Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY (phần 12) Thầy Đặng Việt Hùng x + y + + 3x + y − = x + + Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 ( x + y )( x − 1) + 3 x ( x − x + 1) = x 2x −1 − x = − y2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 3 2 x − x + x + x − = ( y − 1) − y Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) tâm I (1; ) trực tâm H thuộc đường thẳng d : x − y − = Biết đường thẳng AB có phương trình x + y − 14 = khoảng cách từ C đến AB Tìm tọa độ điểm C biết hoành độ điểm C nhỏ Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) tâm I (1; ) Gọi E F chân đường cao hạ từ đỉnh B C, phương trình đường thẳng EF x − y − = , biết tiếp tuyến A đường tròn ( C ) qua M ( 4;1) , trung điểm AC thuộc trục hoành điểm C có hoành độ không dương Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC 3 2 + x y + + y2 + + 9x + = Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 4 x + + xy y + = Lời giải Điều kiện: x ≥ −1 Nhận thấy x = −1 hay y = không thỏa mãn hệ Với x ≠ −1 y ≠ ta có: ( (2) ⇔ x + = − xy y + ⇔ ⇔ x +1 − = x +1 y y2 + x −4 = ⇔ x + y y2 + ) y − ( y + 4) x = x +1 y y2 + y2 + (3) y − 1 ℝ có f ′ ( t ) = + > 0∀t ∈ ℝ t t y Suy f ( t ) đồng biến ℝ nên (3) ⇔ f x + = f ⇔ x +1 = y2 + x +1 = 1− y + ⇔ − = y + thay vào (1) ta ⇔ x y ≥ Xét hàm số f ( t ) = t − ( − 4x − x + 9x + = ⇔ x − ⇔ x3 − x2 + (9 x + 9) 27 x 9x + + 3 (9 x + 9) ) y y2 + 23 9x + + 4x − − 9x + = 3 (4 x − 7) − (9 x + 9) 27 + =0 2 4x − 3 ( ) + ( x − )( x + ) + ( x + ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn 11 ( x − ) ( 3x + x + ) ( x − 2) 3 ⇔ + =0 2 2 4x − ( ) + ( x − )( x + ) + ( x + ) x2 + x x + + (9 x + 9) 11 ( x + 1) + 3 ⇔ ( x − 2) + =0 2 2 3 ( x − )( x + ) + ( x + ) x − + ( ) x + x x + + (9 x + 9) ⇔ x = ⇔ y + = −2 vô nghiệm Vậy hệ vô nghiệm Ví dụ [Tham khảo]: Giải bất phương trình x − x + x − ≤ x − 14 x + ( x ∈ R) Lời giải x ( x − 3) ≥ Điều kiện: x − ≥ ⇔ x≥3 5 x − 14 x + ≥ Bình phương hai vế bất phương trình, có: ( x − 3x ) ( x − 1) + ( x − 1) ≤ x − 14 x + ⇔ ( x − x ) ( x − 1) ≤ x − 20 x + 12 ⇔ x ( x − x + 3) ≤ x − 10 x + ⇔ ( x − x + 3) − x − ( x − x ) ( x − 3) ≥ x − 3x + 2 2 2 ⇔ ( )( ) x2 − x + − x x2 − x + + x ≥ ( ∗) Với điều kiện x ≥ ⇒ x − x + + x > bất phương trình ( ∗) tương đương: x ≥ x ≥ x ≥ x2 − x + − x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ≥ + 13 x − 4x + ≥ 4x x − 8x + ≥ x − x + ≥ x Vậy tập nghiệm bất phương trình T = + 13; +∞ ) Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn tâm A có phương 2 trình ( C ) : ( x − 1) + ( y + ) = 25 điểm B (1;3) , gọi D điểm chạy đường tròn (C) C điểm cho tứ giác ABCD hình bình hành Tìm tọa độ đỉểm C,D biết trọng tâm G tam giác BCD thuộc đường thẳng d : x − y + = Lời giải: Do ABCD hình bình hành có AB = AD = R nên ABCD hình thoi Ta có tâm A (1; −2 ) Gọi G ( t ; t + 1) , gọi I tâm hình thoi, G trọng tâm tam giác BCD nên ta có AG = AI 4 xG − = ( xI − 1) t − = ( xI − 1) ⇔ Do y + = ( y + 2) t + + = ( y + ) G I I 3 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn 3t + 3t + ⇒I ; Mặt khác ∆IAB vuông I nên ta có: IA.IB = 3t − 3t + 3t − 3t − 11 Ta có: AI = ; ; ; BI = ⇒ ( 3t − 3) + ( 3t + )( 3t − 11) = 5 5 t = ⇒ G ( 3; ) ; I ; ⇒ C ( 4;7 ) ⇒ D ( 4; ) ⇔ 18t − 24t − 90 = ⇔ 5 8 3 t = ⇒ G ; ; I ; ⇒ C ( 2;5 ) ⇒ D ( 2; ) 3 3 2 5 x + y − + x − x + x + y = 7, Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( x + y ) + x + = x − + x + y Lời giải Điều kiện x + y ≥ 2; x ≥ Phương trình thứ hai hệ tương đương với ( x + y ) − 3x − y + = x − + x − x ( ) ( x; y ∈ ℝ ) ⇔ ( x + y ) − 3( x + y ) + = 2x −1 − x + x − x x ( x − 1) x −1 + 2x −1 + x x + x x ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + = ( x − 1) + 2x −1 + x x + x Xét hàm số f ( t ) = t − 3t + 2; t ≥ ⇒ f ′ ( t ) = 2t − > 0, ∀t ≥ ⇔ ( x + y ) − 3( x + y ) + = Hàm số liên tục đồng biến miền xét dẫn đến f ( t ) ≥ f ( ) = x + > 0, ∀x ≥ ⇒ x − ≥ ⇔ x ≥ 2x −1 + x x + x Phương trình thứ hệ tương đương với Bên cạnh x + y − + x − x + x − + x + y = ⇔ x + y − + ( x + y ) + ( x − 1) = Dễ thấy ( x − 1) ≥ 0, ∀x ≥ hàm g ( t ) = t − + 3t ; t = x + y ≥ đồng biến, liên tục Do g ( t ) = t − + 3t ≥ g ( ) = ⇒ x + y − + ( x + y ) + ( x − 1) ≥ x + y = Phương trình có nghiệm ⇔ x = y = (Thỏa mãn hệ ban đầu) x −1 = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M trung điểm AB, N thuộc BC cho BN = 2NC, DM: x + y – = N ( 0; −1) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C, D hình vuông biết yM > Lời giải: Đặt AB = 6a ⇒ NC = 2a ta có: DM = 3a , DN = 2a 10 DN + DM − MN MN = 5a Khi ta có: cos MDN = = 2.DN DM Khi DN sin 450 = d ( N ; DM ) ⇒ DN = Gọi D ( t ;1 − t ) ta có: t + ( − t ) = ⇔ t = ⇒ D (1; ) Khi MN = , gọi M ( u;1 − u ) ta có: u + ( − u ) 10 3 1 M ; − ( loai ) = ⇒ 1 1 M ; 2 2 7 Gọi K = MN ∩ CD ta có: MN = NK ⇒ K − ; − 4 42 Khi CD : x − y − = ⇒ BC : x + y + = ⇒ C ; − 37 37 27 24 15 Lại có 2CN = NB ⇒ B − ; − ⇒ A − ; 37 37 37 37 3x + x + 3y + = y − y + x + Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y − + 7x + y + = y + Lời giải x > −1 Điều kiện: y ≥ 1 = y2 − 3y − y x +1 (1) ⇔ x + − x + − Xét f ( t ) = t − 3t − 1 1 ( 0;+∞ ) có f ′ ( t ) = 2t − + = t + t + − ≥ t.t − = 0∀t ∈ ( 0; +∞ ) t t t t Suy hàm số đồng biến ( 0;+∞ ) Nên (3) ⇔ f Thay vào (2) ta ( ) x +1 = f ( y) ⇔ x +1 = y y − + y2 + y − = y + ⇔ y + − y − + y + − y2 + y − = ( y + 2) ⇔ − (9 y − ) y + + 9y − + ( y + 1) ( y + 1) − ( y + y − 5) + ( y + 1) y + y − + ( y + y − 5) =0 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY ⇔ ( y − )( y − 3) y + + 9y − + ( y + 1)( y − )( y − 3) 2 ( y + 1) + ( y + 1) y + y − + ( y + y − 5) www.Moon.vn =0 y = y +1 ⇔ ( y − )( y − 3) + = ⇔ y + + y − ( y + 1)2 + ( y + 1) y + y − + y + y − y = ( ) Với y = ⇒ x = Với y = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) = {( 3; ) , ( 8;3)} Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A ( −3;1) điểm C thuộc đường thẳng d : x − y − = Gọi E giao điểm thứ hai CD đường tròn tâm B bán kính BD, ( E ≠ D ) Hình chiếu vuông góc D lên đường thăng BE điểm N ( 6; −2 ) Tìm tọa độ đỉnh B C Lời giải: t +1 Gọi C ( 2t + 5; t ) ta có tâm hình chữ nhật I t + 1; t +5 t −1 Ta có : IN = IA ⇔ ( t − ) + = (t + 4) + 2 ⇔ t = ⇒ C ( 7;1) ; I ( 2;1) Ta có BD = BE = R , mặt khác BC ⊥ CD nên D E đối xứng qua BC Dễ thấy AC / / BE ⇒ DN ⊥ AC K đí CK đường trung bình tam giác NED hay D N đối xứng qua AC: y = Khi D ( 6; ) ⇒ B ( −2; −2 ) Đ/s: B ( −2; −2 ) , C ( 7;1) điểm cần tìm Ví dụ 12 [Tham khảo]: Giải bất phương trình x − + x + x + < x + 11x − Lời giải x ≥ Điều kiện x + x + ≥ ⇔ x ≥ 4 x + 11x − ≥ Bất phương trình cho tương đương với x − + x2 + 5x + + ⇔2 Đặt ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + )( x + 3) < x + 11x − x + < x + x − 11 ⇔ x + x − x + < ( x + x − 3) − ( x + ) ( ∗) x + x − = a; x + = b ( a ≥ 0; b > ) (*) trở thành + 21 x > 2ab < 3a − b ⇔ ( a − b )( 3a + b ) > ⇔ a > b ⇔ x + x − > x + ⇔ x − x − > ⇔ − 21 x > Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn 21 + Kết hợp điều kiện ta thu tập hợp nghiệm S = ; +∞ Thầy Đặng Việt Hùng đz Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015!