giáo án dạy thêm toán lớp 7

PHN A S Số HữU Tỉ- CáC PHéP TOáN Về Số HữU Tỉ I Các kiến thức bản: Định nghĩa: Số hữu tỉ số viết dới dạng Tập hợp số hữu tỉ đợc ký hiệu Q Các phép toán Q a) Cộng, trừ số hữu tỉ: a b Nếu x = ; y = (a, b, mZ , m 0) m m Thì x + y = a với a, b Z; b b a b a b a+b a b ; x y = x + ( y ) = + ( ) = + = m m m m m m b) Nhân, chia số hữu tỉ: a c a c a.c * Nếu x = ; y = thỡ x y = = b d b d b.d a c a d a.d * Nếu x = ; y = ( y 0) thỡ x : y = x = = b d y b c b.c Thơng x : y gọi tỉ số hai số x y, kí hiệu x ( hay x : y ) y Chú ý: Phép cộng phép nhân Q có tính chất nh phép cộng phép nhân Z II Bài tập Bài 1: So sánh số hữu tỉ: 1 ;y = 1 Giải: a) x = = = 2 a) x = b) x = mà < > b) x = 3 = 2 nên y=0= c) x = ; y = 0,125 ;y=0 y= = 1 hay Vậy x < y < < 6 3 < 2 125 c) x = y = 0,125 = = 1000 mà < > nên hay nên Bài 2: So sánh số hữu tỉ sau? 20 2008 20 2008 20 2008 35 35 37 35 37 35 37 a Bài 3: Cho số hữu tỉ x = Với giá trị a thì: c) a,x số hữu tỉ dơng b, x số hữu tỉ âm c, x không số dơng không số hữu tỉ âm Giải:a) Để x số hữu tỉ dơng thì: (a 3) dấu Vì > nên a > hay a +3 > + Vậy a > b) Để x số hữu tỉ âm thì: (a 3) khác dấu, > nên a < hay a +3 < + Vậy a < c) Để x không số dơng không số hữu tỉ âm thì: x = > nên a = hay a = Vậy a = Bài 4: Tính a) + ĐS: a, b) + c) 13 d) 30 21 28 e) 21 11 23 ; b, ; c, ; d, ; e, 15 30 84 Bài 5: Tính ĐS: a, a) 17 34 b) 15.2 4 c) : 3 ; b,-35 ; c, ; d, d) : (3) Bài 6: Tìm x, biết: a) x 15 = b) 27 :x= 17 17 c) 13 87 ; b, ; c, ; d, 140 21 Bài tập : Tìm x biết: a ) x = 2004 2003 b/ x = 2004 x= 2003 2004 16023 5341 x= = 4014012 1338004 Bài tập : Tìm x Q biết x+ = 10 d) 3 x= ĐS: a, 2004 10011 3337 x= = 18036 6012 x= 11 + x = x = 12 20 Bài 9: Tính giá trị biểu thức: a) 1 + + 64 36 b ) + + + 13 c) + 3 d) : 11 18 11 15 17 17 1 1 143 Bài 10 Tính:) ữ ữ: ; 144 17 22 b) + ữ. + ữ: 12 c) ữ : ữ; 11 11 d) + ữ: + ữ : (0,2 0,1) (34,06 33,81) ì A = 26 : + + : 2,5 ì (0,8 + 1,2) 6,84 : (28,57 25,15) 21 Bài làm 0,25 ì : 0,1 A = 26 : + + 2,5 ì 6,84 : 3,42 Bài 11 Tính: Bài 10 Tính: 13 7 30 = 26 : + + = 26 : + = 26 ì + = 2 13 2 2 4 0,8 : ì 1,25 1,08 : 25 + E= + (1,2 ì 0,5) : 1 0,64 ì 25 17 = 0,8: + 0,64 0,04 (1,08 0,08) : Bài 12: Tính giá trị biểu thức sau 7 + 0,6 : = 0,8 + + = + + = 21 119 36 0,6 4 ì 36 17 a/ A = 5x + 8xy + 5y vụựi x+y b/ B = 2xy + 7xyz -2xz với x= Ngày dạy: 1ì ; xy = 5 ; y-z= ; y.z = -1 GIá TRị TUYệT ĐốI CủA MộT Số HữU Tỉ I -Các kiến thức bản: -Định nghĩa giá trị tuyệt đối 2- Với x Q x nờu x x = x nờu x < II Bài tập Bài 1: a) ; b) ; c) 0,345 ; d) Giải: 7 = 4 a) = (2) = b) c) 0,345 = 0,345 d) 1 =3 2 Bài 2: Tìm x, biết a) x = 3,5 b) x = c) x =3 d) x + 3 =2 Giải: a) x = 3,5 => x = 3,5 x = 3,5 b) x = => x=0 c) x =3 => x = => x = d) x + x = x = 1 =2 x+3 = 2 11 x+ = 11 x= x= 4 11 x + = 11 x = 25 x = x + = Bài 3: Tìm x để biểu thức: a, A = 0,6 + x đạt giá trị nhỏ b, B = 2 2x + đạt giá trị lớn 3 Giải: a,Ta có: x > với x Q Vậy: A = 0,6 + b, Ta có 2x + 1 x = x = 2 1 x > 0, với x Q Vậy A đạt giá trị nhỏ 0,6 x = 2 2 với x Q 2x + = 2x + = x = 3 3 Vậy B đạt giá trị lớn x = 3 Bài 4: Tìm x biết a) x + 2, = 11,9 => x = 9, + 5-x = 9,7 => x = 5-9,7= -4,7 + 5-x = -9,7 => x = + 9,7 = 14,7 b), x 1,5 + 2,5 x = Ta có: x 1,5 2,5 x Suy ra: x 1,5 + 2,5 x = x 1,5 = 2,5 x = => x=1,5 x=2,5 (vô lí) Vậy giá trị x thoả mãn Tìm x, biết: a, x = 4,5 x = 4,5 x +1 = x = b, x + = x + = x = c, + x 3,1 = 1,1 + x = 3,1 + 1,1 = 4,2 x = + x = 4, x = + x = 4, Bài 5: Tìm x, biết: x + 79 20 89 20 3,75 = 2,15 15 x+ 4 3, 75 = 2,15 ; x + 3, 75 = 2,15 15 15 x+ = 2,15 + 3, 75; 15 x+ = 1, 15 x + = 1, x + = 1, x = x = 28 15 Bài 6: Rút gọn biểu thức với:3,5 < x x 3,5 = x 3,5 4,1 x = 4,1 x x < 4,1 4,1 x > Vậy: A = x 3,5 (4,1 x) = x 3,5 4,1 + x = 2x 7,6 Bài tập nhà Tìm x biết : =2 ; b) =2 1- a) x - = ; b) 6- 1 ;e) - x = ;c) x + - = ;d) 2- x =2 5 2 0,2 + x - 2,3 = 1,1 ;f) - + x + 4,5 =- 6,2 2- a) = ; b) =- ; c) -1 + =- ; d) ( x-1)( x + ) =0 e) 4- x - 1 =5 Ngày dạy: LUỹ THừA CủA MộT Số HữU Tỉ I Kiến thức bản: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên Luỹ thừa bậc n số hữu tỉ, kí hiệu x n, tích n thừa số x (n số tự nhiên lớn x4.x2.x 43x ( x Q, n N, n > 1) 1): xn = n Quy ớc: x1 = x; x0 = 1; (x 0) a Khi viết số hữu tỉ x dới dạng ( a, b Z , b ) , ta có: b n an a ữ = n b b 2.Tích thơng hai luỹ thừa số: (x 0, m n ) a) Khi nhân hai luỹ thừa số, ta giữ nguyên số cộng hai số mũ b) Khi chia hai luỹ thừa số khác 0, ta giữ nguyên số lấy số mũ luỹ thừa bị chia trừ số mũ luỹ thừa chia Luỹ thừa luỹ thừa ( x m ) n = x m.n Luỹ thừa tích - luỹ thừa thơng x m x n = x m +n x m : x n = x m n ( x y ) ( x : y) n = xn.y n n = x n : y n (y 0); x , y Q; x = Nhân hai lũy thừa số a b a n a ) =( )m+n b b xm xn = ( )m ( Chia hai lũy thừa số a b xm : xn = ( ) m : ( a n a ) =( )m-n (m#n) b b Lũy thừa tích (x y)m = xm ym Lũy thừa thơng (x : y)m = xm : ym Lũy thừa lũy thừa (xm)n = xm.n Lũy thừa với số mũ âm x n xn = * Quy ớc: a1 = a; a0 = II -Bài tập Bài : Tính a) ( ) ; b) ữ ; c) ữ ; d) ( 0, 25 ) Giải : b) ữ = 25 a) ( ) = 3 125 c) ữ = ữ = d) ( 0, 25 ) = 0, 625 Bài 2: Tính a) ( ) ( ) ; b) ữ 5 Giải : a) ( ) ( ) = ( ) 6 b) ữ : ữ = 5 c) 32 42 = (3.4) ( : ữ ;c) 32 ; d) 153 : 53 ữ = 122 = 144 ) d) 153 : 53 = 15 : = 33 = 27 Bài 3: So sánh số sau a, 224 316 ; b, 4100 v# 2200 ; a c y= b d Giải: a, 224 = (23)8 = 88; 316 = (32)8 = 98 Vì 88 < 98 suy 224 < 316 b, Ta có : 4100 = (22)100 = 22.100 = 2200 4100 = 2200 Bài 4: Tìm số tự nhiên n biết: a, 2.16 2n >4; b, 9.27 3n 243 Giải: a, Ta có 2.16 = 25 ; 4= 22 => 25 2n > 22 => n >2 Vậy: n {3; 4; 5} b, Tơngtự phần a, ta có: 35 3n 35 => n 5Vậy: n=5 Bài 5: Thực phép tính a, , ữ + 25 ữ : ữ : ữ 25 64 25 48 503 = + 25 = + = 16 16 125 27 15 60 b, 23 + ữ + ( ) : 2 = + + 64 = 74 212.310 + 29.39.23.3.5 c, 94 12+ 120 = 11 12 12 11 11 10 (1 + 5) 2.6 = 11 11 = = (6 1) 3.5 12 Bài 6: Tìm x, biết 7 a, x ữ = => x = =>x = 6 b, (x + 2) = 36 (x + 2) = 62 x + = 2 x + = (x + 2) = (6) x = x = c, (2x-1)3 = -8 => (2x-1)3 = (-2)3 => 2x = -2 => 2x = -1 => x =-1/2 d, 5(x 2)(x + 3) = 5(x 2)(x + 3) = 50 (x 2)(x + 3) = x = x = x + = x = Bài tập 7: Tìm số tự nhiên n, biết: a, 32 = 32 = 2n.4 25 = 2n.22 2n 25 = n + = n + n = b, 625 = 5n = 625:5 = 125 = 53 n n=3 c, 27n:3n = 32 9n = n = Bài tập 8: Tìm x, biết: a, x: ữ = x = ữ 3 b, ữ x = ữ x = x = 0,5 x = -3 c, x2 0,25 = d, x3 + 27 = x e, ữ = 64 x=6 Bài tập 9: So sánh: a, 227 318 Ta có: 227 = (23)9 = 89 318 = (32)9 = 99 Vì 89 < 99 227 < 318 b, (32)9 (18)13 Ta có: 329 = (25)9 = 245 245< 252 < (24)13 = 1613 < 1813 Ngày dạy: tỉ lệ thức - tính chất dãy tỉ số I Kiến thức bản: Định nghĩa: a c = (a : b = c : d) tỉ lệ thức b d Tính chất tỉ lệ thức: a c = ad = bc b d * Tính chất 1: * Tính chất 2: a.d = b.c a c d c d b d b = ; = ; = ; = b d b a c a c a Tính chất dãy tỉ số nhau: a c a c ac = = = b d b d bd II -Bài tập Bài tập 1: Các tỉ số sau có lạp thành tỉ lệ thức không? sao? 1 : 21: 1 b) : 2,7: 4,7 2 1 c) : : 9 d) : : 11 11 a) Bài tập 2: Lập tất tỉ lệ thức có đợc từ đẳng thức sau: a) 15 = 3.10 b) 4,5 (- 10) = - 5 c) = Bài tập 3: Tìm x, biết: a) 2: 15 = x: 24 b) 1, 56: 2, 88 = 2, 6: x c) : 0, = x :1 d) (5x):20 = 1:2 e) 2, 5: (-3, 1) = (-4x): 2,5 Bài 4: Tìm x, y biết: a) x:2 = y:5 x + y = 21; b) x:2 = y:7 x+y = 18 Bài tập 5: Tìm x, y, z biết: a) x y = x + y = 32 b) 5x = 7y x - y = 18 x y = xy = 27 x y y z d) = = x - y + z = 32 x y z e ) = = 2x + 3y -z = 50 c) a) Giải x y b) Từ 5x = 7y = Theo tính chất dãy tỉ số ta có: c) Giả sử: x y = =k x = - 3k; y = 5k Vậy: (-3k).5k = k2 = 27 81 k = x = ; y = x y x y x y (1) = = = 3 12 y z y z y z = = = (2) 5 12 20 x y z Từ (1) (2) ta suy ra: = = 12 20 d) Từ HS tự tính tiếp Bài 6: Tìm số a, b, c biết a) a b b c = ; = a-b+c = -49 Bài 7: Tìm x, y, z biết rằng: b) a b c v# a2- b2 + 2c2 = 108 = = 10 HD: Gọi G giao điểm CK&AB.; H giao điểm BK&CD Xét KGB & AGC => K + B1 = A + C1 (1) Xét KHC & DHB => K + C = D + B (2) Từ (1) &(2) => K = A + D => K = A + D Phơng án 2: Vẽ trung điểm đoạn thẳng, vẽ tia phân giác góc Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( H BC) DH = 4cm Chứng minh tam giác ABC cân A 1) Phân tích toán: Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC( H BC) DH = 4cm Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân A 2) Hớng suy nghĩ:ABC cân A AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K trung điểm AB Vậy yếu tố phụ cần vẽ trung điểm BC 3) Chứng minh: A ABC; AB = 10cm; GT BC = 12 cm; DA = DB = AB ; KL DH BC, DH = cm ABC cân A D B C H Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC = cm AB = cm ( D trung điểm AB) ã Xét HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2 Lại có: BD = BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = BH = ( cm) Ta có BH + HK = BK ( Vì H nằm B K ) A HK = BK BH = 63 = (cm) D Xét ABK có BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = cm) DH // AK ( đờng nối trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ 3) B H Ta có: DH BC, DH // AK AK BC ãAKB = ãAKC = 900 85 K C Xét ABK ACK có:BK = KC ( theo cách lấy điểm K) ; ãAKB = ãAKC = 900 ; AK cạnh chungDo ABK = ACK (c - g - c) AB = AC ABC cân A ( đpcm) 4) Nhận xét: Trong cách giải toán ta chứng minh AB = AC cách tạo hai tam giác chứa hai cạnh AB AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh sử dụng thêm toán phụ là: Trong tam giác , đờng thẳng qua trung điểm hai cạnh song song với cạnh thứ ba, kiến thức đờng trung bình học sinh đợc nghiên cứu chơng trình Toán nhng phạm vi kiến thức lớp chứng minh đợc, việc chứng minh dành cho học sinh giỏi, có sử dụng kết toán mà không chứng minh lại muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ Bài toán 5: Cho tam giác ABC có = C B ; chứng minh rằng: AB = AC? (Giải cách vận dụng trờng hợp (g.cg ) hai tam giác) 1) Phân tích toán: Bài cho: tam giác ABC có = C ; Yêu cầu: chứng minh B AB = AC ã 2) Hớng suy nghĩ: Đờng phụ cần vẽ thêm tia phân giác AI BAC ( I BC) A 3) Chứng minh: =C GT ABC; B KL AB = AC ã Vẽ tia phân giác AI BAC ( I BC) 1ã BAC A1 =ảA2 = (1) B I2 C áp dụng định lí tổng ba góc tam giác vào hai tam giác ABI ACI ta có: ( + Ià =1800 Ià =1800 ảA + B * ảA1 + B 1 ( ) + Ià =1800 Ià =1800 ảA + C * ảA2 + C 2 Mặt khác = C B ) ( gt); A1 =ảA2 ( theo (1) ) Xét ABI ACI ta có: à I1 =I =I I (2) ( theo (2)); Cạnh AI chung; A1 = ảA2 ( theo (1)) ABI = ACI ( g c.g) AB = AC 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC cách kẻ thêm AI tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác 86 Bài toán 6: Tam giác ABC có BC = 2AB, M trung điểm BC, D trung điểm A BM Chứng minh AD = AC F Hớng dẫn giải:Cách 1: + Gọi F trung điểm AC Nối FM FC = + C/m ADB = CFM ( c.g.c ) (2) + Từ (1) (2) AD = FC = AC B (1) D M C AC (đpcm) Nhận xét: Nhờ vẽ thêm trung điểm F AC mà ta tạo nên tam giác dựa vào tính chất đờng trung bình tam giác để chứng minh ADB = CFM, từ dẫn đến AD = AC thông qua đoạn thẳng trung gian FC Giờ ta đặt vấn đề, không vẽ thêm trung điểm AC mà vẽ thêm trung điểm AB sao? A Cách 2: Hớng dẫn giải: + Lấy F trung điểm AB Nối FM FM = F AC (1) + C/m ADB = MFB ( c.g.c ) AD = FM + Từ (1) (2) AD = AC (đpcm) B D M C Phơng án 3: Trên tia cho trớc, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc Ta trở lại toán dùng cách tia đặt K đoạn thẳng đoạn thẳng cho Cách 3: + Vẽ AK cho A trung điểm MK Nối KB, BK = 2AD (1) A + C/m đợc KAB = AMC ( c.g.c ) BK = AC (2) Từ (1) (2) 2AD = AC AD = AC (đpcm) K Cách 4: + Vẽ AK cho A trung điểm MK Nối KB, BK = 2AD (1) + C/m đợc KAB = AMC ( c.g.c ) BK = AC (2) B D 87 C A + Từ (1) (2) 2AD = AC AD = AC (đpcm) Bài toán 7: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán tập 2) M B D M C 1) Phân tích toán:Bài cho Tam giác ABC vuông A, AM đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, yêu cầu chứng minh: AM = BC AM = BC 2) Hớng suy nghĩ: Ta cần tạo đoạn thẳng 2.AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Nh dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD 3) Chứng minh: A GT ABC; A =900 ; AM trung tuyến KL AM = BC B Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA A Xét MAC MDB ta có: C M MA = MD ( theo cách lấy điểm D) ả =M ả M ( hai góc đối đỉnh) B C M MB = MC ( Theo gt) MAC = MDB ( c - g - c) AB = CD (2 cạnh tơng ứng)(1) ả (2 góc tơng ứng) A1 =D D ả AB // CD ( có cặp góc so le nhau) A1 =D Lại có: AC AB ( gt) AC CD (Quan hệ tính song song vuông góc) ã = ãACD =900 (2) ãACD = 900 BAC ã Xét ABC CDA có:AB = CD ( Theo (1)),; BAC = ãACD =900 ( Theo (2)); AC cạnh chung ABC = CDA ( c - g - c) 2 BC = AD ( cạnh tơng ứng ) Mà AM = AD nên AM = BC 4) Nhận xét: Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM = BC ta vẽ thêm đoạn thẳng MD tia AM cho MD = MA, AM = AD Nh phải chứng minh AD = BC đa toán cho trở toán chứng minh hai đoạn 88 thẳng Trên tia cho trớc, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đờng phụ để vận dụng trờng hợp tam giác Bài toán 8: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC ã ã So sánh BAM ? ( Bài 7/ 24 SBT toán tập ) & MAC 1) Phân tích toán: Cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm BC ã ã Yêu cầu : So sánh BAM ? & MAC 2) Hớng suy nghĩ: Hai góc BAM MAC không thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải đợc toán 3) Chứng minh: A ABC; AB < AC GT M trung điểm BC ã ã So sánh BAM ? KL & MAC A C Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA B M Xét MAB MDC ta có: MA = MD ( theo cách lấy điểm D) ả =M ả ( đối đỉnh) M MB = MC ( Theo gt) MAB = MDC ( c - g - c) B M C (2 góc tơng ứng) (2) AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1) A1 =D Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) CD < AC.(3) Xét ACD có: D CD < AC ( theo (3)) ảA DCA = MAC = 100 Vậy 1ã ã DCA = BAC = 750 Đờng cao AH có độ dài nửa BC Tính Bài toán 14 Cho tam giác ABC có C số đo góc B = 750 CAH ã Phân tích: AHC vuông H có C =150 Mà 750 - 150 = 600 góc tam giác Từ hớng dẫn HS vẽ thêm tam giác Có cách vẽ nh sau: ã ã - Cách 1: Vẽ tam giác AEC nằm ABC, tạo ra: ECB = CAH = 150 Kẻ EK BC (có thể hớng dẫn giải thích cho HS lại kẻ nh vậy) Khi vuông EKC = vuông CHA (cạnh huyền, góc nhọn) vì: EC = AC ã ã ECB = CAH ( = 150 ) KC = AH, mà AH = 1 BC KC = BC 2 Vậy K trung điểm BC, lại có KE BC tam giác EBC cân E ã ã ã = 1800 - 2.150= 1500 EBC = ECB = 150 Do : BEC ã Từ có BEA = 3600 - (600 + 1500) = 1500 BEC = BEA (c.g.c) vì: ã ã BEC = BEA = 1500 ; BE chung ; EC = EA ã ãABE = CBE = 150 ã ãABC = ãABE + CBE = 150 + 150 = 300 (Hoặc từ BEC = BEA AB = BC ABC cân B có góc đáy 75 ãABC = 300 ) - Cách 2: Vẽ tam giác BEC (E, A nằm ã ã phía BC) tạo ACE Từ A = 150 = CAH kẻ AK EC ( K EC ) vuông AKC = vuông CHA (c huyền, g nhọn) vì: Cạnh huyền AC chung ãACK = CAH ã = 150 93 Mà K EC nên K trung điểm EC Vậy EAC có AK đờng cao đồng thời đờng trung tuyến nên cân A AE = AC Xét AEB ACB có: BE = BC (cạnh BCE); AB chung AE = AC; Do AEB = ACB (c.c.c) =B ả = EBC ã B = 600 = 300 2 Vậy ãABC = 300 ( Và suy K giao điểm AB EC) Một số tập áp dụng Bài 15:Cho tam giác ABC cân tai A, A =1000.Trên cạnh AB kéo dài phía B lấy điểm E cho AE = BC Tính số đo góc AEC Trên nửa mặt phẳng có bờ đờng thẳng có bờ làđờng thẳng AE chứa điểm C, dựng tam giác AEF Vì tam giác ABC cân A, A =1000 , nên AB C = 400, kẻ tia AF nằm hai tia AE, AC cho CAF = 400 đặt đoạn AF = BC AEF cân A mà góc EAF = 60 AEF cân A AEF góc AEF = 600 Mặt khác ABC = CFA (c.g.c) AC = FC AEC= FEC (c.c.c) AEC = FEC = AEF = = 300 Bài 16: Cho tam giác ABC cân A, A = 200 Trên AB lấy điểm D cho AD = BC Tính BDC Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa diểm C dựng ABI Vì ABC cân A, A =200 ACI =700( ACI cân A BCI = 1500 Ta lại có ADC = BCI (c.g.c) ADC = BCI = 1500 BDC = 300 Bài 17: Cho tam giác ABC cân A, A = 800 miền tam giác lấy diểm I cho IBC = 100; ICB = 300 Tính AIB Trên nửa mặt phẳng có bờ đờng thẳng BC, chứa điểm A dựng tam giác BCE Vì ABC cân A A = 800 nên ABC = ACB = 500 ABE = ACE = 100 A thuộc miền BCE Ta dễ dàng chứng minh đợc AEB = ICB(g.c.g) BA = BI ABI cân B, có ABI = 400, AIB = 700 Chuyờn :Chng minh im thng hng: Dnh cho hc sinh lp 7: Phng phỏp 1: ( Hỡnh 1) ã Nu ãABD + DBC = 1800 thỡ ba im A; B; C thng hng 94 Phng phỏp 2: ( Hỡnh 2) Nu AB // a v AC // a thỡ ba im A; B; C thng hng a (C s ca phng phỏp ny l: tiờn Clit- tit 8- hỡnh 7) Phng phỏp 3: ( Hỡnh 3) Nu AB a ; AC a thỡ ba im A; B; C thng hng B A (hỡnh 2) ( C s ca phng phỏp ny l: Cú mt v ch mt ng thng A a i qua im O v vuụng gúc vi ng thng a cho trc B - tit hỡnh hc 7) Hoc A; B; C cựng thuc mt ng trung trc ca mt C on thng (tit 3- hỡnh 7) a (hỡnh 3) x Phng phỏp 4: ( Hỡnh 4) Nu tia OA v tia OB l hai tia phõn giỏc ca gúc xOy B thỡ ba im O; A; B thng hng A O C s ca phng phỏp ny l: (hỡnh 4) y Mi gúc cú mt v ch mt tia phõn giỏc ã ã * Hoc : Hai tia OA v OB cựng nm trờn na mt phng b cha tia Ox , xOA = xOB thỡ ba im O, A, B thng hng Nu K l trung im BD, K l giao im ca BD v AC Nu K L trung im BD thỡ K K thỡ A, K, C thng hng (C s ca phng phỏp ny l: Mi on thng ch cú mt trung im) Cỏc vớ d minh cho tng phng phỏp: Phng phỏp Vớ d Cho tam giỏc ABC vuụng A, M l trung im AC K tia Cx vuụng gúc CA (tia Cx v im B hai na mt phng i b AC) Trờn tia Cx ly im D cho CD = AB.Chng minh ba im B, M, D thng hng ã ã Gi ý: Mun B, M, D thng hng cn chng minh BMC + CMD = 1800 ã ã Do ãAMB + BMC = 1800 nờn cn chng minh ãAMB = DMC BI GII: AMB v CMD cú: B AB = DC (gt) = ã ã BAM = DCM = 900 A / / M C MA = MC (M l trung im AC) hỡnh ã D Do ú: AMB = CMD (c.g.c) Suy ra: ãAMB = DMC ã ã ã M ãAMB + BMC = 1800 (k bự) nờn BMC + CMD = 1800 Vy ba im B; M; D thng hng Vớ d Cho ABC Trờn tia i ca AB ly im D m AD = AB, trờn tia itia AC ly im E m AE = AC Gi M; N ln lt l cỏc im trờn BC v EDsao cho CM = EN Chng minh ba im M; A; N thng hng ã ã Gi ý: Chng minh CAM + CAN = 1800 t ú suy ba im M; A; N thng hng N // E D BI GII =E ABC = ADE (c.g.c) C A = 95 B M hỡnh // C C ã ã ACM = AEN (c.g.c) MAC = NAE ã ã ã ã M EAN + CAN = 1800 (vỡ ba im E; A; C thng hng) nờn CAM + CAN = 1800 Vy ba im M; A; N thng hng (pcm) BI TP THC HNH CHO PHNG PHP Bi 1: Cho tam giỏc ABC Trờn tia i ca tia AB ly im D cho AD = AC, trờn tia i ca tia AC ly im E cho AE = AB Gi M, N ln lt l trung im ca BE v CD Chng minh ba im M, A, N thng hng Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng A cú ãABC = 600 V tia Cx BC (tia Cx v im A phớa cựng phớa b BC), trờn tia Cx ly im E cho CE = CA Trờn tia i ca tia BC ly im F cho BF = BA Chng minh ba im E, A, F thng hng Bi 3: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, im D thuc cnh AB Trờn tia i ca tia CA ly im E cho CE = BD K DH v EK vuụng gúc vi BC (H v K thuc ng thng BC)Gi M l trung im HK.Chng minh ba im D, M, E thng hng Bi 4: Gi O l trung im ca on thng AB Trờn hai na mt phng i b AB, k Hai tia Ax v By cho Bã Ax = ãABy Trờn Ax ly hai im C v E(E nm gia A v C),trờn By ly hai im D v F ( F nm gia B v D) cho AC = BD, AE = BF.Chng minh ba im C, O, D thng hng , ba im E, O, F thng hng Bi 5.Cho tam giỏc ABC Qua A v ng thng xy // BC T im M trờn cnh BC, v cỏcng thng song song AB v AC, cỏc ng thng ny ct xy theo th t ti D v E.Chng minh cỏc ng thng AM, BD, CE cựng i qua mt im PHNG PHP Vớ d 1: Cho tam giỏc ABC Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AC, AB Trờ Cỏc ng thng BM v CN ln lt ly cỏc im D v E cho M l trung im BD v N l trung im EC Chng minh ba im E, A, D thng hng Hng dn: S dng phng phỏp Ta chng minh AD // BC v AE // BC A E BI GII / = BMC v DMA cú: MC = MA (do M l trung im AC) N M ã ã (hai gúc i nh)MB = MD (do M l trung im BD) BMC = DMA = / ã Vy: BMC = DMA (c.g.c)Suy ra: ãACB = DAC , hai gúc ny v trớ B C Hỡnh so le nờn BC // AD (1) Chng minh tng t : BC // AE (2) im A ngoi BC cú mt v ch mt ng thng song song BC nờn t (1) v (2) v theo Tiờn -Clit suy ba im E, A, D thng hng Vớ d 2: Cho hai on thng AC v BD ct tai trung im O ca mi on Trờn tia AB ly ly im M cho B l trung im AM, trờn tia AD ly im N chD l trung im AN.Chỳng minh ba im M, C, N thng hng Hng dn: Chng minh: CM // BD v CN // BD t ú suy M, C, N thng hng A BI GII x = AOD v COD cú OA = OC (vỡ O l trung im AC) * X ãAOD = COB ã O (hai gúc i nh) B D / / OD = OB (vỡ O l trung im BD) = 96 * X M D C N ã ã Vy AOD = COB (c.g.c)Suy ra: DAO = OCB ã ã Do ú: AD // BC Nờn DAB ( v trớ ng v) hỡnh = CBM DAB v CBM cú : ã ã AD = BC ( AOD = COB), DAB , AB = BM ( B l trung im AM) = CBM ã Vy DAB = CBM (c.g.c) Suy ãABD = BMC Do ú BD // CM (1) Lp lun tng t ta c BD // CN (2) T (1) v (2) , theo tiờn -Clit suy ba im M, C, N thng hng BI TP THC HNH CHO PHNG PHP Baỡ Cho tam giỏc ABC V cung trũn tõm C bỏn kớnh AB v cung trũn tõm B bỏn kớnh AC ng trũn tõm A bỏn kớnh BC ct cỏc cung trũn tõm C v tõm B ln lt ti E v F ( E v F nm trờn cựng na mt phng b BC cha A) Chng minh ba im F, A, E thng hng PHNG PHP Vớ d: Cho tam giỏc ABC cú AB = AC Gi M l trung im BC a) Chng minh AM BC b) V hai n trũn tõm B v tõm C cú cựng bỏn kớnh cho chỳng ct ti A haiim P v Q Chng minh ba im A, P, Q thng hng Gi ý: X dng phng phỏp hoc u gii c - Chng minh AM , PM, QM cựng vuụng gúc BC = = - hoc AP, AQ l tia phõn giỏc ca gúc BAC BI GII P Cỏch S dng phng phỏp / / C B M a) Chng minh AM BC ABM v ACM cú: AB =AC (gt) AM chung Q MB = MC (M l trung im BC) Hỡnh Vy ABM = ACM (c.c.c) Suy ra: ãAMB = ãAMC (hai gúc tng ng) M ãAMB + ãAMC = 1800 (hai gúc k bự) nờn ãAMB = ãAMC = 900 Do ú: AM BC (pcm) b) Chng minh ba im A, P, Q thng hng Chng minh tng t ta c: BPM = CPM (c.c.c) ã ã ã ã ã ã Suy ra: PMB = PMC (hai gúc tng ng), m PMB = 900 + PMC = 1800 nờn PMB = PMC Do ú: PM BC Lp lun tng t QM BC T im M trờn BC cú AM BC,PM BC, QM BC nờn ba im A, P, Q thng hng (pcm) Cỏch S dng phng phỏp Chng minh : ã ã ã BPA = CPA BAP Vy AP l tia phõn giỏc ca BAC (1) = CAP ã ã ã = CAQ ABQ = ACQ BAQ Vy AQ l tia phõn giỏc ca BAC (2) T (1) v (2) suy ba im A; P; Q thng hng PHNG PHP Vớ d:Cho gúc xOy Trờn hai cnh Ox v Oy ly ln lt hai im B v C cho OB = OC V ng trũn tõm B v tõm C cú cựng bỏn kớnh cho chỳng ct ti hai im 97 A v D nm gúc xOy.Chng minh ba im O, A, D thng hng Hng dn: Chng minh OD v OA l tia phõn giỏc ca gúc xOy BI GII: BOD v COD cú: OB = OC (gt);OD chung x BD = CD (D l giao im ca hai ng trũn tõm B v tõm C cựng bỏn kớnh) B ã ã Vy BOD =COD (c.c.c) Suy : BOD = COD = = / im D nm gúc xOy nờn tia OD nm gia hai tia Ox v Oy A D O ã Do ú OD l tia phõn giỏc ca xOy / = = C ã Chng minh tng t ta c OA l tia phõn giỏc ca xOy y Gúc xOy ch cú mt tia phõn giỏc nờn hai tia OD v OA trựng Vy ba im O, D, A thng hng Hỡnh 10 BAè TP THC HNH Bi Cho tam giỏc ABC cú AB = AC K BM AC, CN AB ( M AC , N AB ), H l gia im ca BM v CN a) Chng minh AM = AN b) Gi K l trung im BC Chng minh ba im A, H, K thng hng Bi Cho tam giỏc ABC cú AB = AC Gi H l trung im BC Trờn na mt phng b ABcha C k tia Bx vuụng gúc AB, trờn na mt phng b AC cha B k tia Cy vuụng AC Bx v Cy ct ti E Chng minh ba im A, H, E thng hng PHNG PHP Vớ d Cho tam giỏc ABC cõn A Trờn cnh AB ly im M, trờn tia iAtia CA ly im N cho BM = CN Gi K l trung im MN M Chng minh ba im B, K, C thng hng = K' Gi ý: X dng phng phỏp F C B E K = Cỏch 1: K ME BC ; NF BC ( E ; F BC) hỡnh 11 BME v CNF vuụng ti E v F cú: N ã ã ã BM = CN (gt), MBE = NCF ( cựng bng ACB ) Do ú: BME = CNF (Trng hp cnh huyn- gúc nhn)Suy ra: ME = NF.Gi K l giao im ca BC v MN ã ã ' ' MEK v NFK vuụng E v F cú: ME = NF (cmt), EMK ( so le = FNK ca ME // FN) Vy MEK = NFK (g-c-g) Do ú: MK = NK Vy K l trung im MN, m K l trung im MN nờn K K A Do ú ba im B,K,C thng hng ã Cỏch K ME // AC (E BC) ãACB = MEB (hai gúc ng v) ã ã ã ã M ACB = ABC nờn MBE = MEB Vy MBE cõn M Do ú: MB = ME kt hp vi gi thit MB = NC ta cME = CN M Gi K l giao im ca BC v MN = ã ' ME = K ã ' NC (so le ca ME //AC) K' MEK v NCK cú: K C B E K ME = CN (chng minh trờn) = Hỡnh 12 ã ã ' ' (so le ca ME //AC MEK = NCK N Do ú : MEK = NCK (g.c.g) MK = NK Vy K l trung im MN, m K l trung im MN nờn K K Do ú ba im B,K,C thng hng 98 ã Vớ d Cho tam giỏc ABC cõn A , BAC = 1080 , Gi O l mt im nm trờn tia phõn ã giỏc ca gúc C cho CBO = 120 V tam giỏc u BOM ( M v A cựng thuc mt na mt phng b Chng minh ba im C, A, M thng hng ã ã Hng dn: Chng minh OCA t ú suy tia CA v tia CM trựng = OCM BI GII 1800 1080 ã ã ABC = ACB = = 360 Tam giỏc ABC cõn A nờn (tớnh cht ca tam giỏc cõn) M CO l tia phõn giỏc ca ãACB , ã ã nờn ãACO = BCO = 180 Do ú BOC = 1500 M ã BOM u nờn BOM = 60 A = ã = 3600 (1500 + 600 ) = 1500 Vy : MOC = 108 / BOC v MOC cú: // 12 OB = OM ( vỡ BOM u) B ã ã BOC = MOC = 150 O / C Hỡnh 13 OC chung Do ú : BOC = MOC (c.g.c) ã ã ã ã ã ã Suy ra: OCB m OCB (gt) nờn OCA = OCM = OCA = OCM ã ã Hai tia CA v CM cựng nm trờn na mt phng b CO v OCA nờn tia CA v tia = OCM CM trựng Vy ba im C, A, M thng hng (pcm) 99 [...]... 9: So sánh d) 16 9 = 64 10 ( x 0) 3 1 3 1 x = 5 20 4 5 f) x 5 = 2x 7 b) 3 3 1 là số vô tỷ a) 7, 2(34) và 7, 2344102; b) 0,15 và -0,(40) c) 3 7 và 8; d) 17 + 50 và 11 Bài 10: Nếu 2x =2 thì x2 bằng bao nhiêu? Bài 11: So sánh các số thực: a) 3 ,73 7 373 7 373 với 3 ,74 7 474 74 b) -0,1845 và -0,1841 47 c) 6,8218218 và 6,6218 d) -7, 321321321 và -7, 325 Bài 12: Tính bằng cách hợp lí: a) A = (- 87, 5)+{(+ 87, 5)+[3,8+(-0,8)]}... ra x/y = 6/9 hay x/y = 2/3 Bài tập 11 ; Số học sinh lớp 7a bằng 14/15 số học sinh lớp 7b ,số học sinh lớp 7b bằng 9/10 số học sinh lớp 7c ,biết rằng tổng của hai lần số học sinh lớp 7a cộng với 3 lần số học sinh lớp 7b thì nhiều hơn 4 lần số học sinh lớp 7c là 19 em Tìm số học sinh mỗi lớp Giải : Gọi x, y, z theo thứ tự là số học sinh các lớp 7a,7b,7c ( đk x,y,z là các số tự nhiên khác 0) Ta có x/y... là x; y; z ta có: x + y + z = 180 và x y z = = 3 4 5 Bài 10: Năm lớp 7a; 7b; 7c; 7d; 7e nhận chăm sóc vờn trờng có diện tích 300m2 Lớp 7A nhận 15% diện tích vờn, lớp 7B nhận 1/5 diện tích còn lại Diện tích còn lại của vờn sau khi hai lớp trên nhận đợc đem chia cho ba lớp 7c; 7d; 7e với tỉ lệ1/2; 1/4; 5/16 Tính diện tích vờn giao cho mỗi lớp Bài 11: Ba công nhân đợc thởng 100000đ, số tiền thởng đợc phân... ra : u tỡm x Bi 6 : Tìm x, y, z biết 3x 3 y 3z = = và 2 x 2 + 2 y 2 z 2 = 1 8 64 216 Bi 7 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau Bi 8 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi... cây bàng mỗi lớp phải trồng và chăm sóc là: 14 1 4 1 Lớp 6B: y = 28 = 7 (cây) 4 1 Lớp 6C: z = 36 = 9 (cây) 4 Lớp 6A: x = 32 = 8 (cây) Bài 6: Lớp 7A 1giờ 20 phút trồng đợc 80 cây Hỏi sau 2 giờ lớp 7A trồng đợc bao nhiêu cây Giải: Biết 1giờ 20 phút = 80 phút trồng đợc 80 cây 2 giờ = 120 phút do đó 120 phút trồng đợc x cây x= 80.120 = 120 80 (cây) Vậy sau 2 giờ lớp 7A trồng đợc 120 cây Bài 7: Tìm số có... t = = = 9 8 7 6 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z t x + y + z + t 1050 = 35 = = = = = 9 8 7 6 9+8+ 7+ 6 30 Vậy: Số HS khối 6 là: x = Số HS khối 7 là: y = Số HS khối 8 là: z = Số HS khối 9 là: t = Bài tập 8: Ba lớp 7A; 7B; 7C trồng đợc 180 cây Tính số cây trồng của mỗi lớp, biết rằng số cây trồng đợc của mỗi lớp lần lợt tỉ lệ với 3; 4; 5 Giải Gọi số cây trồng đợc của mỗi lớp lần lợt... 6x2y b)-7xy; - 5 xy; 10xy c)12xyz; 8xyz; -5xyz Bài tập 6 : Tính tổng các đơn thức đồng dạng: a)3x2y + (-4)x2y + 6x2y = [ 3 + (-4) + 6 ] x2y = 5x2y b)( -7) xy + (-1/2xy) + 10xy = [( -7) + (-1/2) + 10].xy =5/2 xy c)12xyz + 8xyz +(-5)xyz =[12 + 8 + (-5)].xyz = 15xyz Bài tập 7 :Thu gọn đơn thức: a./ -x2y 7x3y6 = -7x5y7 b./ - 8x6y8 (- 3)x2y3z4 = 24 x8y11z4 Bài tập 8 / Tính tổng đại số a./ 3x2 + 7xy - 11xy... hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều rộng của nó Bài 5: Học sinh của 3 lớp 6 cần phải trồng và chăm sóc 24 cây bàng Lớp 6A có 32 học sinh; Lớp 6B có 28 học sinh; Lớp 6C có 36 học sinh Hỏi mỗi lớp cần phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây bàng, biết rằng số cây bàng tỉ lệ với số học sinh Giải: Gọi số cây bàng phải trồng và chăm sóc của lớp 6A; 6B; 6C lần lợt là x, y, z Vậy x, y, z tỉ lệ thuận với 32, 28,... tần số: Giá trị Tần số (x) (n) 17 1 18 3 20 1 25 1 28 2 30 1 31 2 32 1 N = 12 b/ Lập biểu đồ đoạn thẳng: n 3 2 1 0 17 18 20 25 28 30 31 32 x Bài 4: a/ Năm 1921, số dân của nớc ta là 16 triệu ngời b/ Từ năm 1921 đến năm 1999 dân số nớc ta tăng từ 16 đến76 triệu ngời , nghĩa là trong 78 năm dân số nớc ta tăng thêm 60 triệu ngời c/ Từ năm 1980 đến 1999, dân số nớc ta tăng thêm 25 triệu ngời Bài 3: a/ Lập... nguyên phần biến II Bài tập: Bài tập 1: Thu gọn đơn thức: a) (-3x2y).(2xy2) = b) 7x.(8y3x) = 1 3 1 d) (-2x2y5) = 2 c) -3 a.(x7y)2 = Bài tập 2: Thu gọn và tìm bậc đơn thức: 1 5 5 7 a) ( x2y)( x3y2) = b) (-4a2b).(-5b3c) = c) ( 6xy 4 2 x y ).(14xy6) = 7 Bài tập 3: Cộng, trừ các đơn thức sau: 1 3 1 x y + 6 - 7 x3y =(5 - + 6 - 7 )x3y = 3,5x3y 2 2 2 3 2 2 2 2 b) = x y + 4x3y2 - - 5x3y2 = ( + 4 - - 5) x3y2