Chinh phục bất phương trình

Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ Trong toán bất phương trình nói riêng dạng toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình nói chung, phương pháp ẩn phụ phương pháp quen thuộc hiệu Với phạm vi phổ thông, thường tìm hiểu toán liên quan đến dạng toán đặt ẩn phụ hoàn toàn, tức đặt ẩn phụ nhằm chuyển đổi hoàn toàn bất phương trình từ ẩn sang ẩn khác Điều giúp ta có bất phương trình “gọn gàng” hình thức, dễ dàng định hướng trình bày lời giải Tuy nhiên, trình nghiên cứu biên soạn sách này, tham khảo hệ thống đề thi thử kì thi trung học phổ thông quốc gia năm vừa qua, nhận thấy phương pháp ẩn phụ sử dụng rộng rãi với nhiều hình thức khác nhau, không dừng lại dạng toán đặt ẩn phụ hoàn toàn, mà xuất với nhiều dạng toán khác đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình hệ bất phương trình, đặt nhiều ẩn phụ, đặt ẩn phụ dạng lượng giác (phương pháp lượng giác hóa), đặt ẩn phụ dạng vector,… Trong phạm vi sách này, xin trình bày chi tiết dạng toán nêu phương pháp ẩn phụ để giải toán bất phương trình đề thi trung học phổ thông quốc gia Dạng Đặt ẩn phụ hoàn toàn Trong chương trình trung học phổ thông, hẳn bạn học sinh nhiều làm quen với dạng toán đặt ẩn phụ hoàn toàn Dạng toán dùng để xử lí toán mang hình thức cồng kềnh, khó nhìn khó định hướng giải Như trình bày phía trên, sau đặt ẩn phụ biến đổi sơ đặt ẩn phụ, bạn chuyển bất phương trình cho từ ẩn sang ẩn khác dễ dàng tìm lời giải hoàn thiện Để mở đầu dạng toán này, mời bạn đến với hai ví dụ sau đây: Ví dụ Giải bất phương trình x4  x2   Lời giải 1: (không sử dụng phương pháp ẩn phụ) Bất phương trình cho tương đương với  x 1 x Vì x   0, x   3  (*) nên từ (*) suy x  x 1   x     x  1 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S   ; 1  1;    Đặt t  x (với t  ), bất phương trình cho trở thành t  t  2t     t  1 t  3    t  3 Kết hợp điều kiện t  ta suy t  x  Do x     x   Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S   ; 1  1;   Ví dụ Giải bất phương trình  x2  x    x  2  Lời giải: Điều kiện x  2    x2  x    x  2 Ta có Lời giải 2: (sử dụng phương pháp ẩn phụ) x2 2  x2  x     x  2x    x  2  0, x  2 Do bất phương trình cho trở thành     x    x2  x    x   1  x   x  12  x    x Nhận xét x  2 không nghiệm bất phương trình.Khi x  2 , chia hai vế bất phương trình 1 cho x   , ta được: 2x  x  2  12    x2  x2  Đặt t  x , bất phương trình trở thành x2 “Đừng giới hạn thách thức Hãy thách thức giới hạn” Chinh Phục Bất Phương Trình  2t  12  6t 2  2t  t  1    2 4  8t  4t  12  6t 2  t    t 2 x 2 Với t  x2  x    x   (nhận)  x  x   Vậy tập nghiệm bất phương trình cho   S  22 Nhận xét:Sau hai ví dụ mở đầu, hẳn bạn phần nắm tư tưởng dạng toán Với toán đơn giản ví dụ 1, bạn giải trực tiếp sử dụng phương pháp ẩn phụ đạt kết tương tự đáp số toán, thời gian định hướng giải trình bày lời giải Tuy nhiên với toán khó hơn, phức tạp ví dụ 2, bạn không sử dụng phương pháp ẩn phụ, chắn bạn vướng phải khó khăn định định hướng giải trình bày lời giải, dẫn đến việc bạn nhiều thời gian, điều mà không mong đợi kì thi lớn Vì thế, nhiều trường hợp, gặp toán cồng kềnh khó định hướng giải, bạn nên biến đổi sơ bộ, tách ghép thêm bớt hạng tử cho nhìn nhận yếu tố giống ẩn chứa cồng kềnh Và cuối việc đặt ẩn phụ hoàn thiện lời giải thật nhanh chóng, xác Một lưu ý nhỏ cho dạng toán này, sai lầm thường gặp giải toán, điều kiện ẩn phụ Khi bạn gặp bất phương trình có dạng g  f  x    , trước hết bạn phải đặt điều kiện cho bất phương trình xác định, đặt ẩn phụ t  f  x  nhớ “đừng quên” điều kiện ẩn phụ t , sau giải bất phương trình g  t   , tìm t , ta suy f  x  , giải tìm x , cuối so điều kiện kết luận Với quy trình vậy, “tấn công” hàng loạt ví dụ sau đây: Ví dụ Giải bất phương trình 18 x  18 x x  17 x  x   Nhận xét: Your dreams – Our mission Nếu tinh ý ta dễ dàng nhận thấy bất phương trình cho có dạng bất phương trình bậc đầy đủ theo ẩn x Do đó, sau công đoạn quan trọng đặt điều kiện xác định cho bất phương trình, ta nghĩ đến bước đặt ẩn phụ y  x dễ dàng suy điều kiện ẩn phụ y  Đến ta có bất phương trình theo ẩn y sau: 18 y  18 y3  17 y  y   Rõ ràng bất phương trình bậc dạng đầy đủ hệ số lệch nên ta xử lí theo dạng bất phương trình đẳng cấp bậc Điều khiến ta nghĩ đến việc nhẩm nghiệm phương trình 18 y  18 y3  17 y  y   phân tích vế trái bất phương trình (ẩn y ) thành nhân tử, sau tiến hành giải bất phương trình tích theo công thức bảng xét dấu quen thuộc Tuy nhiên với toán này, việc phân tích thành nhân tử đòi hỏi trình thêm bớt, tách ghép hạng tử phức tạp Đây định hướng quan trọng giải toán lien quan đến phương trình bất phương trình bậc cao, bạn học sinh cần luyện tập kĩ thuật nhiều hơn! Lời giải: Điều kiện x  Đặt y  x (với y  ), bất phương trình cho trở thành 18 y  18 y  17 y  y       y2  y  y2  y 1  Vì y  y   0, y  nên   10 y  3y2  y       10 y   So điều kiện y  nhận thấy suy y   10 Do x  14  10 (nhận) NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TRẦN DUY QUÂN – VŨ THỊ NGỌC HUYỀN  10  ta Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission Vậy tập nghiệm bất phương trình cho  14  10  S   ;     Ví dụ Giải bất phương trình x  x2  x  Nhận xét: Đây toán đơn giản, cần biến đổi sơ bộ, đặt ẩn phụ xử lí bất phương trình thu để đến kết luận Lời giải: Bất phương trình cho tương đương với 2x 1 1   x  12  Đặt t  x  (với t   ), bất phương trình cho trở thành t  t 1  t2 1   t0 2  t  1  t  1 Do x    x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho 1  S   ;   2  Ví dụ Giải bất phương trình x  3x    x  x2  Lời giải: Ta có     x  x  1 x vấp phải sai lầm không nhỏ ảnh hưởng đến kết toán Nếu phương trình, điều kiện y  không ảnh hưởng đến kết toán Tuy nhiên, với toán bất phương trình điều kiện ảnh hưởng nhiều! Để tìm điều kiện ẩn phụ, ta tìm miền giá trị biểu thức Với biểu thức có dạng x2  x  phân thức đồng bậc, chẳng hạn Ta x  x 1 có phương pháp tìm miền giá trị sau đây: Dùng phương pháp khảo sát hàm số: x2  x  Xét hàm số f  x   , x x  x 1 x2  Ta tính f '  x    x2  x  1 x 1 Khi f '  x    x     x  1 Ta có f 1  ; f  1  lim f  x   lim f  x   x   y  3 Dùng phương pháp miền giá trị: x2  x  Đặt k  Khi x  x 1 Do k  x  x  1  x  x  x4  x2   x2   x2 Mặt khác    x   0, x     x  3x   x  x   x  x   x  k  1  x  k  1   k  1  Nhận thấy phương trình bậc hai ẩn x Ta tính biệt thức  x theo công thức  x   k  1   k  1 Bất phương trình cho tương đương với      2 x  x  x2  x   x2  x  x2  x    1  x2  x  x  x 1 (vì x2  x   , với x ) Nhận xét: Đến ta dễ dàng nhận thấy ẩn phụ x2  x  , không ý x2  x  đến việc tìm điều kiện ẩn phụ, mà đặt điều kiện đơn giản cho ẩn phụ y  , y  k  2k   4k  8k  x2  x   x2  x   x  Vậy f  x   max f  x    3k  10k  Phương trình có nghiệm  x   3k  10k    k 3 3 x2  x   y    , hay 3 x  x 1 Dùng biến đổi tương đương bất đẳng thức cổ điển để đánh giá: x2  x  Khi ta dự đoán   dấu đẳng x  x 1 thức xảy x  , x  1 , ta dễ dàng chứng minh phép biến đổi tương đương dùng bất đẳng thức AM - GM để đánh giá Do “Đừng giới hạn thách thức Hãy thách thức giới hạn” Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission Trong trình giải toán, bạn đọc nên luyện tập ba phương pháp nêu chọn phương pháp tối ưu để sử dụng phòng thi Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S  1 Với định hướng tự nhiên này, ta bỏ qua x2  x  x2  x  trình phức tạp không thời gian Điều giúp ta tiết kiệm nhiều thời gian trình giải toán phòng thi trình đặt điều kiện cho ẩn phụ y  Trở lại toán: x2  x  (với x2  x  phương trình cho trở thành  y  ), bất y Đặt y 1  y2   y2  y     So điều kiện Do  3  y 3  y  ta suy y  3 x2  x  x2  x  1    x2  x  x  x 1    x  x   x  x     x  1   x  Tóm lại, bạn cần luyện tập tất phương pháp mà anh trình bày cách nhuần nhuyễn, sau chọn cho phương pháp thích hợp hiệu để sử dụng kì thi quan trọng tới! Ví dụ Giải bất phương trình    x  x2 x 1   x Nhận xét: Điểm quan trọng cần ý toán hai biểu thức bậc ( x   x ) có hệ số x hai số đối ( 1 ), điều giúp ta rút gọn hạng tử chứa x Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S  1 Nhận xét: bình phương đại lượng x    x Mặt khác bình phương đại lượng Ngoài cách giải trên, ta xử lí toán theo định hướng sau: Bất phương trình cho tương đương với x    x giúp ta tạo biểu thức  x  x  1   x  x  1   x  1  x  ab  b2     3    a  b   a     b         3 b0 b Do từ bất phương trình ta suy  3 ba b 3 hay  a  b (vì a  x  x   ) suy x  x 1  x  x 1  x  x    x  x  1  x  x   đại Lời giải: x 1    1  x  Điều kiện 3  x    x 1   x  Đặt t  x    x , suy t    x  x2 t2     x  x2 Bất phương trình cho trở thành  t2   t 2    t  2t     t   t  2t     x  1    x  1   x   Vì t  2t   với t nên suy t   x 1 Hay 2 lượng Đến sau đặt ẩn phụ t  x    x ta dễ dàng xử lí phần lại toán đưa kết luận 2a  Vì b  x  x   nên  2x  x vế phải bất phương trình cho x  x  x2  x   Đặt a  x2  x  1, b  x2  x  (với a, b  ), ta x 1   x  NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TRẦN DUY QUÂN – VŨ THỊ NGỌC HUYỀN Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission   x 1  x    x  1   x 1  x    x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S  1;3 Nhận xét:Với toán bất phương trình, ta tiếp cận, xử lí đơn phương pháp (như phương pháp tương đương, phương pháp ẩn phụ, phương pháp lien hợp, phương pháp hàm số, phương pháp đánh giá,…) với nhiều lời giải khác Tuy nhiên, với số toán hay khó, mức độ phức tạp nâng lên với phương pháp đơn ta giải trọn vẹn mà cần phối hợp khéo léo nhiều phương pháp với để có định hướng ngắn gọn, xác hiệu Sau xin giới thiệu bạn đọc toán bất phương trình giải phối hợp linh hoạt nhiều phương pháp mà trọng tâm phương pháp ẩn phụ Ví dụ Giải bất phương trình  2x  x2   2x  x2 đọc cần ý đến hai đánh giá quen thuộc sau để giải trọn vẹn toán: - Với a   b ta có a  b   ab ; - Với  c  ta có c  c Phần chứng minh hai bổ đề quen thuộc đơn giản (chỉ cần sử dụng phương pháp tương đương) xin dành lại cho bạn đọc Lời giải: 2 x  x   Điều kiện 1  x  x    x   1  x  x  Đặt y  x  x    x  1 , suy 0  y   2  x  1   y Ta  y   y  1  y  1  y  Mặt khác 1 y  1 y  1 1 y2   y2 Từ suy 1  y  1  y    y 2   x  1  x  x  1 Đặt z  y , ta  z  Nhận xét: lượng thường liên quan đến biểu thức  x  1 , tức dễ dàng thêm bớt, tách ghép để đưa biểu thức  x  1 Từ t   x  1 1  z  1  z    z Với toán này, nhìn thấy vẻ toán cồng kềnh phức tạp, vế trái chứa hai lớp thức, mà vế phải có dạng bậc cao, ý đại ta định hướng đặt ẩn phụ Tuy nhiên, sau đặt t   x  1 , bất phương trình cho trở thành   t    t  2t  2t  1 Thoạt nhìn, ta thấy bất phương trình thu dễ nhìn đôi chút, vấn đề hai lớp bậc cao chưa giải Do ta linh hoạt thay đổi cách đặt ẩn phụ cho khử lớp thức Tức ta đặt y  2x  x sau tiến hành xử lí bất phương trình thu Mặt khác để giải toán bất phương trình này, phương pháp đặt ẩn phụ, cần kết hợp khéo léo với phương pháp đánh giá Thật vậy, bạn  z  z  10 z     z  (vì 4z 10z   ) Do z  suy y  x  hay x  x    x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S  0;2 Nhận xét: Phương pháp tương đương phương pháp quan trọng Không sử dụng cách độc lập để giải toán bất phương trình mà hết hiệu kết hợp với phương pháp khác Phương pháp tương đương trình bày chi tiết phần khác sách này, phần anh không nhắc lại toàn phương pháp mà gợi nhớ vài công thức quan trọng thôi!  g  x  f  x  g  x     f  x  g  x “Đừng giới hạn thách thức Hãy thách thức giới hạn” Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission  g  x  f  x  g  x     f  x  g  x  f  x   f  x  g  x  g  x    f  x    g  x    f  x   f  x  g  x  g  x    f  x    g  x     g  x     f  x   f  x  g  x     g  x      f  x    g  x   Để xử lí vấn đề đó, ta đặt ẩn phụ sau x2 , t   x  1 x   , bất x 1 phương trình cho chuyển dạng bất phương trình bậc quen thuộc theo ẩn t Sau giải tìm giá trị t , ta hoàn toàn xử lí nốt phần lại toán công thức quen thuộc theo phương pháp tương đương t   x  1 Lời giải: x2 0 x    Điều kiện  x   x  2  x  x2 , suy t   x  1 x   x 1 Bất phương trình cho trở thành Đặt t   x  1 t  t    1  t   hay   g  x     f  x   f  x  g  x     g  x      f  x    g  x   1   x  1  Xét 1   x  1 f  x  g  x  h  x x   x      1  13 1  13  x 2  x   1  13 x    1  13    x 1   x  Ví dụ Giải bất phương trình x2 20 x 1 Nhận xét: Với toán này, lỗi sai thường gặp chủ quan điều kiện xác định bất phương trình Do bạn học sinh thường hay biến đổi tương đương bất phương trình cho thành dạng  Xét  x  1  x  1 x  2 để giải bất phương trình Điều ảnh hưởng lớn đến kết toán, điều xảy x  , điều kiện xác định bất phương trình cho x  x  2 , ta vô tình làm trường hợp x  2 x2  tương đương với x 1 x  x      x    x    x  1 x     3  x   x  x    1  x  x   x  1 x  2   x  1 x  2   sau đặt ẩn phụ t  x2 tương đương với x 1 x     x   1   x  1 x     f  x    g  x    h x        h  x f x  g x         x  1 x     x  1  x2 1   x  1 x2 x 1  2  x 1  x 1 x     x 1 Do 1  13  x  x  NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TRẦN DUY QUÂN – VŨ THỊ NGỌC HUYỀN Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission x  Kết hợp điều kiện  ta suy  x  2 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho  1  13  x  2   1  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho  1  13  S ; 2   1; 2   Ví dụ Giải bất phương trình 10 x2  3x   1  x  x  Lời giải: Bất phương trình cho tương đương với  3   S   ;1   Nhận xét: Ngoài cách giải trên, ta xử lí toán theo định hướng sau (phương pháp gọi số hạng vắng – phần dạng đặt nhiều ẩn phụ, tìm hiểu chi tiết dạng sau phương pháp ẩn phụ Đặt a  x2   0, b  x  Ta cần tìm hệ số m, n, p cho m  x  3  n  36 x  12 x  1  p  10 x  3x  Đồng hệ số ta hệ phương trình  m  m  36n  10    12 n    n  3m  n  p      p   x  x x   x   3x  x      3x  x     3x   x2    Đặt t  3x  x  , bất phương trình cho trở thành t  t    2  t  hay   3x  x        x    3x    2  x    3x   x   3x      3x    x   3x    x     3x         x    3x  12      x      3    x      3   3     x  x       x    x     x         x       3   x 1 Suy x  3  36 x  12 x  1   10 x  3x   4 Bất phương trình cho tương đương với  x2  3  14  36 x2  12 x  1  94  1  x  x  Bất phương trình cho trở thành a  b   ab 4 2 b   a  ab  b    a    4 2  b  a  2 hay  6x   x   3x   x2     2 2   x   3x  Đến ta thực phép biến đổi tương đương hoàn toàn tương tự lời giải Vậy tập nghiệm bất phương trình cho   3   S   ;1   Ví dụ 10 Giải bất phương trình  x  1 2   x x2  Lời giải:   Đặt t  x x  , suy t  x  x , bất phương trình cho trở thành “Đừng giới hạn thách thức Hãy thách thức giới hạn” Chinh Phục Bất Phương Trình t2    t  t  2t    4  t  2 4  x x   hay 4  x x2      x 2x    Xét 4  x x  tương đương với x  x       x    x   16  x  x  4  x    Your dreams – Our mission x     x   2 x  x   x      x   1   x  1   x  x      x     x     x    x      x     1   x  1  x   0  x  1   x  x  1   Xét x x   tương đương với Do   x  1  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S   2;  1   NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TRẦN DUY QUÂN – VŨ THỊ NGỌC HUYỀN