HÌNH; CỰC & ĐỐI CỰC2

Hoàng Quốc Khánh Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh KHÁM PHÁ ỨNG DỤNG CỦA CỰC VÀ ĐỐI CỰC Hoàng Quốc Khánh Cực đối cực công cụ mạnh thú vị hình học Với cực đối cực ta đưa cách nhìn quán với số dạng tốn đặc trưng (quan hệ vng góc, thẳng hàng, đồng quy, ) Cực đối cực mà thường gặp bậc THPT cực đối cực với đường tròn cặp đường thẳng Đây viết đề cập đến ứng dụng cực đối cực đường tròn A) KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN CĨ: Để hiểu cặn kẽ viết bạn đọc cần trang bị cho kiến thức sở hình học phẳng phép nghịch đảo, hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa, tứ giác điều hịa, đường trịn trực giao, định lí Pappus, định lí Pascal, B) KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ CỰC VÀ ĐỐI CỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐƯỜNG TRÒN I ĐỊNH NGHĨA: Trên mặt phẳng cho đường tròn (O, R) điểm S khác O Phép nghịch đảo cực O phương tích R2 biến S thành S Gọi d đường thẳng qua S vng góc với OS Khi ta gọi: • d đường đối cực S đường tròn (O) • S cực d đường trịn (O) Ghi chú: Có thể nhiều bạn thấy định nghĩa khác với định nghĩa phổ biến Việt Nam (chẳng hạn xem [2] [4]) nhiên tác giả thấy định nghĩa ngắn gọn mà đảm bảo tính xác vấn đề nên chọn vui thấy [5] dùng II MỘT SỐ ĐỊNH LÍ: Trong mục này, định lí chưa đưa chứng minh lí riêng • Định lí 1: Tập hợp điểm P liên hợp với điểm S (cho trước) đường tròn (O) đường đối cực S (Ta nói hai điểm S P liên hợp với đường trịn (O) đường trịn đường kính SP trực giao với (O)) Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Từ ta thu được: Hệ 1: Với hai điểm S, P mặt phẳng mà P nằm đường đối cực S (O) SP cắt (O) M, N bốn điểm S, P, M, N lập thành hàng điểm điều hòa Hệ 2: (Đảo Hệ 1) Với hai điểm S, P mặt phẳng mà SP cắt (O) M, N thỏa mãn bốn điểm S, P, M, N lập thành hàng điểm điều hịa P nằm đường đối cực S S nằm đường đối cực P • Định lí 2: OS vng góc với đường đối cực S • Định lí 3: Với hai điểm S, Q, đường đối cực S qua Q đường đối cực Q qua S (Định lí La Hire) • Định lí 4: Ba điểm (khác tâm đường trịn xét cực đối cực) thẳng hàng ba đường đối cực chúng đồng quy song song • Định lí 5: Bốn điểm (khác tâm đường tròn xét cực đối cực) lập thành hàng điểm điều hòa đường đối cực chúng lập thành chùm điều hòa III MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG ĐỐI CỰC THÔNG DỤNG: Đây phần quan trọng để bạn tư nhanh theo lối cực đối cực!  Trường hợp 1: Khi cực S ngồi đường trịn (O) Ta có cách dựng đơn giản sau đây: • Cách 1: Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B tiếp điểm) Khi đường đối cực S (O) AB Gợi ý chứng minh: Dựa vào định nghĩa • Cách 2: Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB, SCD Giả sử AD cắt BC E, AC cắt BD F Khi đường đối cực S (O) EF Gợi ý chứng minh: Giả sử F E cắt AB, CD M, N Hãy dùng Định lí Menelaus kiến thức tỉ số kép để chứng minh: (SM AB) = (SN CB) = −1 dùng Hệ Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh  Trường hợp 2: Khi cực S nằm đường trịn (O) • Cách 1: Qua S dựng đường vng góc với OS, đường cắt (O) A, B Tiếp tuyến (O) A, B cắt P Khi đường đối cực S (O) đường thẳng qua P vng góc với OS • Cách 2: Qua S dựng hai dây cung AB CD Giả sử AD cắt BC E, AC cắt BD F Khi đường đối cực S (O) EF Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh  Trường hợp 3: S nằm (O) Rất đơn giản: Tiếp tuyến (O) S đường đối cực S (O) IV MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH CỰC THÔNG DỤNG: Điều dành cho bạn đọc tự tìm hiểu dựa vào mục C) KHÁM PHÁ ỨNG DỤNG CỦA CỰC VÀ ĐỐI CỰC: Những toán toán hay đa phần chúng giải phương pháp khác, nhiên lời giải chọn tất nhiên thể ý tưởng viết Chúc bạn có nhiều niềm vui theo dõi I BÀI TỐN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC, SONG SONG GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: Định lí "chủ tướng" ý tưởng để giải toán mục Chúng ta đến với toán sau: Bài tốn 1: Cho đường trịn (O) tâm O bán kính R Qua M vẽ hai dây cung CD EF không qua tâm O Hai tiếp tuyến C, D (O) cắt A, hai tiếp tuyến E, F (O) cắt B Chứng minh OM AB vng góc với (T7/362 - Tạp chí tốn học tuổi trẻ) Giải Ta xét cực đối cực (O) Đường đối cực A CD qua M nên đường đối cực M qua A (Định lí 3) (1) Tương tự có đường đối cực M qua B (2) Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Từ (1) (2) suy đường đối cực M AB Đến theo Định lí ta có điều phải chứng minh  Tiếp theo định lí tiếng hình học phẳng cách chứng minh vô ngắn gọn dựa cực đối cực! Bài tốn (Định lí Brocard): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Giả sử AC cắt BD M , AB cắt CD N , AD cắt BC P Chứng minh O trực tâm tam giác M N P Giải Xét cực đối cực (O) Ta thấy P M đường đối cực N nên theo Định lí có ON góc với P M (1) Tương tự có: OM vng góc với P N (2) Từ (1) (2) suy điều cần chứng minh!  Và ví dụ ý nghĩa mà bạn nên suy nghĩ trước đọc lời giải: Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân A Hai đường thẳng d1 , d2 qua A Các đường thẳng qua B, C tương ứng vng góc với d1 , d2 cắt D Đường thẳng qua B vng góc với AB cắt d1 E Đường thẳng qua C vng góc với AC cắt d2 F Chứng minh AD vng góc với EF Giải Bạn có thấy xuất đường trịn đề tốn khơng? Rõ ràng khơng nhỉ? Đúng tốn khơng có đường tròn đề xuất "yếu tố tròn" đáng quan tâm AB = AC, để từ "đường trịn có ích" xuất hiện: Đường trịn tâm A bán kính AB (gọi tắt (A)) Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Xét cực đối cực (A) Ta thêm số kí hiệu: d3 đường thẳng qua B vng góc với d1 d4 đường thẳng qua C vng góc với d2 Dễ nhận thấy BE, CF tiếp tuyến (A) Nhận thấy: Đường đối cực E qua B vng góc với AE, d3 Tương tự đường đối cực F d4 Chú ý đến Định lí ta có cực EF D Do theo Định lí tốn giải quyết!  Tiếp đến ba tốn có mức độ cao chút: Bài toán 4: Cho tam giác ABC với đường cao BB , CC Gọi E, F trung điểm AC, AB EF cắt B C K Chứng minh AK vng góc với đường thẳng Euler tam giác ABC Giải Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Ta xét cực đối cực đường tròn Euler tam giác ABC (kí hiệu (S) với S tâm) Gọi I giao điểm F B EC , G giao điểm CF BE, H giao điểm BB CC Sử dụng định lí Pappus cho hai điểm (F, C , B) (E, B , C) ta suy H, G, I thẳng hàng Do SI đường thằng Euler tam giác ABC (1) Mặt khác, ý E, F, B , C nằm (S) suy AK đường đối cực I, đến dùng Định lí ta có SI vng góc với AK (2) Từ (1) (2) suy điều cần chứng minh  Bình luận: Như bạn biết H O hai điểm đẳng giác toán sau xuất hiện: Bài toán 4.1: Gọi hai điểm P, Q hai điểm đẳng giác tam giác ABC Kẻ P H, P K vng góc với AB, AC; kẻ QM, QN vng góc với AB, AC Giả sử HK cắt M N S Khi AS có vng góc với P Q hay khơng? Thật tuyệt vời chúng vng góc với nhau! Tuy nhiên bạn dễ dàng cảm nhận làm hoàn tồn tương tự khơng "trảm" này, nói rõ ràng định lí Pappus bị rơi vào yếu, dùng ý tưởng cực đối cực cần cơng cụ khác hữu ích chứng minh tính thẳng hàng Các bạn thử suy nghĩ xem vấn đề giải viết tới tác giả Bài tốn 5: (Hồng Quốc Khánh) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Các phân giác BE, CF cắt lại (O) M, N Đường thẳng qua M vng góc với BM cắt đường thẳng qua N vng góc với CN S Chứng minh SO vng góc với EF Giải Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Xét cực đối cực với (O) Ta xác định đường đối cực S, chứng minh song song với EF SN , SM cắt lại (O) L, G Chú ý ta có C, O, G thẳng hàng; B, O, L thẳng hàng Tiếp tuyến (O) G, N cắt Q Tiếp tuyến (O) L, M cắt P OP cắt LM H, OQ cắt N G K Ta thấy: Đường đối cực Q GN qua S nên đường đối cực S qua Q.(Định lí 3) Tương tự có đường đối cực S qua P Do đường đối cực S P Q Bây ta cần chứng minh P Q k EF −→ −→ Chú ý IE k OP , IF k OQ nên để có P Q k EF ta cần chứng minh (F I,F E) ≡ −→ −→ (QO,QP )(mod 2π) Mặt khác nhận thấy: OK.OQ = OG2 = OL2 = OH.OP −→ −→ −−→ −−→ Từ suy Q, K, H, P đồng viên nên (QO,QP ) ≡ (HK,HO)(mod 2π) −→ −→ −−→ −−→ Suy ta cần có (F I,F E) ≡ (HK,HO)(mod 2π)(∗) Kẻ ID, IV vng góc với AC, AB ý rằng: ID [ IE sin IF V [ (vì ID = IV ) = sin IED = IV IF [ sin IED [ sin  IF V  C sin A + \ sin N AC CM OK  = = = (Theo định lý hàm sin) = (1) B BM OH \ sin M AB sin A + (Vì OK đường trung bình tam giác GN C, OH đường trung bình tam giác LBM ) −→ −→ −−→ −−→ Lại có IE k OH, IF k OK nên (IE,IF ) ≡ (OH,OK) (mod 2π) Từ (1) (2) suy tam giác IEF đồng dạng với tam giác OKH Do (∗) nên có điều cần chứng minh  Bình luận: Các bạn suy nghĩ toán sau: Bài toán 5.1: Giả sử AD, BE, CF đường cao H trực tâm tam giác nhọn ABC Gọi M, N giao điểm cặp đường thẳng (DE, CF ) (DF, BE) Chứng minh đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng M N qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC (Tạp chí tốn học tuổi trẻ) Bài toán tác giả nghĩ độc lập với Bài tốn 5.1 có điều thú vị hai gần tương đương Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (I) nội tiếp (O) Tiếp điểm (I) AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Chứng minh M P vng góc với N Q Giải Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Trường hợp tứ giác ABCD có cặp cạnh đối song song đơn giản, ta giải toán trường hợp lại Xét cực đối cực (I) AB cắt CD E AD cắt BC F Ta thấy cực M P E, cực N Q F Để giải toán ta cần chứng minh IE IF vng góc với Thật vậy: \ AF [ Chú ý IE, IF phân giác AED, B Gọi giao điểm IF với AB CD S, V , ta cần chứng minh tam giác ESV cân E Ta thấy: −→ −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ (SE,SV ) ≡ (F A,F S) + (AM ,AF ) ≡ (F S,F B) + (CB,CD) ≡ (V S,V E)(mod 2π) suy tam giác ESV cân E Suy điều cần chứng minh  Bài toán 7: Cho tam giác ABC có đường nội tiếp (I) Tiếp điểm (I) BC, CA, AB D, E, F AD cắt lại (I) M Đường thẳng qua M vng góc với AD cắt EF N Chứng minh AN k BC Giải Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Xét cực đối cực (O) Gọi I cực d, d cố định nên I cố định S thuộc d suy đường đối cực S qua cực d hay AB qua I cố định  Bình luận: Ý tưởng chuyển toán qua điểm cố định thành tốn quỹ tích nhờ Định lí Bài toán 17 giải thật gọn nhẹ Ta dùng ý tưởng toán thú vị sau đây: Bài toán 18: Trong mặt phẳng cho đường trịn (O) cố định bán kính R Cho A, B hai điểm cố định nằm (O) cho ba điểm A, B, O không thẳng hàng Xét điểm C nằm đường tròn (O), C không trùng với A B Dựng đường tròn (O1 ) qua A tiếp xúc với đường thẳng BC C; dựng đường tròn (O2 ) qua B tiếp xúc với đường thẳng AC C Hai đường tròn cắt điểm thứ hai D khác C Chứng minh rằng: 1) CD ≤ R 2) Đường thẳng CD qua điểm cố định, điểm C di động đường trịn (O) cho C khơng trùng với A B ((O) kí hiệu đường trịn tâm O) (Trích thi HSG quốc gia Việt Nam bảng A năm học 2004-2005) Giải Câu 1: Ta thấy O1 C ⊥ CB, OO2 ⊥ CB suy O1 C k OO2 Tương tự O2 C k OO1 Suy OO1 CO2 hình bình hành Nên O1 O2 qua trung điểm OC Mà O1 O2 qua trung điểm CD nên O1 O2 k OD \ = 900 Lại O1 O2 ⊥ CD nên ODC Từ có CD ≤ OC(= R) 19 Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Câu 2: Chú ý rằng: (DA, DB) ≡ (DA, DC) + (DC, DB) (O1 A, O1 C) + (O2 C, O2 B) ≡ 2(CA, CB) ≡ (OA, OB) (mod π) Suy A, D, O, B đồng viên ≡ Ta thấy OD, AB, tiếp tuyến C (O) trục đẳng phương cặp đường tròn (ADOB) (COD), (O) (ADOB) , (O) (COD) Do đường nói đồng quy điểm S Xét cực đối cực (O) Chú ý đường đối cực S phải qua C vng góc với OS nên CD đường đối cực S Vì S thuộc AB cố định nên CD qua cực AB điểm cố định Đó điều phải chứng minh  Bạn thấy hữu dụng Định lí dạng tốn nhỉ? Thế đường thẳng cần chứng minh qua điểm cố định lại qua tâm đường tròn xét cực đối cực sao? Đường thẳng rõ ràng khơng có cực ta phải làm nào? Biết trường hợp gặp phải thời gian gấp rút nên tìm toán đơn giản (nhưng thể ý tưởng) sau: Bài tốn 19: (Hồng Quốc Khánh) Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox Đường trịn (I) thây đổi ln tiếp xúc với với hai tia Ox, Oy Gọi tiếp điểm (I) Ox, Oy B, C Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới (I) (D tiếp điểm, D khác B) OI cắt BD E Gọi d đường thẳng qua I vng góc với CE Chứng minh (I) di động (nhưng thỏa mãn điều kiện tốn) d qua điểm cố định Giải Xét cực đối cực (I) d cắt Oy F 20 Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Đường đối cực F CE (qua E) suy đường đối cực E qua F (Định lí 3) (1) Đường đối cực A BD (qua E) suy đường đối cực E qua A (Định lí 3) (2) Từ (1), (2) Định lí ta suy AF đường đối cực E Theo Định lí ta có AF vng góc với EI, mà EI phân giác góc xOy nên dễ có F cố định Từ có điều cần chứng minh  IV LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN QUỸ TÍCH: Phương pháp phần hữu ích với mà quỹ tích cần tìm có dạng thẳng Ngược lại với phần trên, ta quy tốn quỹ tích toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định! Hy vọng bạn nắm tư tưởng binh pháp qua hai toán sau: Bài toán 20: Cho đường tròn (O, R) điểm A cố định nằm đường tròn Điểm B di động đường trịn (O) Qua O vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt tiếp tuyến B đường tròn C Tìm tập hợp điểm C (Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi toán quận 3, TP Hồ Chí Minh 2001-2002) Giải  Phần thuận: Xét cực đối cực (O) Ta thấy đường đối cực C đường thẳng qua B vng góc với OC nên AB đường đối cực C Gọi d đường đối cực A Dễ thấy d cố định Vì đường đối cực C qua A nên C thuộc d Đến bạn tự hạn chế tập hợp điểm lại tiến hành phần đảo  Bài toán 21: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cố định (O1 ), (O2 ) tiếp xúc điểm M bán kính đường trịn (O2 ) lớn bán kính đường trịn (O1 ) Xét điểm A nằm đường tròn (O2 ) cho ba điểm O1 , O2 , A không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O1 ) (B, C tiếp điểm) Các đường thẳng M B M C cắt lại đường tròn (O2 ) tương ứng E F Gọi D giao điểm đường thẳng EF tiếp tuyến A đường tròn (O2 ) Chứng minh điểm D di động đường thẳng cố định A di động đường tròn (O2 ) cho ba điểm O1 , O2 , A không thẳng hàng (HSG quốc gia Việt Nam bảng A năm học 2002-2003) Giải 21 Khám phá ứng dụng cực đối cực Hồng Quốc Khánh Có hai trường hợp tiếp xúc với Ở giải chúng tiếp xúc ngoài, tiếp xúc hồn tồn tương tự AM cắt lại (O1 ) G Tiếp tuyến (O1 ) G, M cắt H Xét cực đối cực (O1 ) Ta thấy: Đường đối cực H M G qua A nên đường đối cực A qua H, nói cách khác B, C, H thẳng hàng Trong phép vị tự tâm M biến (O1 ) 7−→ (O2 ) thì: B 7−→ E, C 7−→ F , G 7−→ A Suy ra: H 7−→ D qua phép vị tự Do đó: D, M, H thẳng hàng Lại ý HM tiếp tuyến chung nên D thuộc đường cố định tiếp tuyến chung (O1 ), (O2 )  V MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC: Ở có tốn khác dạng có tốn dựa dạng Bài toán 22: Cho ABC tam giác O tâm đường tròn ngoại tiếp Các đường thẳng AB AC cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC B1 , C1 tương ứng Gọi D giao điểm BC B1 C1 Chứng minh đường tròn tiếp xúc với AD A có tâm nằm B1 C1 trực giao với đường trịn đường kính OD (MOP 1997) Giải 22 Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Gọi (I) đường trịn tiếp xúc với AD A có tâm nằm B1 C1 Xét cực đối cực (I) (OB, OC) (C1 B, C1 C) Ta thấy: (AB1 , AC1 ) ≡ ≡ (mod π) 2 ⇒ C1 A = C1 B (1) Mà OA = OB (2) Từ (1) (2) suy ra: C1 O ⊥ AB (3) Tương tự: B1 O ⊥ AC (4) Từ (3) (4) suy AO ⊥ B1 C1 Từ dễ có O thc đường đối cực D theo Định lí có điều phải chứng minh  Bài tốn 23: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AC cắt BD I Gọi M, N giao điểm thứ hai cặp đường tròn: (AOB) (COD), (BOC) (AOD) Chứng minh O, I, M, N đồng viên Giải Xét cực đối cực (O) Cách 1: 23 Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Ta thấy AB, OM, CD trục đẳng phương cặp đường tròn (AOB) (O); (AOB) (COD); (COD) (O) nên AB, CD, OM đồng quy điểm mà ta gọi S SO cắt (O) E, F Ta thấy: SE.SF = SA.SB = SM SO Chú ý O trung điểm EF nên ta có (SM EF ) = −1, M thuộc đường đối cực S (1) Mà I thuộc đường đối cực S (2) \ Từ (1) (2) suy IM đường đối cực S, IM O = 900 (3) [ Tương tự có IN O = 900 (4) Từ (3) (4) suy điều cần chứng minh Cách 2: Xét phép nghịch đảo cực O phương tích R2 : A 7−→ A, B 7−→ B, C 7−→ C, D 7−→ D Do đó: (AOB) 7−→ AB, (COD) 7−→ CD Nên M 7−→ S (a) Tương tự N 7−→ J (J giao điểm AD BC) (b) Gọi I ảnh I qua phép nghịch đảo (c) Vì SJ đường đối cực I nên theo định nghĩa ta có I thuộc SJ, hay S, I , J thẳng hàng.(d) Từ (a), (b), (c) (d) ta có điều cần chứng minh  Bài toán 24: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AB cắt CD E, AD cắt BC F , AC cắt BD \ = BHC \ I, OI cắt EF H Chứng minh AHD Giải Xét cực đối cực (O) EF đường đối cực I nên AC cắt F E J (JIAC) = −1 OI cắt EF H OH ⊥ EF \ (1) Từ hai điều suy HI phân giác AHC \ (2) Tương tự HI phân giác BHD Từ (1) (2) suy điều cần chứng minh  Bài toán 25: Gọi L, N tương ứng trung điểm đường chéo AC, BD tứ giác nội tiếp \ [ ABCD Giả sử N B phân giác AN C Chứng minh LA phân giác BLD 24 ... phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Xét cực đối cực (I) Đường đối cực A EF qua M , nên đường đối cực M qua A (Định lí 3) Mặt khác dễ thấy đường đối cực M qua D nên suy đường đối cực M AD Hồn... Xét cực đối cực (I) d cắt Oy F 20 Khám phá ứng dụng cực đối cực Hoàng Quốc Khánh Đường đối cực F CE (qua E) suy đường đối cực E qua F (Định lí 3) (1) Đường đối cực A BD (qua E) suy đường đối cực. .. F D, DE Xét cực đối cực (I) Ta thấy AA0 đường đối cực M nên A0 thuộc đường đối cực M Mà A’ thuộc BC đường đối cực D nên từ Định lí có đường đối cực A0 DM (1) Tương tự đường đối cực B , C EN,