GIẢI TÍCH GIỚI hạn và LIÊN tục

Nội dung - I.2 – Giới hạn hàm số  – Hàm số  – Giới hạn hàm số  – Vơ bé, Vơ lớn Hàm số Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z Khi tồn hàm hợp f g : X  Z h  f g  f ( g ( x)) Ví dụ g ( x)  x  3; f ( x)  x  f g ( x)  f ( g ( x)  f ( x  3)   x  3  g f ( x)  g ( f ( x))  g ( x )  x  2 Ví dụ Cho f ( x)  x ; g ( x)   x Tìm hàm sau miền xác định nó: a) f g ; b) g f ; c) f f; d) g g  Df g  (,2] b) g f ( x )   x  Dg f   0,4 f ( x)  x  Df f   0,   d ) g g ( x)    x  Dg g   2,2 a) f g ( x)  c) f 2 x  2 x Đầu vào Đầu Định nghĩa (hàm – 1) Hàm y = f(x) gọi hàm – 1, x1  x2  D f f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm y = f(x) hàm – khơng tồn đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều điểm Ví dụ Hàm – Khơng hàm – Định nghĩa (hàm ngược) Cho y = f(x) hàm – với miền xác định D miền giá trị E Hàm ngược y = f(x) hàm từ E vào D, ký hiệu x  f 1 ( y ), xác định x  f 1 ( y )  y  f ( x) Chú ý: Vì a  f 1 (b)  b  f (a) , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x) (b,a) thuộc đồ thị f 1 Đồ thị y = f(x) đồ thị f qua đường thẳng y = x Ví dụ Vẽ đồ thị Vẽ đồ thị y   x  đồ thị hàm ngược 1 đối xứng qua Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = sin x  -   Trên đoạn  ,  , y = sin x hàm –  2 Tồn hàm ngược, ký hiệu y  arcsin x Ví dụ Khảo sát tính liên tục  sin x  x , x0 f ( x)    1, x0  sin x x  0, f ( x)  hàm sơ cấp nên liên tục MXĐ x sin x sin x Tại x = 0: lim lim  1 1 x 0  x x 0  x x = điểm nhảy     Bước nhảy: h  f 0  f 0   (1)  Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn f ( x)  arctan x Tập xác định: D f  R \ 0  lim arctan   x 0  x  Tại x = 0: lim arctan  x 0  x x = điểm nhảy      f     ( )   Bước nhảy: h  f   Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn f ( x)  x arctan x Tập xác định: D f  R \ 0 Tại x = 0: lim x arctan  x 0  x lim x arctan  x 0  x x = điểm gián đoạn khử Ví dụ Tìm a, b để hàm liên tục   / 2;3 / 2  x cos( x / 2)  sin x , x    / 2,3 / 2 , x  0, x    f ( x)   a, x0  b, x    x cos( x / 2) lim f ( x)  lim 1 x 0 x 0 sin x  a  x cos( x / 2)  lim f ( x)  lim  x  x  sin x b  Ví dụ Tìm a, b để hàm liên tục tồn TXĐ x, | x |  f ( x)    x  ax  b, | x |    lim x  ax  b  a  b  lim f ( x)  x 1 x 1  a  b   lim f ( x)  lim x   f (1) x 1 x 1 lim f ( x)  lim x  1  f (1) x 1 x 1   lim f ( x)  lim x  ax  b   a  b x 1 x 1 Vậy a = 1, b = -1  a  b   1 Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn Tập xác định: x f ( x)  sin x D f  R \ k , k  Z  Tại x0  k0 , k0  : x lim khơng tồn x  k0 sin x Các điểm điểm gián đoạn loại hai Tại x0  : x lim 1 x 0 sin x x0 = điểm gián đoạn khử Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn 1, x số hữu tỷ f ( x)   0, x số vô tỷ Tập xác định: R Hàm khơng có giới hạn điểm (Vì sao??) Tất điểm điểm gián đoạn loại hai Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn  x, x số hữu tỷ f ( x)    0, x số vô tỷ Tập xác định: R Hàm khơng có giới hạn điểm khác Các điểm khác khơng điểm gián đoạn loại hai Tại điểm x = 0: lim f ( x)   f (0) x 0 Hàm liên tục x = Bài tập I) Chứng tỏ hàm sau khơng liên tục x0  x  1, x  1) f ( x)    x , x0 x0  1  , x0 2) f ( x)   x  0, x  x0  1  2, x0 3) f ( x)   x  1, x  x0  4) f ( x)  sign( x  1) x0  1 II) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng x0 1/( x  1),  1) f ( x)   ( x  1) ,  x    x, x2  2) f ( x)  cos x | x 2| 3) f ( x)  x2 | x  1| 4) f ( x)  x  x3 x   /  n loại hai x= -2, điểm nhảy, h =2 x= 0: loại hai, x= 1: điểm nhảy, h = -2 III) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng arcsin x 1) f ( x)  sin x x 2) f ( x)  cos x 3) f ( x)  ln | x  1| 4) f ( x)  5) y  e x /(1 x ) 1/| x| x= 0, khử x   /  n loại hai x= 0, x= 2: loại hai, x = 1: khử x= -1, x= 1: loại hai x= 0, khử IV) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng 1) f ( x)  arctan x x= 0, khử 2) f ( x)  sin( x  lg( x  1)) liên tục MXĐ 1 x 3) f ( x)  ln x 1 x x= 0, khử | x| 4) f ( x)  arctan x x= 0, điểm nhảy, h=2 x 1 5) y  arctan(1/ x) x= 0, điểm nhảy, h= /  V) Tìm điểm gián đoạn đồ thị, phân loại chúng 1) f ( x)  ln ln(1  x ) 2) f ( x)  sign( x  x  3) 31/ x  21/ x 3) f ( x)  1/ x 1/ x 2 x= 0, loại hai x= -1, điểm nhảy, h = -2 x= 3, điểm nhảy, h = x= 0, điểm nhảy, h = 5 / x  cos x 4) f ( x)  tan(arcsin | x |) 5) y  (sin x)sin x liên tục MXĐ x= 0, khử V) Tìm giá trị a để hàm liên tục  (1  x) n  , x  0, n  N  1) f ( x)   x R  a, x0  an a  1/  x cot(2 x), x  0,| x |  / 2) f ( x)   ( / 2,  / 2) a , x   (arcsin x)cot x, x  3) f ( x)   a, x0   sinh x , x0  4) y   x  a, x0 R (-1,1) a 1 a 1 VI) Chứng minh pt sau có nghiệm 1) x   3) x  arctan x  a; a  2) x  e  4) x   sin x  1,    x x VII) CMR pt  4x VIII) CMR pt x sin x  1/ có vơ số nghiệm x IX) CMR pt 10 x 1 có hai nghiệm thực  x có nghiệm x0 