chuyên đề phương trình và bất phương trình

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu PHƯƠNG TRÌNH Phương trình thức Dạng Phương pháp nâng lũy thừa Kiến thức bản:  Phương trình  Phương trình   g  x   f  x  g  x    f x  g  x        f  x       f  x  g  x    g  x     f x  g  x      Ví dụ Giải phương trình x  x   x   Phương trình cho tương đương với:  x      x  pt  x   x     2 x    x  4 2 x   x  x  16      x  x        x7    x  3 x       10 21 x x      Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện: x  Ví dụ Giải phương trình x2  x    x  x   Lời giải Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với:    x  1  2  x 2  x   pt      2  x  2          x x x x x      Vậy phương trình cho có nghiệm x  1; 2 Ví dụ Giải phương trình x   x   5x   2 x  Lời giải Điều kiện: x  trình cho ta được:  x   Nhận xét x   x  x  x  x , chuyến vế, bình phương phương Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu pt  x   2 x   x   x   9x    x  78 x  12  x   5x  64 x  1    x    x  8 x  12   5x  64 x  1      13 x  2  x     13 Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm kể Ví dụ Giải phương trình Suy x  2; x  x3   x   x2  x   x  x3 Lời giải Điều kiện: x  1 x   Chú ý đẳng thức x    x  1 x  x  1 , nên phương trình cho viết lại thành:  x  1 x2  x  1 x3  x   x2  x   x     x2  x   x    1  x  x   x  x3    x1 x3   x2  x   x   x2  x   x   x2  x   x      x   ptvn  1  x  Vậy phương trình cho vô nghiệm Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn không hoàn toàn Kiến thức bản:  Đặt ẩn phụ hoàn toàn, đặt t  A x đưa phương trình ẩn t  Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt t  A x phương trình sau biến đổi chứa hai ẩn t , x xét đenta phương  Phương trình tổng quát dạng: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu a A x  b B x  c A x B x  dC  x  D A, Đặt ẩn phụ hoàn toàn Ví dụ Giải phương trình x   x   x   x  2 x  x   16 Lời giải Điều kiện: x  1 Đặt t  x   x   suy t  3x   2 x  x  Khi phương trình cho trở thành:  t  t5 t  t   16  t  t  20      t  5t  4     x   x    3x   2 x  x   25    21  x  1    2 x  5x   21  x    x3  2  21 x x x            Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình Do x   x   49 x  x  42  181  14 x x   Lời giải Điều kiện: x  1 Đặt t  x   x   suy t  14 x   49 x  x  42 Khi phương trình cho trở thành:  t  t  t   181  t  t  182     t  13   t  13t  14    x   x   13  14 x   49 x  x  42  169    12  x     49 x  x  42  84  x    x6  2  49 x  x  42  84  x    Vậy phương trình cho có nghiệm x  B, Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Do Phương trình tổng quát dạng a1 x  b1  a2 x  b2 x  c2  a3 x  b3 x  c3 Ví dụ Giải phương trình  x  1 x  x   x  x   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Lời giải Điều kiện: x   f  x đưa phương trình bậc hai ẩn t  Bước Đặt t   Bước Tính  theo x biểu diễn   ax  b  t  g  x Đặt t  x  x   x   x   x   t  x  , phương trình cho trở thành: x  1t  t  x   t  x  1t  x   2 Có    x  1  2 x  2  x  x    x  3 nên ta được:   x 1 x3 t   x   x2  x   x        x  1 x    2  x  2x   t    x2  x    x   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   Ví dụ Giải phương trình x  x   x  3 x  x     x   Lời giải Điều kiện: x  x   Đặt t  x  x    x  x   t  x  t  x  Khi phương trình cho trở thành: t  x   x   x  3t    t   x  3t  x   Ta có    x  3  3 x  x  x    x  3  nên ta được:  3 x  x   x  1 t  3     x  x 1        41  3 xx3   x  x  x   x  x  t       41   Vậy phương trình cho có ba nghiệm x  1;        Ví dụ Giải phương trình    x    x  3x  x2    x   Lời giải Điều kiện: x   Phương trình cho tương đương với: x  x   8 x  3 x   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Đặt t  x    t  x   3t  3x  x  Khi phương trình cho trở thành: 3t  8 x  3t  x  x   Ta có   8 x  3  12  x  x   100 x  60 x   10 x  3  nên 2   x  10 x  x t   3 2x2   x     x0     x  10 x       x x 1   3x  t   Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình 4 x  1 x   x  x  x   Lời giải Điều kiện: x  1 Đặt t  x    x   t  x  t  Khi phương trình cho trở thành: t  1   x  1t  x    2t   x  1 t  x    Ta có   4 x  1  2 x  1  16 x  24 x   4 x  3  nên  4x   4x  t   x   x   x   x          3 4x   4x      x 1 x     t       3  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   2;         Dạng Phương trình đưa tổng đại lượng không âm An  Bn Dấu hiệu: Hệ số trước thường số chẵn Đưa tổng đại lượng không âm Dùng biến đổi tách ghép đẳng thức để phương trình cho xuất số   A0   2  không âm A  B  D C    B      C  n n Biến đổi dạng A  B Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu   A n  Bn  A  B  n  2k  Đưa phương trình dạng      n, k   n n    A  B  A  B   A  B Hoặc dạng   n  2k  n, k    A  B   Bài tập ví dụ x   Ví dụ Giải phương trình x x   2 x   x  x  Phương trình cho tương đương với: pt  x  x x   x   2 x   Lời giải Điều kiện: x    2 x      x2  x x   x   x   x    x3    2x    2 x  x    2 x  x        x1        1 1 x x       Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình x  10  x2  14 x  11  x   Lời giải Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với: pt  x  10  x  10   x  20 x  25  x  10   x  2  x  10    x  5    x  10   x      x  10  x  x    3  13      x  x  10  x    ptvn 6 x  10  x          Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài tập vận dụng Vận dụng Giải phương trình 3  13  x  12  x   x x    x Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc   x   http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Lời giải Điều kiện: 4 x  x  Phương trình cho tương đương với: 5     x   x x   13  x   x  x     x  5x       x  x    x   x      5x   x     x 1     Vậy phương trình cho có nghiệm x      x   Vận dụng Giải phương trình x  3x   x   Lời giải Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với: pt  x  x   3x   x  x    3x   3x   x    3x  2   x  1   x     x   3x   x   3x    x   37      x  3 x     x  x   x     37 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Vận dụng Giải phương trình   x  x2   x  1 x   x  x    x   Lời giải Điều kiện: x  2 Chú ý x  3x  x    x  1 Và  x  1 x   x   x    x   1 x   x   3x    x2   3x  2  x  1 3  pt   x  1   x   Khi ta   x  1  x 1 x  1  x   x x2   x2    x  x  Vậy phương trình có nghiệm x  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Dạng Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng hai ẩn Ví dụ Giải phương trình x2  x  2 x   x   Đặt y  x   , y  x    x  12  y  x  x  y    Và phương trình cho trở thành     y   x  1    y  x     a  y   Với a  x  hệ phương trình    a  y  y  2a  y a     a  y   a  y a  y  a  y   a  ya  y  2    a  y      x   2x    x      x2  x  12  x   x   x      Lời giải Điều kiện: x  Vậy phương trình cho có nghiệm x   Bài toán tổng quát Giải phương trình ax  b  c dx  e   x    e  bc    d  ac    x   với     a  2; b  1; c   1  Chọn  ta x    x  1   2    0;    ; d  1; e  1     a2 c  c Hoặc phương trình ax  b  x  cx  d  x    với b  ad  1    2 a ac Xét hàm số y  x  cx  d có đạo hàm y '  x  c   x   a a ac Khi phép đặt ax  b  y  , ta đưa phương trình dạng hệ phương trình đối xứng quen thuộc Ví dụ Giải phương trình x  x  29 12 x  61  36 x   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu 29  f ' x  x    x   6 Lời giải Điều kiện: 12 x  61  Làm nháp f  x  x  x  12 x  61 1 12 x  61  y2  y   y  suy 36 36 36  12 x  61  36 y  12 y   y  y  x  Đặt 29  y   3x  x  y  6   3 x  x  y   x  y  x  y  y  x Do phương trình cho    3 y  y  x  x  y   3 x  y x  y   x  y    x  y x  y  2     y   3x   Mà theo cách đặt ta có x  x   Với x  y ta x   x  y  y   3x  1  14 3x  ta x  x   5 x 3 1  14     Vậy phương trình cho có nghiệm x   ;     3     Dạng Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng hai ẩn phương pháp đồng hệ số  Với y   Ví dụ Giải phương trình x  x   x  5 Lời giải Điều kiện: x  Đặt 2 x   x   y  1; y   Khi x   2 y  1  y  y   x   y  y   x Nên phương trình cho trở thành     4 x  x   y   4 x  x   y     4y  4y   2x   4 y  y   x   2 Lấy pt 1  pt 2 ta x  y  x  y  y  x Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc 1  2 http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu x  y    x  y x  y   x  y    x  y4 x  y  6     y   2x     y   1  17  Với x  y ta   xy     2 y  y   2x   Với y   ta x    x   x   37    x  x     x      37 1  17     Vậy phương trình cho có ba nghiệm x   ;     4     Phương pháp tổng quát Đặt x   Ay  B  với mục đích đưa hệ phương trình đối   f  x , y  xứng hai ẩn dạng    g x, y       Ta có 2 x   Ay  B  x    Ay  B  A y  ABy  B2  x  Và x  x   Ay  B , ta hệ phương trình: 4 x  x   Ay  B 4 x  x   B  Ay       2  2   A y  ABy  B2   x A y ABy B x         Để đưa hệ phương trình đối xứng hai ẩn, tức hai giá trị x , y có vai trò Nên x  y vào hệ phương trình ta có được:    A2   4  AB 4 x  x   B  Ax A          2   2  A x  ABx  B   x  3  B  B   B       A    Do ta có phép đặt x   y  1; y   lời giải Bài tập vận dụng Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Suy bpt tương đương x  x  3    x  Vậy S  0;3  x2  x   x3  x2  x  x2  CÂU 11 ĐK x  2 BPT tương đương   x    x  x    x3  x   x  với  x   x2  x     x  x3  x  x     x2  x      x2  x   x  x2   x2  x     Xét A    x2  x    x  A  x  x   3x   x  x   x 1    3x  Ta CM A>0 hay x2  x   x   0; x  2 Xét f  x   x2  x   x  6; x  2 Có f '  x   x   f '  x     x  1 x     x  2  x  1 2 Có f  2   5; f    30   f  x  3x  1 f     A  2 x   x  2 Khi BPT  x2  x     Kếthợpđiềukiện suy S  2  1;   Bài 12 : Giải bất phương trình sau x3  5x  2x   3x  x   x  Lời giải Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 126 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Điều kiện: x  , 3x  3x   2 3  3 Do x   x  x        nên bất phương trình cho tương đương 2  2 2 x  5x    3x  4x  4   2x      2x 2x   2x    x    3x  x     2x     x  x  x   x  x   x   x  x 2 x    x  3 x   x  x  3  x  2 x   Đặt a  x  bất phương trình trở cho trở thành x  x a  2a  xa  x  2a    x  2a   x  xa  a    x  2a     x  2a   x  xa  a  1  3   x  x  x    x  2a  x  2 x       x2  x   x  3  x  x  12  2   3  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   ;    6;   2  Bài 13 : Giải bất phương trình sau 2x  39  12  x  x  x3 2 x 17   x  x Lời giải Điều kiện:  x  x   3  x  Bất phương trình cho tương đương  x3 2 x  x3 2 x 39  12  x  x    x3 2 x 17   x  x  x3 2x x    x   17   x  x  39  12  x  x  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc     http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 127 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Đặt t   x  x   t    t    x  x   x  x  t  bất phương trình trở thành   t   x3 2x   39   t   17  t          t  3t     x    x  t  6t  12t    x    x  t  3  t  3t  3  Do   nên  x    x  t  3   bất  phương x3  2 x 3 Trường  trình tương đương  x3 2 x  hợp 1:    x    x  x    x x   x       x 1  5   x  x   x    x    x  x2  6  x  x    Trường hợp 2:    x    x  x    x x   x       x  2     2 5   x  x   x    x   6xx  6  x  x    Kết hợp với điều kiện, bất phương trình cho có tâp nghiệm S   3; 2   1; 2  Bài 14: Giải bất phương trình sau x   x  5  x   x  x     x  3 Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 128 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu     x  12   x    x   x  x     x  3 x   x     5   x 1 x  2 x    x   x      x  3    x  3 x   x  x     x  3   x  3 x   3x   2  2x   x    Trường hợp 1:  x  3   x  Trường hợp 2: x   x    Đặt t  x   t    t  x   x  t  bất phương trình cho trở thành  t     7t    2t   7t   125  2t     7t  3  343t  191t  189t  723    t  1  343t  534t  723   t  x  x   x 2 1   2 x3 x   x  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   2;3  Bài 15 : Giải bất phương trình sau x  x   x    x  1 x    x Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương x  Do  3 x   x    x  1 x    x  1 x     x    x  3   x  1 x  x 1 1  x x 1 1   x 1 1     x    x    x  1 x     nên bất phương trình cho tương đương Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 129 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu x    x  1 x     x  1   x  1  x   x2  x    x 1  x       x 1  x 1 2  x  x 1   x    x     x  x 1  x    5 x  x  2   5   x  5x   x2   5   5   ; 2   ;       Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   Bài 16: Giải bất phương trình sau x  x  15   x  x   x  Lời giải Điều kiện: x  Do x2  5x   x   4x2  9x  4x2  5x   x  x  15 x  x  x    x     nên bất phương trình cho tương đương  x  1 x  1 x  3  x  14 x   4 x2  x  x     x  x    4 x  x  x    x  1  Đặt a  x  x  2, b  x   a, b   bất phương trình cho trở thành a  4ab  5b    a  b  a  5b    a  b  x  x   x   x  10 x     13 x     13 x   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 130 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu   13  ;     Kết hợp với điều kiện, bất phương trình cho có tập nghiệm S   Bài 17: Giải bất phương trình sau x  x2 1  x  1 x x Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương 2x     2  2     x   x     x   1   x   x    x     x    1 x   x  1   x x x  x x x     Do x x    nên bất phương trình tương đương x 1  x 1   x x 2   x   x     x  1  x  x    x  x x Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   ;1 Bài : Giải bất phương trình sau x  x  x   x   x  Lời giải Điều kiện: x   Bất phương trinh cho tương đương Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 131 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu x  x  x   x  1  3x    x    x     x2  x   x  2  x2  x x2  x   Do x   3x  x   x  1     x  x   3x    0 x   3x  x   x    3x   x   3x   x   5x   0, x   nên ta có x  x    x  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   0;1 Bài 18 : Giải bất phương trình sau x  x   x   x 11x  Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương x  x   x  x  x 11x   x  x    x2  5x  x  5x  x x2  5x  x   11x    x2  x  2     17  17 x   x2  5x  2    1   x  x    x 2  x  x  x   11x     17  17  ;    Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  S   Bài 19 : Giải bất phương trình sau x2  x   x   x2  5x  2 x    x  10  0 Lời giải Điều kiện: x  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 132 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu   Do x   x  10   x  x  11 x    x  10   nên bất phương trình cho tương đương x  x   x   x  x    x  x   49 x  14 x  x  x    x  x   x  18 x   14 Đặt a  x  x   x      x  x   14 x  x   x     x  3  x  x , b  x   a, b   bất phương trình cho tương đương 5a  14ab  3b2    a  3b  5a  b    a  3b  x  3x  x   x  3x   x    x  12 x  18     x   Kết hợp với điều kiện, vật bất phương trình cho có tập nghiệm S  3;6    Bài 20: Giải bất phương trình sau  x  1  x  2 x  x3 1 x 1 x  1 Lời giải Điều kiện:  x   x x  2  x  Do  x  nên x    x   x  bất phương trình cho tương đương  x  1 x3   x   x   x  1 x   Đặt a  a  b  x , b   x  a, b   ta có  bất phương trình cho trở thành 2a  b   x a   x  1 x  1 x   b  2a  b    a  b  b     a  b  2a  b2   b    a  b   2a  b     b   2  1  2ab   a  3  b  4b   1  2ab   a  3  4b   b   2a    2b  a3  3a    Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 133 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Mà a  a  3a   nên  2a    2b  a  3a    nên dấu "  " xảy a   x 1  b  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1 Bài 22 : Giải bất phương trình sau  3x  x  x  2 3x  x  x   1 x x Lời giải x     Điều kiện: 3 x  x  x    x   ; 2    ;   \ 0;1   2 x  x    Bất phương trình cho tương đương  3x  x  x  3x  x  x  Trường hợp 1: 1  1 1 x 3x  x  x     0 x 3x  x  x  x x 3x  x  x    x  x   3x   x  x   x  x  x    x   Trường hợp 2: x  x  x   bất phương trình trở thành  3x  x2  5x  x  x2  5x  2  0  x    x  x  5x  2    x      2 Kết hợp với điều kiện, bất phương trình cho có tập nghiệm S   ;     ;     0;1 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc  http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 134 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Bài 23 : Giải bất phương trình sau x2  x  x  1   x 1 Lời giải Điều kiện: x  Khi  x  x  1    x  1  1  Trường hợp 1: x  bất phương trình cho tương đương x  x     Ta có x  x   x  x    x  x  1 2  x   x  1    x  x  1   Dấu "  " xảy x   x  x  x    x  1 Trường hợp 2: x  bất phương trình cho tương đương x  x    x  x  1 (luôn đúng) 1      Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   ;1   Bài 24 : Giải bất phương trình sau  3x   x  3x   x  x Lời giải Điều kiện: x   1;3 \ 0 Trường hợp 1: x   0;3 Ta có  3x   x  4x  3x   x  nên bất phương trình cho tương đương Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 135 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu   3x   x  4x    2x  x   3x   x   16    3x   x    x    x   x     x   x  x     x     x  2 Trường hợp 2: x   1;0  Ta có  3x   x   3x   x    x   3x  x   2x  4x  3x   x   nên bất phương trình cho tương đương  3x   x    x     3x    x   3x   x    3x   x   16    3x   x     x    x   2  16  (đúng) Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   1;0   2 Bài 26: Giải bất phương trình sau  x x   x2  x x   x  x3 1 Lời giải Điều kiện:  x  Ta có x x   x  x3  x x   x  x x   x  0, x   0;1 nên bất phương trình cho tương đương Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 136 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu   x x   x  x x   x  x  x  x   x 1  x   x  x3   x 1  x   x 1  x   x   x  x 1  x      x2  x     x2  x  x2  x    1  x    1  l  x    1      Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   Bài 27 : Giải bất phương trình sau  x  12 x   x  x  x   x  10 x  Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương  x  12 x   x  x    x3    x  12 x     x  x  3x  12 x   x  x  x3    x  12 x   x  x  x  12 x   x  x   x   3x  12 x   x  x  x3   x  x  x  12 x   x3  x  x   x  x3  x  10 x    1 x  x   x  12 x  x  x   x  x  x   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 137 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu   x3  x  x    x  3x       x3  x  x  x  x   x  x   x  x  x    x3  x  x  x  3x   x3  x  x  x  3x   x3  x    x  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   2;   Bài 29: Giải bất phương trình sau  x  1   x  3 x   x  x  1 Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương  x  1 x    x  3 x   3x  3x   x  1  x   1   x  3  x   1  3x  x    x  1 x    x  3 x    x 1 x       x   x  1   x    x  1      x 1 1 2x     x 1 1 Ta x    có x 1 x 1 1  x3 2x    x   x   x   3x  1, x   x  3   x 1  3x     0 2x     x 1 1 Khi bất phương trình trở thành x    x  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   2;   Bài29 : Giải bất phương trình sau x  x  10 x  x   x3  x   x   x  Lời giải Điều kiện: x  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 138 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu Bất phương trình cho tương đương x  1 x  x  8  x  x  1   x   x   x  x   x  x   x  x   x  x  Do x  không thỏa mãn bất phương trình nên bất phương trình tương đương    4     2 x    1  x     2 x   2  x   1 x x x x     Đặt t  x x bất phương trình trở thành t  1 t  1 2t   t      t 1  2  t  1  2t    t  1  x x 1 x  x 2     x 1  x 2 0  x  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  4 Bài 30: Giải bất phương trình sau x4  x2  x  x  1  x2  x  x2    x x2  Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương Đặt a  x2  x  ,b  x2  x2  x  x2  x   x x2  x2  x  x2  x   1 x x2  x2  x   a, b   bất phương trình trở thành x ab  a   b   b  1 a  b  1   b   x2  x     x  1  (đúng) x Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   0;   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 139 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tất học sinh thân yêu   Bài 31: Giải bất phương trình sau 2 x    x   x  x  Lời giải Điều kiện: 1  x    x  ab Đặt a   x , b   x   2 3 x   2a  b bất phương trình cho trở thành  2a  b   ab  2a  b2   2a  b    2a  b  a  b    2a  b  a  b    Do a  b   2a  b   a  b     x   x    x   x  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  0 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc http://qstudy vn/ CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 140