Chuyên đề hình không gian ôn thi THPT quốc gia

Chuyên đề hình không gian ôn thi THPT quốc gia Chuyên đề hình không gian ôn thi THPT quốc gia Chuyên đề hình không gian ôn thi THPT quốc gia Chuyên đề hình không gian ôn thi THPT quốc gia Chuyên đề hình không gian ôn thi THPT quốc gia Chuyên đề hình không gian ôn thi THPT quốc gia

Trang 1

GV: TRẦN VĂN CHUNG ĐT 0972.311.481 Trang 1

1 Hai đường thẳng song song

4 Chứng minh quan hệ song song

a) Chứng minh hai đường thẳng song song

Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

 Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

 Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

 Áp dụng các định lí về giao tuyến song song

b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh d  ( )P , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d nào đó nằm trong (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia

I QUAN HỆ SONG SONG

Trang 2

1 Hai đường thẳng vuông góc

 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn

thẳng tại trung điểm của nó

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

4 Chứng minh quan hệ vuông góc

a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh da, ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

Trang 3

 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)

b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P)

 Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P)

 Chứng minh d // a và a  (P)

 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q)

 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q)

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),  = ( ),( )P Q  Khi đó: S = S.cos

2 Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn

vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng)

b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ

một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất

kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

 Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

 Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất

III GÓC – KHOẢNG CÁCH

Trang 4

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

1 Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH

 AB2AC2BC2  AB2 BC BH AC , 2 BC CH.  1 2 12 12

AH  AB  AC  ABBC.sinC BC.cosBAC.tanCAC.cotB

b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , m c ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p

b A

a

2sinsin

1 2

1 sin 2

b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành: S = đáy  cao = AB AD sinBAD. . 

 (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1

2

S AC BD

IV NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Trang 5

V  S h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chĩp

3 Thể tích của khối lăng trụ:

V S đáy.h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ

4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chĩp) bằng tổng diện tích các mặt bên

 Diện tích tồn phần của hình lăng trụ (hình chĩp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích

các đáy

BÀI TẬP TRONG SGK HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN CHƯƠNG 1

Bài 1.(Tr25-HH12CB) Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh là a

Trang 6

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB'D'

Giải

Ta có kích thước của khối hộp là a,b,c Thể tích của

khối hộp là V=abc (1) Coi B' làm đỉnh thì khối tứ

diện ACB'D' là khối chop B'.ACD'

Bài 4.(Tr25-HH12CB)

Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A',B',C' khác với

S Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C' Chứng minh rằng :

lượt là chân đường cao kẻ từ A và A'

và SC là SB SC; 

Ta có : ' ' '

1 ' ' 3

Giải

Từ giả thiết AB=a và CD=a , tam giác ABC vuông

cân tại A suy ra tam giác CAD là tam giác vuông cân

tại C Mặt phẳng qua C vuông góc với BD , thì từ C

O

S

A'

B' C'

Trang 7

kẻ CF vuông góc với BD Trong mặt phẳng (ABD) kẻ FE vuông góc với BD cho nên mặt phẳng qua C chính là mặt phẳng (CFE)

2 2

DC DB  DB  DB Hay :

Giải

Gọi MN =h là đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng d và d'  là góc hợp bởi giữa

hai đường thẳng d với d'

- Diện tích đáy BCD là S , thì S=1

2bh Chiều cao từ A xuống đáy là AH Khi đó chiều dài

Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc nhau và

OA=a,OB=b và OC=c Tính đường cao OH của hình chóp ?

Trang 8

Chứng tỏ OH là đường cao của chóp O.ABC kẻ từ O

Hình chiếu của S trên đáy trùng với tâm đáy

Vì đáy là tam giác đều suy ra hai tam giác SAB=SAC

đường cao của chóp S.BDC

3 3

3.8 3 32

4 1.1

Trang 9

Do các mặt bên ngiêng đều với đáy một góc cho

nên hình chiếu của S trên đáy trùng với tâm đường

tròn nội tiếp tam giác ABC

Suy ra BH là phân giác góc B Mặt khác ta lại có :

6a 7a

S

A

D B'

D' C'

a

b

Trang 10

Vậy ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' '

cắt SD tại F Tính thể tích khối chóp S.AEMF ?

Giải

- Nối AM cắt SO tại I Kẻ qua I một dường thẳng song

song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F Nối EF và MF

ta có thiết diện tạo bởi (P) qua AM và // BD

SB  SD  SO(*)

Vì M là trung điểm của SC và O là trung điểm của AC

S ABC S ADC S ABCD

a/ Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C ?

b/ Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC

1 1

A BB C C A BB

a

b/ Vì A'B' song song với mặt phẳng (ABC) cho nên

mặt phẳng qua A'B' và trọng tâm G sẽ cắt (ABC) theo

giao tuyến qua G và song song với AB , cắt AC tại E

và cắt BC tại F Kéo dài B'F và A'E chúng đồng quy

Trang 11

tại M và N Suy ra (CEF) cắt

khối hộp theo thiết diện là

a/ Tính thể tích khối tứ diện ADMN ?

b/ Mặt phẳng (DNM) chia khối lập phương thành hai khối da diện

Giải

a/ Tính thể tích khối tứ diện ABMN

Xét tam giác vuông ABN ( vuông tại B )

Ta có S AND S ABCDS ANBS DCN

tam giác ADN và chiều cao kẻ từ M xuống đáy = AA'=a suy ra

.

1

Trang 12

b/ Nối DN cắt AB tại J Nối JM cắt BB' tại E và cắt A'B' tại M , cắt AA' tại I Nối ID cắt A'D' tại F Như vậy (DMN) cắt khối chĩp theo thiết diện : DNEMF

Ta đi tính thể tích khối đa diện chứa cạnh AA' Tam giác BJN=CDN suy ra JB=CD=a Tam

DẠNG TỐN TÌM THỂ TÍCH BIẾTCẠNH BÊN VUƠNG GĨC VỚI ĐÁY

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA  (ABCD)

AB = a, SA  a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh SC(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK HD: 2 3

3

a

Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N

Tính thể tích khối chóp S.BCNM HD: 10 3 3

27

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  BAD 60 0, SA  (ABCD), SA = a Gọi C' là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D' Tính thể tích khối chóp

Trang 13

a

Bài 6 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, O là tâm của đáy

SO  (ABCD) và M, N lần lượt là trung điểm của SA, CD Gĩc giữa MN và (ABCD) bằng 600 Tình thể tích khối chĩp S.ABCD

Bài 7 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3 Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A’ trên (ABCD) trùng với O = AC ∩ BD Gĩc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) ĐS:

3

32

a

; 3

2

a

Bài 8 Cho hı̀nh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, CB = 2a, = 120° và đường

thang A’C tạo với mặt phang (ABB’A’) một góc 30 o Gọi M là trung điem của BB’ Tı́nh V ABC.A’B’C’ và d(A’;(ACM))

Bài 9 Cho hı̀nh chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD là hı̀nh vuông tâm O cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = √2 Gọi H, K lan lượt là hı̀nh chieu của

A lên SB, SD Chứng minh SC⊥ (AHK) và tı́nh V O.AHK

Bài 10 Cho hı̀nh chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = a, AB = 2a, SA vuông góc đáy; ((SAB);(SAC)) = 60 o Gọi H, K lan lượt là hı̀nh chieu của A lên SB,

SC Chứng minh AK ⊥ HK và tı́nh V S.ABC

Bài 11 Cho hình chĩp SABC cĩ SA vuơng gĩc với đáy ,tam giác ABC là tam giác cân

cĩ AB=AB= 2a ,khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là a Tính thể tích khối

theo Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a và 

Bài 3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ BB’ = a, gĩc giữa đường thẳng BB’

và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuơng tại C và BAC = 600

Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

Bài 4

Trang 14

DẠNG TỐN TÌM THỂ TÍCH BIẾT MẶT BÊN VUƠNG GĨC VỚI ĐÁY

Bài 1 Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , cạnh bên SA = a; hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC , AH = AC/4 Goi Cm là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm SA và thể tích tứ diện SMBC

theo a

Bài 2 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuuong cân tại B, AB=BC=2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N Biết gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

AB và SN theo a

Bài 3 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B , BA=3a, BC=4a ; mặt

30

SBC  Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Bài 4 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuơng gĩc của S trên đáy (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB Gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

Bài 5 Cho khối chĩp S.ABC cĩ BC=2a, Mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), tam giác SAB cân tại S và tam giác SBC vuơng Tính thể tích của khối chĩp

Bài 6

DẠNG TỐN TÌM THỂ TÍCH BIẾT MẶT BÊN TẠO ĐÁY GĨC CHO TRƯỚC Bài 1 Cho hı̀nh chóp S.ABC có cạnh bên SA ⊥ (ABC) và AB = a, AC = 2a, = 120°

Mặt phang (SBC) tạo với đáy góc 60 o Tı́nh V S.ABC và d(SB;AC)

Bài 2 Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hı̀nh thang vuông tại A và D, AB là đáy lớn và ∆ABC đeu Các mặt phang (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SC = 2a và tạo với mặt phang (SAB) một góc bang 30 o Tı́nh V S.ABCD

Bài 3 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AB = AD = 2a;

AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a

Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA”B”C” cĩ AB = a , gĩc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và ( ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ

đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

Bài 5 Cho lăng trụ ABCD.A B C D1 1 1 1 cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật , AB=a , ADa 3 Hình

giữa hai mặt phẳng ADD A1 1 và ABCD bằng 60 0 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A BD1  theo a

Bài 6 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng cân tại B , AB=a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) , gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30 0 Gọi M là trung điểm của SC Tính thể tích khối chĩp S.ABM theo a

Bài 7 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ AB , a      0

G là trọng tâm  A’BC Tính V ABC A B C ' ' '

Trang 15

Bài 8 Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,

Cho khối chĩp tứ giác đều S.ABCD Một mặt phẳng (P) đi qua A,B và trung điểm M của cạnh

SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chĩp bị phân chia bởi mặt phẳng đĩ

Giải

Mặt phẳng đi qua AB và trung điểm M của SC cắt mặt

phẳng SDC theo giao tuyến MN //CD Gọi V= thể rích

khối chĩp V S ABCD. ; 'V V S ABMN.

Ta cĩ : .

.

1 1 1 1

a/ Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (AEF)

b/ Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF)

Giải

a/ Cách dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AEF) với khối chĩp :

Kéo dài EF cắt A'B' và A'D' tại M và N Nối MA và NA chúng cắt BB' và DD' tại Q và P Vậy thiết diện chính là AQEFP

Trang 16

- Ta thấy từ giả thiết : Chia SA thành 3 phần MA=2MS và N chia SB : NS=2NB

Nối MN cắt AB tại I Từ M kẻ MD //SC cắt AC tại D Nối ID cắt BC tại E Do đĩ (P) qua

MN và song song với SC cắt khối chĩp theo thiết diện MNED Kẻ MI//AB ta cĩ :

Bài 2 Cho điểm M trên cạnh SA , N trên cạnh SB của khối chĩp tam giác S.ABC sao

2

thành hai phần Tìm tỉ số thể tích hai khối đĩ ?

Trang 17

MỘT SỐ DẠNG TỐN KHÁC

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD  a 2,

SA = a và SA  (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng (SAC)  (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

Bài 2 Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho  (SAB) SBC,( )  600 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,

SC Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC HD:

CÁC DẠNG TỐN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC

Bài 1) ĐH 2002 K.A Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC đỉnh S, cĩ độ dài cạnh đáy

bằng a Gọi M,N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác Agiacsbieets rằng mặt phẳng (AMNphawngrvuoong gĩc với mặt phẳng (SBC)

Bài 2) ĐH 2002 K.B Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cĩ cạnh bằng a

Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1 Tính gĩc giữa hai đường thẳng MP, C1N

Bài 3) ĐH 2002 K.D Cho hình tứ diện ABCD cĩ cạnh AD vuơng gĩc với mặt phẳng

(ABC) ; AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD)

Bài 4) 2003 K.B Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là một hình

thoi cạnh a, gĩcBAD= 600

Gọi M là trung điểm của cạnh AA’ và N là trung điểm của cạnh CC’ Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giácB’MDN là hình vuơng

Bài 5) ĐH 2003 K.D Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng gĩc với nhau, cĩ giao tuyến

là đường thẳng Trên giao tuyến lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C , trong mặt phẳng (Q) lấy điểmD sao cho AC, BD vuơng gĩc với nhau và AC =

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	0,96 MB