GIẢI TÍCH GIỚI hạn và LIÊN tục

Hàm y = fx là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tạiđường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm... giới hạn trái Số a gọi là giới hạn trái của y = fx tại điểm x0, nếu Định nghĩa

Nội dung -

I.2 – Giới hạn của hàm số

 – Hàm số

 – Giới hạn của hàm số

 – Vô cùng bé, Vô cùng lớn

Đầu vào

Đầu ra

Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại

đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm

Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu

Hàm 1 – 1

Ví dụ

Không là hàm 1 – 1

ký hiệu , xác định bởi

Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D,

Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền

Vì , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x)

Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua

Xét hàm lượng giác y = sin x

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)

Trên đoạn , y = sin x là hàm 1 – 1 - ,

Xét hàm lượng giác y = cos x

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)

Trên đoạn , y = cos x là hàm 1 – 1  0,

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arccos x

Xét hàm lượng giác y = tanx

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)

Trên khoảng , y = tan x là hàm 1 – 1 ,

Xét hàm lượng giác y = cot x

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)

Trên khoảng , y = cot x là hàm 1 – 1  0,

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arccot x



cosh( )

y  x

tanh( )

y  x

Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)

1) cosh ( ) sinh ( ) 1a  a 

2) sinh(2 )a  2sinh( )cosh( ); cosh(2 )a a a  cosh ( ) sinh ( )a  a

3) cosh(a  b)  cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( )a b  a b

4) cosh(a b ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( )a b  a b

5) sinh(a  b)  sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( )a b  b a

6) sinh(a b ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( )a b  b b

và các công thức lượng giác hyperbolic khác

Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công

thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay sin bởi isinh

Ví dụ Từ công thức cos2 a  sin2 a 1

ta có cosh2 a  i2 sin2 a 1

Hàm cho bởi phương trình tham số

Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên, giả sử của x = x(t) là t = t(x)

Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận

V nào đó của điểm t0

Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t)

Ví dụ

Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số

2cos3sin (1)

(1)

sin3

Ví dụ

Phương trình tham số của đường

tròn tâm O bán kính R:

cossin

thì f(x) trong khoảng này

khi x trong khoảng

này





thì f(x) trong khoảng này

khi x trong khoảng này

Định nghĩa (ngôn ngữ dãy )

Cho x 0 là điểm tụ của miền xác định

2 Giới hạn của hàm số

Ví dụ Chứng tỏ không tồn tại giới hạn

0

1limsin

2

n n

0 0

1 lim 1

sin 1) lim 1

x

x x

0

1 2) lim 1

2 0

Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x  0

0

tan 8) lim 1

x

x x

e

0 1)

0



    0  x D f ,0  x0  x 

Định nghĩa (giới hạn trái)

Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu

Định nghĩa (giới hạn phải)

Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu

Ví dụ

1

1 lim

1

x  x  

1 lim

sin lim

| |



x

x x

Chú ý

Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc hàm ghép

Tính chất của VCB

1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB

2) Tích của hai VCB là một VCB

3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB 4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB

Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi x  x0

Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

0

lim Tổng hữu hạn các VCB

Tổng hữu hạn các VCB

c t của m ãu a





x x

2 0

x

2 0

2

2 0



Ví dụ

Tính giới hạn

2

2 0

coslim

1 1 coslim







arctan

x x

Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI

3 0

3 0

sin 2lim

Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI

x

x x x





3 0

x ĐÚNG

2

2 2 0

Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi x  0

Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi x  x0

Qui tắc ngắt bỏ VCL

0

lim Tổng hữu hạn các VCL

Tổng hữu hạn các VCL

c của mẫu

x x



x

I) Tìm các giới hạn sau

Bài tập

2

2 2

41) lim

2 0

5) lim 1 tan

43180

2 38) lim

2

2

29) lim

x x

2

1411) lim

sin 2 2arctan 3 315) lim

1/ 4

10 / 37

Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi x  x0

Qui tắc ngắt bỏ VCL

0

lim Tổng hữu hạn các VCL

Tổng hữu hạn các VCL

c của mẫu

x x



x

đồ thị liền nét (không đứt đoạn) tại điểm (a, f(a))

Khi x tiến đến a

thì f(x) tiến

đến f(a)

1) Điểm gián đoạn loại một:

Định nghĩa

Cho là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số x0 y  f x( )

giới hạn trái f(x 0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn

x0 là điểm khử được: f(x 0- ) = f(x 0+)

2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một

Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng

x0 là điểm nhảy: f x( 0 )  f x( 0)

bước nhảy: h  f x( 0 )  f x( 0)

x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được

x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn không khử được

 ( )

f x  x

x = 0 là điểm gián đoạn loại hai

Tính chất của hàm số liên tục

Cho là hai hàm liên tục tại , khi đó y  f x y( ),  g x( ) x0

liên tục tại x0 1)  f x( ); ( )f x  g x( ); ( )f x  g x( )

2) Nếu , thì liên tục tại xg x( 0)  0 ( ) 0

Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì

Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: 1/ hàm hằng

Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản

Định nghĩa

bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp

là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ

là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ

   

Bước nhảy: h  f    0  f 0    1 ( 1) 2

Tập xác định:

Ví dụ

1( ) arctan

Ví dụ

cos( / 2)

, / 2,3 / 2 , 0,sin

đoạn khử được

là số hữu tỷ.

0, là số vô tỷ

Khảo sát điểm gián đoạn

Hàm khơng cĩ giới hạn tại mọi điểm (Vì sao??)

Tất cả các điểm là những điểm gián đoạn loại hai

là số hữu tỷ.

0, là số vô tỷ

Khảo sát điểm gián đoạn

Hàm khơng cĩ giới hạn tại mọi điểm khác 0

Các điểm khác khơng là những điểm gián đoạn loại hai

I) Chứng tỏ rằng các hàm sau không liên tục tại x0

II) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng

III) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng

arcsin1) ( )

IV) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng

2

11) ( )f x arctan

arctan(1/ )

x y

x





x= 0, khử được liên tục trên MXĐ x= 0, khử được x= 0, điểm nhảy, h=2 x= 0, điểm nhảy, h= 4/

V) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng

x



x= 0, loại hai

x= -1, điểm nhảy, h = -2 x= 3, điểm nhảy, h = 2 x= 0, điểm nhảy, h = 2 liên tục trên MXĐ

x= 0, khử được

VI) Chứng minh rằng các pt sau có nghiệm duy nhất 1) x  2x 1

2) x e x  2

2

3) x  arctan x  a a;  04) x   sin x 1, 0   1VII) CMR pt 2x  4x có ít nhất hai nghiệm thực

VIII) CMR pt xsin x  1/ 2 có vô số nghiệm

IX) CMR pt chỉ có một nghiệm 1