Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY (phần 9) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải bất phương trình x − + x2 + x − 10 x + 19 x + + x + x − ≥1 ( x ∈ R) x2 + x − + x + − ( x2 + x + 4) ≤0 x + − x2 + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có H (1; ) hình chiếu vuông Ví dụ 2: Giải bất phương trình 9 góc A lên BD Điểm M ;3 trung điểm cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A 2 tam giác ADH x + y − = Tìm toạ độ đỉnh B ,C viết phương trình đường thẳng BC Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A B có AB = BC , đường tròn đường kính AB đồng thời tiếp xúc với cạnh CD có phương trình ( x − ) + ( y − 3) = , biết điểm D 2 thuộc đường thẳng x − y − = có tung độ không dương Viết phương trình cạnh AB tìm toạ độ đỉnh A 2x + x2 + x + = y2 + 2y Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y + − x − y + = 12 x − x + 16 Lời giải: y ≠ Điều kiện: y ≥ −3 x − y + ≥ Nhận thấy x = − không thỏa mãn hệ 2 x2 + x + 1 = Với x ≠ − , (1) ⇔ 2x + y2 + ⇔ y ( x + 1) 2x +1 +3 = y2 + (3) y t +3 ℝ \ {0} có f ′ ( t ) = − < 0∀t ∈ ℝ \ {0} t t t2 + Nên f ( t ) nghịch biến ℝ \ {0} suy (3) ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) ⇔ y = x + vào (2) ta Xét hàm số f ( t ) = 2x + − 2 − x = 12 x − x + 16 ⇔ x= ⇔ y= 3 = ⇔ 2x + + 2 − x x + 16 2 x + + − x = x + 16 ( 3x − ) ( 3x − ) Nếu 2 x + + − x = x + 16 ⇔ x − 32 = 16 − x − x Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn ⇔y= +1 x = 3 9 x − 32 = ⇔ − x 32 ( ) x=− ⇔ y=− +1 ⇔ x − 32 = ⇔ 3 − 2x2 + x x ≤ 2 − x = − x ⇔ ( ) 9 x − 16 x + 32 = Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) = ; , ; + 1 , − ;− + 1 3 3 y +1 = x2 − + x−2 + − y y Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 2 2 x y − x = x + − x y y + Lời giải: ĐK: x ≥ 2; y ≠ Nhận xét x ≥ ta có: PT ( ) ⇔ y − = x +1 − y y2 +1 x 1 ⇔ y + y y +1 = + +1 x x Xét hàm số f ( t ) = t + t + ( t ∈ R ) ta có: f ' ( t ) = + t = t2 +1 + t t2 +1 t2 +1 1 Do hàm số f ( t ) đồng biến R ta có f ( y ) = f ⇔ = y x x Thế vào PT(1) ta có > ∀t ∈ R x − + x − x + = x2 − + Đặt t = x − − x + Ta có: t = x − x − t = Khi đó: t + t = ⇔ t = −2 TH1: x − − x + = ⇔ x − = x + + ⇔ x − = x + + x + + ( ) TH2: x ≥ x ≥ x−2 = x+2 −2 ⇔ ⇔ ⇔ x=2⇒ y = x − = x + − x + + x + = Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông A (1;1) B Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM = AM , điểm N (1; ) hình chiếu M đường thẳng CD Tìm toạ độ đỉnh B, C, D biết CM vuông góc với DM điểm B thuộc đường thẳng x+ y−2=0 Lời giải: ANM = MDA Xét tứ giác nội tiếp ADNM MNCD ta có MNB = ACB Mặt khác MDA + MCB = 900 ⇒ ANB = 900 hay AN ⊥ BN Phương trình đường thẳng BN là: y = ⇒ B ( −2; ) −3 = ( xM − 1) Lại có: AB = AM ⇒ ⇒ M ( 0; ) 3 = ( yM − 1) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Phương trình đường thẳng CD qua N vuông góc với MN là: x + y − = Phương trình cạnh AD : x − y = 0; BC : x − y + = Từ suy D ( 3;3) ; C ( −1;5 ) Vậy B ( −2; ) ; C ( −1;5) ; D ( 3;3) toạ độ đỉnh cần tìm Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình x3 + x + x − 19 ≥ x − + x − Lời giải 4 x + x + x − 19 ≥ Điều kiện ⇔ x ≥ x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x + x + x − 19 ≥ x − 32 + x − + ⇔ x + x − 20 ≥ ( x − )( x − 1) ( x − ) ( x + x + ) ( x − 1) x2 + 2x + ⇔ x − x + + ( x + x + ) ≥ x − x + x + x + Đặt [1] x − 3x + = a; x + x + = b ( a ≥ 0; b > ) ta có a − b a − 9b ≥0 a + b a + 3b ⇔ ( a − b )( a − 9b ) ≥ ⇔ ( x + ) ( x + 21x + 34 ) ≥ [ 2] [1] ⇔ a + 3b2 ≥ 4ab ⇔ ( a − b )( a − 3b ) ≥ ⇔ Nhận thấy [2] nghiệm với x ≥ Kết luận tập hợp nghiệm S = [ 2; +∞ ) Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y − x = Tam giác ABC vuông A có AC tiếp tuyến đường tròn (C) A tiếp điểm Chân đường cao kẻ từ A H ( 2; ) Tìm tọa độ đỉnh B tam giác ABC biết B có tung độ dương diện tích tam giác ABC Lời giải: Tam giác ABC vuông A AC tiếp xúc với (C) A nên điểm A, B, I thẳng hàng với I (1; ) Lại có AHB = 900 nên AB đường kính (C) 2 Khi đó: S ABC = = AB AC = AC ⇒ AC = 3 1 Mặt khác = + ⇒ AH = = IA = R ⇒ ∆AHI tam giác 2 AH AB AC Ta có: IAH = 600 ⇒ ABC = 300 Do HB = AB cos 300 = 2 1 3 x + y − x = ⇒ Toạ độ điểm B nghiệm hệ B ; điểm cần tìm 2 ( x − ) + y = 2 x3 − x + 32 x − 19 ≥ x − x + x − − x − Lời giải 4 x ( x − ) + 32 x − 19 ≥ 4 x − x + 32 x − 19 ≥ Điều kiện x − x + x − ≥ ⇔ ( x − 1) ( x + 1) ≥ ⇔ x≥ x ≥ x ≥ Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải bất phương trình Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY Nhận xét x − x + x − − x − = x3 − x + 3x − 2 x3 − x + x − + x − Bất phương trình cho tương đương với = www.Moon.vn x ( x − 1) + x − 2 x3 − x2 + x − + x − > ∀x ≥ x3 − x + 32 x − 19 ≥ x − x + x − − x − x − x + 32 x − 19 ≥ ( x3 − x + x − 1) + x − − ⇔ −4 x + 27 x − 13 + ( x − 1)( x − ) ( x − 1) ( x + 1) ( x − ) x2 + ≤ ⇔ ( x + 1) + x − x + x + − ( x − x + ) ≤ x − 3x + x − 3x + ⇔ 5+4 − ≤0 x2 + x2 + x − 3x + Đặt = t , ( t ≥ ) ⇒ + 4t − 9t ≤ ⇔ ( t − 1)( 9t + ) ≥ ⇔ t ≥ x +1 ⇔ x − x + ≥ x + ⇔ x ≤ Vậy bất phương trình cho vô nghiệm Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC cân A, gọi D trung điểm 2 cạnh AB, biết I (1; ) J −3; − tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trọng tâm tam 3 giác ABD biết điểm C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − = đường thẳng CD qua E ( −4;8 ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết D có tung độ dương Lời giải: Gọi G tâm tam giác ABC, M trung điểm AD, K trung điểm AC Dễ thấy GI ⊥ DJ , lại có JG / / AB mặt khác ID ⊥ AB ⇒ ID ⊥ JG I trực tâm tam giác DJG IJ ⊥ CD Khi phương trình CD là: x + y + 16 = Ta có: C = CD ∩ ∆ ⇒ C ( −2; −4 ) Khi CJ = JM ⇒ M − ;1 Gọi D ( t ; −6t − 16 ) giải ID ⊥ DM ID = ( t − 1; −6t − 16 ) ; MD = t + ; −6t − 17 t = −3 ⇒ D ( −3; ) 7 Khi đó: ( t − 1) t + + ( 6t + 16 )( 6t + 17 ) = ⇔ 179 179 −55 t=− ⇒ D− ; 2 ( loai ) 74 74 37 Khi A ( −4;0 ) ; B ( −2; ) điểm cần tìm Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015!