Phép nhúng tập hút toàn cục vào không gian hữu hạn chiều (LV01844)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH THANH NGA PHẫP NHNG TP HT TON CC VO KHễNG GIAN HU HN CHIU LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s : 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc PGS.TS Cung Th Anh H NI, 2016 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc n PGS.TS Cung Th Anh, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ng nghip ó c v, ng viờn, to iu kin tụi hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Nguyn Th Thanh Nga Li cam oan Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng dn ca PGS.TS Cung Th Anh, lun chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti:Phộp nhỳng hỳt ton cc vo khụng gian hu hn chiu c hon thnh bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Nguyn Th Thanh Nga Mc lc M u Mt s kin thc chun b 1.1 Tp hỳt ton cc 1.2 nh ngha (cellular set) 1.3 nh ngha s chiu Assouad Phộp nhỳng hỳt ton cc vo khụng gian hu hn chiu 2.1 Phỏt biu kt qu chớnh 2.2 Tp l hỳt ton cc ca h phng trỡnh vi phõn 11 2.3 Tp hỳt hu hn chiu chớnh l hỳt ca h hu hn chiu 17 2.4 Phộp nhỳng ng lc trờn A vo khụng gian Euclid 18 2.5 Chng minh nh lớ 2.1.1 22 Kt lun Ti liu tham kho 25 26 M u Lớ chn ti Vic nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim thi gian vụ cựng ca cỏc h ng lc vụ hn chiu sinh bi cỏc phng trỡnh o hm riờng phi tuyn hoc cỏc phng trỡnh vi phõn hm l mt bi toỏn quan trng v cú nhiu ý ngha thc tin Mt nhng cỏch tip cn bi toỏn ny i vi cỏc h ng lc tiờu hao vụ hn chiu l nghiờn cu s tn ti v cỏc tớnh cht ca hỳt ton cc, xem cun chuyờn kho [1] ú l mt compact, bt bin, hỳt cỏc b chn v cha ng nhiu thụng tin v dỏng iu tim cn ca h ang xột C th ta cú th xp x dỏng iu tim cn nghim ca mt qu o bt kỡ ca h ang xột bng cỏc qu o nm trờn hỳt ton cc Bi nh lớ Hăolder-Manộ ci biờn, ta bit rng nu mt hỳt ton cc cú s chiu fractal hu hn thỡ, v nguyờn tc, ta cú th chuyn vic nghiờn cu h ng lc trờn hỳt v nghiờn cu h ng lc khụng gian hu hn chiu Tuy nhiờn, vic xõy dng h ng lc hu hn chiu ny nh th no v mi quan h thc s gia hai h ng lc ny (tc l, gia h gc v h rỳt gn) nh th no cũn rt ớt kt qu [2] Vỡ vy, chỳng tụi chn ny lm ti nghiờn cu ca lun Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu phộp nhỳng hỳt ton cc ca mt h ng lc tiờu hao vụ hn chiu vo mt khụng gian hu hn chiu Nhim v nghiờn cu Trỡnh by phộp nhỳng hỳt ton cc ca h ng lc vụ hn chiu vo khụng gian hu hn chiu Cỏch xõy dng h ng lc rỳt gn trờn khụng gian hu hn chiu i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Tp hỳt ton cc ca h ng lc tiờu hao vụ hn chiu Phm vi nghiờn cu: Phộp nhỳng hỳt ton cc vo khụng gian hu hn chiu Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp ca lớ thuyt h ng lc tiờu hao vụ hn chiu Kt qu trỡnh by ca lun Lun ó trỡnh by c phộp nhỳng hỳt ton cc ca h ng lc vụ hn chiu vo khụng gian hu hn chiu v cỏch xõy dng h ng lc rỳt gn trờn khụng gian hu hn chiu ú Chng Mt s kin thc chun b Chng ny trỡnh by mt s khỏi nim c bn v hỳt ton cc, s tn ti hỳt ton cc i vi h ng lc vụ hn chiu, nh ngha khi, s chiu Assouad 1.1 Tp hỳt ton cc Mc ny c vit da trờn cỏc ti liu [1],[2] Khỏi nim na nhúm liờn tc nh ngha 1.1.1 Gi s H l mt khụng gian Hilbert Mt h cỏc ỏnh x liờn tc S(t) : H H , t 0, gi l mt na nhúm liờn tc trờn H nu nú tha cỏc iu kin sau: S(0) = Id; S(t + s) = S(t)S(s), vi mi t, s 0; Vi mi x0 H , ỏnh x t S(t)x0 C ((0; +), H); Vi mi t 0, ỏnh x x0 S (t) x0 liờn tc trờn H Khỏi nim hỳt ton cc nh ngha 1.1.2 Tp khỏc rng A H gi l hỳt ton cc ca na nhúm S(t) nu: A l compact; A l bt bin i vi na nhúm S(t) , tc l S(t)A = A, vi mi t 0; A hỳt mi b chn B H , tc l vi mi > 0, tn ti T = T (, B) cho S (t) B N (A, ) , vi mi t T (, B) , õy N (A, ) l -lõn cn ca A H Tớnh cht hỳt tng ng vi iu kin sau õy: Vi mi b chn B H, dist (S (t) B, A) t +, ú dist(X,Y) l na khong cỏch Hausdorff gia hai X, Y H , xỏc nh bi dist (X, Y ) := sup inf x y xX yY T nh ngha suy hỳt ton cc A ca na nhúm S (t), nu tn ti, l nht Khỏi nim hp th nh ngha 1.1.3 Tp b chn B0 H gi l mt hp th ca na nhúm S (t) nu vi bt kỡ b chn B H , tn ti thi im T = T (B) cho S (t) B B0 vi mi t T (B) Khỏi nim -gii hn nh ngha 1.1.4 Gi s A H Tp -gii hn ca A c nh ngha bi (A) = , S(t)A s0 ts H ú S(t)A = {v = S(t)u : u A} v [X]H l bao úng ca X H nh lớ v s tn ti hỳt ton cc nh lớ 1.1.1 Gi s na nhúm S (t) H liờn tc v cú mt hp th compact B0 Khi ú na nhúm S (t) cú mt hỳt ton cc A v A = (B0 ), -gii hn ca B0 Hn na, A l liờn thụng 1.2 nh ngha (cellular set) nh ngha c tham kho t ti liu [12] Mt C gi l m-khi (m-cell) nu tn ti mt phộp ng phụi t BRm (1) lờn C , ú BRm (1) l hỡnh cu n v úng tõm ti gc ta ca Rm Mt X Rm l Rm nu tn ti mt dóy cỏc i vi X , ú l dóy (Ci )iN Rm gm cỏc m-khi l lõn cn ca X Rm cho Ci = X Tc l, X l nu cho trc mt iN lõn cn U bt k ca X , tn ti m-khi C U l lõn cn ca X 1.3 nh ngha s chiu Assouad nh ngha s chiu Assouad c tham kho t ti liu [12] Khụng gian metric (X, d) c gi l thun nht (M, s) (hay n gin l thun nht) nu mi hỡnh cu bỏn kớnh r cú th c ph bi nhiu nht M (r/)s hỡnh cu nh hn cú bỏn kớnh , vi M v s S chiu Assouad ca X , dimA (X) l cn di ỳng ca s cho (X, d) l thun nht (M, s), vi M (nu X khụng phi l thun nht (M, s) vi mi M v s thỡ ta xỏc nh dimA (X) = ) 13 Q Ta d dng xõy dng ng cu t Q lờn chớnh nú v ly p thnh v ng nht biờn ca nú, nờn ta cú th gi s p = T tớnh cht ca c suy c|Q\X : Q\X Q\{0} l mt ng cu v x X thỡ c(x) M rng c|Q\X vo Rm \X bng cỏch cho nú l ỏnh x ng nht bờn ngoi Q Cui cựng, h(x) := c(x) , c(x) c(x) l hm cú tớnh cht m ta yờu cu h kh vi ta cn mt vi tiờu chun v tớnh trn i vi a tp, ỳng hn l vi ỏnh x Chỳ ý rng mt a kh vi l mt a tụpụ c trang b mt cu trỳc kh vi, tc l mt phn ln ta th m bin i ta l C nh x gia cỏc a trn l C nu biu din a phng ca nú ta l C v l mt vi ng cu nu nú kh nghch vi ỏnh x ngc ca nú cng l C Mnh 2.2.2 Cho X l mt ca Rm vi m Khi ú tn ti ỏnh x : Rm \ X (0, +) thuc lp C cho (x) = vi mi x Rm \ X , (x) x X , l thc s Chng minh Xột ỏnh x h thu c Mnh 2.2.1 Ta s a thnh ta th hai ca h nhng cỏch chn ny núi chung l khụng kh vi Vỡ th, u tiờn ta cú h trn Cho l cu trỳc kh vi m Rm \ X nh l mt m Rm , v bin i theo h thu c cu trỳc mi kh vi h lờn Sm1 ì (0, +); rừ rng bng cỏch xõy dng h : (Rm \ X) (Sm1 ì (0, +))h l mt vi ng cu Theo [9, tr.31] 14 tn ti mt vi ng cu g : (Sm1 ì (0, +))h (Sm1 ) ì (0, +), ú l mt cu trỳc kh vi phự hp trờn Sm1 (ta cn gi thit m > lm vic vi nh lớ ny) Theo Chỳ ý [9, tr.31], chỳng ta cú th a yờu cu ú l dist(y, g(y)) vi mi y Sm1 ì (0, +), ú dist l khong cỏch ln nht gia Sm1 v (0, +) Phộp chiu lờn thnh phn th hai pr2 : (Sm1 ) ì (0, +) (0, +) hin nhiờn l mt ỏnh x thuc lp C (theo nh ngha tớch cu trỳc kh vi) v o hm nú khụng bao gi bng Khi ú, xỏc nh := pr2 g h v to biu sau õy giao hoỏn: (Rm \ X) h / (Sm1 ì (0, +))h g / (Sm1 ) ì (0, +) pr2 ,  (0, +) Rừ rng l C vỡ nú l hp ca cỏc ỏnh x C Bõy gi ta s kim tra xem tha cỏc tớnh cht phỏt biu ca mnh khụng D thy (x) = vỡ g v h l cỏc vi ng phụi (o hm ca chỳng kh nghch) v pr2 tha pr2 (x) = Cho s < t, ly dóy (xi )iN ([s, t]) v ký hiu (yi , zi ) := g h(xi ) Theo gi thit ((yi , zi ))iN Sm ì [s, t], l mt compact nờn dóy ((yi , zi ))iN phi cú mt dóy hi t Tin nh ca dóy qua ng cu g h l mt dóy hi t (xi )iN iu ny chng t ([s, t]) l compact v l thc s Cho (xi )iN l mt dóy Rm+1 \ X hi t ti X u tiờn ta s ch ((xi ))iN hi t hoc ti hoc ti + Nu khụng, nú cú mt dóy ((xij ))jN nm mt khong compact v l thc s nờn (xij )jN nm mt compact no ú ca Rm \ X iu ny mõu thun vi s hi t ca (xi ) ti X 15 Ta chn g cho dist(g h(xi ), h(xi )) < v nh ngha dist l khong cỏch ln nht gia Sm1 v (0, +), dn n dist((xi ), pr2 h(xi )) = dist(pr2 g h(xi ), pr2 h(xi )) < c xỏc nh Vỡ (xi ) hi t ti hoc hoc + v pr2 h(xi ) nh phỏt biu Mnh 2.2.1 nờn ta cú (xi ) Chng minh B 2.2.1 Chng minh Ta s xõy dng dóy cỏc ỏnh x k bng phng phỏp quy np, k thuc lp C k , cho := k tha b vi r = k Nh l bc u tiờn m rng ỏnh x cho trc theo Mnh 2.2.2 vo Rm bng cỏch gi s giỏ tr ca nú l trờn X , v gi l nh x ny liờn tc nhng khụng kh vi xung quanh X , v bõy gi ta s dng khng nh [6] bin thnh í tng ny l cho := b , ú b : [0, +) [0, +) l vi ng phụi no ú thuc lp C m o hm gn nh qua tớnh gp khỳc ca xung quanh X Thc t, vi x Rm \ X , (b )(x) = (b )(x) (x) xi xi v x X (v kộo theo t = (x) 0), ta cn b (t) hi t ti nhanh hn tc ca (x) Bõy gi ta s ch lm th no tỡm b xi Vi mi t (0, +), cho Ft := {x Rm \ X : (x) = t} v M (t) := max xFt 0 (x) , , (x) x1 xm1 Vỡ mi Ft l compact, vỡ l thc s nờn M (t) xỏc nh tt iu kin (x) = vi x R \ X suy M (t) > vi mi t > v rừ rng bng 16 (x) vi mi x Rm \ X v i m xi t vi mi Gi s bõy gi ta cn tỡm mt vi ng cu b cho b (t) M (t) t > Khi ú, ta cú vi i m, cỏch xõy dng M (0 (x)) 0 (x) (b )(x) = (b )(x) (x) (x) (x), xi xi M (0 (x)) xi tin n x X Nờn := b thuc lp C trờn Rm , v gradient ca nú trờn X bng D thy nú chớnh quy trờn Rm \ X v tin dn n x X nờn := tha b vi r = Nu t/M (t) liờn tc, ta cú th ly b(t) l nguyờn hm ca t/M (t) vi b(0) = u tiờn ch M (t) l na liờn tc trờn, tc l vi mi s R, {t (0, +) : M (t) < s} l m kt thỳc, ta c nh t0 R v s R cho M (t0 ) < s Ta ó chng (x) < s minh vi t gn t0 , M (t) < s Ti mi im x Ft0 , ta cú xi vi mi i m nờn theo tớnh liờn tc, tn ti mt lõn cn Ux ca (y) < s vi mi y Ux v i m x Rm \ X cho xi Tp U := Ux l mt lõn cn ca Ft0 Rm \ X Rừ rng Ft0 = xFt0 >0 F[t0 ,t0 +] , ú F[t0 ,t0 +] := {y Rm \X : (y) [t0 , t0 +]} Cng vỡ l thc s nờn mi F[t0 ,t0 +] l compact, tn ti > cho F[t0 ,t0 +] U Nhng ú vi t [t0 , t0 + ] ta cú M (t0 ) < s nh yờu cu Bõy gi ta cú th tỡm b Vỡ M (t) l na liờn tc trờn nờn M (t)/t cng vy, dn n t/M (t) l na liờn tc di Theo [5, nh lớ 4, tr.222] suy tn ti mt ỏnh x liờn tc < c(t) < t/M (t) Ly b(t) l nguyờn hm ca c(t) vi b(0) = 0, v ta ó xong Khng nh ny cú th phự hp lp tc a bc lp cỏch xõy dng k+1 t k Ta li t k+1 := b k vi mt vi ng phụi 17 phự hp C k+1 l b : [0, +) [0, +), nhng bõy gi cú cỏc iu kin c thay i trờn t l vi b(l) (t) t vi mi l k + Tht vy, vi mi a ch s tha || = k + ta cú k+1 k = b k +P x x k (l) ,b x trờn Rm \X , ú P l a thc o hm riờng ca k vi bc k v o hm ca b cú bc l k + Nờn ta cn chn b vi iu kin k (l) b (0) = vi mi l k + v b k (x) (x) vi || = k + v x x X Vi vic chn b u tiờn ta d dng thc hin c cũn sau ú, ta c li chng minh t vic bt u t M (t) := max xFt ,||=k+1 k (x) x Kt hp cỏc kt qu ny li, ta thu c mt c trng ca nhng m cú th l hỳt ton cc ca h phng trỡnh vi phõn khụng gian hu hn chiu 2.3 Tp hỳt hu hn chiu chớnh l hỳt ca h hu hn chiu Trong mc ny, ta s chng minh nu A l hỳt hu hn chiu khụng gian Hilbert H , thỡ tn ti mt phộp nhỳng tuyn tớnh L : H Rm+1 (vi mi m) cho L A l mt Rm+1 ; t ú suy L A cú th c to thnh t hỳt ca h phng trỡnh vi phõn hu hn chiu Mnh 2.3.1 Cho A l hỳt ton cc H v L : H Rm l mt phộp nhỳng tuyn tớnh Khi ú, ỏnh x L : H Rm+1 c xỏc nh 18 bi L u = (Lu, 0) l mt phộp nhỳng tuyn tớnh m nh L A l Rm+1 , vi m Chng minh Theo nh lớ 3.6 [8], A cú hỡnh dng ging nh H õy l tiờu chun kt lun H cú kiu ng phụi im vỡ ỏnh x H ì [0, 1] (u, t) (1 t) ã u H a mt ng luõn gia ỏnh x ng nht id : H H v ỏnh x hng : H H Do ú, H cú hỡnh dng im v A cng vy Vỡ hỡnh dng l bt bin qua ng cu nờn LA cng cú dng im Vỡ th, theo [4], LA ì {0} l Rm+1 vi m Nhng LA ì {0} li chớnh l L A 2.4 Phộp nhỳng ng lc trờn A vo khụng gian Euclid Bõy gi ta xột bi toỏn nhỳng A vo Rm cho (2.4) cú th mụ phng li ng lc trờn A Do ú, ta yờu cu v phi f (x) ca phng trỡnh (2.4) cú tớnh cht mt quan h gn vi G trờn nh LA ca A: im ct yu nú cn l LGL1 m bo tớnh nht nghim ca phng trỡnh (2.4), mt vi tớnh chớnh quy c cho l cn thit cho LGL1 , mt tiờu chun ú l liờn tc Lipschitz, nhng iu kin ny cú th yu hn thnh liờn tc 1-log-Lipschitz Vỡ G ó c gi thit l liờn tc -log-Lipschitz, nờn ch cú L v L1 cn phi xem xột cn thn Rt nhiu cỏc kt qu gn õy v phộp nhỳng a ỏnh x tuyn tớnh L : H Rm l mt phộp nhỳng cho ỏnh x l Lipschitz, nờn chớnh õy l tớnh chớnh quy ca L1 Gi s hin ti L1 cng yờu cu Lipschitz hn ch trờn LA, cho L l song Lipschitz Khi ú, s tn ti hng s C > cho u v |L(u) L(v)| C u v C vi u, v A, 19 ú |.| kớ hiu cho chun no ú Rm S chiu Assouad dimA l bt bin di ỏnh x song Lipschitz v hu hn vi ca khụng gian Euclid Do ú, nu A c nhỳng vo Rm theo cỏch song Lipschitz, ta s cú dimA (A) < nh lớ sau õy ó ch ra, nu dimA (A A) < , thỡ tn ti mt phộp nhỳng song Lipschitz logarithm t A vo khụng gian Euclid nh lớ 2.4.1 ([12, nh lớ 4.1, tr 3506]) Cho A l mt compact ca khụng gian Hilbert thc H cho dimA (A A) < s < m Nu > 2+m , 2(m s) (2.6) thỡ tn ti mt ph bin (prevalent set) cỏc ỏnh x tuyn tớnh L : H Rm l n ỏnh trờn A v -hu ht song Lipschitz, tc l tn ti L > 0, CL > cho uv |L(u) L(v)| CL u v , CL ( log u v ) vi mi u, v A m u v L Chỳ ý rng vi mi > 1/2, ta cú th chn m ln thu c mt phộp nhỳng -hu ht song Lipschitz lờn Rm Tip theo, ta s dng nh lớ 2.4.1 trờn xõy dng h phng trỡnh vi phõn vi nghim nht m mụ phng ng lc trờn A di gi thit ca nh lớ 2.1.1 Mnh 2.4.1 Di gi thit ca nh lớ 2.1.1 v cỏc ký hiu nh vy, vi mi m> 2{1 + s(1 )} , (2.7) 20 tn ti h phng trỡnh vi phõn Rm x = g(x), (2.8) v ỏnh x tuyn tớnh b chn L : H Rm cho: Hm s g : Rm Rm l b chn v Lipschitz ngoi tr hiu chnh logarithm, Phng trỡnh vi phõn (2.8) cú nghim nht, Hn ch L|A : A LA l mt phộp nhỳng m nh ca nú l bt bin vi h ng lc ca (2.8), Vi mi nghim u(t) ca phng trỡnh (2.2) trờn hỳt A tn ti nht nghim x(t) ca phng trỡnh (2.8) cho u(t) = L1 (x(t)) Chng minh T nh lớ 2.4.1 suy tn ti mt ỏnh x tuyn tớnh b chn L t H vo Rm m l n ỏnh trờn A v cú chiu ngc liờn tc Lipschitz trờn LA ngoi tr thnh phn hiu chnh logarithm vi s m logarithm Nu x(t) = Lu(t) vi u(t) A, thỡ trng vộct nhỳng trờn LA c cho bi x = g1 (x) := LGL1 (x) vi x LA Hm s g1 : LA Rm b chn v liờn tc vỡ LA compact nờn nú cng log-Lipschitz Tht vy, cho trc u, v H , nh ngha Lu = x v Lv = y T nh lớ 2.4.1 suy L1 x L1 y , |x y| CL ( log( L1 x L1 y )) 21 ú, ta tng CL nu cn thit CL > max |x y| Do vy, vỡ x,yLA |Lu Lv| CL u v , vi mi x, y LA, nờn L1 x L1 y CL ( log( L1 x L1 y )) |x y| CL CL log |x y| |x y| Vỡ ta gi thit G l liờn tc -log-Lipschitz, nờn suy M |g1 (x) g1 (y)| L op CG CL |x y| log |x y| + =: (|x y|) vi M = max(CL , R) Nờn g1 l liờn tc ( + )-log-Lipschitz Mụun ca tớnh liờn tc ca g1 l hm li liờn tc; ta cú th m rng nh lớ theo McShane (xem [11]) m rng hm g1 thnh hm g : Rm Rm m cú mụun liờn tc ging nhau, |g(x) g(y)| C(|x y|), (2.9) vi C > T (2.9) suy tn ti T > cho bi toỏn giỏ tr ban u dx = g(x), dt x(0) = x0 (2.10) cú ớt nht mt nghim trờn [0, T ] Vỡ mụun ca tớnh liờn tc (r) ca g l liờn tc vi r 0, li v tha dr = (r) s(+) ds = +, ln M ó a ( + ) 1, ta cú th s dng tiờu chun Osgood (xem [7]) chng minh (2.10) cú nhiu nht mt nghim trờn mi on [0, T ] Vỡ g liờn tc v b chn t Rm vo Rm , dn n mi nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u (2.10) tn ti trờn mi thi gian Do ú, nghim ca phng trỡnh (2.10) l x0 = Lu0 vi u0 A cú th c cho nht bi x(t) = Lu(t) 22 Cui cựng, quan sỏt yờu cu + cho ta iu kin (2.7) trờn vic s dng (2.6) 2.5 Chng minh nh lớ 2.1.1 Trong cỏc mc trc, ta ó nhỳng A vo khụng gian hu hn chiu Rm theo ỏnh x tuyn tớnh L : H Rm v ó ch rng tn ti phng trỡnh vi phõn (2.8) Rm cú nht nghim v mụ phng li ng lc ca A trờn LA Trong mc cui ny, ta s hp li cỏc kt qu t trc thu c h phng trỡnh vi phõn (2.4) m mụ phng li trờn LA ng lc ca A v cú hỳt ton cc X gn ging vi LA nh yờu cu Chng minh nh lớ 2.1.1 Chng minh S dng Mnh 2.3.1 thay th ỏnh x L thu c Mnh 2.4.1 bi L : H Rm+1 vi vic thờm mt tớnh cht na l nh ca nú l cho n gin ký hiu, ta thay L bi L v m + bi m S dng B 2.2.1 thu c C r ỏnh x : Rm [0, +) cho LA l hỳt ton cc i vi x = Vỡ l ỏnh x thc s nờn tn ti > cho P := {x Rm : (x) } B (LA) Cui cựng, cho : Rm [0, 1] l hm ct thuc lp C cho trờn LA v ngoi P Ly ỏnh x g thu c t Mnh 2.4.1 v nhõn vi to giỏ tr bờn ngoi P Ta nh ngha f := g ; rừ rng x = f (x) mụ phng ng lc ca A trờn LA Bõy gi, ta xột phng trỡnh (2.5) v (2.11) x = (x), x = f (x) (x) (2.11) Quan sỏt v phi ca (2.5) v (2.11) ng thi vi x / P Do ú, vỡ Rm \P 23 l bt bin õm vi (2.5), nờn nú cng l bt bin õm vi (2.11) v nú dn n P l bt bin dng vi (2.11) Tp P ã [t, +) l compact (tp úng ca P ) v gim t tng Vi tiờu chun X := P ã [t, +) t0 l bt bin v hỳt P , tc l, cho trc > 0, tn ti T > cho P ã [T , +] B (X ) (xem [10]) Theo cỏch xõy dng, X nm B (LA) (1) X l hỳt ton cc C nh b chn B Rm v cho C := sup (x) v c := inf xB xBP Nhn thy rng c > vỡ ch b trit tiờu trờn LA, ú P l mt lõn cn Do ú, tn ti T > ln cho C cT < c nh Bõy gi ta a khng nh x ã [T, +) P vi mi x B Vỡ P l bt bin dng nờn rừ rng ch cn chng minh x ã t P vi t [0, T ] Ta lp lun bng phn chng, nờn gi s x ã [0, T ] Rm \P Theo nh lớ giỏ tr trung bỡnh (x ã T ) = (x) + d (x ã s) ds s= T, vi [0, T ] Bõy gi d (x ã s) ds s= = (x ã ), x() = (x ã ) c, ú ta s dng khng nh x() = (x ã ) vỡ x / P theo gi thit v (x ã ) c bng cỏch ly tng t Vi phng trỡnh trờn v khng nh (x) C vỡ x P , ta cú (x ã T ) C cT < , 24 iu ny mõu thun vỡ x ã T P theo nh ngha P Dú ú, ta thy B ã [T, +) P Vỡ cho trc > tn ti T > cho P ã [T , +) B (X ), iu ny suy B ã [T + T , +) P ã [T , +) B (X ) Do ú, vi t T + T ta cú dist(B ã t, X ) < iu ny suy dist(B ã t, X ) t + (2) X cha LA Vỡ trit tiờu trờn LA v trờn ú, (2.11) thu gn thnh x = g(x) x LA Do ú, LA bt bin vi (2.11) v nú l h qu trc tip ca khng nh LA P v biu din ca X l LA X (núi cỏch khỏc, vỡ X l bt bin compact cc i Rm , nờn rừ rng LA X ) 25 Kt lun Lun ó trỡnh by cỏc kin thc c bn v hỳt ton cc, s tn ti hỳt ton cc, v s chiu Assouad Lun cng ó chng minh nu compact A H l hỳt ton cc tng ng vi phng trỡnh tin húa tiờu hao H cho trng vộct G l liờn tc -log-Lipschitz trờn A ( < 1/2) v dimA (A A) = d, thỡ tn ti mt phng trỡnh vi phõn Rk cú nghim nht v mụ phng li ng lc trờn A Hn na, h ng lc sinh bi phng trỡnh vi phõn mi ny cú hỳt ton cc X gn tựy ý vi LA, ú L l ỏnh x tuyn tớnh b chn t H vo Rk v l n ỏnh trờn A 26 Ti liu tham kho [A] Ti liu Ting Vit [1] Cung Th Anh (2012), C s lý thuyt h ng lc vụ hn chiu, Nh xut bn i hc S phm, H Ni [2] Cung Th Anh (2015), C s lý thuyt phng trỡnh vi phõn, Nh xut bn i hc S phm, H Ni [B] Ti liu Ting Anh [3] M Brown (1960), A proof of the generalized Schoenflies theorem, Bull Amer Math Soc., 66,74-76 [4] R.J Daverman (1986), Decomposition of manifolds, Academic Press Inc., London [5] C.H Dowker (1951), On countably paracompact spaces, Canad J Math., 3,219-224 [6] Gă unther (1995), Construction of differentiable flows with prescribed attractor, Topology Appl., 62,87-91 [7] P Hartman (1964), Ordinary Differential Equations, John Wiley and Sons [8] L Kapitanski and I Rodnianski (2000), Shape and Morse theory of attractors, Comm Pure Appl, Math., 53(2),218-242 27 [9] R.C Kirby and L.C Siebenmann (1977), Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings and Triangulations, Annals of Mathematical Studies, 88 Princeton Umiversity Press, Princeton, NJ [10] Ladyzhenskaya (1991), Attractors for Semigroups and Evolution Equations, Cambridge University Press, Cambridge [11] E.J McShane (1934), Extension of the range of functions, Bull Amer Math Soc., 40,837-842 [12] E Pinto de Moura, J.C Robinson and J.J Sỏnchez-Gabites (2011), Embedding of global attractors and their dynamics, Bull Amer Math Soc., 139,3497-3512 [13] R Temam (1997), Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Machanics and Physics, second edition, Applied Mathematical Sciences 68, Springer-Verlag, New York, xxii+648 pp [...]... những tập mà có thể là tập hút toàn cục của hệ phương trình vi phân trong không gian hữu hạn chiều 2.3 Tập hút hữu hạn chiều chính là tập hút của hệ hữu hạn chiều Trong mục này, ta sẽ chứng minh nếu A là tập hút hữu hạn chiều trong không gian Hilbert H , thì tồn tại một phép nhúng tuyến tính L : H → Rm+1 (với mọi m) sao cho L A là một tập con khối trong Rm+1 ; từ đó suy ra L A có thể được tạo thành từ tập. ..9 Chương 2 Phép nhúng tập hút toàn cục vào không gian hữu hạn chiều Chương này trình bày nội dung và cách chứng minh một định lí quan trọng về phép nhúng tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều vào một không gian hữu hạn chiều Chương này được viết dựa trên tài liệu [12] 2.1 Phát biểu kết quả chính Định lí 2.1.1 Cho H là không gian Hilbert và S(t) là nửa nhóm liên... khẳng định LA ⊆ P và biểu diễn của X là LA ⊆ X (nói cách khác, vì X là tập bất biến compact cực đại trong Rm , nên rõ ràng LA ⊆ X ) 25 Kết luận Luận văn đã trình bày các kiến thức cơ bản về tập hút toàn cục, sự tồn tại tập hút toàn cục, tập khối và số chiều Assouad Luận văn cũng đã chứng minh nếu tập compact A ⊂ H là tập hút toàn cục tương ứng với phương trình tiến hóa tiêu hao trong H sao cho trường... biến dưới ánh xạ song Lipschitz và hữu hạn với tập con của không gian Euclid Do đó, nếu A được nhúng vào Rm theo cách song Lipschitz, ta sẽ có dimA (A) < ∞ Định lí sau đây đã chỉ ra, nếu dimA (A − A) < ∞, thì tồn tại một phép nhúng song Lipschitz logarithm từ A vào không gian Euclid Định lí 2.4.1 ([12, Định lí 4.1, tr 3506]) Cho A là một tập con compact của không gian Hilbert thực H sao cho dimA (A... trước đó để chứng minh Định lí 2.1.1 2.2 Tập khối là tập hút toàn cục của hệ phương trình vi phân Ta sẽ chỉ ra nếu X là một tập con khối trong Rm thì tồn tại hệ phương trình vi phân (2.5) mà X là tập hút toàn cục Ở đây, ta chỉ xét các tập compact có hình dạng điểm và cũng đưa ra chứng minh đơn giản không bao gồm tính tôpô tuyến tính từng đoạn Bổ đề 2.2.1 Cho trước tập con khối X của Rm , với m ≥ 6, tồn... từ đó suy ra L A có thể được tạo thành từ tập hút của hệ phương trình vi phân hữu hạn chiều Mệnh đề 2.3.1 Cho A là tập hút toàn cục trong H và L : H → Rm là một phép nhúng tuyến tính Khi đó, ánh xạ L : H → Rm+1 được xác định 18 bởi L u = (Lu, 0) là một phép nhúng tuyến tính mà ảnh L A là khối trong Rm+1 , với m ≥ 3 Chứng minh Theo Định lí 3.6 trong [8], tập A có hình dạng giống như H Đây là tiêu chuẩn... được chia ra thành các bước như sau: 1 Nếu X ⊂ Rm là một tập khối thì tồn tại một hệ phương trình vi phân trong Rm mà X như là một tập hút toàn cục chứa toàn bộ các điểm bất động 2 Nếu tồn tại một phép nhúng tuyến tính L|A : A → Rm , thì L A là một tập con khối của Rm+1 , trong đó L = (L, 0) 11 3 Khi (2.1) thỏa mãn, với mọi γ > 1/2 tồn tại một phép nhúng tuyến tính với nghịch đảo γ -log-Lipschitz 4 Giả... nghiệm duy nhất, 2 Hạn chế L|A : A → LA là phép nhúng sao cho ảnh LA bất biến qua động lực của hệ (2.4), 3 Với mỗi nghiệm u(t) của (2.2) trên tập hút A tồn tại duy nhất nghiệm x(t) của (2.4) sao cho u(t) = L−1 (x(t)), 4 Phương trình vi phân (2.4) có tập hút toàn cục X chứa LA và nằm trong lân cận ε của LA, tức là distH (X , LA) ≤ ε Trong đó, distH (X, Y ) là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con khác rỗng... bị chặn từ Rm vào Rm , dẫn đến mọi nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (2.10) tồn tại trên mọi thời gian Do đó, nghiệm của phương trình (2.10) là x0 = Lu0 với u0 ∈ A có thể được cho duy nhất bởi x(t) = Lu(t) 22 Cuối cùng, quan sát yêu cầu α + γ ≤ 1 cho ta điều kiện (2.7) trên việc sử dụng (2.6) 2.5 Chứng minh Định lí 2.1.1 Trong các mục trước, ta đã nhúng A vào trong không gian hữu hạn chiều Rm theo... âm với (2.11) và nó dẫn đến P là bất biến dương với (2.11) Tập P · [t, +∞) là compact (tập con đóng của P ) và giảm khi t tăng Với tiêu chuẩn X := P · [t, +∞) t≥0 là bất biến và hút P , tức là, cho trước δ > 0, tồn tại Tδ > 0 sao cho P · [Tδ , +∞] ⊆ Bδ (X ) (xem [10]) Theo cách xây dựng, X nằm trong Bε (LA) (1) X là tập hút toàn cục Cố định tập bị chặn B ⊆ Rm và cho C := sup φ(x) và c := inf x∈B x∈B−P