NỘI DUNG 4 ĐƯỜNG TRÒN

PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(4; 1) đường thẳng  : 3x  y   Viết phương trình đường tròn qua A, B cắt  C, D cho CD  Bài giải Giả sử (C) có tâm I (a; b), bán kính R  Vì (C) qua A, B nên IA  IB  R  (a  1)  (b  2)  (a  4)  (b  1)2  R   b  3a   I (a; 3a  6)   2    R  10a  50a  65  R  10a  50a  65 Kẻ IH  CD H Khi CH  3, IH  d ( I , )   R  IC  CH  IH   Từ (1) (2) suy (1) 9a  29 (9a  29)2 25 10a  50a  65   (2) (9a  29)2  169a  728a  559  25  I (1;  3), R  a      43 51   61  a  43 I  ; , R    13 13   13 13 Suy (C ) : ( x  1)  ( y  3)  25 (C ) :  x   2 43   51  1525    y    13   13  169 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : x  y  19  đường tròn (C ) : x  y  x  y  MA, MB đến đường tròn Từ điểm M nằm đường thẳng  kẻ hai tiếp tuyến (C ) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết Bài giải Đường tròn (C) có tâm AH  I (2; 1), AB  10 bán kính R  Gọi H  MI  AB Ta có 10 AB  2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Trong tam giác vuông MAI (tại A) với đường cao AH ta có 1 1       AM   MI  10 2 2 10 AH AI AM AM Ta có  : x  y  19    : Khi x 5 y 3  M (5  2m;  5m)  MI  10  (3  2m)  (2  5m)  10  29m  32m    m  1 m 29 Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB đường tròn đường kính MI + Với m  1 ta có M (3;  2) Khi pt đường tròn ngoại tiếp AMB 5  1  x    y    2  2  + Với m 29 ta có  139 72  M ;   29 29  Khi pt đt ngoại tiếp AMB 197   101   x   y    58   58   Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm d : y   ,Viết d A 1;  ; B  3;  đường thẳng phương trình đường tròn  C  qua hai điểm A, B cắt đường thẳng hai điểm phân biệt M , N cho MAN  600 Bài giải Gọi  C  : x  y  2ax  2by  c  (đk a  b  c  0)  A 1;    C  5  2a  4b  c  b   a     25  6a  8b  c  c  15  2a  B  3;    C  Vậy  C  có tâm I  a; a   , bán kính R  a2    a   15  2a    a  4a  5  C  cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt M , N cho MAN  600 Suy MIN  1200  I MN  I NM  300  2a  hạ IH   d   IH  d  I , d   R  a  4a    a  4a    a   a  + Khi a  ta có đường tròn  C  : x  y  x  y  13  ( loại I , A khác phía đường thẳng d ) + Khi a    C  : x  y  x  y     C  :  x  3   y    (t/ mãn)  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn  C1  : x  y  10 x  ,  C2  : x  y  x  y  20  Viết phương trình đường tròn  C  qua giao điểm  C1  ,  C2  có tâm nằm đường thẳng  d  : x  y   Bài giải Toạ độ giao điểm  C1   C2  nghiệm hệ phương trình    x  y  10 x   x  y  10 x  50 x  x         x  y  x  y  20   y  x  10 7 x  y  10   x  , x   x   y  3    y  x  10 x   y  giao điểm  C1   C2   A1 1 ; 3   A2  2;4  Trung điểm A A1 A2 có toạ độ A  ;  , ta có A1 A2  1;7  đường thẳng qua A vuông 2 2 góc với A1 A2 có phương trình    : 1. x    7. y        : x  y    Toạ độ tâm  I 12; 1 I 2  2 hai đường tròn cần tìm nghiệm hệ Đường tròn cần tìm có bán kính R  IA2   x  y    x  12    x  y    y  1   12 2    12 5 Vậy đường tròn cần tìm có phương trình  C  :  x  122   y  12  125  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường thẳng d: x+y=0 d’: x-y=0 Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với d A,cắt d’ điểm B,C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (C) biết diện tích tam giác ABC A có hành độ dương Ta thấy đường tròn (C ) đường tròn ngoại tiếp tam giác vông ABC,có đường kính AC Điểm A thuộc d nên A(a;-a ) (a>0) +Đường thẳng AB qua A vuông góc với d’ có pt: x+ y+2a=0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  a  Do B giao điểm AB với d’ B   ;  a 3   + Đường thẳng AC qua A vuông góc với d có pt: x- y-4a=0 Do C giao điểm AC với d’ C  2a; 2a  Ta lại có S ABC = AB.BC  =>a= Vậy A  ; 1 , C   ; 2       Do đường tròn (C ) có tâm I   ;   trung điểm AC bán kính  2 R=IA=1   3 Vậy pt của( C):  x    y   1 3    Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x  y   , d2: x  y –  tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 điểm C thuộc d2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do B  d1 nên B(m; – m – 5), C  d2 nên C(7 – 2n; n) Do G trọng tâm ABC nên  PT đường tròn ngoại tiếp 2  m   2n  3.2 m  1   B(–1;  3  m   n  3.0 n  ABC: x  y  83 x  17 y  338  27 27 –4), C(5; 1) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (S), có A C đối xứng qua BD Phương trình AB: y – = 0; phương trình BD: 3x  y   Viết phương trình đường tròn (S) biết diện tích tứ giác ABCD xA > 0, y A  yD +B giao điểm AB BD, tìm B(0; 2) +Tính góc hai đường thẳng AB BD 600 +Ta có BD đường trung trực dây cung AC nên BD đường kính +Tam giác ABD vuông A có ABD  600  AD  AB +Ta có S ABCD  2SABD  SABD   AB AD  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 AB   AB  2 A  AB  A  a;2 , a  0, AB   a;0   +Ta có  a  AB    02   a  (a  0) suy A  2;  +Ta có D  BD  D  d ; 3d   , AD   d  2; 3d   d  1 d  Nên AD  AB   d  2   3d    4d  4d     Suy    D 1;     D 2;     Vì y A < yD nên chọn D  2;   + Đường tròn (S) có tâm I 1;   , bán kính IA  nên có phương trình:  x 1    y 32  Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d1 : x  y   ; d : x  y  d3 : 3x  y   Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d 3, cắt d1 A B, cắt d2 C D cho tứ giác ABCD hình vuông Gọi I(a; 3a – 2) Vì ABCD hình vuông  d(I, AB) = d(I, CD) = d  7a - 10 = 7a - 5 Bán kính: R = d =  a =  I(1;1)  d =  pt(C):  x - 12 +  y - 12 = 18 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x  y   hai đường tròn: (C1 ) : x2  y  x  y  23  ; (C2 ) : x2  y  12 x 10 y  53  Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với đường tròn (C1 ) tiếp xúc với đường tròn (C2 ) +) (C1 ) có tâm I1 (3; 4) , bán kính R1  ; (C2 ) có tâm I1 (3; 4) ,bán kính R2  2 +) Gọi I tâm, R bán kính đường tròn (C) I  d  I (a; a  1) +) (C) tiếp xúc với (C1 )  II1  R  R1 (1) +) (C) tiếp xúc với (C2 )  II  R  R2  R  II  R2 (2) +) TH1: R  R1 , (1)  R  II1  R1 , từ (1) (2) ta có: II1  R1  II  R2  (a  3)2  (a  3)   (a  6)  (a  6)  2  a   I (0; 1); R   PT đường tròn (C): x  ( y  1)  32 +) TH2: R  R1 , (1)  R  R1  II1 , từ (1) (2) ta có: R1  II1  II  R2   (a  3)  (a  3)  (a  6)  (a  6)  2  a   a  36  (vô ng) +) KL: … Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh C x  y  13  x  13 y  29  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Gọi đường cao trung tuyến kẻ từ C CH CM Khi CH có phương trình x  y  13  , CM có phương trình x  13 y  29  2 x  y  13  - Từ hệ   C (7;  1) 6 x  13 y  29  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng - AB  CH  n  u AB CH FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  (1, 2)  pt AB : x  y  16   x  y  16  - Từ hệ   M (6; 5)  B (8; 4) 6 x  13 y  29  - Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x  y  mx  ny  p  - Vì A, B, C thuộc đường tròn nên 52  4m  6n  p  m  4   80  8m  4n  p   n  50  m  n  p   p  72   Suy pt đường tròn: x  y  x  y  72  hay ( x  2)  ( y  3)  85 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1: x – 2y + = 0, d2 : 4x + 3y – = Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I d 1, tiếp xúc d2 có bán kính R =  x  3  2t d1:  y  t , I  d1  I (3  t ; t ) d(I , d2) =  11t  17  10  t  27 , t 11 11 2  t= 27  21 27   I1  ;  11  11 11  21   27   (C1 ) :  x     y    11   11    t= 19   7   19    I2 ;  (C ) :  x     y    11 11   11   11 11   2 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4), đường thẳng d : x  y   đường tròn (C ) : x  y  x  y   Gọi M điểm thuộc đường thẳng d nằm đường tròn (C) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Gọi (E) đường tròn tâm E tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn (E) có chu vi lớn Đường tròn (C) có tâm I (2;1) , bán kính R  Do M  d nên M (a;1  a ) Do M nằm (C) nên IM  R  IM   (a  2)  (a)   2a  4a   (*) Ta có MA  MB  IM  IA  (a  2)  (a)   2a  4a  Do tọa độ A, B thỏa mãn phương trình: ( x  a)  ( y  a  1)  2a  4a   x  y  2ax  2(a  1) y  6a   (1) Do A, B thuộc (C) nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình x  y  x  y   (2) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Trừ theo vế (1) cho (2) ta (a  2) x  ay  3a   (3) Do tọa độ A, B thỏa mãn (3) nên (3) phương trình đường thẳng  qua A, B +) Do (E) tiếp xúc với  nên (E) có bán kính R1  d ( E, ) Chu vi (E) lớn  R1 lớn  d ( E ,  ) lớn 11 Nhận thấy đường thẳng  qua điểm K  ;  2  Gọi H hình chiếu vuông góc E lên   d ( E, )  EH  EK  10 Dấu “=” xảy H  K    EK Ta có EK    ;  ,  có vectơ phương u  (a; a  2)  2 Do   EK  EK.u    a  (a  2)   a  3 (thỏa mãn (*)) Vậy M  3;4 điểm cần tìm Câu Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C): Viết pt đường tròn (C’) tâm M(5;1) biết (C’) cắt (C) A, B cho AB= bán kính lớn Từ pt đường tròn (C) tròn A, B nên AB Tâm I(1;-2) R= Đường tròn (C’) tâm M cắt đường trung điểm H AB Nhận xét : Tồn vị trí AB (hình vẽ) AB, A’B’ chúng có độ dài Các trung điểm H, H’ đối xứng qua tâm I nằm đường thẳng IM Ta có : IH’=IH= Mà Vậy (C’) : nên MH=MI-HI= ; MH’=MI+IH’= loại) =43 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình d1 : x  y   0, d : 3x  y   tam giác ABC có diện tích trực tâm I thuộc d1 Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ giao điểm d1 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hoành độ dương Gọi M  AI  BC Giả sử AB  x( x  0), R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC -Do tam giác ABC nên S ABC  x2 x2  3 x2 4 -Do tam giác ABC nên trực tâm I tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác 1 3 3 Giả sử I (2a  2; a)  d1 (a  1) ABC  r  IM  AM  Do d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên d (I ; d2 )  r  3(2a  2)  3a  99  62 a  1(l )    3a       a  Suy I (2; 2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính R  AM  3  phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC : ( x  2)  ( y  2)  Giao điểm đường thẳng (d1 ) (C ) nghiệm hệ phương trình: x  y     2 ( x  2)  ( y  2)  Vậy giao điểm (d1 ) ( d ) E (2  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 4 ;2  ), F (2  ;2  ) 15 15 15 15 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ