Tích phân lượng giác

TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC - MỤC TỬ - Trong bài này tích phân bất ñịnh họ nguyên hàm và tích phân xác ñịnh ñược gọi chung là tích phân.. Tính tích phân hàm lượng giác a Sử dụng ñịnh nghĩa, t

TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

- MỤC TỬ -

Trong bài này tích phân bất ñịnh (họ nguyên

hàm) và tích phân xác ñịnh ñược gọi chung là

tích phân

1 Bảng nguyên hàm một số hàm lượng giác

2 2

2 2

(1) cos xdx sin x C; (2) sin xdx cos x C;

1

(3) dx (1 tan x)dx tan x C;

cos x

1

sin x

Ta còn dễ dàng chứng minh ñược

(5) tan xdx ln cos x C;

(6) cot xdx ln sin x C

∫

∫

2 Tính tích phân hàm lượng giác

a) Sử dụng ñịnh nghĩa, tính chất và bảng

nguyên hàm

VD1 Tìm các họ nguyên hàm

cos 2x.dx

sin x.cos x

HD

cos 2x.dx (cos x sin x).dx

I

sin x.cos x sin x.cos x

−

sin x cos x

J (cos x sin x)dx (cos x sin x)dx

cos 2x.d(2x) sin 2x C

∫

VD2 Tìm họ các nguyên hàm của hàm số

f (x)=sin x với x∈ −∞ +∞( ; )

HD Gọi F(x)=∫f (x)dx=∫sin x dx Với x≥0

thì F(x)=∫sin xdx= −cos x+C Với x < 0 thì

F(x)=∫sin( x)dx− = −∫sin xdx=cos x+C '

Nghĩa là F(x) cos x C khi x 0

cos x C ' khi x 0



=

F(x)=∫f (x)dx với mọi x∈ −∞ +∞( ; ) nên

F'(x)=f (x), x∀ ∈ℝ dẫn tới F(x) phải liên tục ,

trên ℝ Như vậy

F(0) lim F(x) lim F(x)

hay 1 C 1 C '− + = + ⇔C '= −C 2 Tóm lại họ các

nguyên hàm của hàm số ñã cho là

cos x C khi x 0

cos x C 2 khi x 0



=

hằng số tuỳ ý

Với tích phân dạng ∫cos2nax.sin2mbxdx ta có

thể dùng công thức hạ bậc, với các tích phân

sin ax.cosbx.dx, sin ax.sin bx.dx, cosax.cosbx.dx,

ta áp dụng công thức biến tích thành tổng ñể ñưa

về tích phân quen thuộc hơn

VD3 Tính I=∫(sin 3x4 +cos x.cos 3x)dx.2

HD Vận dụng công thức hạ bậc và biến tích

thành tổng ta biến ñổi tích phân I thành

3 cosx cos3x cos5x cos6x cos12x

3x sinx sin3x sin5x sin6x sin12x

C

∫

Với các tích phân dạng dx ; dx

1 sin x± 1 cos x±

lưu ý 1 cos 2.cos2x; 1 cos x 2.sin2x;

1 sin x 2sin ( ); 1 sin x 2sin ( )

Trong một số trường hợp, với tích phân udx

v

∫ ta

có thể biến ñổi u a.v ' w

v = v + (Xem tập san YP2

số 4, tháng 4 năm 2009, trang 18)

b) Phương pháp ñổi biến

Lưu ý, với tích phân bất ñịnh, ở kết quả phải cộng thêm hằng số C, và phải trở về biến ban ñầu; với tích phân xác, ñịnh khi ñổi biến phải ñổi cận Nếu f (x)=g(t) thì f '(x)dx=g '(t)dt Có một số gợi ý khi tính các tích phân có dạng

f (sin x, cos x)dx,

∫ với hàm f (u, v) là hàm hữu tỉ theo hai biến u và v như sau:

- Nói chung có thể hữu tỉ hoá tích phân nói trên bằng phép ñổi biến

2

+ 2

−

- Nếu f (sin x,cos x) là hàm lẻ ñối với sinx thì ñặt t = cosx

- Nếu f (sin x,cos x) là hàm lẻ ñối với cosx thì ñặt t = sinx

- Nếu f (sin x,cos x) là hàm chẵn ñối với cả sinx

và cosx thì ñặt t = tanx

VD4 Tính

3

cos 2x− cos x sin x

HD a) ðặt t = cosx, thu ñược kết quả

3

+

∫

b) ðặt t = tanx, thu ñược kết quả

3

cot x 2 cot x tan x C 3

∫

VD5 Tính

6

0

sin xdx

sin x 3 cos x

π

=

+

∫

HD Các bạn xem tập san YP2 số 4, tháng 4

năm 2009, trang 18, sẽ thấy bài toán này có ít

nhất 3 cách làm Ở ñây ta biến ñổi

6

0

sin xdx

2.sin(x )

3

π

+

3

t x= +π⇒ =

khi

x = 0 thì ,

3

t = π

khi x

6

π

2

t = π

Vậy

sin(t )dt

3

π

−

3

π π

π

c) Tích phân từng phần

Ta ghi nhớ hai công thức: ∫udv=uv−∫vdu,

b

udv (uv) vdu

a

∫ ∫ Nếu P(x) là một ña thức

thì với các tích phân ∫P(x) sin(ax+b)dx;

P(x)cos(ax+b)dx

∫ ta chọn u = P(x), dv là phần

còn lại Với những tích phân ∫eaxsin(bx+c)dx;

ax

e cos(bx+c)dx; cos(ln x)dx; sin(ln x)dx

chọn u, dv tuỳ ý (tích phân từng phần hai lần với

cùng một kiểu chọn u, v) Trong nhiều trường

hợp ta phải áp dụng phương pháp tích phân từng

phần nhiều lần hoặc phối hợp phương pháp này

với phương pháp ñổi biến Nói chung khi áp

dụng phương pháp tích phân từng phần ta phải

chọn u, v hợp lí sao cho vdu∫ phải ñơn giản hơn

udv

∫ Ta xét ví dụ sau ñây:

VD6 Tính

x

xdx

1 cos 2x

+

HD a) ðể tính I ta chọn u=e , vx =sin x

x

du e dx,

2 0

π

(uv) 2 vdu (e sin x) 2 e sin xdx

2

x

2

0

e e sin xdx

π

π

2 x 1 0

I e sin xdx

π

u =e , v = −cos x⇒du =e dx, dv =sin xdx,

thì

2

1

0

I ( e cos x) 2 e cos xdx 1 I

0

π

π

2

b) ðặt

2

,

=



ta có

4 0

J ( tan x) 4 tan xdx ln cos x 4

π

2

ln

π

= +

d) Sử dụng tích phân liên kết

Ta quay trở lại ví dụ 5, tính tích phân 6

0

sin xdx

sin x 3 cos x

π

=

+

6

0

co s xdx

sin x 3 cos x

π

=

+

d(sin x 3cos x)

6; sin x 3 cos x

+

3 0

3 Tính tích phân nhờ ñưa về tích phân lượng giác

Với f(u, v) là hàm hữu tỉ theo biến u, v thì một số tích phân sau có thể ñược tính khi ñổi biến và ñưa về tích phân lượng giác

- Tích phân ∫f (x, a2−x )dx,2 ta ñặt x=as int

− ≤ ≤ khi ñó a2−x2 = a cos t2 2 =

a cos t a cos t),

= = hoặc ñặt x=acos t (với

0≤ ≤ πt , khi ñó a2−x2 = a sin t2 2 =

a s int a s int)

- Tích phân ∫f (x, x2−a )dx,2 ta ñặt x a

s int

hoặc ñặt x a

cos t

=

- Tích phân ∫f (x, a2+x )dx,2 ta ñặt x=a t ant

− < < hoặc ñặt x=a cott (với

0< < πt )

VD7 Tính

1 2

2 1

−

HD ðặt x sin t, t ,

= − ≤ ≤ thì dx = costdt và

1 x− = 1 sin t− = cos t = cos t =cos t

− ≤ ≤ nên cost≥0), khi x= −1 thì

2

π

= − khi x 1

2

= thì t

6

π

= Như vậy ta có

6

2

2

π

π

−

π

π

−

∫

Bài tập tham khảo

Tính các tích phân sau ñây:

1) sin x cos 2x cos 5xdx.∫

2) (e sin e∫ − x −1)dx

sin x

0

3) e cos xdx

π

∫

2

0

x sin xdx

9 4cos x

π

+

∫

2

2

x

2

x sin x dx

1 2

π

π

6) (e sin cos(ln x) tan x tan x)dx

∫

2

2

dx

+

∫