Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN ĐỀ THI KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 LẦN THỨ NĂM 2016 Môn: Toán học; Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x + x − Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 14 đoạn [0;3] Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình (2 + 3i)z + (3 – i) = (1 + 4i)z tập hợp số phức b) Giải phương trình 4x – 3.2x+1 + = dx x +1 1+ Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – = đường x −8 y −6 z = = Tìm tọa độ giao điểm M đường thẳng d mặt phẳng (P) viết phương trình thẳng d: mặt phẳng chứa điểm M vuông góc với đường thẳng d Câu (1,0 điểm) Tính giá tr ị biểu thức A = cos4α b) Một hội nghị gồm đại biểu nước A, đại biểu nước B đại biểu nước C, nước có đại biểu nữ Hỏi có cách chọn đại biểu để thành lập ủy ban cho nước có đại biểu ủy ban ủy ban có đại biểu nam đại biểu nữ a) Cho α thỏa mãn tan α = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Mặt bên SBC tam giác cân S mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc SA mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SC AB theo a AC Gọi H hình chiếu vuông góc A BC, E(1;3), F(–2;2) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH tam giác ACH Tìm tọa độ đỉnh A, biết H có hoành độ dương Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có AB = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x + + −8 x + x + = x + Câu 10 (1,0 điểm) Xét a, b, c số không âm thỏa mãn (a + 1)(b + 1)(c + 1) = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( a + b + c ) − min(a, b, c) ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu + TXĐ: D = ℝ + Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x; y’ = ⇔ x = x = –2 Hàm số đồng biến khoảng (–∞;–2) (0;+∞); nghịch biến (0;2) y = −∞; lim y = +∞ Giới hạn: xlim →−∞ x →+∞ Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = –2; yCĐ = 2; đạt cực tiểu x = 0; yCT = –2 Bảng biến thiên: + Đồ thị: Câu Hàm số cho liên tục [0;3] Có f ‘(x) = 6x2 – 6x – 12; f ‘(x) = ⇔ x2 – x – = ⇔ x = –1 (loại) x = (tm) Có f(0) = 14; f(2) = –6; f(3) = Vậy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số [0;3] 14 –6 Câu a) Phương trình cho tương đương với: i − (i − 3)(1 + i) i − 2i − (1 − i ) z = i − z = = = = −2 − i 1− i − i2 Vậy tập nghiệm phương trình cho {–2 – i} b) Phương trình cho tương đương với: (2 x ) − 6.2 x + = (2 x − 2)(2 x − 4) = 2x = x =1 x x = 2 = Vậy tập nghiệm phương trình cho {1;2} Câu dx dx = => dx = 2tdt Đặt t = + x => dt = + x 2t Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2 2 2t I =∫ dt = ∫ (1 − )dt = 2(t − ln | t + 1|) = + ln 1+ t 1+ t 1 Câu + M ∈ d ⇒ M(8 + 4t; + 3t; t) M ∈ (P) ⇒ 3(8 + 4t) + 5(6 + 3t) – t – = ⇒ t = –2 ⇒ M(0;0;–2) + Gọi (Q) mặt phẳng chứa điểm M vuông góc với d (Q) nhận vectơ ud (4;3;1) làm VTPT (Q) qua M nên có phương trình: 4x + 3y + z + = Câu a) Có 1 + tan a = => cos a = = 2 cos a + tan a 10 => cos 2a = cos a − = => A = cos 4a = cos 2a − = 25 1 b) Số cách lập ủy ban gồm đại biểu nước A, đại biểu nước B, đại biểu nước C C6 C7 C7 = 882 Số cách lập ủy ban gồm đại biểu nước A, đại biểu nước B, đại biểu nước C C6 C7 C7 = 882 1 Số cách lập ủy ban gồm đại biểu nước A, đại biểu nước B, đại biểu nước C C6 C7 C7 = 735 Suy số cách chọn ủy ban người nước có đại biểu là: 882.2 + 735 = 2499 Số cách chọn ủy ban đại biểu nam nước có đại biểu là: C41 C51.C52 + C41 C52 C51 + C42 C51.C51 = 550 Số cách chọn ủy ban đại biểu nữ nước có đại biểu C21 C21 C22 + C21 C22 C21 + C22 C21.C21 = 12 Vậy số cách chọn ủy ban đại biểu có nam nữ nước có đại biểu 2499 – 550 – 12 = 1937 (cách) Câu + Gọi H trung điểm BC ∆ SBC cân S nên SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) AH hình chiếu SA (ABC) nên góc SA (ABC) (SA;SH)=SAH=60o BC = a; SH = AH tan 60o = a ∆ ABC vuông A ⇒ AH = HB = HC = AC = BC − AB = a a2 S ABC = AB AC = 2 a3 VS ABC = SH S ABC = + Qua C dựng đường thẳng a song song AB Vẽ HE ⊥ a E, HF ⊥ SE F Vì AB // CE ⇒ AB // (SCE) ⇒ d(AB;SC) = d(AB; (SCE)) = d(B;(SCE)) Vì BH ∩ (SCE) = C BC = 2HC nên d(B;(SCE)) = 2d(H;(SCE) Có CE ⊥ HE, CE ⊥ SH ⇒ CE ⊥ (SHE) ⇒ CE ⊥ HF ⇒ HF ⊥ (SCE) ⇒ d(H;(SCE)) = HF HE HC CA.HC a ∆HEC ~ ∆CAB ( g g ) => = => HE = = CA CB CB 1 a 15 ∆ SHE vuông H=> = + => HF = 2 HF HS HE 2a 15 Vậy d(SC,AB)= Câu ABH = HAC (= 90O − C ) => EBH = FAH ; EHB = AHF = 450 EH BH => ∆BEH ~ ∆AFH ( g g ) => = FH AH BH BA EH ∆ABC ~ ∆HBA( g g ) => = = => = AH CA FH EHF = 90O => EH + FH = EF = 10 EH FH EH FH EH + FH 2 18 32 = => = = = => EH = ; FH = 16 + 16 5 Toạ độ H nghiệm hệ 18 24 2 ( x − 1) + ( y − 3) = 6 x + y = ( x + 2) + ( y − 2) = 32 ( x + 2) + ( y − 2) = 32 5 12 12 y = − x y = − 3x => H ( ; ) (do x H > 0) 5 ( x + 2) + ( y − 2) = 32 10 x + x − 56 = 5 25 o Viết rphương trình AH: Có góc EHA = 45 E, F nằm khác phía AH: Gọi n(m; n) VTPT AH Có r uuur | m + 3n | | cos(n; HE ) |= = 2 m2 + n 12 + 32 2m − 3mn − 2n = m = 2n m = −1 n 2 Với m = 2n Chọn n = 1, m = ⇒ (AH): 2( x − ) + ( y − ) = x + y − = (thỏa mãn) 5 Với n = –2m: Chọn m = 1, n = –2 ⇒ (AH): ( x − ) − 2( y − ) = x − y + = (loại) 5 Gọi M, N, P hình chiếu F AH, HC AC Có HM = HN, AM = AP, CP =CN Đặt AH = 3x ⇒ HC = 4x; AC = 5x 2x = HA + HC – AC = (HM + MA) + (HN + NC) – (AP + PC) = 2HM ⇒ HM = x HF 12 = => AH = ∆ HMF vuông cân M nên x = HM = 5 + Tìm A: Ta có A ∈ AH => A(a; − a), A H khác phía EF 144 144 AH = (a − ) + ( − 2a ) = 5 5 5a − 4a − 28 = a = −2 a = 14 Với a = –2 ⇒ A(–2;6) (thỏa mãn) 14 14 −18 => A( ; ) (loại A H phía EF) Với a = 5 Vậy A(–2;6) Câu x + + −8 x + x + = x + (1) 2−3 2+3 ≤ x≤ 4 2− x ≤ 2 x + + x − = x + = − x x = không nghiệm 2 x + = 4x − 4x +1 Điều kiện: −8 x + x + ≥ Xét (1) 2− (1) x + − (2 x − 1) + −8 x + x + − (2 − x) = Xét x ≠ −3 x + x + 3.(−3 x + x + 1) =0 −8 x + x + + − x 1 (−3 x + x + 1)( + )=0 x2 + + x −1 −8 x + x + + − x x2 + + 2x −1 + −3 x + x + = 0(2) 1 + = 0(3) x + + x − −8 x + x + + − x (3) −8 x + x + + − x = −3( x + + x − 1) −8 x + x + + 3( x + − 2) + x + − = loại −8 x + x + + 3( x + − 2) + x + − > 0, ∀x ≥ 2−3 2− ( L) x = Do (1) −3 x + x + = 2+ (TM ) x = + Vậy tập nghiệm phương trình cho Câu 10 Không tổng quát giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ a = (a,b,c) Từ (a + 1)(b + 1)(c + 1) = ( a + 1)(bc + b + c + 1) = => bc + b + c + = Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: a +1 ( b + c ) = b + c + bc ≤ b + c + bc + = P = ( a + b + c )2 − a ≤ ( a + => b + c ≤ a +1 a +1 5 ) −a = +2 = f (a) a +1 a +1 a +1 −5 5a (a + 1) f '(a) = + =− ( − 1) (a + 1) (a + 1) a(a + 1) a + a +1 f '(a) = 5a = a = a +1 Lập bảng biến thiên hàm số f (a) ta có f ( a) ≤ f ( ) = => P ≤ Dấu xảy a = ; b = c = hoán vị Vậy GTLN P