GÓC NHÌN ĐỊNH HƯỚNG HH.PDF

www.VNMATH.com ge B ÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG w QUA CÁCH GIẢI BẰNG GĨC ĐỊNH HƯỚNG NGUYỄN LÁI Cái khó, khơng thấy giải góc định hướng Khi thấy , ta thấy toán học mà hấp dẫn lạ! I CÁC ĐỊNH NGHĨA Góc định hướng hai vectơ chung gốc Kí hiệu : OA, OB OA : vectơ đầu; OB : vectơ cuối ( ) sd (OA, OB ) = a + k 2p ; ( ) sd OA, OB º a (mod 2p ) Trong goc AOB = a (0 £ a £ 2p ) góc khơng định hướng Góc định hướng hai vectơ khơng chung gốc Cho hai vectơ AB, CD ( khác vectơ không) Lấy điểm O dựng OM = AB, ON = CD ( uuur uuur ) ( uuuur uuur ) Ta có sd AB, CD = sd OM , ON = a + k 2p Góc định hướng hai đường thẳng Kí hiệu: (a, b) a đường thẳng đầu; b đường thẳng cuối sd(a, b) = a + kp ,hay sd(a, b) = a (mod p ) a góc khơng tù góc hai đường thẳng a b khơng hướng II CÁC TÍNH CHẤT 1.(AB, CD) = AB, CD ; (AB, CD) º ( AB, DC ) (mod p ) ;.(AB, CD) º ( BA, CD ) (mod p ) 2.Hai đường thẳng a , b trùng song song (a, b ) º (mod p ) p 3.Hai đường thẳng a , b vng góc (a, b ) º ( modp ) ( ) 4.Góc (a, b) º ­ (b, a) (mod p ) 5.Hệ thức Sale : (a, b) = (a, c) + (c; b) (mod p ) Hiệu (a, b) º (c, b) – (c, a) III ỨNG DỤNG +Ba điểm thẳng hàng -Ba điểm A, B, C thẳng hàng (AB,AC) º (mod p ) ­Ba điểm A, B, C thẳng hàng (AB,AM) º (AC,AM) (mod p ) (M tùy ý) +Hai đường thẳng vng góc Hai đường thẳng AB, CD vng góc (AB,AC) º p ( modp ) + Hai điểm đối xứng qua trục Hai điểm A,A’ đối xứng qua trục BC (AB, AC) º (A’C, A’B) (mod p ) + Góc nội tiếp góc tâm : M, A, B đường tròn (O): (MA, MB ) = (OA, OB ) º ( BA, BT ) (mod p ) , BT tiếp tuyến (O) B +Boán điểm nằm đường tròn : www.VNMATH.com -Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn  khi và chỉ khi (AB, AD) º (CB, CD ) (mod p  )  ­Hệ quả: Tập hợp điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC  thỏa mãn: (MA, MB) º (CA, CB) (mod p  ) là đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC +Góc của hai đường thẳng có các cạnh đơi một vng góc Ta coù AB ^ EF; CD ^ HG khi và chỉ khi (AB,CD) º  (EF; HG) (mod p )   + Tập hợp điểm - {M /( MA, MB) º a (mod p )} = cung trịn chứa góc a qua A, B.  ­ {M /( MA, MB) º -a (mod p )} = cung trịn khơng chứa góc a  qua A, B.  IV. BÀI TẬP MINH HỌA A.Phương pháp phứng minh hai đường thẳng song song  ,ba điểm thẳng hàng + Hai đường thẳng a, b cùng phương khi và chỉ khi (a, b) º  (mod p )   + Hai đường thẳng a, b cùng phương khi và chỉ khi (a;c) º  (b, c)(mod p  ), đường thẳng c tùy ý + Ba điểm A, B,C thẳng hàng khi và chỉ khi (AB,AC) º  (mod p )   + Ba điểm A,B,C thẳng hàng khi và chỉ khi (AB,EF) º  (AC,EF)(mod p  ), đường EF tùy ý Bài 1. Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Hai cát tuyến bất kì D, D’ lần lượt qua A, B  cắt (O) và (O’) lần lượt tại M, M’ và N, N’.Chứng tỏ MN//M’N’.  HD.  Ta có (MN,MA) º  ( BN,BA) (mod p )  (1) vì (AMNB) nội tiếp  M  A  (M’A,M’N’,) º  ( BA,BN’) (mod p ) vì (AM’N’B) nội tiếp M '  Û Hay (MA,M’N’) º  ( BA,BN) (mod p )  (2)  O  O'  Cộng (1) và (2) theo Sale ta có:  (MN,M’N’) = 0 Þ MN//M’N’  N'  B  N  H  A  M  F  B  E  C  Bài 2. (Đường thẳng Simson) Để điểm M nằm trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi  các hình chiếu của M lần lượt xuống ba cạnh tam giác ABC thẳng hàng   HD. Giả sử E, F ,H lần lượt là hình chiếu của M xuống cạnh BC, AC, AB. Ta  có E,F,H thẳng hàng Û ( HE , HM ) = ( HF , HM )(mod p ) Û (CE , CM ) = ( HF , HM )(mod(p ) . (vì HMEC nội tiếp)  Û (CB, CM ) = ( AB, AM )(mod p )  (HMFA nội tiếp) Û AMBC nội tiếp Û M Ỵ Vịng ngoại tiếp tam giác ABC.  B. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc +Hai đường thẳng AB, CD vng góc khi và chỉ khi (AB,AC) º p 2  (mod p )   ìa ^ b Û d ^ b   ỵ(a, c ) º (d , c)(mod p ) +í Bài 1. Hai dây cung AB, CD của đường trịn (O) vng góc nhau tại P. Chứng minh trung tuyến PM  của tam giác BPC là đường cao của tam giác PAD D  HD.Ta có (PM,AD) = (PM, PC)+(PC, AD) = (PM, PC)+(DC, DA).  Vì tam giác PMC cân tại M nên (PM, PC) = (CP, CB) = (CD, CB)= (AD, AB).  thay vào (1) ta có (PM, AD) =(AD, AB)+(DC, DA) = (DC, DA) +(DA, AB)  P  B  A M  C  www.VNMATH.com = (DC,AB) º p  (mod p ) Suy ra  (PM, AB) º p  (mod p ) Þ PM ^  AD   Bài 2. Cho hai vòng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Một điểm M lưu động trên (O) . MA và MB cắt  vòng (O’) tại C và D. Chứng minh MO ^ CD   HD. Tại M kẽ tiếp tuyến vịng (O) T  M  Ta có (MA, MT) º (BA, BM) (mod p ) (1)  A  C  Xét vịng (O’) ta có (BA, BD) º (CA, CD) (mod p ) (2)  O'  O hay (BA, BM) º  (MA, CD) (mod p ) (3)  B  Từ (1) ,(2) , (3) ta có (MA, MT) º (MA, CD) (mod p ) Þ CD // MT D  Mà MT ^  MO Þ MO ^ CD Bài 3 Cho tam giác ABC Về phía ngồi nó ta dựng các tam giác đều ABE, ACF. Gọi G là tâm tam  giác ABE và K là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng tam giác KGC vng và có một góc  60 0  E A P Lời giải .Dựng điểm P sao cho EGFP là hình bình hành  K  Ta chứng minh tam giác CGP cân tại C.  G  F  Xét hai tam giác GAC và CPF có EG = PF Þ  AG = PF (1).  CA = CF (2).  Mặt khác (FP,FC) º  (GE,FC) (mod p )   B  C  Vậy (FP,FC) =(GE,GA)+(GA,CA) +(CA,FC) (mod p ) Chọn (AB,AC) là góc dương ,ta có 2p p  Ta có (GE,GA) = ;  (CA,FC) º (CA,CF) (mod p ) = 3 2p p  Vậy (FP,FC) º (+(GA,CA) + ) (mod p ) =(AG,AC) (mod p ) Þ  ÐGAC = ÐPFC (3).  3 Từ (1) ,(2) , (3) Þ  DGAC = DCPF ị CG = CP ,nờntamgiỏccõnGCPcútrungtuynCKcngval ngcao,haytamgiỏcKGCvuụngtiK, ẳ Þ GCA ¼ + ¼  ¼ = PCF ¼+¼ ¼ = ¼  Mặt khác ta có  GCA ACP = PCF ACP ,  hay  GCP ACF = 60 0  ¼ = 60 0 .  Do đó  KGB Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O). M N là một đường kính của (O). Chứng minh rằng  các đường thẳng Símson tam giác ABC ứng với hai điểm M, N  thì vng góc nhau.  HD. Gọi X, Y là các hình chiếu của M trên AB , BC theo thứ tự và Z, T là các hình chiếu củ N trên AB,  BC theo thứ tự . Ta cần chứng minh  XY ^ ZT   Thật vậy ta thấy bộ bốn điểm M, B, X,Y và N, B,Z,T  đồng viên .  Ta có (XY,ZT) = (XY,MY) + (MY, NT) (mod p )   Þ ( XY , ZT ) = ( XB, MB) + + ( NB, ZB)(mod p )  Þ ( XY , ZT ) º ( NB, MB )(mod p) (vì XB,ZB trùng )  K  _  p M  _  A  _  Þ ( XY , ZT ) = (mod p)  ( Vì MN là đường kính của (O)).  2  X  _  Suy ra  XY ^ ZT O  _  Z  _  A  _  T  _  Y  _  N  _  C  _  www.VNMATH.com C. Phương pháp chứng minh các điểm đồng viên(cuøng nằm trên  một đường tròn) -Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn  khi và chỉ khi (AB, AD) º (CB, CD ) (mod p  )  ­Hệ quả: Tập hợp điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC  thỏa mãn (MA, MB) º (CA, CB) (mod p  ) là đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 1.Cho hai đường trịn cắt nhau tại A và B.Kẽ một cát tuyến MAN Các tiếp tuyến tại M và N với  đường  trịn cắt nhau tại C, Chứng minh rẳng bốn điểm M, N, C, B cùng nằm  trên một đường trịn.  C  HD.Vì MC là tiếp tuyến nên ta có (BM, BA) º (MC, MA)(mod p  ) (1)  M  Vì NC là tiếp tuyến nên (BA, BN) º (NA, NC)(mod p  ) (2)  A  Cộng (1) và (2) ta có (BM, BN)=(MC, NC)=(CM, CN))(mod p  )  N  Vậy bốn điểm C, B, M, N cùng nằm trên đường tròn.  O  O'  B  Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn .  A1 , C1 , B1 , D 1  là hình chiếu A,  C và B, D xuống  BD,  AC . Chứng minh  A1 B1C1 D 1  là tứ giác nội tiếp.  HD. Vì  ABA1B 1  nội tiếp nên ta có ( B1 A1 , B1 A )  º ( BA1 , BA )  (mod p  ) .(1)  Vì ABCD nội tiếp nên (BD,BA) º (CD,CA) (mod p  ).  B  Hay ( BA1 , BA )  º (CD,CA)(mod p  ). (2)  A  C1  v  D1  A1  Vì  CDD 1C 1  nội tiếp nên ( CD, CD1 )  º ( C1 D, C1D 1 )  (mod p  ).  D1  D  C  hay (CD,CA) º ( C1 A1 , C1D 1 )  (mod p  ). (3).  Cộng (1) ,(2) ,(3) ta có Þ  A1B1C1D 1  là tứ giác nội tiếp ( B1 A1 , B1 A ) = ( C1 A1 , C1D1 )  (mod p  ) Bài 3. Điểm đối xứng của trực tâm H qua ba cạnh của một tam giác ABC thì nằm trên đường trịn  ngoại tiếp tam giác ABC.  HD. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC  A  Ta có(AC,AB) º  (HB,HC) (mod p ) ( Góc có cạnh tương ứng vng góc  z  (HB,HC) º  (H’C,H’B) (mod p ) ( Hai góc đối xứng qua BC) O  H  Þ (AC,AB) º  (H’C,H’B) (mod p ) Û H’ABC nội tiếp hay H 'Ỵ vịng  ABC  C  B  H'  Hệ quả. Ba vịng đối xứng với vịng ngoại tiếp qua ba cạnh tam giác thì qua trực tâm H Bài Cho M, N, P lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC.  Chứng tỏ rằng ba đường trịn (AMP), (BMN);(CNP) có một điểm chung A  HD.Giả sử hai vịng (BMN) và (CNP) cắt nhau tại H  ta có BMHN nội tiếp nên : (BM;BN) º  (HM,HN) (mod p ) (1)  M  ta có CNHP nội tiếp nên :    (CN,CP) º  ((HN,HP) (mod p ) P  hay (BN,CP) º  ((HN,HP) (mod p ) (2)  Cộng (1) và (2) ta có (BM,CP) = (HM,HP) (mod p ) Þ AMHP nơi tiếp .  B  N  Hay vịng (AMP) đi qua H Þ điều phải chứng minh.  C www.VNMATH.com Bài 5 Cho tam giác ABC và một điểm P bất kỉ trong mặt phẳng của tam giác. Chứng minh rằng các  vịng trịn đối xứng của ba vịng trịn ngoại tiếp các tam giác PAB, PBC, PCA qua các cạnh AB, BC,  CA có một điểm chung HD Gọi P1, P2, P3 là điểm đối xứng của P qua AB, BC, CA và Q là giao điểm thứ hai của hai vịng  (P1AB) , (P2BC).  Vì tính chất đối xứng nên ta có (P1A, P1B) º ­(PA, PB)(mod p  ) .(1)  A  (P2B, P2 C) º ­(PB, PC)(mod p  ). (2)  Q  (P3 C, P3A) º ­(PC, PA)(mod p  ) .(3)  P  Các điểm P1, A ,B , Q đồng viên ,ta có (QA, QB) º (P1 A, P1B)(mod p  ) .(4)  C  B  Các điểm P2, C ,B , Q đồng viên , ta có (QB, QC) º (P2  B,P2C)(mod p  ) .(5)  P1  Cộng (4) và (5) ta có(QA, QC) = (P1A, P1B) + (P2  B, P2  C)  P2  = ­ (PA, PB) ­ (PB,PC)= ­ (PA, PC).(6) Từ (6) và (3) ta có (QA, QC) º (P3A, P3  C) (mod p  ) Þ P3, Q, A, C đồng viên Suy ra điều phải chứng minh D. Phương pháp chứng minh tiếp tuyến đường tròn + AT là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi (AT, AB) º (CA, CB) (mod p  ).  Bài 1. Cho tam giác cân ABC đỉnh A. Một điểm M di chuyển trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .  Đường thẳng AM cắt cắt BC tai P Chứng minh rằng các vịng trịn ngoại tiếp của tam giác BMP và CMP tiếp xúc với AB và AC lần  lượt tại B và C 2.Tìm tập hợp tâm của các đường trịn BMP và CMP.  HD. Vì A,B.C.M đồng viên nên (BA, BM) = (CA, CM)  A  =  (CA, CB) + (CB, CM) (1).  M  Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A nên ta có (CA, CB) º (BC, BA) (mod p  ) (2)  B  P  C  (CB, CM) º (AB, AM) (mod p  ) (3)  Từ (1) ,(2) ,(3) ta có(BA, BM) = (BC, BA) + (AB, AM) = (BC, AM)  I  Þ ( BA, BM ) º ( PB, PM )(mod p ) Þ BA là tiếp tuyến vịng ngoại tiếp tam  giác PMB .  Tương tự AC là tiếp tuyến của vịng ngoại tiếp tam giác CMP tại C 2.Giả sử I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BMP nên I là giao điểm  đường trung trực cạnh BP và đường thẳng D  cố định vng góc AB. Khi  M lưu động trên đường trịn (ABC) thì P lưu động trên BC, suy ra I lưu  động trên D  E. Phương pháp tìm tập hợp điểm +Tập hợp điểm M nằm trên vịng (ABC ) khi và chỉ khi (MB, MC) º ( AB, AC ) (mod p  )  + {M /( MA, MB) º a (mod p )} = cung trịn chứa góc a  qua A, B.  + {M /( MA, MB) º -a (mod p )} = cung trịn khơng chứa góc a  qua A, B.  Bài 1. Cho tam giác ABC. M là một điểm lưu động trên cạnh BC. Hai vịng thay đổi qua M ,tiếp xúc  với AB, AC, lần lượt tại A,B cắt nhau tại I.Tìm tập hợp điểm I khi M thay đổi HD.Vì AB tiếp tuyến vịng (O1) Þ (IB,IM) = (BA,BM) = (BA,BC) (mod p ) (1)  A  Vì AC là tiếp tuyến vịng (O2) Þ (IM,IC) = (CM,CA) = (BC,CA) (mod p ) (2)  B  C  M  Cộng (1) và (2) ta có (IB,IC) = (AB,AC) (mod p ) O1 O2  I  Þ ABIC nội tiếp . Vậy tập hợp điểm I là vịng ngoại tiếp tam giác ABC.  www.VNMATH.com Bài Cho đường trịn (O) và (O’) có bán kính R và R’ cắt nhau tại A, B. Một điểm M lưu động trên  (O) . MA và MB cắt đường (O’) tại C và D. Tìm tập hợp trung điểm I của CD  khi M lưu động trên (O) HD Ta có (AD, AC)=(AD, BM)+(BM, AC)  C  A  M  O'  j  Mà (AD, BM)=(AD,BD) = (O ' A, O ' B ) = (O’O;O’B) (mod p ) (OB, OA) = (OB, OO ' )(mod p )   B  D Do đó (AD, AC) = (O’O;O’B)+ (OB , OO' ) = (OB, O’B) (mod p )   hay (AD, AC) =­(AO;AO’) (mod p )   Đặt góc ÐCAD  = a Þ ÐOAO ' = a khơng đổi Do đó độ dài CD khơng đổi Þ CD = 2R sin a  Nên khoảng cách O ' I = R cos a VytphptrungimIlngtrũntõmObỏnkớnhbng Rcos a Ô (BM, AC)=(MB,MA) = Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn , trực tâm H và f là một đường thẳng tùy ý qua H. Gọi  f a , fb ,  f c  lần lượt  là các đường thẳng đối xứng với f qua các đường thẳng BC, CA, AB . Chứng minh rằng  f a , fb ,  f c  đồng  qui tại một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( Bun garian 1999).  Giải . Gọi  A1 , B1 , C 1  theo thứ tự là các điểm đối xứng với H qua các  đường thẳng BC, CA, AB  khi đó dễ dàng chứng minh được  A1 , B1 , C 1  thuộc (ABC) , ngoài ra ( f a ; fb ) = ( f a ; BC ) + ( BC ; CA ) + ( CA; f b ) ( mod p )  = ( BC ; f ) + ( BC ; CA ) + ( f ; CA ) ( mod p )  ( BC ; f ) + ( BC ; CA ) + ( f ; CA ) ( mod p )  Suy ra f a ầ fb ẻ( ABC ) tngttacngcú fb ầ fc ẻ( ABC ), f a ầ f c ẻ( ABC )  Từ đó, do một đường thẳng và một đường trịn cắt nhau tại nhiều nhất hai điểm , suy ra điều phải  chứng minh   Bài 4. (Thi HSG 2006­Bảng A). Cho tứ giác lồi ABCD. Xét một điểm M di động trên đường thẳng AB  sao cho M khơng trùng với A và B . Gọi N là giao điểm thứ hai khác M của đường trịn đi qua ba điểm  (M, A, C) và đường trịn đi qua ba điểm (M, B, D) . Chứng minh:  1.  Điểm N di động trên đường trịn cố định   2.  Đường thẳng MN ln đi qua một điểm cố định  HD. 1) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo lồi ABCD .Xét  các góc định  hướng ,ta có (CI,CN) = (CA,CN) = (MA,MN) = (MB,MN) = (DB,DN)  (DI,DN) (mod p )  (1).  Vậy (CI,CN) = (DI,DN) (mod p ) Þ C, I,  D, N đồng viên. Do đó điểm N di  A  B  A  động trên đường trịn cố định (C,D,I)  I  M  2. Đường thẳng qua I ,song song với AB cắt đường thẳng MN tại K (gọi là t) .  K  D  Vì (MA,MN) = (KI,KN)(mod p )  . Do đó bốn điểm C,I,K,N đồng viên . hay  C  N  điểm K nằm trên đường trịn cố địnhqua C, D, I, N . Điểm K là giao điểm  đường thẳng t cố định và đường trịn (C,D,T) cố định nên đường thẳng MN  ln đi qua điểm K cố định.  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ  www.VNMATH.com Bài Trên đường tròn lấy bốn điểm A, B, C, D Các đường trịn đường kính BA BC, BC CD , CD DA, DA AB cắt lại B’, C’, D’ A’ Chứng minh bốn điểm A’,B’, C’, D’ nằm đường tròn Bài Cho tam giác ABC với trực tâm Hnooij tiếp đường tròn tâm (O) Gọi A1 , A2 theo thứ tự điểm đối xứng với H qua BC trung điểm BC Các điểm B1 , B2 , C1 , C2 xác định cách tương tự Chứng minh A1 , B1 , C1 nằm đường tròn (O) Bài Hai day cung vng góc AB CD đường tròn cắt P Chứng minh trung tuyến tam giác PBC đường cao tam giác PAD Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi E, F, G theo thứ tự giao điểm cặp đường thawngrAB CD, BC DA, AC BD Các đường trịn (DAE), (DCF) cắt điểm ¼ cắt CD J Chứng minh AHB cắt AB I, phân giác góc DHC thứ hai H Phân giác góc ¼ I, G, J thẳng hàng Bài Cho tam giác cân ABC đỉnh A Một điểm M thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng AM cắt BcC P Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CMP tiếp xúc với AB AC B C Tìm tập hợp tâm đường tròn BMP CMP Bài Gọi M N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Một đường thẳng d quay quanh A Gọi P, Q hình chiếu B, C d Tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng PM QN Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Kẽ day cung MN vng góc với BC Chứng minh đường thẳng Simson điểm M song song với AN Gọi M’ điểm xuyên tâm đối M Chứng minh đường Simson M M’ vng góc Bài Cho trước đường tròn (O) hai điểm A, B cho AB tiếp xúc với đường tròn (O) B Lấy điểm C khơng nằm đường trịn (O) cho AC cắt (O) hai điểm phân biệt, dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với AC C, tiếp xúc với (O) D cho B, D nằm hai phía đường thawngrAC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  ... Điểm N di động trên đường trịn cố? ?định   2.  Đường thẳng MN ln đi qua một điểm cố định? ? HD. 1) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo lồi ABCD .Xét  các? ?góc? ?định? ? hướng ,ta có (CI,CN) = (CA,CN) = (MA,MN) = (MB,MN) = (DB,DN) ... điểm K nằm trên đường tròn cố địnhqua C, D, I, N . Điểm K là giao điểm  đường thẳng t cố? ?định? ?và đường trịn (C,D,T) cố? ?định? ?nên đường thẳng MN  ln đi qua điểm K cố? ?định.   BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ  www.VNMATH.com... HD. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC  A  Ta có(AC,AB) º  (HB,HC) (mod p ) (? ?Góc? ?có cạnh tương ứng vng? ?góc? ? z  (HB,HC) º  (H’C,H’B) (mod p ) ( Hai? ?góc? ?đối xứng qua BC) O  H  Þ (AC,AB) º  (H’C,H’B) (mod p ) Û