CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I.. Cung liên kết Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo a... Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn.
Trang 1CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I Định nghĩa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđAM = β với 0≤ β ≤ π2
Đặt α = β +k2 ,k Zπ ∈
Ta định nghĩa:
sinα =OK cosα =OH
sin tg
cos
α
α =
α với cosα ≠0 cos
cot g
sin
α
α =
α với sinα ≠0
II Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt
Góc α Giá trị 0 0( )o ( )30o
6
π ( )45o
4
π ( )60o
3
π ( )90o
2
π
1
2
2 2
1 2
0
3
3
0
III Hệ thức cơ bản
sin α +cos α =1
2
2
1
1 tg
cos
+ α =
α với k k Z( )
2
π
α ≠ + π ∈
2
2
1
t cot g
sin
α với α ≠ π ∈k k Z( )
IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo)
a Đối nhau: α và −α
( )
sin −α = −sinα
( )
cos −α =cosα
tg −α = −tg α
cot g −α = −cot g α
Trang 2b Bù nhau: α và π − α
sin sin
cot g cot g
π − α = α
π − α = − α
π − α = − α
π − α = − α
c Sai nhau π: và α π + α
tg t g cot g cot g
π + α = − α
π + α = − α
π + α = α
π + α = α
d Phụ nhau: α và
2
π
− α
2
2
tg cot g 2
cot g tg
2
π
⎛ − α =⎞ α
π
⎛ − α =⎞ α
π
⎛ − α =⎞ α
π
⎛ − α = α⎞
e.Sai nhau
2
π: và α
2
π+ α
2
2
tg cot g 2
cot g tg 2
π
⎛ + α =⎞ α
π
⎛ + α = −⎞ α
π
⎛ + α = −⎞ α
π
⎛ + α = − α⎞
Trang 3f
+ π = ∈ + π =
k k
sin x k 1 sin x,k Z cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx,k Z cot g x k cot gx
V Công thức cộng
sin a b sinacosb sin bcosa cos a b cosacosb sinasin b
tga tgb
tg a b
1 tgatgb
± =
±
± =
∓
∓
VI Công thức nhân đôi
=
=
−
−
=
2 2
sin2a 2sinacosa cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2tga tg2a
1 tg a cot g a 1 cot g2a
2cot ga
−
VII Công thức nhân ba:
3 3
sin3a 3sina 4sin a cos3a 4cos a 3cosa
VIII Công thức hạ bậc:
2
2
2
1 sin a 1 cos2a
2 1 cos a 1 cos2a
2
1 cos2a
tg a
1 cos2a
= −
= +
−
= +
IX Công thức chia đôi
Đặt t tga
2
= (với a≠ π +k2π)
Trang 42 2 2
2
2t sina
1 t
1 t cosa
1 t 2t tga
1 t
= +
−
= +
=
−
X Công thức biến đổi tổng thành tích
a b a b cosa cosb 2cos cos
a b a b cosa cosb 2sin sin
a b a b sina sin b 2cos sin
a b a b sina sin b 2cos sin
sin a b tga tgb
cosacosb sin b a cot ga cot gb
sina.sin b
− = −
±
± =
±
XI Công thức biển đổi tích thành tổng
1 cosa.cosb cos a b cos a b
2 1 sina.sin b cos a b cos a b
2 1 sina.cosb sin a b sin a b
2
= ⎡⎣ + + − ⎦
−
⎤
= ⎡⎣ + − − ⎦⎤
= ⎡⎣ + + − ⎤⎦
Bài 1: Chứng minh sin a cos a 1 246 46
sin a cos a 1 3
=
Ta có:
sin a cos a 1+ − = sin a cos a+ −2sin acos a 1− = −2sin acos a2
Và:
sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1
1 2sin acos a sin acos a 1 3sin acos a
= −
−
Trang 5Do đó: sin a cos a 146 46 2sin acos a 222 22
sin a cos a 1 3sin acos a 3
2
1 cosx
1 cosx
sin x sin x
+
Tính giá trị A nếu cosx 1
2
= − và x
2
π< < π
Ta có: A 1 cosx sin x 1 2cosx cos x2 2 2
sin x sin x
2
2 1 cosx
1 cosx
sinx sin x
− +
⇔ =
2 1 cos x 2sin x 2 A
sin x sin x sin x
−
Ta có: sin x 1 cos x 12 2 1 3
4 4
= − = − = Do: x
2
π< < π nên sinx 0>
Vậy sin x 3
2
=
Do đó A 2 4 4
sin x 3 3
Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:
a A =2cos x sin x sin xcos x 3sin x4 − 4 + 2 2 + 2
b 2 cot gx 1
tgx 1 cot gx 1
+
a Ta có:
A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x= − + + 2
2
A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x
A 2
⇔ = (không phụ thuộc x)
b Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx 1≠ ≠
Ta có: B 2 cot gx
tgx 1 cot gx 1
1 +
Trang 61 1
tgx 1 1 tgx 1 1 tgx
tgx
+
+
1 tgx
−
2 1 tgx 1 tgx
tgx 1 tgx 1
− − (không phụ thuộc vào x)
Bài 4: Chứng minh
1 cosa
1 cosa 1 cos b sin c cot g bcot g c cot ga 1 2sina sin a sin bsin c
−
Ta có:
cos b sin c cotg b.cotg c sin b.sin c
2
cotg b 1 cot g bcot g c sin c sin b
cot g b 1 cot g c 1 cot g b cot g bcot g c 1
2
1 cosa
1 cosa 1 2sina sin a
2
1 cosa
1 cosa 1 2sina 1 cos a
+
−
1 cosa 1 1 cosa 2sina 1 cosa
+
1 cosa 2cosa. c 2sina 1 cosa
+
+ ot ga (2) Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong
Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn
Tìm giá trị nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC=
Ta có: A B+ = π −C Nên: tg A B( + )= −tgC tgA tgB tgC
1 tgA.tgB
+
+
tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC
Vậy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC= = +
Trang 7Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta được
3
tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC+ + ≥
3
P 3 P
⇔ ≥
3P2 3
P 3 3
⇔ ≥ Dấu “=” xảy ra
⎪
< <
⎪⎩
tgA tgB tgC
A B C
3
0 A,B,C
2
= =
Do đó: MinP 3 3 A B C
3
π
Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
a/ y 2sin x cos 2x= 8 + 4
b/ y = 4sin x − cosx
a/ Ta có :
4
4
1 cos 2x
2
−
Đặt t cos 2x= với − ≤ ≤1 t 1 thì
( )4 4
1
8
= − +t
=> y ' 1(1 t)3 4t3
2
Ta có : y ' 0= Ù (1 t− )3 =8t3
⇔ 1 t− = 2t
⇔ t 1
3
=
Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y 1 1
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
Do đó : và
∈ =
x y 3
Max
∈ =
x
1 y
b/ Do điều kiện : sinx 0≥ và cos x 0≥ nên miền xác định
π
2 với k∈
Đặt t = cosx với 0 t 1≤ ≤ thì t4 = cos x 1 sin2 = − 2x Nên sin x = 1 t− 4
Vậy y = 81 t− 4 −t trên D'=[ ]0,1 Thì
−
−
3 7 4 8
t
2 1 t ∀ ∈t [0; 1)
Nên y giảm trên [ 0, 1 ] Vậy : ∈ = ( )=
x D
x D
min y y 1 1
Trang 8
Bài 7: Cho hàm số y = sin x cos x 2msin x cos4 + 4 − x
Tìm giá trị m để y xác định với mọi x
Xét f (x) sin x cos x 2m sin x cos x= 4 + 4 −
f x = sin x cos x+ −m sin 2x 2sin x cos x− 2
f x 1 sin 2x msin 2x
2
Đặt : t sin 2x= với t∈ −[ 1,1 ]
y xác định x∀ ⇔ f x( )≥ ∀ ∈0 x R
⇔ 1 1t2 mt [ ]
2
− − ≥0 ∀ ∈t −1,1
⇔ g t( ) = t2 +2mt 2 0− ≤ t [−1,1]
t
∀ ∈
Do Δ =' m2 + >2 0 ∀ nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt tm 1, t2
Lúc đó t t1 t2
g(t) + 0 - 0
Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ t1 ≤ − < ≤1 1 2
⇔ ( ) ⇔
( )
1g 1 0
− ≤
⎧⎪
⎨
≤
⎪⎩
2m 1 0 2m 1 0
− − ≤
⎧
⎨ − ≤
⎩
⇔
1 m 2 1 m 2
−
⎪⎪
⎨
⎪⎩
− ≤ ≤
Cách khác :
g t( )= t2+2mt 2 0− ≤ ∀ ∈ −t [ 1,1 ]
[ , ]
max ( ) max ( ), ( )
∈ −
⇔ − 2 − − 1 2 + 1 ≤ 0⇔
1 m 2 1 m 2
−
⎪⎪
⎨
⎪⎩
m
⇔ − ≤ ≤1 1
Bài 8 : Chứng minh A sin4 sin4 3 sin4 5 sin47
Ta có : sin7 sin cos
π = ⎛π− π ⎞ = π
π = ⎛π− π⎞=
π 3
Trang 9Mặt khác : 4 4 ( 2 2 )2 2
sin α +cos α = sin α +cos α −2sin αcos2α
1 2sin cos
2 1
1 sin 2 2
Do đó : A sin4 sin47 sin4 3 sin4
π ⎞
⎟
⎠
3
⎞
⎟
⎠
1
3
1 3 2
2 2
= − =
Bài 9 : Chứng minh :16sin10 sin 30 sin 50 sin 70o o o o =1
Ta có : A A cos10oo 1
cos10 cos10
= = o (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o
o
2 cos10
⎛ ⎞
⎝ ⎠
o
A 4 sin 20 cos 20 cos 40 cos10
=
o
1
A 2 sin 40 cos 40 cos10
=
Bài 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tg tgA B tg tgB C tg tgC A 1
2 2 + 2 2 + 2 2 =
Ta có : A B C
+ = π −
2 Vậy : tgA B cot gC
+ =
⇔
1 tg tg tg
+
=
−
⇔ tgA tgB tgC 1 tg Atg
B 2
Trang 10⇔ tg tgA C tg tgB C tg tgA B 1
2 2 + 2 2 + 2 2 =
Bài 11 : Chứng minh : 8 4tg+ π+2tg π +tg π = cot g π ( )*
Ta có : (*) ⇔ 8 cot g tg 2tg 4tg
Mà : cot ga tga cos a sin a cos a sin a2 2
sin a cos a sin a cos a
−
cos 2a 2 cot g2a
1 sin2a 2
Do đó : (*) ⇔ cot g tg 2tg 4tg 8
⇔ 4 cot g 4tg 8
π − π =
⇔ 8cot g 8
4
π = (hiển nhiên đúng)
Bài :12 : Chứng minh :
a/ cos x cos2 2 2 x cos2 2 x
2
b/ 1 1 1 1 cot gx cot g16x
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x+ + + = −
a/ Ta có : cos x cos2 2 2 x cos2 2 x
⎞
⎟
⎠
1 1 cos 2x 1 1 cos 2x 4 1 1 cos 4 2x
3 1 cos 2x cos 2x 4 cos 4 2x
⎟
⎠
3 1 cos 2x 2cos 2x cos4
π
3 1 cos 2x 2cos 2x 1
⎝ ⎠
3 2
= b/ Ta có : cot ga cot gb cosa cos b sin b cosa sin a cos b
sin a sin b sin a sin b
−
Trang 11( )
sin b a sin a sin b
−
=
Do đó : cot gx cot g2x sin 2x x( ) 1 ( )1
sin x sin 2x sin 2x
−
sin 4x 2x 1
sin 2x sin 4x sin 4x
−
sin 8x 4x 1
sin 4x sin 8x sin 8x
−
sin 16x 8x 1
sin16x sin 8x sin16x
−
Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được
cot gx cot g16x
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
Bài 13 : Chứng minh : 8sin 183 0 +8sin 182 0 =1
Ta có: sin180 = cos720
⇔ sin180 = 2cos2360 - 1
⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1
⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1
⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 )
⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0
⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 < sin180 < 1) Cách khác :
Chia 2 vế của (1) cho ( sin180 – 1 ) ta có ( 1 ) ⇔ 8sin2180 ( sin180 + 1 ) – 1 = 0
Bài 14 : Chứng minh :
a/ sin x cos x4 4 1(3 cos4x)
4
b/ sin 6x cos6x 1(5 3cos4x)
8
c/ sin x cos x8 8 1 (35 28cos4x cos8x)
64
a/ Ta có: 4 4 ( 2 2 )2 2
sin x cos x+ = sin x cos x+ −2sin x cos x2
2 2
1 sin 2 4
1
1 1 cos4 4
3 1 cos4x
4 4
= + b/ Ta có : sin6x + cos6x
(sin x cos x sin x sin x cos x cos x2 2 )( 4 2 2 4 )
Trang 12(sin x cos x4 4 ) 1sin 2x2
4
(
3 1cos 4x 1 1 cos 4x
⎝ ⎠ ) ( do kết quả câu a )
3cos4x 5
c/ Ta có : sin x cos x8 + 8 =(sin x cos x4 + 4 )2 −2sin x cos x4 4
= 1 3 cos4x+ 2 − 2 sin 2x4
2 2
1 9 6cos 4x cos 4x 1 1 1 cos 4x
9 3cos4x 1 1 cos8x 1 1 2cos4x cos 4x
= 9 + 3cos4x+ 1 cos8x+ 1 cos4x− 1 1 cos8x+
35 7 cos4x 1 cos8x
Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x3 + 3 = 3
Cách 1:
Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x3 + 3 = 3
(3sin x 4 sin x sin x3 ) 3 (4 cos x 3cos x cos x3 ) 3
3sin x 4sin x 4 cos x 3cos x
3 sin x cos x 4 sin x cos x
3 sin x cos x sin x cos x
4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x
3cos 2x 4 cos 2x 1 sin x cos x⎡ ⎤
2
1 3cos 2x 4 cos 2x 1 sin 2x
4
2 1 cos 2x 3 4 1 sin 2x
4
cos 2x 1 sin 2x
3 cos 2x
=
Cách 2 :
Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x3 + 3
⎞
⎟
⎠
3 sin 3x sin x cos3x cos x 1 cos 3x sin 3x
Trang 13( )
3cos 3x x 1cos6x
1 3cos2x cos3.2x 4
= 1 3cos2x 4cos 2x 3cos2x+ 3 −
4 ( bỏ dòng này cũng được) 3
cos 2x
=
Bài 16 : Chứng minh : cos12o cos18o 4 cos15 cos 21 cos 24o o o 3 1
2
+
Ta có : cos12o +cos18o −4 cos15 cos 21 cos 24o( o o)
2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 cos 3
2cos15 cos3 2cos15 cos45 2cos15 cos3
2cos15 cos45
= −
(cos 60o cos 30o)
3 1 2
+
= −
Bài 17 : Tính P sin 50= 2 o +sin 70 cos50 cos702 − o o
Ta có : P = 1(1 cos100− o) (+1 1 cos140− o) (− 1 cos120o +cos20 )
o
o
P 1 cos120 cos20 cos20
4 2
Bài 18 : Chứng minh : tg30o tg40o tg50o tg60o 8 3cos 20
3
Áp dụng : sin a b( )
tga tgb
cos a cos b
+
Ta có : (tg50o +tg40o) (+ tg30o +tg60o)
sin 90 sin 90 cos50 cos 40 cos 30 cos60
o
1 sin 40 cos 40 cos 30
2
sin 80 cos30
2 cos10 cos 30
Trang 14o o
cos30 cos10 2
cos10 cos 30
cos 20 cos10 4
cos10 cos 30
=
o
8 3 cos20 3
=
Bài 19 : Cho ΔABC, Chứng minh :
a/ sin A sin B sin C 4 cos cos cosA B C
2 b/ socA cosB cosC 1 4sin sin sinA B C
2 c/ sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C+ + =
d/ cos A cos B cos C2 + 2 + 2 = −2cos A cosBcosC
e/ tgA +tgB tgC tgA.tgB.tgC+ =
f/ cot gA.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + =
g/ +cot gA cot gB+cot gC =cot g cot g cot gA B
C 2
a/ Ta có : sin A sin B sin C 2sinA BcosA B sin A B( )
b/ Ta có : cos A cosB cosC 2cosA BcosA B cos A B( )
2
4sin sin sin 1
c/ sin 2A sin 2B sin 2C 2sin A B cos A B+ = ( + ) ( − )+2sin C cosC
= 2sin C cos(A B) 2sin C cosC − +
= 2sinC[cos(A B) cos(A B) ]− − +
2
= −4sinCsin A sin( B) −
= 4 sin C sin A sin B
d/ cos A cos B cos C2 + 2 +
1
1 cos2A cos2B cos C 2
Trang 15( ) ( ) 2
1 cos A B cos A B cos C
1 cosC cos A B cosC
= − ⎡⎣ − − ⎤⎦ do (cos A B( + ) = −cosC)
1 2 cos C.cos A.cos B
= −
e/ Do a b+ = π −C nên ta có
tg A B( + ) = −tgC
⇔ tgA tgB tgC
1 tgAtgB
−
⇔ tgA tgB+ = −tgC tgAtgBtgC+
⇔ tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + = f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC
⇔ 1 tgAtgB cot gC tgA tgB
+
⇔ cot gA cot gB 1 cot gC cot gB cot gA
− = − + (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB)
⇔ cot gA cot gB 1− = −cot gCcot gB cot gA cot gC−
⇔ cot gA cot gB cot gBcot gC cot gA cot gC 1+ + = g/ Ta có : tgA B cot gC
+ =
⇔
2 2 cot g
1 tg tg
2 2
+
=
−
⇔
cot g cot g 1
+
=
− (nhân tử và mẫu cho cotgA
2 cotg B
2)
⇔ cot gA cot gB cot g cot g cot gA B C cot g
C 2
⇔ cot gA cot gB cot gC cot g cot g cot gA B
C 2
Bài 20 : Cho ΔABC Chứng minh :
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0
Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)
= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0
Trang 16Bài 21 : Cho ΔABC Chứng minh :
cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin3Asin3Bsin3C
Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C
2
2cos (A B) cos (A B) 1 2sin
2 Mà : A B+ = π −C nên 3(A B) 3
2 + = π − 3C2 2
=> cos3(A B) cos 3
π
3C 2 3C
cos
π
3C sin 2
= −
Do đó : cos3A + cos3B + cos3C
3 A B
−
3 A B
−
3 A B
−
−
= 4 sin3Csin3Asin( 3B) 1+
4sin sin sin 1
Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh :
sin A sin B sin C tg tg cot gA B C cos A cosB cosC 1 2 2 2
=
Ta có :
2
cos A cos B cosC 1 2cos cos 2sin
2
−
B
−
2sin sin
2 2cos cos
⎛ ⎞
⎝ ⎠
=
Trang 17C A B cot g tg tg
=
Bài 23 : Cho ΔABC Chứng minh :
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
( )
sin sin sin tg tg tg tg tg tg *
Ta có : A B C
= − vậy tg A B cot gC
⇔
1 tg tg tg
+
=
−
⇔ tgA tgB tgC 1 tg Atg
B 2
⇔tg tgA C tg tgB C tg tgA B 1 1( )
2 2 + 2 2 + 2 2 =
Do đó : (*) Ù sin cos cosA B C sin cos cosB C A sin cos cosC A
B
sin sin sin 1
⇔ sinA cos cosB C sin sinB C cosA sin cosB C sin cosC B 1
⇔ sin cosA B C cos sinA B C 1
⇔ sinA B C 1
2
+ + = ⇔ sinπ 1
2 = ( hiển nhiên đúng)
Bài 24 : Chứng minh : tgA tgB tgC 3 cos A cosB cosC( )*
2 2 2 sin A sin B sin C
Ta có :
2
2
2sin cos 4 2sin
C 2
−
−
4 sin sin sin 4
Trang 18A B A B sin A sin B sin C 2sin cos sin C
2cos cos 2sin cos
C 2
−
4 cos cos cos
2 (2) Từ (1) và (2) ta có :
(*) ⇔
sin sin sin sin sin sin 1
cos cos cos cos cos cos
+
⇔ sinA cos cosB C sinB cos cosA C sinC cos cosA B
⎤
⎥⎦
sin sin sinA B C 1
⇔ sinA cos cosB C sin sinB C cosA sin cosB C sin cosC B 1
⇔ sin cosA B C cos sinA B C 1
2
⇔ sin 1
2
π = ( hiển nhiên đúng)
Bài 25 : Cho ΔABC Chứng minh:
cos cos cos cos cos cos
Cách 1 :
cos cos cos cos cos cos cos
+
Ta có :
sin cos
2 cos cos cos cos cos cos
+
−
−
A B
cos cos cos cos cos
B 2
Trang 19Do đó : Vế trái
cos cos cos cos cos cos
−
2
2cos cos
cos cos
Cách 2 :
Ta có vế trái
cos cos cos cos cos cos
2
cos cos sin sin cos cos sin sin
cos cos sin sin
cos cos
− +
B
2
Mà : tg tgA B tg tgB C tg tgA B 1
2 2 + 2 2 + 2 2 = (đã chứng minh tại bài 10 )
Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2
Bài 26 : Cho ΔABC Có cot g ,cot g ,cot gA B
C
2 theo tứ tự tạo cấp số cộng Chứng minh cot g cot gA C 3
Ta có : cot g ,cot g ,cot gA B
C
2 là cấp số cộng
⇔ cot gA cot gC 2cot gB
⇔
+
=
sin sin sin
Trang 20⇔
sin sin sin
=
C (do 0<B< π nên cosB2 > 0)
⇔
cos cos sin sin
sin sin
−
= ⇔ cot g cot gA C 3
Bài 27 : Cho ΔABC Chứng minh :
Ta có : cot gA cot gB cot gC cot g cot g cot gA B
C 2
(Xem chứng minh bài 19g )
Mặt khác :tg cot g sin cos 2
cos sin sin 2
Do đó : 1 tgA tgB tgC cotg A cotgB cotgC
1 tgA tgB tgC 1 cotg A cotgB cotgC
1 tgA cot gA 1 tgB cot gB 1 tgC cot gC
sin A sin B sin C
BÀI TẬP
1 Chứng minh :
a/ cos cos2 1
π− π =
2 b/ cos15oo sin15oo 3 cos15 sin15
− c/ cos2 cos4 cos6
2
−
3 d/ sin 2xsin 6x cos 2x.cos6x cos 4x3 + 3 = e/ tg20 tg40 tg60 tg80o o o o =3
f/ tgπ+tg2π +tg5π+tgπ = 8 3cos
π 9
g/ cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7 7