Nhận xét 2.11 Như vậy, theo Định lý 2.8, độ sâu iđêan I môđun M vành Noether tính sau depth(I, M ) = inf{i | ExtiR (R/I, M ) = 0} 11 Chương Phức Koszul 3.1 Cách xây dựng Phức Koszul theo tích Cố định dãy x = x1 , x2 , , xn ∈ R sở (e1 , e2 , , en ) Rn Đặt K0 = R Ki = với i < Với i ≥ 1, đặt Ki = ∧i (Rn ) Khi Ki R-môđun tự có hạng n i với sở có dạng (ej1 ∧ ej2 ∧ · · · ∧ eji | ≤ j1 < j2 < · · · < ji ≤ n) Đặc biệt, Ki = 0, ∀i > n Kn có sở (e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ en ) Với i = 1, 2, , n, đặt ∂iK : Ki → Ki−1 cho i (−1)k+1 xjk ej1 ∧ · · · ∧ ejk ∧ · · · ∧ eji ej1 ∧ ej2 ∧ · · · ∧ eji → k=1 Với i > n i < 1, đồng cấu ∂iK = Dãy môđun Ki đồng cấu ∂iK có dạng sau B A K• : → R − → Rn → · · · → Rn − → R → (3.1) K Ta kiểm tra ∂iK ∂i+1 = 0, ∀i ∈ Z Do K• phức n Đặc biệt, Hn (K• ) ∼ = {r ∈ R | xi r = 0, ∀i = 1, , n} = {0 :R xi } i=1 H0 (K• ) ∼ = R/(x) Định nghĩa 3.1 Phức K• xây dựng gọi phức Koszul x (liên kết với x), kí hiệu K• (x) K• (x; R) Với R-môđun M , phức K• (x; M ) := K• (x) ⊗R M gọi phức 12 Koszul x với hệ số M Phức đẳng cấu với phức sau n → M → M n → M ( ) → · · · → M n → M → (3.2) Môđun đồng điều thứ i phức (3.2) Hi (K• (x; M )), kí hiệu Hi (x; M ) Trong trường hợp R vành Noether M hữu hạn sinh môđun Hi (x; M ) hữu hạn sinh n Dễ thấy H0 (x; M ) ∼ = = M/xM Hn (x; M ) ∼ {0 :M xi } i=1 3.2 Cách xây dựng Phức Koszul cách lấy tenxơ phức (1) Cho M môđun x phần tử R Phức Koszul x với hệ số M định nghĩa x G• (x; M ) : → M → − M →0 Khi M = R, phức G• (x; R) kí hiệu G• (x) (2) Nếu x1 , , xn dãy phần tử thuộc R, phức Koszul x1 , , xn với hệ số M , kí hiệu G• (x1 , , xn ; M ), định nghĩa theo quy nạp G• (x1 , , xn−1 ; M ) ⊗ G• (xn ; R) Mệnh đề 3.2 K• (x1 , , xn ) ∼ = G• (x1 , , xn ), ∀x := x1 , , xn ∈ R Nhận xét 3.3 Do tích tenxơ hai phức thỏa mãn C• ⊗ K• ∼ = K• ⊗ C• , nên phức Koszul bất biến (sai khác đẳng cấu) với hoán vị x1 , x2 , , xn Do đó, theo Mệnh đề 1.6, đồng điều phức Koszul bất biến với hoán vị x1 , x2 , , xn 3.3 Một số tính chất phức Koszul Mệnh đề 3.4 Cho (C• , ∂• ) phức R K• = K• (x) phức Koszul x ∈ R Khi ta có dãy khớp ngắn phức sau → C• → (C• ⊗ K• ) → C• [−1] → 0, 13 (3.3) Cn [−1] = Cn−1 , đồng cấu cấp thứ n định nghĩa sau δn : Cn → (Cn ⊗ R) ⊕ (Cn−1 ⊗ R) ∼ = Cn ⊕ Cn−1 , a → (a, 0), γn : Cn ⊕ Cn−1 → Cn [−1], (a, b) → b Hệ 3.5 Với giả thiết trên, ta có dãy khớp dài x x → − Hn (C• ) → Hn (C• ⊗ K• ) → Hn−1 (C• ) → − Hn−1 (C• ) → (3.4) Nhận xét 3.6 Dãy khớp dài hệ phân tích thành dãy khớp ngắn Hn (C• ) → Hn (C• ⊗ K• ) → AnnHn−1 (C• ) (x) → 0, xHn (C• ) với n, AnnM (N ) = {m ∈ M | mn = 0, ∀n ∈ N } 0→ 14 Chương Ứng dụng phức Koszul 4.1 Phức Koszul dãy quy Định lý 4.1 Nếu x1 , , xn R-dãy phức Koszul K• (x1 , , xn ) cho ta dãy giải tự R/(x1 , , xn ) Định lý 4.2 Một dãy phần tử x1 , , xn iđêan cực đại m vành địa phương (R, m) R-dãy H1 (x1 , , xn ) = Hệ 4.3 Cho M môđun vành địa phương (R, m) dãy phần tử x1 , , xn iđêan cực đại m Nếu Hi (x1 , , xn ; M ) = Hi (x1 , , xn−1 ; M ) = 0, với i ≥ 4.2 Phức Koszul độ sâu Bổ đề 4.4 Cho M môđun, x = x1 , , xn dãy phần tử R Giả sử I = (x1 , , xn ) chứa M -dãy y = y1 , , ym Khi Hn+1−i (x; M ) = với i = 1, 2, , m, Hn−m (x; M ) ∼ = HomR (R/I, M/yM ) ∼ = Extm R (R/I, M ) Định lý 4.5 Cho R vành Noether địa phương, M môđun hữu hạn sinh, I = (x1 , , xn ) ⊂ R cho IM = M , M -dãy cực đại chứa I có độ dài inf {k | Hn−k (x1 , , xn ; M ) = 0} 15 4.3 Phức Koszul dãy giải tự đại số đối xứng Giả sử x = (x1 , , xn ) tập sinh iđêan I vành R Từ hai đồng cấu (x1 , ,xn ) u :R[T1 , , Tn ]n −−−−−→R[T1 , , Tn ] n −→ (a1 , , an ) xi , i=1 n (T1 , ,Tn ) v :R[T1 , , Tn ] −−−−−→R[T1 , , Tn ] n −→ (a1 , , an ) Ti , i=1 ta xây dựng hai phức Koszul K• (x; R[T]), K• (T; R[T]) với đồng cấu tương ứng dx , dT Ta kiểm tra đồng cấu thỏa mãn dx ◦ dT + dT ◦ dx = Từ tính chất này, ta xây dựng phức mới, gọi phức xấp xỉ, với môđun ker dx , đồng cấu dT , kí hiệu Z• Z• = (kerdx ; dT ) v Phức có phần cuối ker u → − R[T1 , , Tn ] → Do H0 (Z• ) = R[T1 , , Tn ] , v(ker(u)) n n fi Ti f1 , , fn ∈ R[T1 , , Tn ] v(ker(u)) = i=1 i=1 Hơn nữa, theo Hệ 1.29, ta có H0 (Z• ) = fi x i = R[T1 , , Tn ] ∼ = S(I) v(ker(u)) 16 Tài liệu tham khảo [1] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addision-Wesley Publishing Company, Inc.: Reading, Massachusetts, 1969 [2] N Bourbaki, Algebra I Chap - 3: Elements of Mathematics, Hermann, Paris, 1974 [3] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge studies in advanced mathematics, No 39, Cambridge University Press: Cambridge, 1993 [4] D A Buchsbaum and D Eisenbud, Some structure theorems for Finite Free Resolutions, Advances in Mathematics 12(1), 84-139, 1974 [5] L Busé and M Chardin, Implicitizing rational hypersufaces using approximation complexes, Journal of Symbolic Computation, Elsevier, 40(4-5), pp.1150-1168, 2005 [6] H Cartan and S Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press: Princeton, New Jersey, 1956 [7] D S Dumit and R M Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons, Inc, 2004 [8] D Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebra Geometry, Graduate Texts in Mathematics No.150, Spring-Verlag: New York, 1995 17 [9] J Herzog, A Simis, and W V Vasconcelos, Koszul homology and blowing-up rings, Lecture note in Pure and Applied Math.,84:79-169, 1983 [10] N.H.V Hưng, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1998 [11] N.H.V Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, 2000 [12] S Sather-Wagstaff, Commutative Algebra Mini-Course, 2004 http://www.math.utah.edu/vigre/minicourses/algebra/satherwagstaff.pdf [13] S Sather-Wagstaff, Koszul notes, 2011 https://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/sp14/790/koszul120611.pdf [14] Irena Swanson, Homological Algebra, Rome, 2010 http://people.reed.edu/ iswanson/homologicalalgebra.pdf [15] G Valla, On the Symmetric and Rees algebras of an ideal, Manuscripta math.30, 239-255, 1980 18