Chinh phục tích phân lượng giác

Chinh phục tích phân lượng giác Chinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giác

Chinh phục tập tích phân – lượng giác thực đội ngũ tác giả Lovebook: Một số thông tin: NXB: ĐH quốc gia HN Số trang: 328 trang khổ A4 Giá: 129000 VND Ngày phát hành toàn quốc: 25/09/2015 Ước mơ bạn - Sứ mệnh chúng tôi! 💰 Đặt sách: http://lovebook.vn/ - https://goo.gl/XeHwk5 ☎ Tổng đài hỗ trợ đặt sách, thắc mắc đơn hàng: 0466 860 849 - 0462857197 Hotline: 0963 140 260 📩 Trung tâm giải đáp thắc mắc sách: goo.gl/A7Dzl0 🎦 Tổng hợp video giảng: goo.gl/OAo45w 🏩 Kho tài liệu Lovebook: goo.gl/nU0Fze 📨 Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên: goo.gl/ol9EmG Chữ ký lời chúc tác giả thành viên Lovebook Sách gốc phải có chữ ký tác giả thành viên Lovebook Bất kể sách chữ ký sách lậu, Lovebook phát hành Lời chúc & kí tặng LOVEBOOK.VN Chinh phục tập tích phân lượng giác Đời phải trải qua giông tố không cúi đầu trước giông tố! Đặng Thùy Trâm Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim nữa! Lương Văn Thùy LOVEBOOK tin tưởng chắn em đỗ đại học cách tự hào hãnh diện nhất! Bản quyền thuộc Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp Không phần xuất phẩm phép chép hay phát hành hình thức phương tiện mà cho phép trước văn công ty GIA ĐÌNH LOVEBOOK CHINH PHỤC BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC Sách dành cho:        Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm tốt cho KÌ THI THPT QUỐC GIA Học sinh gốc Toán, học Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp kĩ giải toán Toán Học sinh muốn đạt 9,10 kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học sở trung học phổ thông Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm sách chứa phân tích, tìm tòi thú vị, sáng tạo độc đáo NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI LỜI MỞ ĐẦU Các bạn cảm thấy:  Hoang mang lần đầu tiếp xúc với kiến thức tích phân lượng giác ?  Kiến thức tích phân lượng giác nói chung hình giải tích nói riêng phức tạp rộng, dạng đề thi khác xa với kiến thức SGK  Không hình dung phương pháp, ý tưởng làm tích phân lượng giác ?  Giá có sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu để tự tin học?  … Nếu bạn gặp phải vấn đề trên, chắn Chinh phục tập tích phân lượng giác sách DÀNH CHO BẠN!!!! Trong sách bạn sẽ: Thử thách thân với hàng loạt tập tác giả chọn lọc kĩ Các tập sách tập điển hình quen thuộc đề thi Ngoài ví dụ giúp bạn định hình dạng toán, sách bao hàm nhiều tập tự luyện có đáp án, giúp bạn có kĩ làm tốt phục vụ cho kì thi tới Tiếp cận nội dung, phương pháp giải toán cách tối ưu Các phương pháp nội dung sách phương pháp chọn lọc kĩ càng, đồng thời trình bày cẩn thận rõ ràng với lời hướng dẫn chi tiết… Cuốn sách dễ hiểu, dễ học với bạn bắt đầu tiếp xúc với tích phân lượng giác Được hỗ trợ trực tuyến cầm tay sách Nếu có khúc mắc trình sử dụng sách, bạn hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả diễn đàn chăm sóc sử dụng sách nhà sách: vedu.vn/forums/ Cuốn sách tập hợp kinh nghiệm, kiến thức tích phân lượng giác tác giả; trình làm việc nghiêm túc, miệt mài tác giả Cuốn sách tâm huyết đội ngũ tác giả với mong muốn bạn đọc đạt kết tốt nhất, chinh phục tích phân lượng giác đề thi THPT Quốc gia tới Mặc dù dành nhiều thời gian tâm huyết để hoàn thiện sách sách chắn tránh khỏi sai sót thời gian kiến thức hạn chế Chúng mong nhận ý kiến đóng góp nội dung sách từ bạn học sinh, sinh viên, thầy cô giáo để lần tái sách hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp bạn, thầy cô xin vui lòng gửi địa o Thư điện tử: gopy.lovebook.vn@gmail.com o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/ Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!! HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn nên học theo thứ tự chủ đề Cuốn sách khác với sách khác, tác giả khuyên bạn nên ĐỌC THẬT KĨ ĐÁP ÁN đáp án sách trình bày phân tích sai lầm mà bạn hay gặp phải phần bình luận, mở rộng thêm toán Các bạn không nên lướt qua đáp án đáp án phần thú vị giá trị sách Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì? Đừng ngại ngần, hỏi !!! - Hỏi bạn bè lớp Học thầy không tày học bạn - Hỏi thầy cô giáo lớp - Hỏi bạn bè cộng đồng mạng - Bạn đăng thắc mắc trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách nhà sách Lovebook để hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/ Ghi chú, đánh dấu Trong trình đọc sách, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào phần kiến thức mà bạn hay quên, nhầm lẫn, toán mà bạn làm sai phần mà bạn thấy quan trọng Trước thi tháng, bạn nên đọc lại toàn sách sách tổng hợp toàn thứ bạn cần phần tích phân – lượng giác, đặc biệt bạn cần xem lại phần đánh dấu bút màu trước để tránh việc lặp lại sai lầm bước vào kì thi thức Kết hợp với đề Trong trình sử dụng sách, để đạt hiệu cao nhất, tốt bạn nên có đề để luyện tập Vì lại ? Các tập tự luyện bên sau chuyên tập dạng trình bày nhằm củng cố kiến thức dạng tập Do đó, để nhớ lâu có kĩ tư tổng hợp kiến thức, chuyên đề với cần phải có đề để làm Khi làm đề mà có nhiều phần chưa học, làm phần học không nên để đến lúc học xong hết chương trình làm Ví dụ bạn đọc hết sách này, bỏ đề đặt bút làm, làm hết tất câu thuộc phần tích phân – lượng giác Bạn sợ thiếu đề? Bạn yên tâm rằng, Lovebook có 80 đề nằm tập sách Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán với đáp án lời giải chi tiết cho bạn MỤC LỤC Chương I: Giá trị lượng giác cung 14 I GÓC LƯỢNG GIÁC – CUNG LƯỢNG GIÁC 15 Đơn vị đo góc lượng giác 15 Khái niệm góc lượng giác 15 Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác 15 Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác 15 II GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 16 Định nghĩa giá trị lượng giác cung 16 Giá trị lượng giác số cung – góc đặc biệt 16 III CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 21 Công thức cộng 21 Công thức bội 22 Công thức biến đổi tổng thành tích 23 IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 39 Chương II: Phương trình lượng giác 61 I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 62 Hàm số tuần hoàn 62 Hàm số lượng giác 62 II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 63 Phương trình lượng giác (cơ 1) 63 Phương trình đa thức bậc thấp hàm số lượng giác (cơ 2) 67 Phương trình asinx + bcosx = c (cơ 3) 70 Phương trình đẳng cấp với sinx cosx (cơ 4) 77 Phương trình hỗn hợp a(sinx + cosx) +b.sinx.cosx = c (cơ 5) 80 III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 83 Đưa phương trình lượng giác dạng 83 Đưa phương trình lượng giác dạng phương trình tích 96 IV PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN 176 Phương pháp 1: Phương pháp biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác 178 Phương phap 2: Loại nghiệm giải phương trình nghiệm nguyên 182 Chương III: Nguyên hàm – Tích phân 185 I NGUYÊN HÀM 186 Định nghĩa 186 Định lý 186 Tính chất 186 Bảng nguyên hàm 186 II TÍCH PHÂN 197 Định nghĩa 197 Tính chất tích phân 197 Phương pháp tích phân phần 215 TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM CƠ BẢN 225 Tích phân hàm hữu tỉ - Kĩ thuật khai triển Taylor 225 Kỹ thuật khai triển Taylor 239 Tích phân hàm vô tỉ - phương pháp Euler 240 Tích phân hàm lượng giác 250 Biến đổi nâng cao tích phân 270 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 279 III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 301 Trước bắt đầu thức trải nghiệm sách, anh chị Lovebook xin gửi tặng em câu chuyện: Bài học từ câu chuyện “Tái ông thất mã” Một câu chuyện Trung Quốc nông dân Bình tĩnh “Một ông lão gần biên giới giáp với nước Hồ phía Bắc nước Tàu, gần Trường thành, có nuôi ngựa Một hôm ông lão dẫn ngựa gần biên giới cho ăn cỏ, lơ đễnh nên ngựa vọt chạy qua nước Hồ dạng Những người xóm nghe tin đến chia buồn với ông lão Ông lão người thông hiểu việc đời nên bình tỉnh nói: – Biết đâu ngựa chạy đem lại điều tốt cho Vài tháng sau, ngựa chạy quay trở về, dẫn theo ngựa nước Hồ, cao lớn mạnh mẽ Người xóm hay tin liền đến chúc mừng ông lão, nhắc lại lời ông lão nói trước Ông lão không vui mừng, nói: – Biết đâu việc ngựa Hồ nầy dẫn đến tai họa cho Con trai ông lão thích cỡi ngựa, thấy ngựa Hồ cao lớn mạnh mẽ thích lắm, liền nhảy lên lưng cỡi chạy Con ngựa Hồ chưa nết nên nhảy loạn lên Có lần ông lão không cẩn thận để ngựa Hồ hất xuống, té gãy xương đùi, khiến ông lão bị què chân, tật nguyền Người xóm vội đến chia buồn với ông lão, thật không ngờ ngựa không tốn tiền mua nầy lại gây tai họa cho trai ông lão Ông lão thản nhiên nói: – Xin vị lo lắng cho tôi, bị ngã gãy chân, bất hạnh đó, nhờ họa nầy mà phúc Một năm sau, nước Hồ kéo quân sang xâm lấn Trung nguyên Các trai tráng vùng biên giới phải sung vào quân ngũ chống ngăn giặc Hồ Quân Hồ thiện chiến, đánh tan đạo quân gọi nhập ngũ, trai tráng tử trận, riêng trai ông lão bị què chân nên miễn lính, sống sót gia đình.” Người đời sau lập thành ngữ: Tái ông thất mã, an tri họa phúc Nghĩa là: ông lão biên giới ngựa, họa phúc Bài học: Việc đời, hết may tới rủi, hết rủi tới may, nên bắt chước tái ông mà giữ thản nhiên trước biến đổi thăng trầm sống.Ta không thực biết điều phía phía trước xảy Cuộc sống lúc mong đợi Dẫu có đôi lúc làm không mong đợi, em đừng vội nản, vội bỏ Biết đâu, lại cú hích cho em vươn xa kỳ thi tới  Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission LƯỢNG GIÁC Có thể nói rằng, Lượng Giác thành phần xuất sớm lịch sử Toán Học Nó xuất nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc diện tích tính toán thiên văn… Làm việc với Lượng Giác, làm việc với góc tính chất góc Sự biến đổi qua lại theo tính chất góc tạo thành hệ linh hoạt thống Trong phần Lượng Giác này, trình bày theo phần: CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác cung Bài 3: Công thức Lượng Giác Bài 4: Hệ thức lượng Tam Giác CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1: Hàm số lượng giác Bài 2: Phương trình Lượng Giác Bài 3: Các phương pháp giải phương trình lượng giác Bài 4: Phương trình Lượng Giác có điều kiện ĐỌC THÊM: TẢN MẠN VỀ LƯỢNG GIÁC LOVEBOOK.VN | 13 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Chương I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Trong chương này, kiến thức trình bày chủ yếu nói tính chất biến đổi qua lại góc nói chung góc tam giác nói riêng Riêng tam giác, biến hóa góc, làm việc với yếu tố cạnh diện tích chu vi Chúng trình bày bố cục chương theo phần: Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác cung Bài 3: Công thức Lượng Giác Bài 4: Hệ thức lượng Tam Giác Trong bài, kiểu tập đưa theo mức độ Tính toán thông thường, chứng minh, rút gọn, kiểu tập nâng cao Nắm tốt phần này, hiểu LƯỢNG GIÁC Trước vào phần cụ thể, đọc câu chuyện suy ngẫm nhé… HAI ANH EM Có hai anh em nhà làm việc nông trại gia đình Người anh lập gia đình, người em độc thân Mỗi kết thúc ngày làm việc mệt nhọc, hai anh em lại chia làm ngày, phần lúa gạo lợi nhuận Một ngày nọ, người em nghĩ thầm bụng: “Thật không công chia đôi thứ với anh Mình có thân mình, có cần nhiều đâu chứ!” Nghĩ thế, nên từ trở đi, tối, anh lại lấy bớt phần thóc mình, băng qua cánh đồng nhỏ hai nhà đổ vào kho thóc người anh Trong ấy, người anh thầm nghĩ lòng: “Thật không công chia thứ với em Mình có vợ, có con, lo lắng điều nữa, em có mình, đâu có để lo cho tương lai” Và người anh, vào tối, lấy bớt phần thóc đổ vào kho người em Cả hai anh em ngạc nhiên lượng thóc không vơi chút so với trước Rồi tối nọ, hai anh em va phải lúc thực kế hoạch Và họ hiểu chuyện Bỏ rơi bao thóc tay, hai anh em xúc động ôm chầm lấy nhau… Chính điều cho nhận lại ! LOVEBOOK.VN | 14 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission sin2 a (cos b − 1) + sin2 b (cos a − 1) cos b (sin2 a − 1) + cos a (sin2 b − 1) − sin2 a sin2 b − sin2 b sin2 a = tan2 a tan2 b = − cos b cos a − cos a cos b Bình luận: Với toán rút gọn, chứng minh Lượng Giác nói chung, ta cần để ý diễn biến góc để đưa góc lượng giác giống Đặc biệt với dạng toán phần B, gặp tổng biểu thức có góc lượng giác biến đổi quy luật, ta thường giải việc nhân thêm lượng tương ứng vào để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng nhằm tạo biểu thức có khả khử = Bài 2: π Tính a a) Cho � tan a = − √3 π 0 ( x > 0) Do ( x + 2) = 2k + ≥ ⇔ x + ≥ ⇔ x ≥ −2 + ( x > ), nên phương trình (2) có nghiệm nhỏ x = −2 + Ta thấy x =−2 + ≤ ; nghiệm thỏa mãn x = −2 + √6 Vậy nghiệm dương nhỏ phương trình cho : x =−2 + LOVEBOOK.VN | 64 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Dạng 2: Phương trình cosx = m Bài 1: Giải phương trình sau: ( ) ( a cos 2x= cos x − 15° a) Ta có: Your dreams – Our mission cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π , k ∈    5π  π b cos  x −  + sin  3x −  =  6   ) 2x = x − 15° + k360° 2x = − x + 15° + k360° cos ( 2x= ) cos ( x − 15°) ⇔  Vậy phương trình có hai họ nghiệm b Ta có: Bài giải chi tiết:  x = −15° + k360° , k ∈  ⇔  x = 5° + k120°     5π  π 5π  π − sin  3x −  cos  x −  + sin  3x −  =0 ⇔ cos  x −  =  6  6      π   5π  π 5π  π ⇔ cos  x −  = sin  −3x+  ⇔ cos  x − =  cos  + 3x −   6  6    2 7π  5π π   x − = + 3x + k2π  x =− 12 − kπ , k ∈  ⇔ ⇔  x − 5π =− π − 3x + k2π  x= π + kπ   Vậy phương trình có hai họ nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau: sin (5π cos2x ) =sin (3π cos2x ) Bài giải chi tiết: 5π cos 2x =3π cos 2x + k2π sin 3π cos2x ⇔  Ta có: sin 5π cos2x = 5π cos 2x = π − 3π cos 2x + k2π ( ) ( cos 2x = k ,k ∈  ⇔ cos 2x= + k  k ≤1 k ∈   ⇒ 1 k Vì:  ⇔  cos 2x ≤  8+ ≤1  )  −1 ≤ k ≤  , k ∈ −4, ±3, ±2, ±1,0 − ≤ k ≤  2 { }  −7  ± arccos   + l1 2π − ⇔ 2x = Với k = - 4, ta có cos2x =   7 8 ⇔ x = ± arccos   + l1 2π  cos 2x = − Với k = ±3 , ta có  ⇔ cos 2x =    5  x =± arccos  −  + l2 π    , l2 ∈   7  x =± arccos   + l2 π 8  LOVEBOOK.VN | 65 Chinh phục tập tích phân – lượng giác  cos2x = Với k = ±2, ta có  ⇔ cos2x = −  Your dreams – Our mission  5  x =± arccos   + l3 π    , l3 ∈    3  x =± arccos  −  + l3 π  8   x= l4 π cos2x =  Với k = , ta có  , l4 ∈  ⇔  3 cos2x = x =± arccos   + l4 π   8 π  cos2x = −1  x = + l5 π , l5 ∈  Với k = -1, ta có  ⇔  cos2x = −  x =± arccos  −1  + l π         π l6 π cos2x =  x= + , l6 ∈  ⇔ Với k = 0, ta có  cos2x = 1  1   x =± arccos   + l6 π    Vậy phương trình có mười tám họ nghiệm Dạng 3: Phương trình tanx = m = tan α ⇔ x = α + kπ ,k ∈ tanx Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau: π tan   a tan 2x + = 6 ( ( ) a Theo đề ta có: ) b tan x − 15° = Bài giải chi tiết: π π kπ π tan ( 2x + 5) = tan   ⇔ 2x + = − + ,k ∈  + kπ ⇔ x = 12 2 6 Vậy phương trình có nghiệm x = b.Theo đề ta có: tan ( x − 15° )= π kπ − + ( k ∈ ) 12 2 = ° ) tan ( 60° ) ⇔ tan ( x − 15 ⇔ x − 15°= 60° + k180° ⇔ x= 75° + k180° Vậy phương trình có nghiệm x= 75° + k180° Dạng 4: Phương trình cotx = m cotx = cot α ⇔ x = α + kπ ,k ∈ Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau:  7π  tan   b cot x + =  12  x π a cot  +  = − 2 3 a Ta có: LOVEBOOK.VN | 66 ( Bài giải chi tiết: ) Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission II TÍCH PHÂN Định nghĩa: Cho y= f(x) liên tục đoạn [a; b] F(x) ∈ � ∫ f(x)dx + c� [a; b] Hiệu F(b) – F(a) gọi tích phân y = f(x) đoạn [a; b] b Ký hiệu: � f(x)dx a Trong đó: a cận dấu tích phân b cận dấu tích phân f(x) hàm dấu tích phân b Nếu � f(x)dx = F(b) − F(a) ta có F(b) − F(a) = F(x) � a b b a Nên viết sau: � f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x) � Ví dụ: � x dx = a x3 1 � = 3 Chú ý: Tích phân không phụ thuộc vào biến: • b Ý nghĩa hình học tích phân: b a d � f(x)dx = � f(x)dx = ⋯ a b c Nếu y=f(x) liên tục, không âm [a; b] f(x)dx = S diện tích hình giới hạn đồ thị hàm ∫ a số y = f(x) Ox [a; b] Tính chất tích phân Cho hàm số: y=f(x) y=g(x) liên tục [a; b] a ≤ c ≤ b a 1) � f(x)dx = b a b b 2) � f(x)dx = � f(x)dx b a 4) �[f(x) + g(x)]dx = � f(x)dx + � g(x)dx Ví dụ 𝐈𝐈𝟐𝟐 𝐈𝐈𝟑𝟑 𝐈𝐈𝟒𝟒 𝐈𝐈𝟓𝟓 𝐈𝐈𝟔𝟔 a a b b b b 3) � k f(x)dx = k � f(x)dx a c b a 5) � f(x)dx = � f(x)dx + � f(x)dx a 2 𝐱𝐱 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 dx dx 2 � � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = − = ln(x) � + � = ln2 − 𝟑𝟑 x 𝐱𝐱 𝟏𝟏 x x 𝟒𝟒 4 x 𝐱𝐱 x = � �𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝐞𝐞𝟒𝟒 � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � xdx − � e4 dx = � x − 4e4 �� = 28 − 4e 𝟎𝟎 0 𝟐𝟐 2 = � (𝐱𝐱 − 𝟏𝟏)𝟑𝟑 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � (x − 1)3 d(x − 1) = � (x − 1)4 �� = 1/4 𝟏𝟏 𝛑𝛑 π 𝟐𝟐 = � (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜)𝐝𝐝𝐝𝐝 = (sinx − 2cosx) �2 = −1 𝟎𝟎 𝟏𝟏 = � (𝐝𝐝𝐝𝐝)/𝐱𝐱 = ln(x) �1 = 𝟏𝟏 e 𝐞𝐞 π 𝛑𝛑 π π 𝟑𝟑 4dx d(2x) 𝐝𝐝𝐝𝐝 3= =� =� = −2 � = −2cot(2x) �π 𝛑𝛑 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧𝟐𝟐 𝐱𝐱 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝐱𝐱 π sin2 x π sin2 x √3 𝟔𝟔 6 𝐈𝐈𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐 a a a c LOVEBOOK.VN | 197 Chinh phục tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission π π π π dx 4 𝐈𝐈𝟕𝟕 = � 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐧𝐧 𝐱𝐱 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � ( − 1)dx = � − � dx = tanx � − x� = − π/4 cos x 0 𝟎𝟎 cos x π 𝛑𝛑 π π 𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐭𝐭 𝟐𝟐 𝐱𝐱 dx dx = 3√3 + − 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � − 2� = (3tanx − 2cotx) �π 𝐈𝐈𝟖𝟖 = � 𝛑𝛑 π cos x π sin2 x 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝟐𝟐 𝐱𝐱 √3 √2 𝟒𝟒 4 𝛑𝛑 π π 𝟒𝟒 𝐝𝐝𝐝𝐝 4 = � (tan x + 1)d(tanx) = � tan x + tanx� �4 = 𝐈𝐈𝟗𝟗 = � 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝐱𝐱 0 𝛑𝛑 π π 𝟐𝟐 x π 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐱𝐱 𝐝𝐝𝐝𝐝 = �2 − ln(sin x + cos x) �2 = 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 2 𝟎𝟎 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛑𝛑 𝟒𝟒 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 π/4 𝟐𝟐 𝛑𝛑 𝟐𝟐 π π π − cos x 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝐧𝐧𝟑𝟑 𝐱𝐱 (2cos (cosx =� 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � sinxdx = � x − 4cosx) �2 = − 1)d(cosx) = 𝟎𝟎 𝟏𝟏 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 + cosx 0 𝛑𝛑 𝟖𝟖 𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐) 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐧𝐧 = 𝟎𝟎 π 1 tan3 2x �8 = 6 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝛑𝛑 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝛑𝛑 𝟔𝟔 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 𝛑𝛑/𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝛑𝛑 𝟐𝟐 (𝟏𝟏 + 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐧𝐧 𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐))𝐝𝐝𝐝𝐝 π π 8 = � tan2 2x (tan2x)′d(2x) = � tan2 2x d(tan2x) 2 π π − 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧𝟑𝟑 𝐱𝐱 = √3 + − 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � � − sinx� dx = (−cotx + cosx) �π 𝟐𝟐 π 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐧𝐧 𝐱𝐱 sin x √2 6 π π π cos x − sin2 x 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � dx = � (cosx − sinx)dx = (sinx + cosx) �2 = sinx + cosx 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 0 π π π 2 2 2 = � 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 = − � (cos9x − cos5x)dx = − � cos9x d(9x) + � cos5xd(5x) 𝛑𝛑 −π 18 −π 10 −π − 𝟐𝟐 π − 1 = �− sin9x + sin 5x� � π2 = 18 10 45 π + 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 2=1 𝐝𝐝𝐝𝐝 = 2sinx �π 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝛑𝛑 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟔𝟔 𝟏𝟏 1 1 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝐱𝐱 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟐𝟐 2(x + 1) − (x − 1) + dx 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � dx = � (x + 1)dx − � dx + � 𝐱𝐱 + 𝟏𝟏 x+1 𝟎𝟎 0 0 x+1 x = �2 � + x� − x + ln(x + 1)� � = + ln2 𝟏𝟏 (x 1 1 d(x + 1) − x) 𝐱𝐱 𝟓𝟓 x 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � dx + � dx = � (x − x)dx + � 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐 x2 + 𝟎𝟎 𝐱𝐱 + 𝟏𝟏 x +1 x +1 x4 x2 1 1 = � − + ln(x + 1)� � = − + ln2 4 2 𝛑𝛑 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝐈𝐈𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐 𝐝𝐝𝐝𝐝 =� 2 √x + − √x − dx = � √x + dx − � √x − 1dx 2 √𝐱𝐱 + 𝟏𝟏 + √𝐱𝐱 − 𝟏𝟏 2√2 1 2 − = �(x + 1)3 � − �(x − 1)3 � = √3 − 3 3 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐱𝐱√𝟏𝟏 − 𝐱𝐱𝐝𝐝𝐝𝐝 𝟎𝟎 Đặt t = √1 − x ⇒ t = − x ⇒ x = − t ⇒ dx = −2tdt x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = LOVEBOOK.VN | 198 Chinh phục tập tích phân – lượng giác 0 Your dreams – Our mission ⇒ 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = − � (1 − t ) t 2t dx = � (t − t )dt = 2( t5 t3 − )� = 15 Đặt t = ex + ⇒ dt = ex dx ⇒ dt = (t − 1)dx ⇒ dx = dt t−1 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 1 𝐞𝐞𝐱𝐱 𝐝𝐝𝐝𝐝 =� 𝐱𝐱 𝟐𝟐 𝟎𝟎 (𝐞𝐞 + 𝟏𝟏) x = ⇒ t = 2; x = ⇒ t = e + e+1 e+1 e+1 1 t−1 dt � dt = =− � = − 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 2 t 2 e+1 t (t − 1) t 2 𝐞𝐞^𝟐𝟐 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐱𝐱√𝟏𝟏 + 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟏𝟏 dx Đặt t = √1 + lnx ⇒ t = + lnx ⇒ 2tdt = x x = ⇒ t = 1; x = e2 ⇒ t = √3 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 √3 (2t) √3 dt = � dt = 2t �√3 = 2√3 − t 1 𝛑𝛑 π 𝟒𝟒 𝐝𝐝𝐝𝐝 tan x tan x 28 � =� = � + + tanx� 4= 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝐱𝐱 15 𝛑𝛑 π 𝟑𝟑 𝐝𝐝𝐝𝐝 x π =� = − ln |tan( − ) �3 = ln(2 + √3) 2 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � e+1 𝟐𝟐𝐱𝐱 𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟑𝟑 � dx � � − 𝐝𝐝𝐝𝐝 = + 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝐱𝐱 + 𝐱𝐱 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 2x x − 2(x + 2) 𝐞𝐞 e e−1 e e+1 e+1 � − 2ln � � + ln( = ln � = � lnx − 2ln|x − 1| + ln|x − 2|� � ) e 2 e−2 e−1 e 𝟏𝟏 1 1 1 𝐝𝐝𝐝𝐝 ex dx d(ex ) ex � d(ex ) = ln � x �� 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐱𝐱 =� x x =� x x = � � x− x (e (e e e + 𝟑𝟑 + 3) + 3) + e + e e 𝐞𝐞 𝟎𝟎 0 1 e � − ln � �) = (ln � e+3 𝟏𝟏 1 d(2x ) 1 1 𝐝𝐝𝐝𝐝 2x � x x � � x− x � dx = �� 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐱𝐱 = = ln � x (2 ln2 2 +5 5ln(2) + + 5) 5ln(2) 𝟎𝟎 𝟐𝟐 + 𝟓𝟓 1 = (ln � � − ln � �) ln(2) 𝟏𝟏 1 359 360x � = 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟓𝟓𝐱𝐱 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � (23 32 5)x dx = � 360^xdx = ln 360 ln360 𝟎𝟎 0 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � �𝟐𝟐𝐱𝐱 𝟓𝟓 − 𝟕𝟕𝐱𝐱 𝟑𝟑 + �𝐱𝐱 𝟑𝟑 − + 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑 + − 𝟓𝟓 � 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐱𝐱 𝐱𝐱 𝐱𝐱 √𝐱𝐱 √𝐱𝐱 𝟑𝟑 7 = x − x + x − ln|x| − + 2x −2 + 2√x − 5x + c x 13 d(x + 2) 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟕𝟕 3(x + 2) − 13 � dx = � 3dx − 13 � 𝐈𝐈𝟑𝟑𝟑𝟑 = � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � dx = � �3 − x+2 x+2 𝐱𝐱 + 𝟐𝟐 x+2 = 3x − 13 ln|x + 2| + c 37 (2x − 2) + 𝟗𝟗𝟗𝟗 + 𝟓𝟓 2 dx = � �9 + 37 � dx = � dx + 37 � d(2x − 3) 𝐈𝐈𝟑𝟑𝟑𝟑 = � 𝐝𝐝𝐝𝐝 = � 2x − 2x − 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟑𝟑 2 2x − 37 ln|2x − 3| + c = x+ 𝐱𝐱 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟓𝟓 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐈𝐈𝟑𝟑𝟑𝟑 = � (𝐱𝐱 − 𝟏𝟏) (x − 1)(x − 2) + 3 d(x − 1) � dx = �(x − 2)dx + � =� dx = � �x − + x−1 x−1 x−1 𝐈𝐈𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝐞𝐞+𝟏𝟏 LOVEBOOK.VN | 199