Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY (phần 11) Thầy Đặng Việt Hùng x + y + = y − + y + Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( x + y ) + y − 13 y + y − = 11x − 15 x ( x − 12 x + ) Ví dụ 2: Giải bất phương trình ≥1 ( x ∈ ℝ) x ( 3x − ) + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ABD tam giác vuông cân nội tiếp đường tròn ( x − ) + ( y − 1) = Hình chiếu vuông góc điểm B, D lên AC 2 22 14 13 11 H ; , K ; Xác định tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết B, D có tung độ dương 5 5 5 AD = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có G trọng tâm tam giác ABD, đường tròn qua điểm B,C G cắt cạnh CD N Tìm toạ độ đỉnh hình vuông ABCD 3 3 biết điểm N có hoành độ âm, điểm M ; trung điểm AD phương trình đường thẳng 2 2 GN : x + y − 11 = Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( x − 1) + ( x + 3) x − ≤ 3x ( x − 1) Lời giải Bất phương trình cho tương đương với ( x − 1) x − + ( x + 3) x − ≤ x ( x − 1) Điều kiện x ≥ ⇔ ( x − 1) x − − ( x − 1) + ( x + 3) x − − ( x + 3) ≤ x − x − ⇔ ( x − 1) ⇔ ( ) x − − + ( x + 3) ( ( x − 1)( x − ) + ( x + 3)( x − ) ≤ x −1 +1 2x − +1 ) x − − ≤ 3x − x − ( x − )( 3x + 1) x + x −1 ⇔ ( x − ) 3 x + − + ≥ x − + x −1 + x −1 x+3 Ta có + < x − + x + = x + < x + 1, ∀x ≥ x −1 + 2x − +1 x −1 ( x + 3) ⇒ 3x + − + >0 2x − +1 x −1 + Do (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ (1) Vậy, bất phương trình có nghiệm x ≥ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY ( www.Moon.vn ) y − y − x xy − x − + x − = 3x Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y + x + y = x + y + x + Lời giải 4 xy − x − ≥ y ≥ x ≥ Điều kiện: x + y ≥ y + x + ≥ (2) ⇔ ( y + 1) − y + x + + x + y − ( x + 1) = ⇔ y − 2x −1 y + + y2 + 2x + + = ⇔ ( y − x − 1) y +1+ x2 + y + x + y − 2x −1 y2 + 2x + + =0 x + y + x + ⇔ y − x − = (Do y ≥ x ≥ ) Thay vào (2) ta x x − + x − = 3x Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: 3x = + x − + x + x − ≥ x − + x x − 4 = x − Dấu xảy ⇔ x = (thỏa mãn) ⇔ y = 2 2 = x − ( ) ( ) 5 Vậy hệ có nghiệm 2; 2 Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn ( C ) , K trung điểm cạnh AB, đường thẳng CK cắt đường chéo BD đường tròn ( C ) 1 E 2; F ( 2; ) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết D thuộc tia Oy 3 Lời giải: Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD Dễ thấy E = CK ∩ BI trọng tâm tam giác ABC − x I = −3 ( − x I ) t +1 Gọi D ( 0; t ) ( t > ) ta có: ID = −3IE ⇔ 1 ⇒ I 2; t − yI = −3 − yI 2 t = ⇒ D ( 0;1) t − 3t − Ta có: IF = ID = R ⇔ + = + ⇔ t = −2 ( loai ) 3 1 Khi B ( 3;0 ) ; I ; , phương trình đường thẳng AF là: y = gọi A ( u; ) ta có: 2 2 u = ⇒ A (1; ) ⇒ C ( 2; −1) AD AB = ⇔ −u ( − u ) + ( −1)( −2 ) = ⇔ u = ⇒ A ( 2; ) ∈ EF ( loai ) Đáp số: A (1; ) ; B ( 3;0 ) ; C ( 2; −1) ; D ( 0;1) điểm cần tìm 2y − x x + y = 2x − y + 2x Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3 x − y + = x + y x − Lời giải Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn x ≥ Điều kiện: x + y ≥ 2 x − y ≥ (1) ⇔ x + y − x − y = 2y − x ⇔ 2x 2 y − x = 2y − x 2y − x = ⇔ x + y + 2x − y 2x x + y + 2x − y = 2x x + y + 2x − y = 2x ⇔ x + - Nếu ( x + y )( x − y ) = vô nghiệm x > - Nếu y = x thay vào (2) ta x − x + = x + x x − ( ) ⇔ x 2x − 2x − + x2 − 2x + + x − x + = ⇔ x ( ) x − − + ( x − 1) + 2 ( ) x − = (3) x = x 2x −1 −1 ≥ x − = 1 Ta có ( x − 1) ≥ với x ≥ Nên (3) ⇔ x = ⇔ x =1⇔ y = 2 x = x −1 ≥ Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = 1; 2 Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M trung điểm ( ( ) ) AB, N thuộc BC cho BN = 2NC, MN: x + y – = D(0; –1) Viết phương trình đường thẳng CD Tìm toạ độ đỉnh A, B, C hình vuông biết yM > yN < Lời giải: Đặt AB = 6a ⇒ NC = 2a ta có: DM = 3a , DN = 2a 10 MN = 5a Khi ta có cos DMN = DM + MN − DN = 2.DM MN Khi DM sin DMN = d ( D; MN ) ⇒ DM = Gọi M ( t ;1 − t ) ta có t + ( − t ) đó: Khi DN = DM = ⇔ u2 + (2 − u ) +) Với u = 10 3 1 t = ⇒ M ; − ( l ) 10 = ⇔ 1 1 t = ⇒ M ; 2 2 10 ⇒a= u = 20 = ⇔ u = G ọi N ( u;1 − u ) ( u > 1) ta có: 3 1 −3 ta có: N ; − , gọi K = MN ∩ CD ta có: MN = NK ⇒ K ; 3 4 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn 7 4 Khi CD : x − y − = ⇒ BC : x + y − = ⇒ C ; − 5 5 6 3 2 Lại có: 2CN = NB ⇒ B ; ⇒ A − ; 5 5 5 2 3 7 4 Vậy A − ; ; B ; ; C ; − CD : x − y − = 5 5 5 5 5 1 x − y + x2 + = y + Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 6x + y + = x2 + y2 + x − y + Lời giải 1 Điều kiện x − y + ≠ Phương trình thứ tương đương với x + = y+ 2x +1 y +1 Xét hàm số f ( t ) = t + ; t ≠ 2t + f ′ (t ) = − ( 2t 4t + 1) = 4t + 4t − 4t + ( 2t + 1) = 4t + ( 2t − 1) ( 2t + 1) 2 > 0, ∀t ≠ Suy hàm số liên tục đồng biến tập số thực Thu f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y x2 + x + = x + ⇔ x + x + = ( x + 1) x + x +1 Phương trình thứ hai trở thành ⇔ ( x + x + 1) − ( x + 1) x + + ( x + ) = ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) x + + ( x + 3) = Với x ≠ −1 , đặt x + = u; x + = v ( v > ) thu u = 2v 2u − 5uv + 2v = ⇔ ( u − 2v )( 2u − v ) = ⇔ v = 2u Xét trường hợp x ≥ −1 x ≥ −1 u = 2v ⇔ ⇔ (Hệ vô nghiệm) 2 x + x + = x + 12 7 x − x + 11 = x ≥ −1 x ≥ −1 −4 + 14 −4 + 14 v = 2u ⇔ ⇔ ⇒x= ⇒y= 2 2 2 x + x + = 2 x + = ( x + x + 1) −4 + 14 −4 + 14 Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = ;y= 2 Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có H(4; 0) trực 3 tâm tam giác BCD, I 2; tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, điểm B thuộc đường thẳng 2 x − y = , đường thẳng BC qua M(5; 0) Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành cho, biết B có hoành độ dương C có hoành độ nguyên Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Do H trực tâm tam giác BCD nên DH ⊥ BC ⇒ DH ⊥ AD , tương tự ta có AB ⊥ BH tứ giác ABHD tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH, I trung điểm AH A ( 0;3) 3 x − y = Giải hệ ⇒ B ( 4;3) ( xB > ) IA = IB = Phương trình đường thẳng BC qua B M là: BC : x + y − 15 = t 3t Khi gọi C ( t ; −3t + 15 ) ⇒ K ; − + ⇒ D ( t − 4; −3t + 15 ) 2 t = ( loai ) ≡ C 3 25 Lại có: IA = ID = ⇔ ( t − − ) + −3t + 15 − = ⇔ 53 t = 2 10 53 −9 13 Vậy C ; ; D ; − ; A ( 0;3) ; B ( 4;3) điểm cần tìm 10 10 10 10 BÀI NÀO CÓ GIẢI SAI, TÍNH NHẦM THÌ MONG CÁC EM HẾT SỨC THÔNG CẢM NHÉ! Không nên lên hsmoon kêu ca, Thầy chân thành cảm ơn em, hic hic Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015!