Quá trình truyền nhiệt trong thực phẩm đóng hộp

II.QUÁ TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Ở TRONG THỰC PHẨM Trong trường hợp sản phẩm đã được đóng gói nhiệt phải vượt qua rào cản hoac váchngăn hình thành bởi hộp trước khi truyền vào trong sản phẩm t

Nhận xét của giáo viên

I Giới thiệu 4

II Quá trình truyền nhiệt trong thực phẩm đóng hộp.

2 Quá trình truyền nhiệt đối với sản phẩm đóng hộp 6

b Mô hình thuần truyền nhiệt

c Mô hình dạng cầu

d.Phương pháp đại số

e Aterative modeling menthods

f The recursive model

I.GIỚI THIỆU:

Đồ hộp thực phẩm phải ở trạng thái vi sinh vật ổn định(vô trùng thương mại) trạngthái này được xác định(codex, 1989) như một điều kiện cung cấp bởi nhiệt, một mình hoặcliên kết với treament thích hợp khác, làm cho vi sinh vật có thể phát triển bình thường trongthực phẩm không lạnh để bảo quản trong suốt quá trình phân phối và dự trữ Vi sinh vật cóthể chia làm hai loại, một loại làm hại đến sức khỏe của người tiêu dùng, còn một loại nguyênnhân làm hư hỏng, những vi sinh sinh vật khác liên quan đến đồ hộp có thể xem lại ở chương3-4, tất nhiên những sản phẩm đó phải có sức thu hút và làm hài lòng người tiêu dùng

Trạng thái ổn định của vi sinh vật đã đạt được ngay từ ban đầu bằng cách áp dụngnhiệt đồ chưa có nhiệm vụ duy trì trạng thái này có đến lúc tiêu thụ Thời gian phải đủ đểlàm nóng thực phẩm và nhiệt phải xác định để giảm số lượng vi sinh vật gây hại để đẩm bảođạt được trạng thái này Sự tiêu diệt vi sinh vật bởi nhiệt được nói trong chương 4 Nhiệt độgây ức chế enzym và làm ảnh hưởng đến chất lượng của sản phẩm(chương 1 và 2), ảnhhương đến cảm quan và chất lượng dinh dưỡng làm cho hiệu quả của nó đối với vi sinh vật

và chắc chắc nhiệt độ có thể dự báo trong cùng một cách

Sản phẩm có thể xử lí nhiệt và sau đó đóng trong hộp (bao bì được vô trùng), hoặcđóng trong hộp có dán nhãn và sau đó được xử lí nhiệt để đạt được trạng thái ổn định của visinh vật, lượng nhiệt sản phẩm nhận được phải biết,vì thế sự phá hủy của vi sinh vật có thểđược báo trước được xác định bởi việc mô tả nhiệt độ bên trong sản phẩm trong suốt cả thờigian làm nóng và làm lạnh ở thực phẩm đã được đóng gọi, vật liệu của hộp hình thànhkhoãng giữa ngăn cản nhiệt từ nhiệt nóng môi trường vào sản phẩm hoặc từ sản phẩm đến độlạnh trung bình Bản chất của mổi thành phần độ nóng môi trường , vật liệu hộp và nhiệt độtruyền nhiệt của sản phẩm phải được lưu ý

Trong chương nay một số trạng khia cạnh cơ bản của truyền nhiệt và những cách cothể định lượng sẽ được xem xét cho những người muốn làm chủ quá trình của họ một cáchnhanh chóng( sự tính toán và có hiệu quả của quá trình được lên kế hoạch) và điều chỉnhchọn lựa chúng (xem xét kỹ giá trị chế biến), đào tạo trong hiện tượng nhiệt dùng mô hìnhtoán học và ứng dụng chúng trong tính toán là rất cần thiết

II.QUÁ TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Ở TRONG THỰC PHẨM

Trong trường hợp sản phẩm đã được đóng gói nhiệt phải vượt qua rào cản hoac váchngăn hình thành bởi hộp trước khi truyền vào trong sản phẩm trong những trường hợp làmlạnh, được lấy ra từ các sản phẩm

1.sự truyền nhiệt qua vách ngăn

Những nhân tố ảnh hưởng đến quá trình truyền nhiệt qua vách ngăn:

• Nhiệt độ biến thiên của nhiệt truyền qua vách ngăn, đó là động lực

• Độ dày của vách ngăn

• Khả năng dẫn nhiệt của vật liệu làm vách ngăn

Dẫn nhiệt tăng khi vách ngăn mỏng và khả năng dẫn nhiệt tăng Nó được biết đến như là

để làm nóng sản phẩm được đóng gói trong hộp kim loại.(ví dụ như:vách ngăn,dẫn nhiệt tôt)hơn là hộp làm bằn thủy ting(vách dày, khả năng dẫn nhiệt kém)

Độ dẫn nhiệt làm nóng hoặc làm lạnh môi trường cũng là một nhân Nếu nó là một đâydẫn tốt, thì nhiệt thay đổ nhanh hơn Khi nhiệt nóng hoặc lạnh trung bình ổn định, nó thực sự

hình thành vách ngăn khác xung quanh mà nhiệt phải vượt qua Sự khích động của môitrường làm giảm ổn định phần gần với vách ngăn do đó hình thành giới hạn hoặc tầnglaminar Sự kich động lớn thì tàng hình thành mỏng độ nhớt môi trường cũng đóng vai tròquan trọng, độ nhớt thấp tần giới hạn giao động bất lúc nào.

a hệ số truyền nhiệt Khả năng truyền nhiệt của vách ngăn hoặc tầng laminar đặc trưng bởi hệ số truyềnnhiệt(h) và được biết như sau:

XÂM NHẬP CỦA NHIỆT VÀO TRONG THỰC PHẨM ĐỒ HỘP

Table 11.1: Một số hệ số giá trị truyền nhiệt của tầng laminar chủ yếu môi trường nóng/lạnh

Không khí/hơi nước hổn hợp hơi nước Từ 10 đến 10.000

Tài liệu tham khảo: Duquenoy (1991)

Sự xắp xếp của giá trị cho thấy anhr hưởng của giao động của môi trường giá trị đượcđưa ra W/(m2)(oc):

W/(m2)(oc) Hay BTU/(ft2)(h)(oF)trong đó k là nhiệt độ dẫn điện và L độ dày của vách ngăn hoặc tầng laminar

độ dày và độ dẫn nhiệt của vật liệu bao bì, hệ số dẫn nhiệt có thể dễ dành tính được ví dụ hệ

số dẫn nhiệt của hộp kim loại k=18 W/(m2)(oc) và L= 0.0003 m có 60.000W/(m2)(oc)

đối với đựng bằng thủy tinh L=0.002m (dày) và k=0.5 W/(m2)(oc) có 250 W/(m2)(oc)

độ dày của laminar hoặc giới hạng của tầng hình thành bởi nhiệt nóng hoặc lạnh môi trường

và thương là không xác định Do đó hệ số truyền nhiệt xác định bằng kinh nghiệm (Loncin,1976) Một số thí nghiệm được xác định bằng cách thí nghiệm ở bảng 11.1

b Lương nhiệt truyền qua vách ngăn hoặc tầng laminar Lượng nhiệt (Q) có thể định lượng bằng công thức dưới đây:

Q=AhΔT(w)Trong đó: A là bề mặt

H: hệ số truyền nhiệt

ΔT; nhiệt độ biến thiên

Mối quan hệ đó được Ohm,s thiết lập trong điện tử, trong đó chênh lệch điện thế làkhông đổi và tương ứng với điện trở Do đó 1/Ah tương ứng với QΔT, nó là một cách thức

đo điện trở đến truyền nhiệt và lưu thông Trong những trường hợp của một cản trở ( nhưtâng laminar hoặc thêm vào vách ngăn) nó được lí giải một cách tương tự trong điện và nómang điện tích dương

Nếu 1/Ah1 là chảy kháng của tầng laminar và 1/Ahp cho vách ngăn, khi đó các điệntrở cho hai yếu tồ là

1/Ahg=1/Ah1+1/Ahp

Và lượng nhiệt thay đổi:

Q=AhgΔTĐối với đồ hộp ΔT là nhiệt độ biến thiên giữa nhiệt nóng(lanh) tương tác giữa hộp vàsản phẩm bên trong, và A là bê mặt của hộp A là chung , hg có thể giảm

1/Ahg=1/Ah1+1/AhpTuy nhiên cần chú ý mối liên hệ có thể thay đồi tùy thuộc vào hình dạng của hộp.

2 Quá trình truyền nhiệt đối với sản phẩm đã được đóng gói

Nhiệt năng được truyền vào sản phẩm qua con đường đối lưu nhiệt, truyền nhiệt hoặc

sự kết hợp cả hai phương thức này

a Đối lưu nhiệtTrong quá trình đối lưu nhiệt, nhiệt lượng được truyền bởi sự chuyển động hoặc sựthay đổi vị trí của các vật chất Quá trình này diễn ra trong các sản phẩm dạng lỏng (vd: súp)hoặc các sản phẩm chứa các hạt vật chất lơ lửng (vd: đậu trong nước muối) hoặc trong cácsản phẩm dạng paste thay đổi từ dạng bán rắn sang dạng lỏng trong quá trình gia nhiệt (chấtbéo lỏng hay hồ tinh bột) trong sự đối lưu tự nhiên, sự chuyển động là kết quả của sự khácbiệt về điện tích trong chất lỏng Sự chênh lệch nhiệt độ càng lớn sự chuyển động của cácphân tử càng mạnh Sự đối lưu nhiệt phụ thuộc vào chuyển động vật lí (sự rung, sự quay)trong khi đó tốc độ của sự chuyển động của chất lỏng lại phụ thuộc trực tiếp vào sự vận độngvật lý (tốc độ xoay hay độ rung) Trong quá trình đối lưu tự nhiên, khi đạt được cân bằngnhiệt, dòng đối lưu nhiệt dần và thay thế bằng sự truyền nhiệt Sự đối lưu nhiệt cưỡng bức chỉ

bị ngưng lại khi dừng lại khi ngừng tác động vật lý

Quá trình đối lưu nhiệt không thể được lý giải bởi những nguyên lý đơn giản, tuynhiên lượng nhiệt trao đổi phụ thuộc vào enthapy của sản phẩm trong quá trình chuyển động

và tốc độ của sự tái sắp xếp, tuy nhiên tốc độ này không thể xác minh được

Trong điều kiện thuần đối lưu nhiệt được giả định rằng đủ vượt trội để đảm bảo rằnglượng nhiệt truyền qua sản phẩm không đổi đối với mọi vị trí trong lòng sản phẩm Vì vậy cóthể coi rằng nhiệt lượng được truyền qua chất lỏng nếu được kích thích đủ mạnh Mặc dùkhông có sự trở nhiệt trong quá trình truyền nhiệt giữa các thành phần bên trong chất lỏng,nhưng tồn tại một lớp bề mặt bao bọc bề mặt sản phẩm, và lớp này có hệ số truyền nhiệt riêng(hf) Hệ số này cần phải được thêm vào hệ số truyền nhiệt toàn phần và hệ số truyền nhiệt trởthành:

1/hg = 1/hg +1/hp +1/hf

b Quá trình dẫn nhiệtTrong quá trình dẫn nhiệt, nhiệt lượng không bất biến đối với mọi vị trí trong sảnphẩm mà giảm dần từ vị trí nóng hơn cho đến vị trí lạnh hơn Tốc độ của quá trình này phụthuộc vào tính dẫn nhiệt của sản phẩm (vd: tính dẫn nhiệt càng cao, quá trình dẫn nhiệt càngmạnh) Quá trình dẫn nhiệt diễn ra trong chất rắn hoặc trong sản phẩm dạng paste rất mỏng(vd: cá hồi nguyên con, thịt, rau đóng hộp, pate…) hoặc ngay cả các sản phẩm có các hạt vậtchất ngâm trong chất lỏng mà sự chuyển động của chất lỏng trong sản phẩm bị ngăn cản (vd:rau cải đóng hộp) Gradient nhiệt độ giảm dần khi đạt được sự cân bằng nhiệt

Lượng nhiệt truyền tới một điểm M trong lòng sản phẩm tuân theo định luật Fourier,theo đó lượng nhiệt truyền tới điểm M phụ thuộc vào khoảng cách giữa điểm M và mặt ngoàicủa sản phẩm

c Quá trình dẫn nhiệt kết hợp đối lưu nhiệtKhi các hạt rắn lơ lửng trong chất lỏng, tồn tại sự đối lưu nhiệt trong chất lỏng và sựdẫn nhiệt trong các hạt chất rắn Thậm chí ngay cả đối với cùng một phần sản phẩm cả haiquá trình truyền nhiệt cùng tồn tại và tham gia vào quá trình cân bằng nhiệt do dòng nhiệt

Trong mỗi sản phẩm nhớt như purées hoặc một số loại súp, chỉ sự đối lưu nhiệt thì không đủ

để đạt cân bằng nhiệt, vì vậy quá trìnhh truyền nhiệt lượng cần có sự tham gia của sự dẫnnhiệt; trong một vài trường hợp thì sự dẫn nhiệt lại trội hơn Trong nhiều sản phẩm đóng hộp

cả hai phương pháp truyền nhiệt cùng tồn tại và phụ thuộc và sản phẩm và phương pháp đónggói và một trông hai sẽ chiếm ưu thế hơn Hơn nữa, khi gia nhiệt một hộp soup thì quá trìnhđối lưu nhiệt chiếm ưu thế khi so sánh với một hộp pate trong quá trình gia nhiệt thì quá trìnhdẫn nhiệt lại chiếm ưu thế

Trường hợp thứ ba được áp dụng cho sản phẩm có hạt rắn được bao bọc trong chấtlỏng mà nhiệt độ được coi là bất biến Trong trường hợp này các hạt chất rắn này được giả sử

là bất động và hai quá trình dẫn nhiệt và đối lưu nhiệt đều diễn ra Trường hợp này đượcđược áp dụng rộng rãi vào công nghệ đồ hộp hiện đại khi nhiều sản phẩm gồm các hạt chấtrắn lơ lửng trong chất lỏng (vd: súp rau củ)

d Quá trình quá độ nhiệt:

Những thay đổi trong độ nhớt hay tính chất vật lý của sản phẩm trong quá trình gianhiệt có thể dẫn đến những thay đổi trong chế độ truyền nhiệt Một vài sản phẩm biểu hiện sựtăng độ lỏng trong quá trình gia nhiệt do sự giảm độ nhớt hay sự thay đổi từ thể rắn sang thểlỏng Trong những trường hợp này, sự truyền nhiệt do quá trình đối lưu nhiệt trở nên rõ rànghơn và chiếm ưu thế hơn Mặt khác, lại có những sản phẩm mà độ nhớt tăng lên trong quátrình gia nhiệt hay chuyển từ thể lỏng sang thể rắn trong quá trình gia nhiệt, quá trình đối lưunhiệt giảm và quá trình truyền nhiệt tăng và trong một số trường hợp quá trình truyền nhiệtchiếm ưu thế

III MÔ HÌNH TRUYỀN NHIỆT

Sự truyền nhiệt vào sản phẩm đi cùng với sự thay đổi của nhiệt độ theo thời gian Tốc

độ biến đổi nhiệt của sản phẩm sẽ nhanh hơn khi truyền nhiệt qua tường chứa được tối ưu hóanhờ có hệ số truyền nhiệt cao, diện tích bề mặt tối đa tỷ lệ với thể tích, và chênh lệch nhiệt độtối đa giữa hai bề mặt thùng Các dòng nhiệt đến, hoặc nhiệt từ các sản phẩm được tăngcường bởi sự đối lưu tự nhiên gây ra và/hoặc tăng tính dẫn nhiệt khi hàm lượng có quán tínhnhiệt thấp (nghĩa là khối lượng và nhiệt dung thấp)

Vài yếu tố này có tác dụng không đổi theo thời gian trong khi sự trao đổi nhiệt còn donhững động lực khác

1.Hệ số mũ

Tỷ lệ tại đó nhiệt độ T(M) được đo tại điểm M trong những thay đổi của thực phẩm đóng hộp có thể được định lượng bởi đạo hàm của nhiệt độ đối với thời gian (t) hoặc T(M)/t Việc trao đổi nhiệt phụ thuộc vào sự khác biệt giữa nhiệt độ (T r) của môi trường bên ngoài

thùng chứa và nhiệt độ (T) của sản phẩm tại các bề mặt tường chứa bên trong Tỷ lệ có thể

được tính bằng cách:

Trong đó là các yếu tố ảnh hưởng được trình bày trong phần 11.2.2 trong trường hợpphức tạp nhất, nó có khác nhau đối với thời gian và không đồng đều trong thùng chứa Khikhông đổi, các sản phẩm bên trong thùng chứa có khuynh hướng đạt tới nhiệt độ này, và cácyếu tố cũng có khuynh hướng đạt tới một giá trị không đổi và thống nhất, có thể được chỉđịnh bởi Do đó, bằng cách sử dụng các mối liên hệ:

Khi không thay đổi và t là dủ lớn, nó trở thành:

11.1 (Duquenoy, 1991) Trong hình 11.2, logarit của là hình vẽ ngược lại với thời gian.Trong vòng thời gian tương đối ngắn, đường cong ở hình 11.2 có xu hướng trở thành tuyến

tính so với các đường cong liên quan với độ dóc tương ứng và log(a) chặn lại tại thời gian

không Thuật ngữ được định nghĩa là thời gian, trong vài phút, cần cho các phần đườngthẳng của đường cong nóng semilog để đi qua một chu kỳ log và là đối ứng của độ dốc củaphần tuyến tính Các mối quan hệ có thể được biểu diễn bằng:

Các hệ số a, chặn lại của phần tuyến tính vào thời gian không, phụ thuộc vào vị trí của điểm M và được liên kết chặt chẽ với thời gian cần thiết bởi sự chênh lệch nhiệt độ để bắt đầu

đi theo hệ số mũ (log) tỷ lệ Các mối quan hệ , nơi thường sử dụng nhiệt độ ban đầu bằng

thời gian không (t = 0) Nếu T là nhiệt độ tại tâm của cá thùng chứa,sau đó tỷ lệ này, chỉ định

là j, có những yếu tố trì hoãn (xem trước) vào báo cáo và:

Nhanh chóng hơn nữa trở nên liên tục, sớm hơn các phần thẳng của đường cong xuấthiện Như vậy, đối với một thực phẩm đóng hộp dạng lỏng không ổn định, ngay lập tức đạt

được sự ổn định, và từ đầu; những đường cong hoàn hảo là một dòng thẳng với j=1.

Chỉ có hai tình huống mà trong đó tuyến tính không quan sát thấy Một là khi xủ lýnhiệt được dừng lại trước khi không đổi; khác là đạt được giá trị rất thấp , và sự không chínhxác của các phép đo, tiếp tục khuếch đại bằng thang logarit, có thể gây ra các điểm thửnghiệm phân tán quá rộng rãi để làm cho tính chất tuyến tính của chúng được nhận ra Trongtất cả các trường hợp khác, dù sức nóng hay làm lạnh và bất kể chế độ truyền nhiệt, loạithùng chứa, hoặc vị trí mà tại đó nhiệt độ được đo, sẽ thu được kết quả ở hình 11.2 Trongtrường hợp của thực phẩm, sự thay đổi các thông số nhiệt trong quá trình truyền nhiệt, haiđường cong sẽ được quan sát thấy trong trường hợp thiết bị truyền nhiệt bị hỏng Tuy nhiên,mỗi đường cong sẽ đi theo lộ trình trước Vì vậy, rất là khó khăn, nếu không muốn nói làkhông thể được, để rút ra kết luận từ đường này như bản chất thật sự của hiện tượng Ví dụ,trường hợp các thực phẩm đóng hộp dạng lỏng không ổn định không phải là đường cong duynhất tuyến tính từ khi bắt đầu Với sự trợ giúp của các mô hình toán học, sẽ giải thích chođiều này

2 Mô hình quá trình tăng nhiệt

Có hai cách tiếp cận khác nhau để mô hình hóa Một dựa trên mô tả các hiện tượngđược đưa vào mô hình và xác định số lượng của chúng bằng định luật vật lý Mô hình đượchình thành từ việc sắp xếp các định luật dưới dạng cân bằng, trong trường hợp này là cân

bằng nhiệt Điều này theo thuyết tiền định hoặc mô hình kiến thức, và có các mô hình cho đối

lưu tinh khiết hoặc dẫn Các mô hình khác là dựa trên quan sát thực tế Các giá trị quan sátđược thay bằng mối quan hệ toán học có dạng ưu tiên, nhưng mà hệ số có thể được điềuchỉnh theo cách để làm cho các giá trị tính toán trùng với giá trị quan sát Đây được gọi là

mô hình tiêu biểu được đưa vào mô hình quả cầu và đệ quy Mặc dù khác nhau, hai phương

pháp này không hề đối nhau, trái lại, chúng ta sẽ thấy, chúng thường bổ sung cho nhau

a Mô hình đối lưu nhiệt hoàn toàn

Mô hình này dựa vào giả thuyết sự gia nhiệt nhanh chống và phân tán đồng đều trong

sản phẩm Do đó nhiệt độ T đồng đều ở bất kỳ khoảng thời gian nào Sự cân bằng nhiệt bao

gồm sự thay đổi nhiệt lượng trong thùng chứa đến luồng sức nóng qua bức tường gói hàng,

có thể được biểu diễn:

Trong đó = tính theo phương trình (11.3), m= khối lượng vật trong thùng chứa , =

nhiệt dung riêng của sản phẩm (), và A= diện tích bề mặt thùng chứa

được thay bằng vì chỉ thay đổi theo thời gian Điều này cũng có thể được viết như sau:

Khi không đổi, trong phương trình (11.8) có thể thay thế bằng và:

Để giải phương trình này (nghĩa là phương trình theo thời gian) nhiệt độ của vật trongthùng chứa tại thời gian 0, cần bổ sung , Trong trường hợp không đổi, có được phương trìnhsau:

trước đó, và h g được tính từ biểu thức (11.10) khi C p , m,và A dễ dàng đo được Một hệ thống

tự động hóa đo độ dẫn nhiệt và độ khuyếch tán của sản phẩm thực phẩm được trình bày bởiMcGinics (1987)

Cho trường hợp không đổi theo thời gian (chẳng hạn như, nơi nhiệt độ trả lại đượcnâng lên theo từng giai đoạn), phương trình này có thể giải bằng phương pháp số, đơn giảnnhất là phương pháp Euler, bao gồm, các tính toán lặp đi lặp lại như sau:

Bắt đầu từ t=0 trong đó và là khoảng thời gian nhỏ hoặc bước thời gian.

Việc tính toán có thể dễ dàng lập trình trên máy tính, là giải pháp mà độ chính xác sẽđược cải thiện đáng kể khi rất nhỏ Trong khi có những phương pháp chính xác hơn, chúng

sẽ phức tạp hơn Để biết them chi tiết, tham khảo ý kiến Gourdin và Boumahrat (1983) cho

mô tả của họ

b Mô hình thuần truyền nhiệt Trong truyền nhiệt, nhiệt độ không phân bố đều trên sản phẩm ở bất kỳ khoảng thời gian nào và hơi nóng truyền theo gradient nhiệt độ đến một điểm M trong thành phần của bao bì Vận tốc nhiệt trên diện tích được định nghĩa bởi Eq (11.4) Tại thời điểm nó di chuyển tới điểm M, dòng nhiệt thay đổi Nếu tăng, sau đó lấy nhiệt từ điểm M, nếu giảm, sau đó lấy nhiệt từ trung tâm đến điểm M Vì thế nên nhiệt độ sẽ lần lượt tăng hoặc giảm.

Sự thay đổi dòng chảy có thể được định lượng toán học bằng cách chia ra, là đạo hàm không gian cho các vecto, kí hiệu div() Sự nhanh của sự tích tụ nhiệt ở điểm M có thể được viết như sau:

ρCp là khả năng phân bố nhiệt (J/m 3 /ºC) Nếu ρCp và k không đổi thì

(11.12)

∇2 biểu thị cho toán tử Laplacian Các định nghĩa và mô tả của toán tử ∇,div và ∇ 2 có thể được tìm thấy trong một vài văn bản toán học Laplacian là hàm bậc 2 với các biến không gian x,y và z k/ ρCp gọi là khuếch tán nhiệt.

Biểu thức ll.l2 chứa đạo hàm riêng phần Để được giải quyết, nó phải được lấy tích phân theo thời gian Đối với điều này, một điều kiện phải được thêm vào đó là các mô tả về tình trạng nhiệt của các đồ có trong vật chứa tại thời điểm t = 0, mà là sự bắt đầu của việc giải quyết Ví dụ, có thể đây là:

t = 0, T = Tih, với mọi x, y, z (T thống nhất bằng Tih)

Nó cũng phải được tích phân hai lần đối với các biến không gian x, y, z và có thêm hai điều kiện để các giới hạn đó là một sự mô tả về sự ảnh hưởng của môi trường lên các thành phần của vật chứa trong trường hợp này, sức nóng đi qua các lớp giới hạn bên ngoài, tường vật chứa, và từ các bề mặt bên trong vật chứa đến các sản phẩm hoặc ngược lại theo định nghĩa của hệ số truyền nhiệt tổng thể (hg) bởi (ll.3 ) như sau:

trong đó n là một vector đơn vị trực giao với các bức tường và hướng vào bên trong Ts là nhiệt độ tại một điểm trên bề mặt và ∇T là gradient tại điểm này.

Đối với các hình dạng hình học tương đối đơn giản được sử dụng trong các loại thực phẩm đóng hộp, gốc của trục x, y, z được đặt ở tâm hình học của các đối tượng và các trục được lựa chọn một cách để vuông góc với tường Trong trường hợp vật chứa hình trụ hoặc các vật hình cầu (ví dụ, đậu ngọt bên trong một vật chứa) một hệ thống tọa độ trực giao cụ thể cho hình trụ hay hình cầu được sử dụng Những điều kiện để giới hạn có thể được viết:

Điều này được lặp lại cho mỗi trục khác.

Các cách giải cho những phương trình này chỉ được biết đến với những trường hợp trong đó:

Những điều kiện này nghĩa là sẽ có profile nhiệt độ thể hiện 1 vòng quay đối xứng đối với các điểm trung tâm và việc truyền nhiệt sẽ là theo một chiều

Trong trường hợp của các hình dạng hình học đơn giản (ví dụ, hình cầu, hình trụ vô hạn, infinite slab) Duquenoy (1991) giải quyết Eq (11.12) của các chuỗi vô hạn sau đây:

và khi X=x/xmax

chỉ số Fourier