Chinh phục tích phân lượng giác

Chinh phục tích phân lượng giác Chinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giácChinh phục tích phân lượng giác

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác được thực hiện bởi đội ngũ tác giả

☎ Tổng đài hỗ trợ đặt sách, thắc mắc đơn hàng: 0466 860 849 - 0462857197 Hotline: 0963 140 260

📩 Trung tâm giải đáp thắc mắc trong sách: goo.gl/A7Dzl0

🎦 Tổng hợp video bài giảng: goo.gl/OAo45w

🏩 Kho tài liệu Lovebook: goo.gl/nU0Fze

LOVEBOOK.VN

Lời chúc & kí tặng

Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook

Sách gốc phải có chữ ký của tác giả hoặc của thành viên Lovebook Bất kể cuốn sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!

Đặng Thùy Trâm

Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa!

Lương Văn Thùy

LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ

đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất!

GIA ĐÌNH LOVEBOOK

CHINH PHỤC BÀI TẬP

TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

Sách dành cho:

 Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)

 Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA

 Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán

 Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)

 Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông

 Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán

 Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng

tạo và độc đáo

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Các bạn cảm thấy:

 Hoang mang khi lần đầu tiếp xúc với các kiến thức về tích phân lượng giác ?

 Kiến thức về tích phân lượng giác nói chung và hình giải tích nói riêng khá là phức tạp

và rộng, hơn nữa các dạng bài trong đề thi khác xa với kiến thức trong SGK

 Không hình dung được phương pháp, ý tưởng làm một bài tích phân lượng giác ?

 Giá như có cuốn sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu

để mình có thể tự tin học?

 …

Nếu bạn gặp phải những vấn đề trên, chắc chắn Chinh phục bài tập tích phân lượng giác là

cuốn sách DÀNH CHO BẠN!!!!

Trong cuốn sách này bạn sẽ:

1 Thử thách bản thân với hàng loạt bài tập được các tác giả chọn lọc kĩ càng

Các bài tập trong cuốn sách đều là những bài tập điển hình và quen thuộc nhất trong các

đề thi Ngoài các ví dụ giúp các bạn định hình dạng toán, cuốn sách còn bao hàm rất nhiều bài tập tự luyện có đáp án, giúp các bạn có một kĩ năng làm bài tốt phục vụ cho kì thi sắp tới

2 Tiếp cận các nội dung, phương pháp giải bài toán một cách tối ưu nhất

Các phương pháp và nội dung trong cuốn sách đều là các phương pháp được chọn lọc kĩ càng, đồng thời được trình bày cẩn thận và rõ ràng với lời hướng dẫn chi tiết… Cuốn sách dễ hiểu, dễ học ngay cả với những bạn mới bắt đầu tiếp xúc với tích phân lượng giác

3 Được hỗ trợ trực tuyến ngay khi cầm trên tay cuốn sách

Nếu có khúc mắc trong quá trình sử dụng sách, bạn có thể hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả

trên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách: vedu.vn/forums/

Cuốn sách là tập hợp những kinh nghiệm, kiến thức về tích phân lượng giác của các tác giả; là quá trình làm việc nghiêm túc, miệt mài của các tác giả Cuốn sách cũng là tâm huyết của đội ngũ tác giả với mong muốn bạn đọc có thể đạt được kết quả tốt nhất, chinh phục được tích phân lượng giác trong đề thi THPT Quốc gia sắp tới

Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn sách chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế Chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh viên, các thầy cô giáo để những lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn

Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ

o Thư điện tử: gopy.lovebook.vn@gmail.com

o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/

Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!!

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

1 Bạn nên học theo thứ tự các chủ đề

Cuốn sách này khác với các cuốn sách khác, tác giả khuyên các bạn nên ĐỌC THẬT KĨ ĐÁP ÁN vì đáp án trong cuốn sách sẽ trình bày và phân tích các sai lầm mà các bạn sẽ hay gặp phải cũng như phần bình luận, mở rộng thêm bài toán đó Các bạn không nên lướt qua đáp án vì đáp án chính là một trong những phần thú vị và giá trị nhất của cuốn sách

2 Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì?

Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!!

- Hỏi bạn bè cùng lớp Học thầy không tày học bạn

- Hỏi thầy cô giáo trên lớp

- Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng

- Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử

dụng sách của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/

3 Ghi chú, đánh dấu

Trong quá trình đọc cuốn sách, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào những phần kiến thức

mà bạn hay quên, còn nhầm lẫn, những bài toán mà các bạn làm sai và những phần mà bạn thấy quan trọng Trước khi thi 2 tháng, bạn nên đọc lại toàn bộ cuốn sách vì cuốn sách đã tổng hợp toàn bộ những thứ bạn cần về phần tích phân – lượng giác, đặc biệt bạn cần xem lại những phần mình đã đánh dấu bằng bút màu trước đây để tránh việc lặp lại sai lầm khi bước vào kì thi chính thức

4 Kết hợp với bộ đề

Trong quá trình sử dụng sách, để đạt được hiệu quả cao nhất, tốt nhất bạn nên có một bộ

đề để luyện tập Vì sao lại thế ?

Các bài tập tự luyện bên dưới sau mỗi chuyên đều là các bài tập cùng dạng đã trình bày nhằm củng cố kiến thức dạng bài tập đó Do đó, để có thể nhớ lâu và có kĩ năng tư duy tổng hợp các kiến thức, các chuyên đề với nhau thì cần phải có một bộ đề để làm

Khi làm đề mà có nhiều phần chưa học, hãy làm những phần mình đã học rồi chứ không nên để đến lúc học xong hết chương trình rồi mới làm

Ví dụ bạn đọc hết cuốn sách này, hãy cứ bỏ đề ra và đặt bút làm, làm hết tất cả các câu thuộc phần tích phân – lượng giác

Bạn sợ thiếu đề? Bạn yên tâm rằng, Lovebook có 80 bộ đề nằm trong 2 tập của bộ sách Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán với đáp án và lời giải chi tiết cho bạn

Chương I: Giá trị lượng giác của một cung 14

3 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 15

4 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 15

2 Giá trị lượng giác của một số cung – góc đặc biệt 16

1 Phương trình lượng giác cơ bản (cơ bản 1) 63

2 Phương trình đa thức bậc thấp đối với một hàm số lượng giác (cơ bản 2) 67

3 Phương trình asinx + bcosx = c (cơ bản 3) 70

4 Phương trình đẳng cấp với sinx và cosx (cơ bản 4) 77

5 Phương trình hỗn hợp a(sinx + cosx) +b.sinx.cosx = c (cơ bản 5) 80 III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 83

1 Đưa phương trình lượng giác về 5 dạng cơ bản 83

2 Đưa phương trình lượng giác về dạng phương trình tích 96

Phương pháp 1: Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số lượng

Phương phap 2: Loại nghiệm bằng giải phương trình nghiệm nguyên 182

1 Tích phân của hàm hữu tỉ - Kĩ thuật khai triển Taylor 225

3 Tích phân của hàm vô tỉ - phương pháp thế Euler 240

Trước khi bắt đầu chính thức trải nghiệm cuốn sách, anh chị Lovebook xin gửi tặng các em câu chuyện:

Bài học từ câu chuyện “Tái ông thất mã”

Một câu chuyện của Trung Quốc về một nông dân Bình tĩnh

“Một ông lão ở gần biên giới giáp với nước Hồ phía Bắc nước Tàu, gần Trường thành, có nuôi một con ngựa Một hôm con của ông lão dẫn ngựa ra gần biên giới cho ăn cỏ, vì lơ đễnh nên con ngựa vọt chạy qua nước Hồ mất dạng Những người trong xóm nghe tin đến chia buồn với ông lão

Ông lão là người thông hiểu việc đời nên rất bình tỉnh nói:

– Biết đâu con ngựa chạy mất ấy đem lại điều tốt cho tôi

Vài tháng sau, con ngựa chạy mất ấy quay trở về, dẫn theo một con ngựa của nước Hồ, cao lớn và mạnh mẽ Người trong xóm hay tin liền đến chúc mừng ông lão, và nhắc lại lời ông lão đã nói trước đây

Ông lão không có vẻ gì vui mừng, nói:

– Biết đâu việc được ngựa Hồ nầy sẽ dẫn đến tai họa cho tôi

Con trai của ông lão rất thích cỡi ngựa, thấy con ngựa Hồ cao lớn mạnh mẽ thì thích lắm, liền nhảy lên lưng cỡi

nó chạy đi Con ngựa Hồ chưa thuần nết nên nhảy loạn lên Có lần con ông lão không cẩn thận để ngựa Hồ hất xuống, té gãy xương đùi, khiến con ông lão bị què chân, tật nguyền

Người trong xóm vội đến chia buồn với ông lão, thật không ngờ con ngựa không tốn tiền mua nầy lại gây ra tai họa cho con trai của ông lão như thế

Ông lão thản nhiên nói:

– Xin các vị chớ lo lắng cho tôi, con tôi bị ngã gãy chân, tuy bất hạnh đó, nhưng biết đâu nhờ họa nầy mà được phúc

Một năm sau, nước Hồ kéo quân sang xâm lấn Trung nguyên Các trai tráng trong vùng biên giới đều phải sung vào quân ngũ chống ngăn giặc Hồ Quân Hồ thiện chiến, đánh tan đạo quân mới gọi nhập ngũ, các trai tráng đều

tử trận, riêng con trai ông lão vì bị què chân nên miễn đi lính, được sống sót ở gia đình.”

Người đời sau lập ra thành ngữ: Tái ông thất mã, an tri họa phúc Nghĩa là: ông lão ở biên giới mất ngựa, biết đâu

là họa hay là phúc

Bài học: Việc đời, hết may tới rủi, hết rủi tới may, nên bắt chước tái ông mà giữ sự thản nhiên trước những

biến đổi thăng trầm trong cuộc sống.Ta không bao giờ thực sự biết được những điều còn ở phía phía trước sẽ xảy ra như thế nào Cuộc sống không phải lúc nào cũng như chúng ta mong đợi Dẫu có đôi lúc làm bài không như mong đợi, các em cũng đừng vội nản, vội bỏ cuộc nhé Biết đâu, đó lại là cú hích cho các em vươn xa hơn ở các kỳ thi sắp tới 

LƯỢNG GIÁC

Có thể nói rằng, Lượng Giác là một thành phần xuất hiện khá sớm trong lịch sử Toán Học Nó xuất hiện nhằm đáp ứng các nhu cầu về đo đạc diện tích cũng như tính toán thiên văn… Làm việc với Lượng Giác, chúng ta sẽ làm việc với góc và tính chất của góc Sự biến đổi qua lại theo tính chất giữa các góc sẽ tạo thành một hệ linh hoạt thống nhất

Trong phần Lượng Giác này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày theo các phần:

CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung

Bài 3: Công thức Lượng Giác

Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Hàm số lượng giác

Bài 2: Phương trình Lượng Giác cơ bản

Bài 3: Các phương pháp giải phương trình lượng giác

Bài 4: Phương trình Lượng Giác có điều kiện

ĐỌC THÊM: TẢN MẠN VỀ LƯỢNG GIÁC

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission

LOVEBOOK.VN | 14

Chương I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Trong chương này, kiến thức được trình bày chủ yếu nói về các tính chất biến đổi qua lại giữa các góc nói chung và các góc trong tam giác nói riêng Riêng về tam giác, ngoài sự biến hóa giữa các góc, chúng

ta còn làm việc với các yếu tố về cạnh cũng như diện tích và chu vi

Chúng tôi đã trình bày bố cục chương này theo các phần:

Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung

Bài 3: Công thức Lượng Giác

Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác

Trong mỗi bài, các kiểu bài tập sẽ được đưa ra dần dần theo mức độ như Tính toán thông thường, chứng minh, rút gọn, các kiểu bài tập nâng cao Nắm tốt phần này, chúng ta có thể hiểu được thế nào là LƯỢNG GIÁC

Trước khi vào các phần cụ thể, chúng ta hãy cùng đọc câu chuyện dưới đây và suy ngẫm nhé…

HAI ANH EM

Có hai anh em nhà nọ cùng làm việc trên một nông trại của gia đình Người anh đã lập gia đình, còn người em vẫn còn độc thân Mỗi khi kết thúc một ngày làm việc mệt nhọc, hai anh em lại chia đều những gì mình đã làm được trong ngày, cả phần lúa gạo cũng như lợi nhuận

Một ngày nọ, người em bỗng nghĩ thầm trong bụng: “Thật không công bằng khi chia đôi mọi thứ với anh Mình chỉ có một thân một mình, có cần gì nhiều đâu cơ chứ!” Nghĩ thế, nên từ đó trở đi,

cứ mỗi tối, anh lại lấy bớt phần thóc của mình, băng qua cánh đồng nhỏ giữa hai nhà và đổ vào kho thóc của người anh

Trong khi ấy, người anh cũng thầm nghĩ trong lòng: “Thật không công bằng khi mình chia đều mọi thứ với em Mình đã có vợ, có con, không còn phải lo lắng điều gì nữa, còn em mình chỉ có một mình, đâu có ai để lo cho tương lai” Và thế là người anh, vào mỗi tối, cũng lấy bớt phần thóc của mình

và đổ vào kho của người em

Cả hai anh em đều rất ngạc nhiên khi lượng thóc của mình vẫn không vơi đi chút nào so với trước đó Rồi một tối nọ, cả hai anh em va phải nhau trong lúc thực hiện kế hoạch của mình Và họ đã hiểu ra mọi chuyện Bỏ rơi bao thóc trên tay, hai anh em xúc động ôm chầm lấy nhau…

Chính những điều chúng ta cho đi sẽ là những gì chúng ta nhận lại !

I - GÓC LƯỢNG GIÁC – CUNG LƯỢNG GIÁC

1 Đơn vị đo góc lượng giác

Độ dài cung tròn α (rad) trên đường tròn bán kính R là: l = R.α

2 Khái niệm Góc Lượng Giác

Cho xOy� , tia Oz di động quay quanh O Khi Oz xuất phát từ Ox và dừng ở Oy thì Oz quét được một góc lượng

giác (Ox; Oy)

Sđ(Ox; Oy) = α + k2π (k ∈ ℤ)

sđ(Ox; Oy) = a0+ k 3600 (k ∈ ℤ)

⇒ a0= α rad

3 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Gắn xOy� vào đường tròn tâm O; khi đó giả sử Ox, Oy, Oz cắt đường tròn (O) tại lần lượt A, B và M

Khi Oz quay quanh O từ Ox đến Oy để tạo nên góc gọi là góc lượng giác (Ox; Oy) thì điểm M di chuyển trên

đường tròn (O) từ A đến B để tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B, ký hiệu AB

sđAB = sđ(Ox; Oy) = � α + k2π (k ∈ ℤ)

a0+ k 3600 (k ∈ ℤ)

α là góc đại diện Để xác định một góc, cung lượng giác trên đường tròn lượng giác, ta cần xác định góc α

4 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác.

Đường tròn lượng giác là đường tròn có bán kính bằng 1, có chỉ ra 1 điểm đầu cho mọi cung lượng giác và

1 chiều đi gọi là chiều dương

BT1 : Cho M là điểm cuối của cung định hướng AM Xác định số đo cung định hướng AM

B1: Tìm số đọ cung AM (lớn hoặc nhỏ)

B2: Kết hợp chiều đi từ A đến M và số đo cung AB để suy ra giá trị lượng giác để suy ra giá trị lượng giác α

B3 : Số đo cung định hướng AM bằng α + k2π

BT2 : Cho cung lượng giác định hướng AM có số đo α + k2π

n cho trước; tìm M là điểm cuối

B1: Từ k2π

n : Đường tròn bị chia thành n điểm Có nghĩa là sẽ có N điểm cuối M cách đều nhau trên đường

tròn Nên n điểm đó sẽ tạo thành một n giác đều

B2: Để xác định, ta chỉ cần thay n giá trị k vào biểu thức để tìm ra n điểm cuối

• Chú ý: 2 cung có số đo là α và α + k2π thì có cùng điểm đầu và điểm cuối.

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission

LOVEBOOK.VN | 16

II - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

1 Định nghĩa giá trị lượng giác của cung α

Định nghĩa: Cho α ∈ ℝ Khi đó ∃ duy nhất một điểm M thuộc

đường tròn lượng giác sao cho số đo cung định hướng AM bằng

α Trên mặt phẳng Oxy, điểm M có tọa độ M(xm; ym) với:

ym = sin α ; xm= cos α

Nếu xm ≠ 0 ⇔ �M ≠ BM ≠ B′ thì cos α gọi là tan α sin α

⇒ tan α =cos α sin α �α ≠π2 + k2π, k ∈ ℤ�

Nếu ym ≠ 0 ⇔ �M ≠ AM ≠ A′ thì cos αsin α gọi là cot α

⇒ cot α =cos αsin α (α ≠ kπ, k ∈ ℤ)

Hệ quả:

−1 ≤ xm; ym ≤ 1 ⇒ −1 ≤ sin α ; cos α ≤ 1

sin α = sin(α + k2π) ; cos α = cos(α + k2π)

2 Giá tr ị lượng giác của một số cung – góc đặc biệt

Các em tham khảo sách giáo khoa

⇒ sin2α + cos2α + 2 sin α cos α = m2⇒ A =m22 − 1

B = sin3α + cos3α = (sin α + cos α)3− 3 sin α cos α (sin α + cos α)

Có D = sin4α + cos4α = (sin2α + cos2α)2− 2 sin2α cos2α = 1 − 2m2

Bài 3: Cho tan α + cot α = m Tính:

E = tan2α + cot2α

F = tan3α + cot3α

Lời giải:

Ta có E = (tan α + cot α)2− 2 tan α cot α = m2− 2 �α ≠ kπ2 ; k ∈ ℤ�

F = (tan α + cot α)3− 3 tan α cot α (tan α + cot α) = m3− 3m �α ≠ kπ2 ; k ∈ ℤ�

Bài 4: Cho tan α = 2 Tính:

M =cos3α + cos α sincos3α − sin23α − sin αα

Lời giải:

Ta có tan α = 2 ⇒cos α = 2 ⇒ sin α = 2 cos α sin α �α ≠π2 + kπ; k ∈ ℤ�

Khi đó ta có:

M =cos3α + cos α sincos3α − sin23α − sin αα =cos3α + cos α 4 coscos3α − 8 cos2α − 2 cos α3α

=cos3α + 4 cos3α − 2 cos α (sin−7 cos3α 2α + cos2α)=cos3α + 4 cos−7 cos3α − 2 cos α 5 cos3α 2α

= −−7 cos5 cos33αα = −57

Bình luận: Nhận thấy với những biểu thức mà có độ lệch bậc giữa các hạng tử với nhau là bội số của

2, chúng ta có thể nhân thêm một lượng lũy thừa của (sin2α + cos2α) để thực hiện cân bằng bậc

Ngoài cách biến đổi về một ẩn sin hoặc cos như trên, vì biểu thức M đã cho là dưới dạng đẳng cấp, nên ta còn có thể đưa về một ẩn là tan hoặc cot như sau:

P = 5 sin6α − 8 cos8α = 5 sin6α (sin2α + cos2α) − 8 cos8α

= cos8α �5cossin88αα + 5cossin66αα − 8� =(tan2α + 1)1 4(5 tan8α + 5 tan6α − 8)

�1 + 12�4

�254+253− 8� =2344.−11324 = −11381

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission

LOVEBOOK.VN | 18

Bài 6: Chứng minh:

a) sin2α + tan2α =cos12α − cos2α

b) coscot22α − tanα − sin22αα = sin2α cos2α

c) (1 + cot2α) � 1cos2α − 1�

1 + tan2α = 1

d) 1 −1 + cotsin2α2α −1 + tancos2α2α = sin α cos α

e) �1 +cos α + tan α1 � �1 −cos α + tan α1 � = 2 tan α

f) �1 +1 − cos α1 + cos α� �1 +1 + cos α1 − cos α� =sin12α

Lời giải:

a) Ta có:

VT = sin2α + tan2α = (sin2α − 1) + (1 − tan2α) = − cos2α + 1

cos2α = VP Vậy đẳng thức được chứng minh

b) Ta có:

VT =coscot22α − tanα − sin22αα =(cos2α − sin2α)(cos2α + sin2α)

cos2αsin2α −sin

2αcos2α

= coscos44α − sinα − sin44αα

=tan2α + tantan2α + 12α cot2α=tantan22α + 1α + 1 = 1 = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

cos3αsin α + cos α

= 1 −sinsin α + cos α = 1 −3α + cos3α (sin2α + sin α cos α + cos2α) = sin α + cos α = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

e) Ta có:

VT = �1 + 1

cos α + tan α� �1 −

1cos α + tan α� = (1 + tan α)2−

1cos2α

= tan2α + 2 tan α + 1 − (1 + tan2α) = 2 tan α = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh

4sin2α = VP Vậy đẳng thức được chứng minh

Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào α:

A = 3(sin8α − cos8α) + 4(cos6α − 2 sin6α) + 6 sin4α

B = (1 + cot α) sin3α + (1 + tan3α) cos3α − sin α − cos α

Lời giải:

A = 3(sin8α − cos8α) + 4(cos6α − 2 sin6α) + 6 sin4α

= 3(sin4α + cos4α)(sin4α − cos4α) + 4 cos6α − 8 sin6α + 6 sin4α (sin2α + cos2α)

= 3(sin4α + cos4α)(sin2α − cos2α) + 4 cos6α − 8 sin6α + 6 sin4α (sin2α + cos2α)

= 3 sin6α − 3 cos6α − 3 sin4α cos2α + 3 sin2α cos4α + 4 cos6α + 6 sin6α + 6 sin4α cos2α

= sin6α + cos6α + 3 sin4α cos2α + 3 sin2α cos4α

= (sin2α + cos2α)3= 1

Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α

B = (1 + cot α) sin3α + (1 + tan3α) cos3α − sin α − cos α

= �1 +cos αsin α� sin3α + �1 +cos αsin α� cos3α − sin α − cos α

= sin3α + cos3α + sin2α cos α + sin α cos2α − sin α − cos α

= sin α (sin2α + cos2α) + cos α (cos2α + sin2α) − sin α − cos α

= sin α + cos α − sin α − cos α = 0

Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α

Bài 8: Rút gọn:

A =cossin22α + sinα + cos22α tanα cot22αα

B = 1 − cos2α + 3 sin2α −tan4 tan2α + 1 2α

C =cossin22α + tanα − cot22α − 1 α + 1

Lời giải:

A =cossin22α + sinα + cos22α tanα cot22αα =cossin22α (1 + tanα (1 + cot22α)α) =cossin22αα cossin22αα = tan4α

B = 1 − cos2α + 3 sin2α −tan4 tan2α + 1 2α

= sin2α + cos2α − cos2α + 3 sin2α − 4 tan2α cos2α

= 4 sin2α − 4 sin2α = 0

C =cossin22α + tanα − cot22α − 1 =α + 1 cos

2α − cossin22α + 1αsin2α + sincos22αα − 1

=

sin2α cos2α + sin2α − cos2α

sin2αsin2α cos2α + sin2α − cos2α

cos2α

=cossin22α = cotα 2α

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission

tanA + B − 2C2 = tanπ − 3C2 = tan �π2 −32 C� = cot32 C

Trước khi sang phần tiếp theo, các em dành chút thời gian suy ngẫm câu chuyện sau nhé…

III - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Công th ức cộng

Cho a, b ∈ ℝ, ta có các công thức sau:

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b (1) cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b (2) sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (3) sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b (4) tan(a + b) =1 − tan a tan b tan a + tan b (5) tan(a − b) = tan a − tan b

1 + tan a tan b (6) Các công thức (5) và (6) cần đi kèm điều kiện xác định tương ứng vần thiết cho tan và cot cũng như các mẫu số trong công thức

=sin 102 sin 200 cos 100 0 =2 sin(10sin 100 cos 100+ 1000)=4(sin 10sin 1000 cos 10 cos 1000)= 4

Ta có:

sin5π12 = sin�π6 +π4� = sinπ6 cosπ4 + cosπ6 sinπ4 =√2 + √64

tan7π12 = tan�π3 +π4� = tan π3 + tanπ4

1 − tan π3.tanπ=

1 + √3

1 − √3