PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Chuyên đề: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(4; 1) đường thẳng : 3x y Viết phương trình đường tròn qua A, B cắt C, D cho CD Bài giải Giả sử (C) có tâm I (a; b), bán kính R Vì (C) qua A, B nên IA IB R (a 1) (b 2) (a 4) (b 1)2 R b 3a I (a; 3a 6) 2 R 10a 50a 65 R 10a 50a 65 Kẻ IH CD H Khi CH 3, IH d ( I , ) R IC CH IH Từ (1) (2) suy (1) 9a 29 (9a 29)2 25 10a 50a 65 (2) (9a 29)2 169a 728a 559 25 I (1; 3), R a 43 51 61 a 43 I ; , R 13 13 13 13 Suy (C ) : ( x 1) ( y 3) 25 (C ) : x 2 43 51 1525 y 13 13 169 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x y 19 đường tròn (C ) : x y x y MA, MB đến đường tròn Từ điểm M nằm đường thẳng kẻ hai tiếp tuyến (C ) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết Bài giải Đường tròn (C) có tâm AH I (2; 1), AB 10 bán kính R Gọi H MI AB Ta có 10 AB 2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Trong tam giác vuông MAI (tại A) với đường cao AH ta có 1 1 AM MI 10 2 2 10 AH AI AM AM Ta có : x y 19 : Khi x 5 y 3 M (5 2m; 5m) MI 10 (3 2m) (2 5m) 10 29m 32m m 1 m 29 Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB đường tròn đường kính MI + Với m 1 ta có M (3; 2) Khi pt đường tròn ngoại tiếp AMB 5 1 x y 2 2 + Với m 29 ta có 139 72 M ; 29 29 Khi pt đt ngoại tiếp AMB 197 101 x y 58 58 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm d : y ,Viết d A 1; ; B 3; đường thẳng phương trình đường tròn C qua hai điểm A, B cắt đường thẳng hai điểm phân biệt M , N cho MAN 600 Bài giải Gọi C : x y 2ax 2by c (đk a b c 0) A 1; C 5 2a 4b c b a 25 6a 8b c c 15 2a B 3; C Vậy C có tâm I a; a , bán kính R a2 a 15 2a a 4a 5 C cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt M , N cho MAN 600 Suy MIN 1200 I MN I NM 300 2a hạ IH d IH d I , d R a 4a a 4a a a + Khi a ta có đường tròn C : x y x y 13 ( loại I , A khác phía đường thẳng d ) + Khi a C : x y x y C : x 3 y (t/ mãn) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn C1 : x y 10 x , C2 : x y x y 20 Viết phương trình đường tròn C qua giao điểm C1 , C2 có tâm nằm đường thẳng d : x y Bài giải Toạ độ giao điểm C1 C2 nghiệm hệ phương trình x y 10 x x y 10 x 50 x x x y x y 20 y x 10 7 x y 10 x , x x y 3 y x 10 x y giao điểm C1 C2 A1 1 ; 3 A2 2;4 Trung điểm A A1 A2 có toạ độ A ; , ta có A1 A2 1;7 đường thẳng qua A vuông 2 2 góc với A1 A2 có phương trình : 1. x 7. y : x y Toạ độ tâm I 12; 1 I 2 2 hai đường tròn cần tìm nghiệm hệ Đường tròn cần tìm có bán kính R IA2 x y x 12 x y y 1 12 2 12 5 Vậy đường tròn cần tìm có phương trình C : x 122 y 12 125 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường thẳng d: x+y=0 d’: x-y=0 Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với d A,cắt d’ điểm B,C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (C) biết diện tích tam giác ABC A có hành độ dương Ta thấy đường tròn (C ) đường tròn ngoại tiếp tam giác vông ABC,có đường kính AC Điểm A thuộc d nên A(a;-a ) (a>0) +Đường thẳng AB qua A vuông góc với d’ có pt: x+ y+2a=0 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a Do B giao điểm AB với d’ B ; a 3 + Đường thẳng AC qua A vuông góc với d có pt: x- y-4a=0 Do C giao điểm AC với d’ C 2a; 2a Ta lại có S ABC = AB.BC =>a= Vậy A ; 1 , C ; 2 Do đường tròn (C ) có tâm I ; trung điểm AC bán kính 2 R=IA=1 3 Vậy pt của( C): x y 1 3 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x y , d2: x y – tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 điểm C thuộc d2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do B d1 nên B(m; – m – 5), C d2 nên C(7 – 2n; n) Do G trọng tâm ABC nên PT đường tròn ngoại tiếp 2 m 2n 3.2 m 1 B(–1; 3 m n 3.0 n ABC: x y 83 x 17 y 338 27 27 –4), C(5; 1) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (S), có A C đối xứng qua BD Phương trình AB: y – = 0; phương trình BD: 3x y Viết phương trình đường tròn (S) biết diện tích tứ giác ABCD xA > 0, y A yD +B giao điểm AB BD, tìm B(0; 2) +Tính góc hai đường thẳng AB BD 600 +Ta có BD đường trung trực dây cung AC nên BD đường kính +Tam giác ABD vuông A có ABD 600 AD AB +Ta có S ABCD 2SABD SABD AB AD NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 AB AB 2 A AB A a;2 , a 0, AB a;0 +Ta có a AB 02 a (a 0) suy A 2; +Ta có D BD D d ; 3d , AD d 2; 3d d 1 d Nên AD AB d 2 3d 4d 4d Suy D 1; D 2; Vì y A < yD nên chọn D 2; + Đường tròn (S) có tâm I 1; , bán kính IA nên có phương trình: x 1 y 32 Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d1 : x y ; d : x y d3 : 3x y Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d 3, cắt d1 A B, cắt d2 C D cho tứ giác ABCD hình vuông Gọi I(a; 3a – 2) Vì ABCD hình vuông d(I, AB) = d(I, CD) = d 7a - 10 = 7a - 5 Bán kính: R = d = a = I(1;1) d = pt(C): x - 12 + y - 12 = 18 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x y hai đường tròn: (C1 ) : x2 y x y 23 ; (C2 ) : x2 y 12 x 10 y 53 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với đường tròn (C1 ) tiếp xúc với đường tròn (C2 ) +) (C1 ) có tâm I1 (3; 4) , bán kính R1 ; (C2 ) có tâm I1 (3; 4) ,bán kính R2 2 +) Gọi I tâm, R bán kính đường tròn (C) I d I (a; a 1) +) (C) tiếp xúc với (C1 ) II1 R R1 (1) +) (C) tiếp xúc với (C2 ) II R R2 R II R2 (2) +) TH1: R R1 , (1) R II1 R1 , từ (1) (2) ta có: II1 R1 II R2 (a 3)2 (a 3) (a 6) (a 6) 2 a I (0; 1); R PT đường tròn (C): x ( y 1) 32 +) TH2: R R1 , (1) R R1 II1 , từ (1) (2) ta có: R1 II1 II R2 (a 3) (a 3) (a 6) (a 6) 2 a a 36 (vô ng) +) KL: … Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh C x y 13 x 13 y 29 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Gọi đường cao trung tuyến kẻ từ C CH CM Khi CH có phương trình x y 13 , CM có phương trình x 13 y 29 2 x y 13 - Từ hệ C (7; 1) 6 x 13 y 29 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng - AB CH n u AB CH FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 (1, 2) pt AB : x y 16 x y 16 - Từ hệ M (6; 5) B (8; 4) 6 x 13 y 29 - Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x y mx ny p - Vì A, B, C thuộc đường tròn nên 52 4m 6n p m 4 80 8m 4n p n 50 m n p p 72 Suy pt đường tròn: x y x y 72 hay ( x 2) ( y 3) 85 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1: x – 2y + = 0, d2 : 4x + 3y – = Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I d 1, tiếp xúc d2 có bán kính R = x 3 2t d1: y t , I d1 I (3 t ; t ) d(I , d2) = 11t 17 10 t 27 , t 11 11 2 t= 27 21 27 I1 ; 11 11 11 21 27 (C1 ) : x y 11 11 t= 19 7 19 I2 ; (C ) : x y 11 11 11 11 11 2 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4), đường thẳng d : x y đường tròn (C ) : x y x y Gọi M điểm thuộc đường thẳng d nằm đường tròn (C) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Gọi (E) đường tròn tâm E tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn (E) có chu vi lớn Đường tròn (C) có tâm I (2;1) , bán kính R Do M d nên M (a;1 a ) Do M nằm (C) nên IM R IM (a 2) (a) 2a 4a (*) Ta có MA MB IM IA (a 2) (a) 2a 4a Do tọa độ A, B thỏa mãn phương trình: ( x a) ( y a 1) 2a 4a x y 2ax 2(a 1) y 6a (1) Do A, B thuộc (C) nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình x y x y (2) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Trừ theo vế (1) cho (2) ta (a 2) x ay 3a (3) Do tọa độ A, B thỏa mãn (3) nên (3) phương trình đường thẳng qua A, B +) Do (E) tiếp xúc với nên (E) có bán kính R1 d ( E, ) Chu vi (E) lớn R1 lớn d ( E , ) lớn 11 Nhận thấy đường thẳng qua điểm K ; 2 Gọi H hình chiếu vuông góc E lên d ( E, ) EH EK 10 Dấu “=” xảy H K EK Ta có EK ; , có vectơ phương u (a; a 2) 2 Do EK EK.u a (a 2) a 3 (thỏa mãn (*)) Vậy M 3;4 điểm cần tìm Câu Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C): Viết pt đường tròn (C’) tâm M(5;1) biết (C’) cắt (C) A, B cho AB= bán kính lớn Từ pt đường tròn (C) tròn A, B nên AB Tâm I(1;-2) R= Đường tròn (C’) tâm M cắt đường trung điểm H AB Nhận xét : Tồn vị trí AB (hình vẽ) AB, A’B’ chúng có độ dài Các trung điểm H, H’ đối xứng qua tâm I nằm đường thẳng IM Ta có : IH’=IH= Mà Vậy (C’) : nên MH=MI-HI= ; MH’=MI+IH’= loại) =43 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình d1 : x y 0, d : 3x y tam giác ABC có diện tích trực tâm I thuộc d1 Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ giao điểm d1 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hoành độ dương Gọi M AI BC Giả sử AB x( x 0), R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC -Do tam giác ABC nên S ABC x2 x2 3 x2 4 -Do tam giác ABC nên trực tâm I tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác 1 3 3 Giả sử I (2a 2; a) d1 (a 1) ABC r IM AM Do d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên d (I ; d2 ) r 3(2a 2) 3a 99 62 a 1(l ) 3a a Suy I (2; 2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính R AM 3 phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC : ( x 2) ( y 2) Giao điểm đường thẳng (d1 ) (C ) nghiệm hệ phương trình: x y 2 ( x 2) ( y 2) Vậy giao điểm (d1 ) ( d ) E (2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 4 ;2 ), F (2 ;2 ) 15 15 15 15 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ