Tích phân lượng giác

TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC - MỤC TỬ - Trong bài này tích phân bất ñịnh (họ nguyên hàm) và tích phân xác ñịnh ñược gọi chung là tích phân. 1. Bảng nguyên hàm một số hàm lượng giác 2 2 2 2 (1) cosxdx sin x C; (2) sin xdx cosx C; 1 (3) dx (1 tan x)dx tanx C; cos x 1 (4) dx (1 cot x)dx cot x C. sin x = + = − + = + = + = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ta còn d ễ dàng ch ứ ng minh ñượ c (5) tan xdx ln cosx C; (6) cot xdx ln sin x C. = − + = + ∫ ∫ 2. Tính tích phân hàm lượng giác a) Sử dụng ñịnh nghĩa, tính chất và bảng nguyên hàm VD1. Tìm các h ọ nguyên hàm 4 4 2 2 cos2x.dx I ; J (cos x sin x)dx. sin x.cos x = = − ∫ ∫ HD. 2 2 2 2 2 2 cos2x.dx (cos x sin x).dx I sin x.cos x sin x.cos x − = = ∫ ∫ 2 2 1 1 ( )dx tanx cot x C. sin x cos x = − = − − + ∫ 4 4 2 2 J (cos x sin x)dx (cos x sin x)dx 1 1 cos2x.d(2x) sin2x C. 2 2 = − = − = = + ∫ ∫ ∫ VD2. Tìm h ọ các nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x) sin x = v ớ i x ( ; ). ∈ −∞ +∞ HD. G ọ i F(x) f(x)dx sin x dx. = = ∫ ∫ V ớ i x 0 ≥ thì F(x) sin xdx cosx C. = = − + ∫ V ớ i x < 0 thì F(x) sin( x)dx sin xdx cosx C'. = − = − = + ∫ ∫ Ngh ĩ a là cosx C khi x 0 F(x) . cosx C' khi x 0 − + ≥  =  + <  Do F(x) f(x)dx = ∫ v ớ i m ọ i x ( ; ) ∈ −∞ +∞ nên F'(x) f(x), x , = ∀ ∈ ℝ d ẫ n t ớ i F(x) ph ả i liên t ụ c trên . ℝ Nh ư v ậ y x 0 x 0 F(0) lim F(x) lim F(x) + − → → = = hay 1 C 1 C' C' C 2. − + = + ⇔ = − Tóm l ạ i h ọ các nguyên hàm c ủ a hàm s ố ñ ã cho là cosx C khi x 0 F(x) , cosx C 2 khi x 0 − + ≥  =  + − <  ở ñ ó C là h ằ ng s ố tu ỳ ý. V ớ i tích phân d ạ ng 2n 2m cos ax.sin bxdx ∫ ta có th ể dùng công thức hạ bậc, với các tích phân sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx, cosax.cosb x.dx, ∫ ∫ ∫ ta áp dụng công thức biến tích thành tổng ñể ñưa về tích phân quen thuộc hơn. VD3. Tính 4 2 I (sin 3x cos x.cos3x)dx. = + ∫ HD. Vận dụng công thức hạ bậc và biến tích thành tổng ta biến ñổi tích phân I thành 3 cosx cos3x cos5x cos6x cos12x ( )dx 8 4 2 4 2 8 3x sinx sin3x sin5x sin6x sin12x C. 8 4 6 20 12 96 + + + − + = + + + − + + ∫ Với các tích phân dạng dx dx ; 1 sinx 1 cosx ± ± ∫ ∫ ta lưu ý 2 2 x x 1 cos 2.cos ; 1 cosx 2.sin ; 2 2 + = − = 2 2 x x 1 sin x 2sin ( ); 1 sinx 2sin ( ). 2 4 2 4 π π + = + − = − Trong một số trường hợp, với tích phân u dx v ∫ ta có thể biến ñổi u v' a. w. v v = + (Xem tập san YP2 số 4, tháng 4 năm 2009, trang 18). b) Phương pháp ñổi biến Lưu ý, với tích phân bất ñịnh, ở kết quả phải cộng thêm hằng số C, và phải trở về biến ban ñầu; với tích phân xác, ñịnh khi ñổi biến phải ñổi cận. Nếu f(x) g(t) = thì f '(x)dx g'(t)dt. = Có một số gợi ý khi tính các tích phân có dạng f(sinx,cosx)dx, ∫ với hàm f(u,v) là hàm hữu tỉ theo hai biến u và v như sau: - Nói chung có thể hữu tỉ hoá tích phân nói trên bằng phép ñổi biến 2 x 2t t tan sin x , 2 1 t = ⇒ = + 2 2 2 1 t 2dt cosx , dx . 1 t 1 t − = = + + - Nếu f(sinx,cosx) là hàm lẻ ñối với sinx thì ñặt t = cosx. - Nếu f(sinx,cosx) là hàm lẻ ñối với cosx thì ñặt t = sinx. - Nếu f(sinx,cosx) là hàm chẵn ñối với cả sinx và cosx thì ñặt t = tanx. VD4. Tính 3 2 4 sinx sin x dx a) dx. b) . cos2x cos xsin x − ∫ ∫ HD. a) ðặt t = cosx, thu ñược kết quả 3 sinx sin x 1 1 2cosx 1 dx cosx ln C. cos2x 2 4 2 2cosx 1 − − =− − + + ∫ b) ðặ t t = tanx, thu ñượ c k ế t qu ả 3 2 4 dx 1 cot x 2cot x tan x C. 3 cos xsin x = − − + + ∫ VD5. Tính 6 0 sin xdx I . sin x 3 cosx π = + ∫ HD. Các b ạ n xem t ậ p san YP2 s ố 4, tháng 4 n ă m 2009, trang 18, s ẽ th ấ y bài toán này có ít nhất 3 cách làm. Ở ñây ta biến ñổi 6 0 sin xdx I . 2.sin(x ) 3 π = π + ∫ ðặ t dx dt, 3 t x π = + ⇒ = khi x = 0 thì , 3 t π = khi x 6 π = thì . 2 t π = Vậy 2 2 3 3 sin(t )dt 1 cost 3 I (1 3 )dt 2.sin t 4 sint π π π π π − = = − = ∫ ∫ 1 3 3 2 (t 3ln sin t ) ln . 4 24 4 2 3 π π = − = + π c) Tích phân từng phần Ta ghi nh ớ hai công th ứ c: udv uv vdu, = − ∫ ∫ b b a a b udv (uv) vdu. a = − ∫ ∫ N ế u P(x) là m ộ t ñ a th ứ c thì v ớ i các tích phân P(x)sin(ax b)dx; + ∫ P(x)cos(ax b)dx + ∫ ta ch ọ n u = P(x), dv là ph ầ n còn l ạ i. V ớ i nh ữ ng tích phân ax e sin(bx c)dx; + ∫ ax e cos(bx c)dx; cos(lnx)dx; sin(lnx)dx + ∫ ∫ ∫ ta ch ọ n u, dv tu ỳ ý (tích phân t ừ ng ph ầ n hai l ầ n v ớ i cùng m ộ t ki ể u ch ọ n u, v). Trong nhi ề u tr ườ ng h ợ p ta ph ả i áp d ụ ng ph ươ ng pháp tích phân t ừ ng ph ầ n nhi ề u l ầ n ho ặ c ph ố i h ợ p ph ươ ng pháp này v ớ i ph ươ ng pháp ñổ i bi ế n. Nói chung khi áp d ụ ng ph ươ ng pháp tích phân t ừ ng ph ầ n ta ph ả i ch ọ n u, v h ợ p lí sao cho vdu ∫ ph ả i ñơ n gi ả n h ơ n udv. ∫ Ta xét ví d ụ sau ñ ây: VD6. Tính 2 4 x 0 0 xdx I e cosxdx; J . 1 cos2x π π = = + ∫ ∫ HD. a) ðể tính I ta ch ọ n x u e ,v sin x = = x du e dx, ⇒ = dv cosxdx. = Có 2 0 I udv π = = ∫ 2 2 x x 0 0 (uv) vdu (e sin x) e sinxdx 2 2 0 0 π π π π = − = − = ∫ ∫ 2 x 2 0 e e sinxdx. π π = − ∫ V ớ i 2 x 1 0 I e sin xdx π = ∫ ch ọ n x x 1 1 1 1 u e ,v cosx du e dx,dv sinxdx, = = − ⇒ = = thì 2 x x 1 0 I ( e cosx) e cosxdx 1 I. 2 0 π π = − + = + ∫ Do ñ ó 2 2 1 I e (1 I) I (e 1). 2 π π = − + ⇒ = − b) ðặ t 2 u x du dx , dx dx 1 dv v tanx 1 cos2x 2 2cos x =  =    ⇒   = = =   +   ta có 4 0 x 1 J ( tanx) tanxdx ln cosx 4 4 2 2 8 0 0 π π π π = − = + ∫ 2 ln . 8 2 π = + d) Sử dụng tích phân liên kết Ta quay tr ở l ạ i ví d ụ 5, tính tích phân 6 0 sin xdx I . sin x 3 cosx π = + ∫ ðặ t 6 0 cosxdx J . sin x 3 cosx π = + ∫ 6 6 0 0 d(sinx 3cosx) I 3J dx J 3I 6 sinx 3cosx ; π π π + ⇒ + = = − = + ∫ ∫ 2 3 3 ln sinx 3cosx ln I ln . 6 24 4 2 3 0 π π = + = ⇒ = + 3. Tính tích phân nhờ ñưa về tích phân lượng giác V ớ i f(u, v) là hàm h ữ u t ỉ theo bi ế n u, v thì m ộ t s ố tích phân sau có th ể ñượ c tính khi ñổ i bi ế n và ñư a v ề tích phân l ượ ng giác. - Tích phân 2 2 f(x, a x )dx, − ∫ ta ñặt x asint = (với t , 2 2 π π − ≤ ≤ khi ñó 2 2 2 2 a x a cos t − = = a . cost a .cost), = = hoặc ñặt x acost = (với 0 t , ≤ ≤ π khi ñ ó 2 2 2 2 a x a sin t − = = a . sint a .sint). = = - Tích phân 2 2 f(x, x a )dx, − ∫ ta ñặ t a x sint = ho ặ c ñặ t a x . cost = - Tích phân 2 2 f(x, a x )dx, + ∫ ta ñặ t x a tant = (v ớ i t ), 2 2 π π − < < ho ặ c ñặ t x a cott = (v ớ i 0 t ). < < π VD7. Tính 1 2 2 1 I x 1 x dx. − = − ∫ HD. ðặt x sin t, t , 2 2 π π = − ≤ ≤ thì dx = costdt và 2 2 2 1 x 1 sin t cos t cost cost − = − = = = (vì t 2 2 π π − ≤ ≤ nên cost 0), ≥ khi x 1 = − thì t , 2 π = − khi 1 x 2 = thì t . 6 π = Nh ư v ậ y ta có 6 2 3 2 1 3 6 I cos tsin tdt cos t . 3 8 2 π π − π = = − = − π − ∫ Bài tập tham khảo Tính các tích phân sau ñ ây: 1) sin xcos2xcos5xdx. ∫ x x 2 2) (e sin e x 1)dx. − − ∫ sin x 0 3) e cosxdx. π ∫ 2 0 xsin xdx 4) . 9 4cos x π + ∫ 2 2 x 2 x sin x dx 5) . 1 2 π π − + ∫ x 3 x 6) (e sin cos(lnx) tan x tan x)dx. 2 + + + ∫ 3 3 2 2 dx 7) . x 6x 10 + − + ∫ . TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC - MỤC TỬ - Trong bài này tích phân bất ñịnh (họ nguyên hàm) và tích phân xác ñịnh ñược gọi chung là tích phân. 1. Bảng nguyên hàm một số hàm lượng giác 2 2 2 2 (1). Tính tích phân nhờ ñưa về tích phân lượng giác V ớ i f(u, v) là hàm h ữ u t ỉ theo bi ế n u, v thì m ộ t s ố tích phân sau có th ể ñượ c tính khi ñổ i bi ế n và ñư a v ề tích phân l ượ ng. thành tổng ñể ñưa về tích phân quen thuộc hơn. VD3. Tính 4 2 I (sin 3x cos x.cos3x)dx. = + ∫ HD. Vận dụng công thức hạ bậc và biến tích thành tổng ta biến ñổi tích phân I thành 3 cosx cos3x