Rót gänbiÓu thøc... •Điều kiện để các biểu thức có nghĩa... Thông th ờng bài toán Rút gọn biểu thức còn đ ợc đi kèm theo các yêu cầu khác *Chứng minh bất đẳng thức •Giải ph ơng trình hoặ
Trang 1Rót gän
biÓu thøc
Trang 2Rót gän biÓu thøc
§©y lµ lo¹i to¸n rÊt th êng
gÆp trong c¸c kú thi tèt
nghiÖp vµ thi vµo líp 10 THPT
Trang 3Rót gän biÓu thøc
§Ó gi¶i quyÕt tèt lo¹i to¸n nµy c¸c b¹n cÇn
n¾m v÷ng c¸c kiÕn
thøc sau:
Trang 4•Điều kiện để các biểu thức có
nghĩa
Trang 5Thông th ờng bài toán Rút gọn biểu thức còn đ ợc đi kèm theo các yêu
cầu khác
*Chứng minh bất đẳng thức
•Giải ph ơng trình hoặc bất ph ơng
trình
•So sánh hai biểu thức
•Tìm điều kiện để biểu thức nhận
giá trị nguyên
Trang 62 1
2
)
x ).(
x x
x x
x (
Trang 7) x
)(
x (
) x (
x
1 1
Trang 822
1
1 1
2
1 2
) x
(
x )
x (
x x
Trang 91 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
2 1
2
1 1
1 1
2 2
2
2
2
2 2
2 2
( : ) x
.(
) x
(
*
x
) x
)(
x (
: ) x
.(
) x
(
*
: NTP
) x
.(
) x
( : MTC
) x
(
x )
x (
x x
) x
)(
x (
) x (
x
Trang 1022
2
22
22
1 1
1 1
1 1
1 1
) x
( )
x (
) x
( )
x (
)] x
)(
x [(
] )
x (
[ )
x (
Trang 11) x (
x )
x (
x
) x (
) x
( )
x )(
x (
x x
x x
) x
( )
x )(
x (
) x
)(
x (
) x
)(
x (
) x
( ].
) x
(
x )
x )(
x (
x [
P
1 x
vµ 0
x nghÜa cã
P Ó
kiÖn iÒu
2
1
1 1
1
2 2
2
1 1
1
1 2
2 1
2
1 1
2 1
1
2
2 2
2
2 2
2 2
Trang 12d ong) sè
mét
lµ
d ong sè
2 cña TÝch
(
) x (
x P
n nª
x mµ
x
x 0
thi 1
x 0
NÕu
2,
0 1
0 0
Trang 131 4
1
4
1 2
1
0 2
1 4
1 2
1 4
1
4
1 4
1 2
1 2
lµ nhÊt
lín
P VËy
x x
x
ra y
x¶
thøc ng
§¼
) x
(
)
x
x ( x
x P
,
Trang 14) x
( :
) x
x x
x x
x (
4 1
1 1
2
2
Trang 15) x
(
) x (
x
) x )(
x (
) x (
x )
x (
) x (
x
) x )(
x (
x x
) x (
x
) x
( :
) x )(
x (
x x
x x
x
) x (
x
) x
( :
) x )(
x (
x )
x (
) x
(
) x (
x
) x
( :
] ) x )(
x (
x x
x x
x [
) x (
x
) x
( :
) x
x x
x x
x (
Q
3 4
1 1
1
1
4 3
4
1 1
1
4 4
1
3
4 1
1
4 2
1 1
2
1
3
4 1
1
4 1
1
1
3
4 1
1
4 1
1 1
1
1
3
4 1
4 1
1 1
1
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Trang 164 Q
n nª
x thi
x NÕu
.
x
x Q
3 x
1, x
vµ 0
x
: nghÜa cã
Q Ó
kiÖn iÒu
4
4 2
2
3
2
2
Trang 173 1
3
3 3
3
3
3
3 3
2 2
2 2
2
2 2
x
x
x
x x
x Q
3 x
1, x
vµ 0
x
3,
Q lµ sè nguyªn lµ sè nguyªn
Ta cã x lµ sè nguyªn th× x 2 -3 lµ sè nguyªn suy ra x 2 -3 lµ íc cña 3 mµ ¦(3)={3;-3;1;-1}
2 x
2;
x
; x
;
x 6 0
Trang 18n nguyª
trÞ gi¸
nhËn Q
cã
ta
n nguyª
sè
lµ 2
x VËy
3 x
1, x
vµ 0
Trang 19Bµi 3
1, Rót gän A
2, So s¸nh A vµ
] y
x
y y
x x
y x
y
x [
y y
x x
) y x
( A
thøc biÓu
Trang 20] ) y x
(
y xy
x y
x
.[
y xy
x
y x
] )
y x
)(
y x
(
) y xy
x )(
y x
( y
x
[
) y xy
x )(
y x
(
) y x
(
] ) y x
)(
y x
(
) y (
) x (
y x
) y x
)(
y x
( [
y x
) y x
( A
y x
0;
y
; x
:
§
TX
] y
x
y y
x x
y x
y
x [
y y
x x
) y x
( A
3 3
2 2
0
Trang 21y xy
x
xy
y x
y xy
x y
xy
x y xy
x
y x
] ) y x
(
y xy
x y
x
) y x
( [
y xy
x
y x
] ) y x
(
y xy
x y
x
.[
y xy
x
y x
Trang 22A A
n Nª
1) A
0
(do
)
A (
A A
A cã
-Ta
xy
xy y
xy x
xy A
0 vËy
Do
xy y
xy x
) y x
(
n nª y
x 0;
y 0;
x cã
ta
y xy
x
xy A
y x
0;
y 0;
x kiÖn
1
0 0
2
Trang 23Bµi 4
1, T×m x sao cho P>2
2, So s¸nh P víi 1,5
1 3
3 3
x x
x x
x P
thøc
biÓu
Cho
Trang 24x x
x
x x
x x
x
x )
x (
) x
(
x x
x
x P
x
) x
(
x
) x x
( )(
x x
(
) x x
( )
x x
( P
x :
§
TX
x
x x
x x
x x
x P
3
3
6 3
3 6
3
3 3
3 3
3 3
1 1
3 3
3
3 3
3 3
3
1 3
3 3
3
2 2
Trang 252 P
cã
ta x
vµ 3
x víi
VËy
x x
) x
(
x x
x x
x x
1 3
0 1
3
0 1
3 2
3
0 2
3 2
2 3
2 2
2
Trang 261,5 P
cã
ta
3 x
víi VËy
3 x
víi )
x (
x x
x x
1 3
2 1
3 2
3
3 2
2
Trang 27Bµi 5
]xy
yx
xxy
yy
xy
x[
:
]yx
xy
yx
[
Q
thøc
biÓu
Trang 28) y x
)(
y x
( xy
) y x
)(
y x
( )
y x
( y y
) y x
( x
x
:
y x
xy y
xy x
] xy
y x
) y x
( x
y )
y x
( y
x [
:
] y x
xy
y x
Trang 29) y x
)(
y x
( xy
y x
y xy
y - xy x
x : y x
y x
) y x
)(
y x
( xy
) y x
)(
y x
( )
y x
( y y
) y x
( x
x
:
y x
xy y
xy x
2 2
Trang 30x y
) y x
( xy
) y x
)(
y x
(
xy
y x
y x
) y x
)(
y x
( xy
xy y
xy
x :
y x
y x
Trang 31§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tp Hµ Néi
1994-1995
a - 1 P.
thøc
biÓu dÊu
XÐt
b,
P thøc
biÓu
gän Rót
a ).(
a a
a a
a (
P
thøc
biÓu
1
1
3
Trang 320 1
0 1
1
0 1
a (
a - 1 P.
n
nª
0 a
1
-mµ
a hay
a ã
Do
1 a
1 a
; 0 a
kiÖn iÒu
víi kÕt hîp
1 a
nghÜa cã
a - 1
a - 1 ).
a (
a - 1 P.
thøc
biÓu dÊu
XÐt
b,
a P
1 a
; 0 a
kiÖn iÒu
D§
Trang 33§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tp Hµ Néi
1995-1996
6
1A
Ód
a cña trÞ
gi¸
c¸cm
iT
b,
A thøc
biÓu
gänRót
,
a
)a
aa
a(
:
)aa
(A
thøc
biÓu
Cho
(2,5)1
1
11
1
Trang 341A
thi16
a víiVËy
4a
;0a
kiÖndiÒu
m·ntho¶
16
a6
1a
a6
1A
b,
a
aA
1a
4;
a
;0a
kiÖniÒu
2
Trang 35§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thµnh phè
H¶i Phßng 1995-1996
A cña
nhÊt lín
trÞ gi¸
m i
T
b,
A
thøc
biÓu
gän Rót
,
a
) a a
a
a A
thøc
biÓu
Cho
(2,5) 1
1 1
4
2
3 2
Trang 362 1
2 1
2 1
1
2
2 2
A
1 0
0 1
a a
n nª
0 a
Do
a a
A
1 a
; 0 a
kiÖn iÒu
§
2
Trang 370 a
khi 2
b»ng
nhÊt lín
trÞ gi¸
cã A
VËy 0.
a khi
1 b»ng nhÊt
nhá trÞ
gi¸
cã a
a
n nª 1
a a
n nª 0
a Do
nhÊt nhá
trÞ gi¸
cã
a a
nhÊt lín
trÞ gi¸
cã A
thøc BiÓu
b,
a a
A
1 a
; 0 a
kiÖn iÒu
2
1
1 1
1
2
Trang 38§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh Th¸i
B×nh 1994-1995
54
9x
khi
Athøc
biÓucña
trÞgi¸
TÝnh
b,
A
thøc
biÓu
gänRót
xx
xx
x
x(
A
thøc
biÓu
Cho
(2,5)1
366
1
66
1
6
2
2 2
2
Trang 39§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh Th¸i
B×nh 1994-1995
54
9x
khi
Athøc
biÓucña
trÞgi¸
TÝnh
b,
A
thøc
biÓu
gänRót
xx
xx
x
x(
A
thøc
biÓu
Cho
(2,5)1
366
1
66
1
6
2
2 2
2
Trang 40§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tØnh Th¸i
B×nh 1994-1995
25
11
9x
A
54
9x
khi
Athøc
biÓucña
trÞgi¸
TÝnh
b,
x
A
6x
;0x
Trang 41§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn tØnh
Th¸i B×nh 2002-2003
0 A
thi x
cña nµo
trÞ gi¸
Víi
b,
A thøc
biÓu
gän Rót
,
a
) x
x x
x x
x
x (
:
) x
x
x (
A
thøc
biÓu
Cho
(2,5) 1
3 6
9 1
9 3
Trang 42) x
)(
x (
) x
)(
x ( ) x
)(
x (
x :
) x
)(
x
(
x x
) x
x x
x )
x )(
x (
x (
:
] )
x )(
x (
) x
(
x [
A
) x
x x
x x
x
x (
:
) x
2 2
3 3
9 3
3
3
3
2 2
3 3
2
9 1
3 3
3
3
2 2
3 6
9 1
9 3
Trang 432
3
23
33
32
4
43
33
32
44
9
93
(
)x
)(
x
(.)x
)(
x(
)x
)(
x(
x
x:
)x
)(
x(
)x
)(
x(
xx
x
x:
)x
)(
x(
xx
A
Trang 44thi
4x
0 xcña
trÞgi¸
víiVËy
4x
0
xx
0x
30
A
b,
x
3A
thøc
biÓu
gänRót
2
2
2
Trang 45Bài 1 Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm các giá trị của a để A =
5 6
) 1 a
3
2 a
3 1
( :
) 1 a
9
a
8 a
3 1
1 1
a 3
1
a (
Trang 46§¸p sè
§Ó A= 6/5 th× a=4 hoÆc
a= 9/25
1 a
Trang 47Bµi 2 Cho biÓu thøc
a, Rót gän B
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cña B víi a= 16; b= 4
] b ab
a
b
a :
) b b a
a
ab
3 b
a
1 ).[(
b b a
a
ab
3 b
a
1 (
Trang 48b ab a
1 b
a
1
b ab
a
b a
] ) b a
( ) b a
(
b ab
a
b ab a
b
a [
b ab
a
b a
] ) b a
( ) b a
(
b ab
a
) b ab a
( ) b a
(
) b a
( [
) b ab a
( ) b a
(
) b a
(
] b
a
b ab
a ) b ab a
( ) b a
(
ab 3 b ab
a [
) b ab a
( ) b a
(
ab 3 b ab a
] b
a
b ab
a ) ) b ab a
)(
b a
(
ab 3 b
a
1 ).[(
) b ab a
)(
b a
(
ab 3 b
a
1
(
] b
a
b ab
a ).
) b ( ) a (
ab 3 b
a
1 ).[(
) b ( ) a (
ab 3 b
a
1
(
] b ab a
b
a :
) b b a a
ab 3 b
a
1 ).[(
b b a a
ab 3 b
a
1 (
B
2 2
3 3
3 3
Trang 4916,a
víi12
1b
aba
Trang 50Bài 3 Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm các giá trị của x để Q =6
) 1 x
1 x
1 x
1
x ).(
x
1 x
( x
x
1 x
x x
x
1 x
Trang 51Tập xác định
1 x
; 0 x
:
Đ
Trang 52) 2 x
x (
2 x
2 x
2 x
2 x
) 1 x
( 2 x
x 2
) 1 x
(
) 1 x
(
2 x
1 x
x
1 x
x x
1 x
x
) 1 x
)(
1 x
(
1 x
2 x
1 x
2
x x
1 x
) 1 x
( x
) 1 x
x )(
1 x
( )
1 x
( x
) 1 x
x )(
1 x
(
) 1 x
)(
1 x
(
) 1 x
( )
1 x
( x
1
x ( x
x
1 )
x (
x x
1 )
x
(
) 1 x
1 x
1 x
1
x ).(
x
1 x
( x
x
1 x
x x
x
1 x
x
Q
2 2
2
3
2 3
Trang 53Đáp số
Để Q= 6 thì x=1 mà 1TXĐ Vậy không có giá trị nào của x
để Q =6
x
) 1 x
x (
2
Trang 54Bµi 3 Cho biÓu thøc
a, Rót gän P
b, XÐt dÊu biÓu thøc P.
)
a a
1
1
a ).(
1 a
a
a 1
a
1 a
2 (
Trang 55§¸p ¸n
0 a
1 P.
n nª 1
a
vµ 0
a
Do
a 1
) 1 a
( a
1
.
P
1 a
Trang 56Rót gän biÓu thøc
chøa c¨n thøc
bËc hai
Trang 57Bµi 1: Rót gän biÓu thøc
0 a
víi
a a
, a
27a 3a
2
,
b
) (
) )(
2
-(2
,
a
3
2
300 5
2 2
5 13
5 2
3 2
5
Trang 58Bµi 2: Rót gän biÓu thøc
b a
vµ 0
b
; 0 a
víi
b
a
b
a b
a
b -
Trang 59Bµi 4: a, Chøng minh
4
1 2
3 1
Trang 60Bµi 4: b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc
1 3
2
x x
Trang 61Bµi 5:Chøng tá r»ng c¸c biÓu
thøc sau lµ sè h÷u tØ
5
5 5
5
5 7
2 5
7
,
b
7
2
,
a
Trang 62Bµi 6:T×m x, biÕt
1
69
12
15
645
93
45
25x,
-b
xx
204x
,
a
Trang 63Bµi 7: Cho biÓu thøc
2 P
dÓ x
m i
T
b,
4 x
0;
x
P nÕu gän
x x
x P
2 2
1
Trang 64Bµi 8: Cho biÓu thøc
d ong dÓ
x m
i T
b,
1 a
vµ 4
a 0;
a víi Q
gän Rót
,
a
) a
a a
a (
:
) a a
( Q
1
1 1
1
Trang 65Bµi 10
am.
kh«ng sè
n¨m
sè, bèn
hîp
tr êng cho
réng më
y
·
H
ca bc
ab c
b
a
r»ng minh
Chøng am.
kh«ng c
b, a,
sè 3
Trang 66Bµi 10
0 2
2 2
0 2
2 2
2 2
b ( )
c ca
a ( )
b ab
a (
ca bc
ab c
b 2a
) ca bc
ab (
c b
a
am.
kh«ng c
b, a, sè 3
Víi
Trang 67Bµi 10
ea de
cd bc
ab e
d c
b
a
cã
ta am.
kh«ng e
d, c, b, a, sè
5
Víi
da cd
bc ab
d c
b
a
cã
ta am.
kh«ng d
c, b, a, sè