ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT THÔNG TIN ĐỂ TÍNH ENTROPY CỦA LỖ ĐEN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM BÁO CÁO TỐNG KẾT ĐỀ TÀI CẤP TRƢỜNG ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT THÔNG TIN ĐỂ TÍNH ENTROPY CỦA LỖ ĐEN Mã số :CS.2005.23.96 Chủ nhiệm đê tài: Lê Nam Tp.HCM tháng năm 2006 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM BÁO CÁO TỐNG KẾT ĐỀ TÀI CẤP TRƢỜNG ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT THÔNG TIN ĐỂ TÍNH ENTROPY CỦA LỖ ĐEN Mã số :CS.2005.23.96 Chủ nhiệm đê tài: Lê Nam Tp.HCM tháng năm 2006 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 MỤC LỤC TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU PHẦN A I ĐẶT VẤN ĐỀ II QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN Mục đích đề tài lí thuyết thông tin trọng vật lí Tính Entropy lỗ đen theo vật lí lƣợng tử Tính Entropy lỗ đen phép lượng tử hóa diện tích I I I K ế t l u ậ n PHẦN B I ENTROPY TRONG TOÁN HỌC VÀ TRONG VẬT LÍ Entropy thông tin Entropy độ trật tự 11 Entropy thông tin 12 Kết luận 13 II ENTROPY CỦA LỖ ĐEN 15 Sơ lược v ề lỗ đen 15 Tính Entropy lỗ đen theo vật lí lƣợng tử 16 Ý nghĩa Entropy lỗ đen theo lí thuyết thông tin 18 Kết luận 20 T À I L I Ệ U T H A M K H Ả O 21 BÁO CÁO KINH PHÍ 22 THUYẾT MINH ĐỀ TÀI Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƢỜNG Tên đề tài : Áp dụng phƣơng pháp lí thuyết thông tin để tính Entropy lỗ đen Mã số: cs.2005.23.96 Chủ nhiệm đề tài: Lê Nam Tel: ……………………… E-mail: ………………………………………………………………………………………………… Cơ quan chủ trì đề tài : Khoa Vật lí Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Cơ quan cá nhân phối hợp thực : không Thời gian thực hiện: 6/2005 - 6/2006 Mục tiêu - Trình bày lại khái niệm Entropy đầy đủ, chi tiết không nặng nề mặt toán học nhằm giúp ích cho việc giảng dạy môn Nhiệt học - Vật lí thống kê Tính toán gần (định tính) Entropy lỗ đen giải thích ý nghĩa nhờ lí thuyết thông tin Nội dung - Entropy toán học, cụ thể Entropy thông tin Entropy độ trật tự - thông tin Tính Entropy lỗ đen nhờ hệ thức bất định Tính Entopy lỗ đen theo phép lượng tử hóa diện tích Giải thích Entropy lỗ đen theo lí thuyết thông tin Kết đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế-xã hội) Xây dựng thành giảng cho môn khác - Entropy toán học vật lí cho Vật lí thống kê - Entropy lỗ đen hệ thức bất định cho Cơ lượng tử - Entropy lỗ đen phép lượng tử hóa diện tích cho thuyết tương đối rộng Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 PHẦN A I ĐẶT VẤN ĐỀ Cho phép tác giả điểm qua cách trình bày Entropy giáo trình môn Vật lí thống kê tiếng Việt S c h Nhiệt động lực học vật lí thống kê, V ũ T n h K h i ế t , N X B Đ i h ọ c Q u ố c g i a H N ộ i , 9 , v i ế t n hư s a u : Đại lượng S đưa vào gọi Entropỵ, hàm trạng thái hệ, độ biến thiên hàm nhiệt lượng mà hệ nhận trình thuận nghịch ( t r a ng ) Entropy hàm số nhân với logarit tổng số trạng thái vi mô dĩ hệ ứng với trạng thái vĩ mô cho trước ( t r a ng ) S c h Vật lí thống kê, N g u y ễ n N h ậ t K h a n h, N X B Đ i h ọ c Q u ố c g i a T p H C M , 9 v i ế t n hư s a u : Ta đưa vào ký hiệu khoảng từ đến số trạng thái vi mô hệ ứng với lượng + E logarit gọi Entropy hệ trạng thái cân (tr.15) S c h Vật lí thống kê, Đ ỗ T r ầ n C t , N X B K ho a h ọ c K ỹ t hu ậ t H N ộ i, 0 v i ế t n hư s a u : Đại lượng số trạng thái có khoảng lượng E ứng với lượng trung bình E Entropy hệ định nghĩa hệ số Boltimann nhân với logarit ( t r a ng ) S c h Vật lí thống kê, N g u y ễ n Q u a ng B u , B ù i B ằ n g Đ o a n, N g u y ễ n V ă n H ù ng , N X B Đ i h ọ c Q u ố c g i a H N ộ i , 9 v i ế t n hư s a u : Entropy tỉ lệ với logarit tự nhiên số trạng thái vi mô ứng với trạng thái vĩ mô hệ ( t r a ng ) S c h Vật lí thống kê nhiệt động lực thống kê, Đ ỗ X u â n H ộ i, T r n g Đ H S P T p H C M , 0 v i ế t n hư s a u : Trong lĩnh vực truyền thông ta biết trước cách chắn chắn kết biến cố ta cần phải dùng lí thuyết xác suất, tức ta đầy đủ thông tin v ề biến cố Để đo lường mức độ thiếu thông tin biến cố ta đưa vào khái niệm Entropy thống kê Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 Xét tập biến cố A1,A2, ,An ứng với xác suất p , p , … p n Entropy thống kê liên kết với tập hợp định nghĩa sau : ∑ k số dương; ∑ Entropy có giá trị cực đại tất biến cố đồng xác suất tức ta hoàn toàn thiếu thông tin vê biến cố Vậy Entropy thống kê cực đại trạng thái biến cố hoàn toàn trật tự (hỗn độn) Khi chọn hệ số k số Boltzmann Entropy thống kê trùng với Entropy nhiệt động lực Clausius đề Vậy Entropy thống kê xem độ đo thiếu thông tin liên quan đến trạng thái vi mô hệ Nói cách khác, Entropy độ đo tính hỗn loạn (độ trật tự) hệ (trang 32) Tác giả xin phép có vài nhận xét sau : - Tác giả Nguyễn Thanh Khiết sử dụng định nghĩa Entropy Clausius Boltzmann - Tác giả Nguyễn Nhật Khanh, Đỗ Trần Cát, Nguyễn Quang Báu sử dụng định nghĩa Boltzmann - Tác giả Đỗ Xuân Hội sử dụng định nghĩa Entropy thống kê lí thuyết thông tin cách đưa khái niệm đại nhất, phù hợp với định nghĩa Entropy sách Ví dụ : sách Gravity, B Schutz, Cambridge Univercity Press, 2003 có viết: Entropy số đo độ trật tự hệ Nó đồng thời số đo lượng thông tin chứa hệ (tr.427) Khi đọc sách tác giả trên, nảy ý định trình bày lại khái niệm Entropy cách đầy đủ chi tiết phần mà tác giả chưa đưa đưa chưa thật đầy đủ Cách trình bày mà đề tài yêu cầu không phức tạp nặng nề mặt toán học mà nhấn mạnh đến khía cạnh vật lí nhằm giúp ích cho việc giảng dạy giảng viên việc tự đọc sinh viên tiếp xúc với môn Vật lí thống kê Nhiệt đại cương Đề tài mở rộng sang lĩnh vực nhiệt động học lỗ đen mà cụ thể trình bày cách tính định tính (gần đúng) Entropy lỗ đen Việc tính toán Entropy lỗ đen theo hai cách khác Cách thứ theo nguyên lí bất định Cơ lượng tử cách thứ hai theo phép lượng tử hóa Planck đề xướng Cả hai hướng tiếp cận trình bày chi tiết không nặng mặt toán học Hy vọng với cách trình bày không phức tạp phù hợp với việc đưa vào giảng dạy môn Cơ lượng tử Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 thuyết tương đối rộng cho sinh viên khoa Vật lí Những ý tưởng thúc giục tác giả đăng kí đề tài mang mã số cs.2005.23.96 II QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN Mục đích đề tài Có thể việc khó khăn theo tác giả tìm kiếm tài liệu đa số tài liệu cần thiết mạng internet Rất may tác giả có liên hệ với đồng nghiệp Trường Tổng hợp Chicago Trường Oxfoxrd nên tìm tài liệu cần thiết báo gốc Jayner Brillouin, báo gốc nhà toán học Nga Khinchin giảng vật lí lỗ đen cho nghiên cứu sinh trẻ chuyên gia hàng đầu giới R.Wald, J.Bekensfein, T.Jacobson 't.Hooft Vấn đề từ tư liệu cần tìm cách đơn giản hóa để đưa vào giảng dạy bậc đại học mục tiêu đề tài Đề tài chia làm ba phần sau : Entropy lí thuyết thông tin vật lí, tính toán Entropy lỗ đen theo vật lí lượng tử cuối lượng tử hóa diện tích lỗ đen theo phương pháp Planck lí thuyết thông tin trọng vật lí Hiện có nhiều giảng nhập môn lí thuyết thông tin : Information theory and Statistics Kullback hay A Short Course in InformationTheory MacKay Trong giảng này, khái niệm Entropy toán học trình bày ngắn gọn dễ hiểu Mặc dù dễ hiểu dễ hiểu dành cho sinh viên khoa Toán Đối với sinh viên vật lí cần phải đơn giản ngắn gọn phải đơn giản tính sử dụng cao không ngắn gọn không thời gian để đưa vào chương trình chật cứng Sau lựa chọn nhiều phương án khác tác giả đặt vấn đề sau : - Cho ví dụ cụ thể, đời thường để sinh viên làm quen với khái niệm thông tin Sau dùng đồ thị để từ đưa hàm thông tin I(p) = -k log p - Tận dụng biểu thức tính trị trung bình toán xác suất lượng tử để đưa công thức - Đưa số ví dụ cụ thể để minh họa từ dẫn tới công thức Shannon so sánh kết vừa tìm với công thức Entropy có Vật lí thống kê Như vậy, ta thực hai mục đích đưa vào khái niệm Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 thông tin chứa hệ đồng thông tin chứa hệ với Entropy nhiệt động Boltzmann đưa thông qua công thức Để nói lên liên hệ Entropy độ trật tự, tác giả dựa công trình nhà toán học Nga Khinchin Toàn phần chứng minh nặng nề toán học lược bỏ, tác giả giữ lại kết luận quan trọng Khinchin trình bày lại theo ngôn ngữ nhà vật lí Để minh họa, tác giả đưa vài ví dụ cụ thể để từ rút kết luận : Entropy số đo lượng thông tin chứa hệ số đo độ trật tự (disorder) hệ: Như Entropy hệ tăng đồng nghĩa với lượng thông tin chứa hệ tăng kéo theo độ trật tự tăng Hệ trật tự thông tin ta nắm về hệ giảm Từ ý tưởng dẫn đến khái niệm thông tin (The Information Loss) Brillouin đưa vào năm 1957 Tóm lại, Entropy tăng ⟶ thông tin chứa hệ tăng⟶thông tin ta nắm giảm (mất thông tin) Phần cuối mục vấn đề hướng thời gian Đây vấn đề phức tạp liên quan đến triết học, toán học, vật lí học nên tác giả giới hạn lĩnh vực nhiệt động học Do Entropy hệ kín tăng nên ta định nghĩa hướng thời gian sau : Chiều dương thời gian hướng mà Entropy hệ nhiệt động cô lập tăng Như việc Entropy tăng định mũi tên thời gian theo chiều không đảo ngược lại Tính Entropy lỗ đen theo vật lí lƣợng tử Theo vật lí lượng tử, không thời gian sinh cặp hạt - phản hạt áo Chúng sinh ra, gặp tự hủy Xét cặp photon - phản photon sinh sát cạnh chân trời kiện lỗ đen Do bên lỗ đen có quỹ đạo ứng với lượng âm nên photon với -E (phản photon) đâm vào lỗ đen photon với + E chuyển động xa vô người quan sát nhận thấy lỗ đen xạ photon với +E Do photon với -E đâm vào lỗ đen làm khối lượng lỗ đen giảm Từ chế này, ta tính gần nhiệt độ lỗ đen hệ thức bất định Heisenberg Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 c : Vận tốc ánh sáng h : Hằng số Planck G : Hằng số hấp dẫn k : Hằng số Boltzmann m : khối lượng lỗ đen Nếu ta thêm vào mẫu số số hạng n ta nhận công thức xác nhiệt độ lỗ đen Hawking Từ công thức ta tính Entropy lỗ đen (định luật nhiệt động học) Thông thường nhà vật lí lí thuyết hay sử dụng hệ đơn vị hình học G = ћ = k = c =1 nên công thức tính Entropy lỗ đen có dạng gọn : A : diện tích chân trời kiện (diện tích lỗ đen) Do xạ nên khối lượng lỗ đen giảm làm giảm diện tích lỗ đen Điều có nghĩa xạ làm giảm Entropy điều trái với định luật hai nhiệt động học Bekenstein đưa định luật hai tổng quát (Generalized Second Law) sau : Entropy tổng quát = Entropy lỗ đen + Entropy bên lỗ đen không giảm theo thời gian Đây định luật đặc biệt giao điểm ba lĩnh vực riêng biệt vật lí: Nhiệt động học, Thuyết tương đối rộng Vật lí lượng tử Định luật trình bày báo khoa học giáo trình dành cho nghiên cứu sinh nhà nghiên cứu trẻ Bài toán đưa vào giảng dạy cho sinh viên minh họa độc đáo cho hệ hệ thức bất định lượng tử Bài toán đưa vào Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 giáo trình thuyết tương đối rộng theo phân bố khoa Vật lí môn học song song với lượng tử vật lí thống kê Tính Entropy lỗ đen phép lƣợng tử hóa diện tích Ta nhắc lại giả thuyết Planck đưa vào năm 1900 Một dao động điều hòa có tầng số v có giá trị lượng gián đoạn Giá trị số nguyên lần đại lượng hv gọi lượng tử lượng E = n.hv n= 1,2,3, h : hàng số Planck Giả thuyết thực nghiệm xác nhận gọi phương pháp lượng tử hoa Planck Xuất phát từ phương pháp Planck, năm 1995, Bekenstein Mukhanov lượng tử hóa diện tích lỗ đen sau : - Dựa vào gợi ý J.Wheeler hai ông chọn độ dài nhỏ độ dài Planck Lp cm - Diện tích nhỏ chân trời kiện A0 = α với α số xác định nhờ lí thuyết trường lượng tử không thời gian cong - Diện tích lỗ đen không quay A : A = n.A0 = n α ; n = 1,2,3 - Hòan toàn tương tự điện tử vật lí lượng tử diện tích A0 có trạng thái khác Ta giả thuyết A0 có trạng thái hạt graviton có trạng thái khác nên xem diện tích A0 hạt graviton Ta tính Entropy lỗ đen có diện tích A S=k.lnW = 1.ln2n = n.ln2; coi k =1 Sử dung kết Havvking ta thấy nên công thức tính Entropy : S= Áp dụng công thức Shannon ta tính lượng thông tin chứa lỗ đen Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 (Độ trật tự lầu lần 2) = D(l) + D(2) Từ tất yêu cầu nhà toán học Nga A Khinchin chứng minh : Độ trật tự hệ = -k∑ ln pi (5) k số dương chọn số Boltzmann Khi ta chọn k = kB công thức (5) công thức tính Entropy vật lí thống kê Ta phát biểu ý nghĩa Entropy sau : Entropy số đo định lượng độ trật tự hệ Entropy số đo thông tin chứa hệ hệ hỗn loạn chứa nhiều thông tin rõ ràng để xây dựng lại hệ giống y cần nhiều quy tắc, luật lệ, thông số để xây dựng lại hệ có tính trật tự cao cần thông tin Hệ có tính trật tự cao có Entropy nhỏ Ngược lại, hệ có độ trật tự cao có Entropy lớn Entropy Entropy thông tin chứa hệ độ trật tự hệ Entropy thông tin Trong phần xem xét vấn đề vừa nêu góc độ khác Như biết phần hai hệ có tính trật tự cao thông tin chứa hệ Trong hệ có độ trật tự cao thông tin chứa hệ lớn thông tin mà ta nhận lại Ví dụ : với hệ khí trạng thái cân nhiệt ta đo nhiệt độ, thể tích, mật độ áp suất, nghĩa với vài thông số Như vậy, thông tin hệ mà ta nắm Trong đó, với mạng tinh thể có cấu trúc cao hệ khí nên ta đo nhiều thông số để mô tả mạng tinh thể Ngoài thông số vừa nêu ta biết thêm xếp nguyên tử mạng, khoảng cách chúng, độ pha tạp chúng, Tóm lại, hệ có Entropy thấp cho ta nhiều thông tin Từ ta tới khái niệm thông tin1 Entropy tăng làm thông tin chứa hệ tăng thông tin mà ta nắm lại Ta nói ta bị thông tin có thêm lượng thông tin tương ứng với độ tăng Entropy ẩn chứa hệ mà ta cách biết Khi mạng tinh thể bị nóng chảy biến thành toàn thông tin xếp nguyên tử, khoảng cách chúng, bị Entropy tăng thông tin ta nắm giảm thông tin the iníbrmation loss 12 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 S=- I Nhà Vật lí Mỹ Brillouin người đề cập tới khái niệm thông tin báo đăng Tạp chí Vật lí ứng dụng năm 1951, số 22, tr.334 Entropy mũi tên thời gian Tất tự hỏi : thời gian ? Nó bắt đầu dẫn đến đâu ? Mọi cố gắng để trả lời câu hỏi thời gian thất bại tất ta làm tìm mô hình toán học thật tốt thời gian đưa tiên đoán phù hợp với thực nghiệm Theo Newton thời gian tách biệt không gian xem đường thẳng dài vô tận theo hai chiều Thời gian xem vĩnh cửu theo nghĩa tồn tồn mãi Theo Einstein thời gian không gian kết chặt với Sự phân bố vật chất làm cong không gian lẫn thời gian Như vậy, thời gian có hình dạng Lí thuyết Einstein tiên đoán vũ trụ thân thời gian phải có điểm bắt đầu kết thúc Mặc dù có khác biệt hai mô hình có chung điểm thời gian trôi theo chiều Một điều kì lạ giới ta sống Entropy tăng, độ trật tự tăng thời gian tiếp tục trôi cách quay ngược thời gian lại Từ đây, ta định nghĩa hướng thời gian sau : chiều dương thời gian hướng mà Entropy hệ nhiệt động cô lập tăng Như vậy, việc Entropy tăng định mũi tên thời gian (arrow of time) hướng theo chiều không đảo ngược lại Ta có tờ báo không khí phòng Chúng có it Entropy sau đốt tờ báo cho ta CO2, tro, nước phần không khí lại Quá trình xảy theo chiêu dương thời gian Ta quay ngược theo trục thời gian làm điều có nghĩa ta tạo trình làm giảm Entropy, điều trái với qui luật tự nhiên Ta chế tạo tờ báo từ CO2, tro, không khí ta lại làm Entropy môi trường xung quanh thay đổi kết Entropy tăng Kết luận Khái niệm Entropy lần nhà vật lí Đức R Clausius (1822 - 1888) đưa ông nghiên cứu tính chất động học chất khí Ông đưa đại lượng Journal of Applied Physics, Vol.22, 3, (1951) 13 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 Entropy1 hệ nhiệt mà hệ hấp thụ chia cho nhiệt độ hệ thông qua công thức : Khi hệ thực trình mà trao đổi nhiệt Entropy hệ khí không thay đổi Tuy nhiên, nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp nên Clausius chứng minh tổng số thay đổi Entropy dương Nhà vật lí xuất sắc người Áo Boltzmann (1844 - 1906) ta tính Entropy cách tính số cách khác mà phân tử khí phân bố không làm thay đổi trạng thái vĩ mô hệ : áp suất, nhiệt độ, mật độ Con số lớn biểu thị qua công thức mang tên ông : W : - tổng số cách mà hạt bệ phân bố mà không làm thay đổi đặc tính vĩ mô hệ, hay nói cách khác, W tổng số trạng thái vi mô ứng với trạng thái vĩ mô cho hệ kB : hàng số Boltzmann Tiếp theo Boltzmann, nhà toán học Mĩ Shannon đồng Entropy hệ với lượng thông tin chứa hệ Ông tìm công thức tính lượng thông tin chứa hệ mà thực chất dẫn tới công thức Boltzmann Cùng với nhiều nhà toán học khác, nhà toán học Nga A Khinchin nghiên cứu liên quan độ trật tự với thông tin Entropy Ông chứng minh ta đồng độ trật tự hệ với Entropy hệ thông qua công thức Shannon : Độ trật tự = -k∑ lnpi Cùng thời với Khinchin Shannon, nhà vật lí Mĩ Brillouin đưa khái niệm thông tin mà thực chất nhìn nhận vấn đề mà Shannon đặt góc độ khác Khi Entropy hệ tăng ta lượng thông tin lượng thông tin hệ tiếp nhận chứa Để mô tả dòng nhiệt, ông định nghĩa thay đổi Entropy 14 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 II ENTROPY CỦA LỖ ĐEN Sơ lƣợc v ề lỗ đen Lỗ đen ? Để trả lời câu hỏi ta có nhiều đáp án Lỗ đen nghiệm phương trình Einstein thuyết tương đối rộng Nghiệm mô tả vùng không thời gian mà thân vùng biên hoàn toàn không nhìn thấy người quan sát bên Vùng không nhìn thấy gọi lỗ đen Ta trả lời theo cách khác sau : Lỗ đen vật thể mà trường hấp dẫn mạnh tới mức tia sáng xuất phát từ bề mặt bị giữ lại hết, thoát người quan sát xa không thấy hết Theo định nghĩa thứ hai lỗ đen chuyển động, quay, va chạm hút vật thể khác Các quan sát cho thấy tồn lỗ đen thật quan sát gián tiếp Ta chia lỗ đen làm ba loại : - Loại cực lớn (Supermassive black holes) nhân thiên hà Ví dụ nhân thiên hà ta sống (dải Ngân Hà) lỗ đen có khối lượng cỡ triệu lần khối lượng mặt trời - Loại vừa có khối lượng cỡ từ 5-20 lần khối lượng mặt trời - Loại thứ ba gọi lỗ đen nguyên thủy (the primordial black holes) Vào thời điểm ban đầu vũ trụ ta có mật độ khối lượng lớn có thăng giáng lớn mật độ vật chất mà có khả hình thành lỗ đen nguyên thủy có khối lượng cỡ 1015g với kích thước cỡ hạt proton Một nét đặc trưng bật lỗ đen chân trời kiện (the event horizon), biên vùng không nhìn thấy Chân trời kiện mặt cong kín có tính chất đặc biệt cho ánh sáng vật vào mà khỏi lỗ đen Chính điều làm cho nhiều thông tin sau vào lỗ đen bị giam giữ mãi ghi nhận lại (không thể tái lập lại được) người quan sát lỗ đen Lí tín hiệu với chất qua chân trời kiện từ Chân trời kiện tạo nên rào cản dòng thông tin Đối với lỗ đen không quay, gọi lỗ đen Schwarzschild, chân trời kiện mặt cầu với bán kính Rs = 2Gmc-2 Từ ta tính diện tích chân trời kiện (diện tích lỗ đen) 15 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 Tính Entropy lỗ đen theo vật lí lƣợng tử Ta mô tả trình xạ Havvking cách định tính sau Theo Vật lí lượng tử, khắp không gian chứa đầy cặp hạt - phản hạt "ảo" Chúng luôn sinh theo cặp, tách sau gặp lại tự hủy Các cặp gọi ảo ta quan sát chúng cách trực tiếp máy đo hạt Ta gián tiếp đo chúng thông qua dịch chuyển Lamb phổ Hydrô Tại vùng không, thời gian sát cạnh lỗ đen có bốn trình sinh tự hủy cặp hạt - phản hạt "ảo" (Virtual pairs of particles antiparticles) Ta xét trình Quá trình I : Các cặp hạt - phản hạt ảo sinh ra, gặp tự hủy lỗ đen Quá trình II : Các cặp hạt, phản hạt ảo sinh lỗ đen, chuyển động vào lỗ đen tự hủy Quá trình III : Các cặp hạt - phản hạt sinh lỗ đen hạt có lượng dương chui vào lỗ đen hạt có lượng âm bay xa vô Quá trình IV : Các hạt - phản hạt sinh lỗ đen hạt có lượng âm chui vào lỗ đen bị hủy với hạt bên lỗ đen làm khối lượng lỗ đen giảm hạt với lượng dương bay xa vô Người quan sát nhận thấy lỗ đen xạ hạt có lượng dương trình bốc làm lỗ đen nhỏ lại cuối biến Do bên lỗ đen tồn quỳ đạo ứng với lượng âm nên trình IV vượt trội kết người quan sát xa thấy hạt với lượng dương 16 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 phát từ lỗ đen Ta áp dụng nguyên lí bất định lượng tử để tính gần nhiệt độ lỗ đen Xét cặp hạt - phản hạt photon sinh sát cạnh lỗ đen Do bên lỗ đen tồn quỹ đạo ứng với lượng âm nên hạt photon có lượng âm bay vào lỗ đen Nó kết hợp với photon lỗ đen làm lượng lỗ đen giám hay nói cách khác làm giảm khối lượng lỗ đen Photon với lượng dương (hạt thực) bay xa vô kết tạo xạ Hawking Do vị trí photon xạ xuất phát từ vùng lân cận bề mặt lỗ đen nên độ bất định tọa độ chọn x~rs (bán kính lỗ đen) Ta có hệ thức bất định Do AE = Ap.c theo nhiệt động học E Từ (1) (2) ta có k.T nên p = hay p (2) Từ ta tính nhiệt độ lỗ đen Đây kết gần nên sau áp dụng lí thuyết trường lượng tử không thời gian cong, Hawking tính biểu thức xác cho nhiệt độ lỗ đen Từ (4) ta dễ dàng tính Entropy lỗ đen k : số Boltzmann ; 17 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 ћ = : số Planck ; 2n G : số hấp dẫn ; A : diện tích lỗ đen ; m : khối lượng lỗ đen ; c : vận tốc ánh sáng Ta viết lại (5) dạng sau : S 1077k ( )2 (6) m : khối lượng lỗ đen Ms : khối lượng mặt trời Do xạ Hawking nên khối lượng lỗ đen giảm dần kéo theo giảm diện tích lỗ đen Mặt khác, diện tích lỗ đen giảm làm Entropy giảm Điều trái với định luật hai nhiệt động học Bekenstein người đưa định luật hai tổng quát sau (generalized second law): Entropy lỗ đen + Entropy bên lỗ đen không giảm theo thời gian, S = SBH + Soutside S : Entropy tổng quát, The total generalized entropy Ta hiểu (7) sau : Do xạ Hawking nên làm diện tích lỗ đen giảm kéo theo giảm Entropy lỗ đen xạ Hawking xạ nhiệt nên làm Entropy.của môi trường xung quanh tăng Kết Entropy tổng quát không giảm Như vậy, ta có thêm định luật cho vật lí - định luật hai tổng quát nhiệt động học Định luật hai tổng quát thực định luật đặc biệt giao điếm ba lĩnh vực riêng biệt vật lí : Nhiệt động học, Thuyết tương đối rộng Lí thuyết lượng tử Đó hoàn toàn trùng hợp ngẫu nhiên hay có ý nghĩa sâu sắc, khác đứng sau lưng trùng hợp kì lạ ba lĩnh vực vật lí riêng biệt hay không ? Cho tới tận ngày hôm nay, chưa có câu trả lời Ý nghĩa Entropy lỗ đen theo lí thuyết thông tin 18 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 Năm 1900, Planck đưa giả thuyết sau : dao động điều hòa có tần số v có giá trị lượng xác định gián đoạn Giá trị số nguyên lần đại lượng hv gọi lượng tử lượng E = n.hv; n : 1,2,3 h : số Planck =6,63.10-34 js Giả thuyết có tên phương pháp lượng tử hóa lượng Planck Do mô hình không - thời gian ta nhẵn liên tục ứng với độ dài nhỏ độ dài Planck lp nên Jonh Wheeler đề nghị nên chọn độ dài Planck làm lượng tử độ dài Dựa gợi ý Wheeler, năm 1995, Bekenstein Mukhanov lượng tử hóa diện tích lỗ đen sau : Diện tích lỗ đen số nguyên lần đại lượng = A gọi diện tích nguyên tô (diện tích nhỏ nhất) Diện tích lỗ đen A = n = n.A0 (9) n : số lượng tử 1,2,3, α hệ số dương Ta thấy chân trời kiện giống bàn cờ ô cờ ghép lại ô cờ có diện tích A0 Nếu diện tích nhỏ có hai trạng thái khác giống Spin điện tử lỗ đen với diện tích A = n.A0 có 2n trạng thái "bề mặt" tất Tất nhiên, có suy biến có mặt biểu thức tính Entropy Giả sử suy biến, ta viết công thức tính Entropy theo Boltzmann : Ta tính số lượng tử n từ biểu thức (9) thay vào tính Entropy ta : 19 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 Vấn đề xác định xác hệ số Lúc ta cần giúp đỡ công trình Hawking Việc tính toán Hawking cho ta lượng tử hóa chân trời kiện tuân theo công thức : Vậy Theo công thức Shannon ta tính lượng thông tin chứa lỗ đen với diện tích chân trời kiện A : Khi A = A0 ta có I = Ta nói diện tích nguyên tố A0 ứng với bít thông tin diện tích ứng với bít thông tin : Xét lỗ đen không quay có khối lượng khối lượng mặt trời : Vậy lượng thông tin chứa lỗ đen có m = msun : Khi vật rơi vào lỗ đen lỗ đen hình thành thông tin chúng điều bị che dấu chân trời kiện Ta hết thông tin chúng lỗ đen nuốt hết thông tin Do nuốt nhiều thông tin nên Entropy có giá trị lớn Kết luận Theo Boltzmann, Entropy klnW với W số trạng thái vi mô khác ứng với trạng thái vĩ mô cho trước hệ Như vậy, ta suy luận W số cách tạo lỗ đen với khối lượng diện tích cho trước coi 20 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 số cách khác để tạo chân trời kiện từ lượng tử diện tích A0 Cũng W số cách mà vật rơi vào lỗ đen số trạng thái lượng tử bên lỗ đen ứng với diện tích cho trước lỗ đen Cuối Entropy số đo độ thông tin nên lỗ đen nuốt nhiều thông tin Entropy lớn Tóm lại, thảo luận vấn đề tiền duyên vật lí lí thuyết lí thuyết hấp dẫn (one of the frontieral of theoretical research in Gravitation Theory) tương lai không xa lí thuyết lượng tử hấp dẫn xây dựng hoàn chỉnh chất thật Entropy lỗ đen giải đáp thỏa đáng Với cách trình bày ngắn gọn, không nặng mặt toán học trên, tác giả hy vọng đề tài giúp ích cho việc giảng dạy cho sinh viên nhằm góp phần nhỏ vào việc đưa v ấ n đ ề m i n h ấ t o bà i g i ả n g TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.Bekenstein (2001): limits of information Gr-grc/0009016 [2] L.Brillouin(1951) : information and entropy - J.App.Phys-Vol 22-3,334-337 [3] V.Frolov (1998): Black hole physics-Kluwer Academic publisher, p466-499 [4] EJayner (1957): Information Theory and Statistical Mechanics-Phys.Rev.vol 108, 2, p 171-190 [5] A.Khinchin (1957) : Mathematical Foundations of Information Theory - Dover Inc -New York, p 2-18 [6] S.Kullback (1997) : Information Theory and Statistics- Dover -Inc - New York, p 7-9 [7] D.Mackay(1995) : A Short Course Information Theory - Cambridge University Press - pl- [8] P.Mitra (1996): Black Hole Entropy, hep-th/ 960318 [9] T.Jacobson (2005): Black Hole Thermodynamics - Physics 776 - Advenced Gravitation Theory, Lecture notes, University Utrecht - Neitherlands [10] G.t Hooft (1997): Information and Information loss in Quantum Gravity -Lecture at Kuala Lumpur on Frontiers in Quantum Physics - p 10-21 21 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 BÁO CÁO KINH PHÍ Tên đề tài: Áp dụng phương pháp lí thuyết thông tin để tính Entropy lỗ đen Mã số : c s 0 Lập đề cương nghiên cứu 1.000.000 đ Thu thập tài liệu 7.000.000 đ Viết báo cáo in ấn 1.000.000 đ Nghiệm thu đề tài 1.000.000 đ Tổng cộng 10.000.000đ Bằng chữ : Mười triệu đồng chẵn 22 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mẫu 01 THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ [...]... hợp lí nhất nhờ lí thuyết thông tin Khi hình thành lỗ đen hoặc khi diện tích lỗ đen tăng do có vật chất bị cuốn vào lỗ đen thì ta hoàn toàn mất thông tin về lượng vật chất nằm trong lỗ đen Sự mất thông tin này tương ứng với việc tăng Entropy Tóm lại, do lỗ đen nuốt hầu như tất cả thông tin rơi vào nó nên lỗ đen mới có Entropy lớn cực kì khủng khiếp đến như vậy Lỗ đen là vật thể có Entropy lớn nhất... lượng thông tin này đã được hệ tiếp nhận và chứa trong nó 1 Để mô tả dòng nhiệt, ông định nghĩa sự thay đổi Entropy 14 Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96 II ENTROPY CỦA LỖ ĐEN 1 Sơ lƣợc v ề lỗ đen Lỗ đen là gì ? Để trả lời câu hỏi này ta có nhiều áp án Lỗ đen là nghiệm của phương trình Einstein trong thuyết tương đối rộng Nghiệm này mô tả vùng không thời gian mà bản thân vùng đó và biên của nó... lượng thông tin chứa trong lỗ đen với diện tích chân trời sự kiện A : Khi A = A0 ta có I = 1 Ta nói diện tích nguyên tố A0 ứng với 1 bít thông tin và diện tích ứng với 1 bít thông tin sẽ là : Xét lỗ đen không quay có khối lượng bằng khối lượng mặt trời : Vậy lượng thông tin chứa trong lỗ đen có m = msun là : Khi các vật rơi vào lỗ đen hoặc khi lỗ đen hình thành thì mọi thông tin của chúng điều bị che dấu... công thức tính Entropy trong vật lí thống kê Ta có thể phát biểu ý nghĩa của Entropy như sau : Entropy là số đo định lượng độ mất trật tự của hệ Entropy cũng là số đo thông tin chứa trong hệ do hệ càng hỗn loạn thì càng chứa nhiều thông tin và rõ ràng để xây dựng lại một hệ giống y như vậy cần rất nhiều quy tắc, luật lệ, thông số trong khi để xây dựng lại một hệ có tính trật tự cao cần ít thông tin hơn... định của tọa độ của nó có thể chọn x~rs (bán kính lỗ đen) Ta có hệ thức bất định Do AE = Ap.c và theo nhiệt động học E Từ (1) và (2) ta có k.T nên p = hay p (2) Từ đây ta tính được nhiệt độ lỗ đen Đây là kết quả gần đúng nên sau khi áp dụng lí thuyết trường lượng tử trong không thời gian cong, Hawking đã tính được biểu thức chính xác cho nhiệt độ lỗ đen Từ (4) ta có thể dễ dàng tính được Entropy của lỗ. .. hệ có Entropy thấp sẽ cho ta nhiều thông tin hơn Từ đây ta đi tới khái niệm mất thông tin1 Entropy tăng sẽ làm thông tin chứa trong hệ tăng nhưng do vậy thông tin mà ta nắm được lại ít đi Ta nói ta bị mất thông tin do có thêm một lượng thông tin tương ứng với độ tăng Entropy ẩn chứa trong hệ mà ta không có cách gì biết được Khi mạng tinh thể bị nóng chảy rồi biến thành hơi thì toàn bộ thông tin về... để tạo ra chân trời sự kiện từ các lượng tử diện tích A0 Cũng có thể W là số cách mà vật có thể rơi vào lỗ đen hoặc cũng có thể đó là số các trạng thái lượng tử bên trong lỗ đen ứng với diện tích cho trước của lỗ đen Cuối cùng do Entropy là số đo độ mất thông tin nên lỗ đen càng nuốt nhiều thông tin thì Entropy của nó càng lớn Tóm lại, chúng ta đang thảo luận về một trong những vấn đề tiền duyên của. .. vào giáo trình thuyết tương đối rộng thì ta thấy hai cái lợi sau : Một là nhắc lại phương pháp lượng tử hóa của Planck mà sinh viên đã được học ở chương trình đại cương và hai là hiểu sâu sắc thêm khái niệm Entropy của lỗ đen thông qua lí thuyết thông tin Như vậy, ta đã đưa được một trong những vấn đề mới nhất của vật lí hiện nay vào giáo trình dạy cho sinh viên II I K Ế T LU Ậ N Mục đích của đề tài này... cạnh lỗ đen Do bên trong lỗ đen tồn tại quỹ đạo ứng với năng lượng âm nên hạt photon có năng lượng âm sẽ bay vào lỗ đen Nó sẽ kết hợp với photon trong lỗ đen làm năng lượng của lỗ đen giám đi hay nói cách khác làm giảm khối lượng của lỗ đen Photon với năng lượng dương (hạt thực) sẽ bay ra xa vô cùng và kết quả tạo ra bức xạ Hawking Do vị trí của photon bức xạ xuất phát từ vùng lân cận bề mặt lỗ đen nên... tin hơn Hệ có tính trật tự cao sẽ có Entropy nhỏ Ngược lại, hệ có độ mất trật tự cao sẽ có Entropy lớn hơn Entropy Entropy thông tin chứa trong hệ độ mất trật tự của hệ 3 Entropy và sự mất thông tin Trong phần này ra sẽ xem xét vấn đề vừa nêu dưới một góc độ khác Như đã biết ở phần hai khi hệ có tính trật tự cao thì thông tin chứa trong hệ ít Trong khi hệ có độ mất trật tự cao thì thông tin chứa trong