Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian

Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ký hiệu là d(M; (P))

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a ký hiệu là d(M; a)

b Chú ý:

* Trong các khoảng cách từ điểm M đến một điểm A bất kỳ thuộc (P) thì MH là khoảng cách ngắn nhất

* Trong các khoảng cách từ điểm M đến điểm A bất kỳ thuộc đường thẳng a thì khoảng cách MH ngắn nhất Tức là ta có MAMH, A  P hoặc MA  MH ,   A a

* Để tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng a ta chỉ cần dựng MH vuông góc với a, H thuộc a và điều tiếp theo là tính MH

* Để tìm khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) ta cần xác định hình chiếu vuông góc H lên (P) Bạn đọc thử suy nghĩ xem chúng ta có thể tìm hình chiếu H của điểm M lên (P) như thế nào?

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

a Định nghĩa 2:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng

cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P)

Ký hiệu khoảng cách từ a đến mặt phẳng (P) song song với a là d(a; (P))

P

a M

H A

* Chú ý: Trong các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của a đến một điểm bất kỳ của (P), khoảng cách MH =

d(a; (P)) là nhỏ nhất

Ta có MAMH,Ma, A  P , H là hình chiếu vuông góc của M lên (P)

- Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc hai mặt

phẳng (P) và (Q) song song thì khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là nhỏ nhất

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a Đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung

* Thuật ngữ: - Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, một đường thẳng c cắt và vuông

góc với cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b

- Nếu đường vuông góc chung c cắt a và b lần lượt tại A và B thì độ dài đoạn thẳng AB

được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau theo định nghĩa ta phải dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

d Nhận xét:

1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa

một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa

đường thẳng còn lại

2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa

hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

* Dựa vào hai nhận xét trên ta có thể chuyển việc tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng chéo nhau về:

- tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó (theo nhận xét (1))

- tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song theo nhận xét (2)

Các bạn thấy rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều thể chuyển về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho nên có thể nói bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là bài toán quan trọng nhất của bài này

II Các dạng toán thường gặp

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp: Để tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ta hạ AH vuông góc với d tại H thì

d(A; d)=AH

* Chú ý: Nếu có (P) qua A và vuông góc với a, (P) cắt d tại H thì AH

=d(A; d)

- Để dựng điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d, ta cần xác định điểm

A và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng nào để dựng cho chính xác

Ví dụ 137 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA =

a Trong (SAC) dựng OI vuông góc với SC tại I

Ta có tam giác SAC vuông cân tại A nên · 0

45

SCA  , suy ra tam giác OIC vuông cân tại I

Do đáy ABCD là hình thoi có · 0

a

OB   a

Tam giác SAO vuông tại A nên SO SA2OA2  4a2a2 a 5

Tam giác SOB vuông tại O có OH là đường cao nên ta có

2 2

Ta có OH  SB DK ,  SB  OH / / DK Vì O là trung điểm của BD cho nên OH là đường trung bình của

2 Dạng toán 2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) ta làm như sau:

* Nếu đã có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): Chúng ta chỉ cần dựng một đường thẳng a đi qua M và song song với d, a cắt (P) tại H thế thì MH = d(M; (P))

* Nếu chưa có đường thẳng d vuông góc với (P) ta làm như sau:

Bước 1: dựng mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng này gọi là

d

Bước 2: Dựng MH vuông góc với d tại H, khi đó MH=d(M; (P))

 Chú ý: Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bạn đọc cần lưu ý một vài điều sau:

1 Đối với tứ diện vuông hình chiếu của đỉnh góc tam diện vuông xuống mặt phẳng đối diện là trực tâm tâm của mặt đối diện đó Cho nên khoảng cách từ đỉnh góc tam diện vuông đến mặt đáy chính là độ dài đoạn thẳng nối hai

3 Chuyển tính khoảng cách từ điểm M khó tính khoảng cách sang một

điểm khác dễ tính khoảng cách dựa vào kiến thức: Dựng đường thẳng d

qua M, d //(P) Lấy các điểm trên d, chọn điểm nào mà việc tính khoảng cách dễ dàng hơn các trường hợp khác

* Chú ý: Công thức (1) và (2) cho ta chuyển việc tính khoảng cách từ điểm một điểm khó tính khoảng cách đến điểm dễ tính khoảng cách hơn Thông thường trong nhiều bài toán ta thường chuyển khoảng cách từ điểm cần tìm về chân đường cao của các hình thường gặp Bởi vì khi đó việc dựng đường vuông góc từ chân đường cao đến các mặt phẳng dễ dàng hơn dựng từ các điểm khác

Ví dụ 138 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy cạnh là 2a, tâm O, SA=4a

O

A

B

C H

P

M

I

N H

K

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

M là trọng tâm của tam giác SAB

a Tính d(M; (ABCD)) b Tính d(O; (SAB)) c d(A; (SCD))

Hướng dẫn:

a Bạn đọc thấy ngay rằng SO vuông góc với đáy (ABCD) Để tính khoảng cách

Từ M đến (ABCD) bạn đọc chỉ cần dựng đường thẳng qua M và song song với SO cắt mặt đáy tại một điểm H Tính MH và suy ra khoảng cách cần tìm

b Để tính khoảng cách từ O đến (SAB) chúng ta chưa thấy có đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (SAB), do đó chúng ta phải thực hiện theo TH2, chúng ta cần dựng một mặt phẳng đi qua O và vuông góc với (SAB) Cách dựng các mặt phẳng này chúng ta đã thực hiện rất nhiều lần ở bài toán tìm góc giữa hai mặt

phẳng Chúng tôi đề nghị bạn đọc tiếp tục thực hiện và tìm ra khoảng cách này

c Bạn đọc thấy rằng AO cắt (SCD) tại C cho nên chúng ta sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để suy ra khoảng cách cần tìm dựa vào khoảng cách từ O đến (SCD)

Giải

a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Do M là trọng tâm của

tam giác cân SAB cân tại S nên M nằm trên SI

Trong mặt phẳng (SOI) dựng MH song song với SO, do SO vuông góc

với (ABCD) nên MHABCD, suy ra MH d M ,ABCD 

Xét tam giác SOI có MH//SO nên 1 1

a OK

OK  SO  OI  a  a  a  

14 15

S

K E

M

H

Vậy  ;    2  ;    2 14

15

d A SCD  d O SCD  a

 Lời bình: Một bài toán không khó nhưng chứa đựng tất cả nội dung phương pháp của dạng toán tính

khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đề nghị bạn đọc suy ngẫm thêm

* Chú ý: Chúng ta có thể tính khoảng cách từ A đến (SCD) theo cách sau:

Do AB//CD nên AB//(SCD) suy ra d(A; (SCD))=d(AB; (SCD))=d(I; (SCD))

Ta có (SCD) và (SIJ) vuông góc với nhau, giao tuyến của hai mặt phẳng này là SJ Trong (SIJ) dựng IE vuông góc với SJ thì IE=d(I; (SCD))

Công việc tiếp theo tính IE xin dành cho bạn đọc thực hiện

- Từ bài toán này chúng ta thấy rằng: Chân đường cao của hình chóp đều cách đều các mặt bên của hình

b Chú ý rằng AD//BC nên d(AD; (SBC))=d(A; (SBC)) Ta đã có A là chân đường vuông góc kẻ từ S của hình chóp Bạn đọc hãy suy nghĩ cách tính khoảng cách từ A đến (SBC)

c Các bạn cần dựa vào điều kiện của bài toán ra là (P) cách (SAD)

một khoảng bằng 3

4

a

để tìm ra điểm mà (P) đi qua Từ đó dựng

được thiết diện cần tìm

Giải

a Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính

AD=2a, nên ta có AD//BC, AB=BC=CD=a; ACCDvà

N M

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

 Lời bình: Lại một lần nữa chúng ta gặp bài toán về nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn Bạn đọc cần lưu

ý một số tính chất của nửa lục giác đều này để sử dụng sau này

Việc tính khoảng cách dựa vào tỉ số khoảng cách thật sự cho chúng ta thêm một sự lựa chọn hoàn hảo trong các bài toán tính khoảng cách mà bạn đọc gặp phải mà vẫn làm nên sự khó chịu cho nhiều bạn học sinh Các bạn đã thấy bớt khó khăn ở các bài toán tính khoảng cách chưa?

Một lần nữa chúng ta cần nhớ nếu muốn sử dụng tỉ số khoảng cách hãy chuyển việc tính khoảng cách này

về các khoảng cách đã biết hoặc chuyển về khoảng cách có liên quan đến chân đường cao của hình đó Đó là

lý do trong bài này chúng tôi chuyển việc tính khoảng cách của điểm B đến (SCD) qua tính khoảng cách từ điểm I đến (SCD) và từ đó chuyển qua tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A

Ví dụ 140 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a GỌi M, N, P lần lượt là trung điểm của

AA’, AD, CC’ Gọi O là tâm của mặt ABCD Tính d(B; (MNP)) và d(O; (MNP))

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

Chúng tôi đề nghị bạn đọc vẽ hình và suy nghĩ hướng giải quyết

Giải

Ký hiệu (P) là mặt phẳng (MNP)

Trước hết ta xác định các giao điểm E, F, G của (P) với

CD tại Q Khi đó E, F lần lượt là các giao điểm của NQ với

 Lời bình: Bạn đọc thấy rằng chúng tôi đã sử dụng kết quả của bài toán ở ví dụ 100 về tính chất quan trọng

của tam diện vuông và công thức tỉ số khoảng cách để giải bài toán này Chúng ta sử dụng thường xuyên kết quả này trong bài toán tính khoảng cách Chúng tôi đề nghị bạn đọc ghi nhớ kết quả này để áp dụng cho các bài toán tiếp theo

* Bạn đọc lưu ý khi sử dụng công thức tỉ số khoảng cách trong bài toán này, tại sao chúng ta không chuyển về tính tỉ số khoảng cách từ điểm A hoặc C đến mặt phẳng (P) mà lại tính từ điểm C Để giải thích điều này, bạn đọc hãy xét xem điểm B là điểm có tính chất gì khi gắn với (P)

* Chú ý: bạn đọc cũng có thể tính khoảng cách từ B đến (P) như sau:

Ta thấy (BDG) và (P) vuông góc với nhau, giao tuyến của hai mặt phẳng này là OG

Trong mặt phẳng (P) dựng BH vuông góc với OG tại H Ta có

 

d B P BH Bạn đọc tính BH và suy ra kết quả như trên

Ví dụ 141* Cho tứ diện ABCD có AD=BC=a, AC=BD=b, AB=CD=c Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt

phẳng (BCD) Từ đó suy ra tứ diện ABCD có bốn chiều cao bằng nhau

(Trích bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học lớp 11-Trần Văn Tấn)

Hướng dẫn

Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau nên là tứ diện gần đều Chúng ta đã biết tứ diện gần đều là tứ

diện trực tâm

K O

G

T

E U

C'

A'

D' B'

A

Bạn đọc lưu ý mọi tứ diện gần đều, đều “lồng” được vào một tứ diện vuông Chúng ta có thể “lồng” tứ diện gần đều này vào tứ diện vuông như sau:

Xét đáy BCD, ta dựng tam giác chứa tam giác này sao cho các đỉnh của tam giác BCD là các trung điểm của

ba cạnh của tam giác mới này Bạn đọc hãy chứng minh tứ diện gồm đỉnh A và ba đỉnh còn lại mới được dựng lên là một tứ diện vuông đỉnh A Từ đó suy ra khoảng cách từ A đến

AB’C’ vuông tại A

Tương tự các tam giác AB’D’, AC’D’ cũng vuông tại A Do đó tứ diện

AB’C’D’ vuông tại A

Đặt AB’=x, AC’=y, AD’=z

xuất hiện bình đẳng, do đó kéo theo

d(A; (BCD))=d(B; (ACD))=d(C; (ABD))=d(D; (ABC))

 Lời bình: Từ bài toán này, bạn đọc cần chú ý cách để “lồng” một tứ diện gần đều vào trong một tứ diện

vuông Khi thực hiện được điều này sẽ giúp việc tính toán của chúng ta trở nên đơn giản hơn

B

B' A

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

Ví dụ 142 Cho tứ diện ABCD, ABC là tam giác vuông tại A, SB=a, AC=2a

Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với đáy góc x, mặt bên (DBC) vuông góc

với (ABC)

a Tính khoảng cách d từ D đến (ABC) theo a và x

b Tìm số đo x khi biết 2

d H DAB    d C DAB ;  3d H DAB ;  

Dựng đường cao HJ của tam giác DKH ta có HJ AB HJ; DAB nên

x x

H D

A

C B

J

Trong tam giác HJK vuông tại J ta tính được 0 2 3 3

 Lời bình: Một lần nữa bạn đọc lại thấy được thế mạnh của công thức tỉ số khoảng cách Trong bài toán

này chúng tôi lại chuyển việc tính khoảng cách của điểm C đến (DAB) thành việc tính khoảng cách từ điểm H (chân đường cao kẻ từ D của tứ diện) đến (DAB)

(ACC’A’) hai mặt phẳng này hợp với đáy góc  (00   90 )0 Từ đây bạn đọc xác định chiều cao A’O của hình lăng trụ Độ dài A’O chính là khoảng cách từ A’ đến (ABC)

Giải

Hạ A’O vuông góc với (ABC), O thuộc (ABC) Trong mặt phẳng (ABC), dựng AK vuông góc với AB tại K, dựng AH vuông góc với AC tại H Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB  A K AC ' ;  A H '

Do đó theo giả thiết ta có OKA '  OHA '   , suy ra hai tam giác

vuông sau đây bằng nhau : A HO'  A KO' suy ra OH=OK Do đó

O nằm trên đường phân giác góc A của tam giác ABC suy ra

30

OAK 

Đặt AH=AK=x, ta tính A’O bằng hai cách như sau:

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

 Lời bình: Trong nhiều bài toán đề bài chưa cho chúng ta ngay chân đường cao của hình khối, để giải quyết

các bài toán dạng này thường là chúng ta cứ dựng chân đường cao của các hình và sau đó dựa vào giả thiết của bài toán để xác định vị trí của chân đường cao đó

Chú ý một số trường hợp sau:

1 Chân đường cao của hình chóp đều trung với tâm mặt đáy

2 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác vuông thì chân đường cao là trung điểm cạnh huyền

3 Hình chóp có các cạnh bên nghiêng đều trên đáy thì chân đường cao là tâm của mặt đáy

4 Hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy (bạn đọc phải chứng minh điều này khi làm các bài tập có liên quan đến điều này) Với lưu ý đa giác này phải

có đường tròn nội tiếp

5 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, thì đường cao nằm trong mặt đó và chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng này với mặt đáy

6 Hình chóp có hai mặt phẳng bên nào đó vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mặt phẳng

đó Nếu hai mặt phẳng vuông góc với mặt đáy không phải là hai mặt bên thì đường cao là đường thẳng qua đỉnh hình chóp và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc này

7 Tứ diện vuông có chân đường cao hạ từ đỉnh góc tam diện vuông là trực tâm của mặt đối diện

8 Khi gặp các loại hình khác: hình hộp xiên, hình lăng trụ xiên chúng ta cũng sử lý dựa vào các dạng như với hình chóp Bạn đọc cần linh hoạt để có thể áp dụng được nó vào các bài toán chứa hình hộp, hình lăng trụ

Ví dụ 144* (trích đề thi đề nghị kỳ thi Olympic 30-4 lần thứ XIV, năm 2008-Trường THPT chuyên Lê Quý

Đôn-Nha Trang-Tỉnh Khánh Hòa)

Cho ba điểm A, B, C là ba điểm phân biệt trong không gian (P) là mặt phẳng cố định Tìm M thuộc (P) sao

cho S  MA2 4 MB2 9 MC2 đạt giá trị lớn nhất

Giải

Gọi G là điểm thỏa mãn hệ thức GA uuur  4 GB uuur  9 GC uuur  0 r suy ra I cố định và thuộc (ABC)

Ta có S MGuuuurGAuuur24MGuuuurGBuuur29MG GCuuuuruuur2

Vì GA2  4 GB2 9 GC2 không đổi nên S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất M là hình

chiếu vuông góc của G xuống (P)

 Lời bình:

-Bài toán tổng quát của bài toán trên như sau: Cho A, B, C phân biệt trong không gian (P) là mặt phẳng cố định Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

S  xMA  yMB  zMC đạt giá trị lớn nhất, với x+y+z<0

Để giải bài toán này ta làm như sau:

Gọi I là điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ xIAuury IBuurz ICuur 0r

Sử dụng công thức bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài, ta có:

Sx MIuuurIAuur2y MIuuurIBuur2z MIuuurICuur2

2

x y z MI MI xIA y IB zIC xIA yIB zIC

xIA yIB zIC  xyz MI Do x+y+z<0 nên S lớn nhất bằng

xIA  yIB  zIC khi MI nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I lên (P)

* Bạn đọc tự giải bài toán sau: Cho A, B, C phân biệt trong không gian (P) là mặt phẳng cố định Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

S  xMA  yMB  zMC đạt giá trị lớn nhất, với x+y+z>0

3 Dạng 3 Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau a và b như sau:

Cách 1: Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau:

Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa a vuông góc với b tại B

Bước 2: Dựng BA vuông góc với b tại A

Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b

Cách 2:

Bước 1: Dựng (P) chứa a và song song với b

Bước 2: Chọn điểm M trên b dựng MM’ vuông góc với (P) tại M’

Bước 3: Từ M’ dựng b’//b cắt a tại A

Bước 4: Từ A dựng AB//MM’ cắt b tại B

Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b

Cách 3:

Bước 1: Dựng (P) vuông góc với a tại O, (P) cắt b tại I

Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (P)

Bước 3: Dựng trong (P) đường thẳng OH vuông góc với b’ tại H

Bước 4: Từ H, dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

Bước 5: Từ B dựng đường thẳng với OH, cắt a tại A

Đoạn thẳng AB chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b

Cách 4:

Bước 1: Xác định một đường thẳng MN vuông góc với cả hai đường thẳng

a và b

Bước 2: Xác định giao tuyến m của hai mặt phẳng (M, a) và (N, b)

Bước 3: Lấy điểm I thuộc giao tuyến m, gọi A là giao điểm của IM và a, B là

giao điểm của NI và b

Bước 4: Tìm vị trí của I thuộc m sao cho AB//MN

Khi đó ta có AB chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a

a

b' b

O I

B

H A

m

a

b M

A

B

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SB và CD

Với ý (b), Dễ thấy BDSC, bạn đọc hãy vận dụng cách 1 để giải tiếp ý này

Với ý (c), ta thấy hai đường thẳng này không vuông góc với nhau, chúng ta có ngay AB vuông góc với (SAD),

từ đây gợi ý cho bạn đọc điều gì? Mời bạn đọc tiếp tục suy nghĩ và thực hiện

Mặt khác BC vuông góc với CD Vậy BC là đoạn vuông góc chung của

hai đường thẳng SB và CD và BC=a

Vì CD vuông góc với (SAD) nên SD là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAD)

Trong mặt phẳng (SAD) hạ AK vuông góc với SD tại K Trong (SCD) dựng KE//CD//AB với E thuộc SC Trong mặt phẳng (KE, AB) vẽ EF//AK (F trên AB) Ta có AB và CD cùng vuông góc với (SAD) nên

 Lời bình: Bài toán này cho các bạn thấy rõ 3 cách tìm và dựng đường vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau Chúng ta cùng nhìn lại cách giải trong ví dụ trên để rút ra kinh nghiệm cho bản thân

* Ý (a): Nhận thấy ngay đoạn vuông góc chung cho trong bài mà không phải dựng thêm đường

* Ý (b): hai đường thẳng SC và BD vuông góc với nhau cho nên ta thực hiện theo cách 1

* Ý (c): Đòi hỏi bạn đọc phải tinh ý hơn Ta đã có ngay một mặt phẳng vuông góc với AB do đó chúng ta thực hiện theo cách thứ 3

Bài toán dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là một bài toán không dễ đề nghị bạn đọc tập chung hơn Sau khi xong ví dụ này, bạn đọc cần học lại 4 cách dựng đường vuông góc chung đã trình bày ở trên

Ví dụ 146 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a Gọi I là trung điểm của

BC Hãy dựng và tính độ dài các đoạn vuông góc chung của

a OA và BC b AI và OC

Hướng dẫn:

a Với ý đầu tiên bạn đọc có thể thấy ngay hai đường thẳng OA và BC vuông góc với nhau Hãy áp dụng cách

1 và giải tiếp ý này

b Ta thấy (SAB) vuông góc với OC, đường thẳng AI cắt (SAB) tại A Bạn đọc thực hiện theo cách 3 bằng cách: Hãy xác định hình chiếu vuông góc của AI xuống (SAB) và sau đó tiếp tục thực hiện theo các bước đã nêu

  là đoạn vuông góc chung của OA và BC

Do tam giác OBC vuông tại O và OI là đường trung tuyến của tam giác

Từ I vẽ IK//OC thì IK vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại trung điểm

K của đoạn OB Ta có AK là hình chiếu vuông góc của AI lên (OAB)

Trong (OAB) vẽ OH vuông góc với AK tại H Dựng HE//OC với E thuộc

AI và dựng EF//OH với F thuộc OC Khi đó EF là đoạn vuông góc chung

của AI và OC Ta có EF=OH

Trong tam giác OAK có