TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP PHÚ YÊN THCS Năm học : 2012 – 2013 Mơn thi : Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Đề thi có trang) ( Khơng kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A = 2012 − 2011; B= 2013 − 2012 So sánh A B? b) Tính giá trị biểu thức: C = 15 + 26 − 15 − 26 c) Cho x3 = y = z Chứng minh rằng: x3 + y + z 3 2+33+ =1 ( Đề sai) 2 1 + + = Chứng minh: x + y + z = x y z 2+33+3 1 + = 2 Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : 2 ( x + x + ) ( x + x + 3) Bổ sung điều kiện: 8 ( x + y ) − 10 ( x − y ) − ( x − y ) = Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : 2x + y − =2 2x − y Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N AM AN PQ + + =1 AB AC AQ AM ×AN ×PQ = b) Xác định vị trí điểm Q để AB ×AC ×AQ 27 a) Chứng minh : Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: ( 5,0 điểm) a) Cho A = 2012 − 2011; B= 2013 − 2012 So sánh A B? b) Tính giá trị biểu thức: C = 15 + 26 − 15 − 26 c) Cho x3 = y = z Chứng minh rằng: Giải: a) Ta có : A= B= ( ( 2012 − 2011 ( )( 2012 + 2011 2012 + 2011 2013 − 2012 ( )( ) 2013 + 2012 2013 + 2012 ) )= )= x3 + y + z 3 2+33+ =1 2012 + 2011 2013 + 2012 2012 + 2011 < 2013 + 2012 1 > Nên hay A > B 2012 + 2011 2013 + 2012 Mà b) Tính giá trị biểu thức: C = 15 + 26 − 15 − 26 = 3 + 18 + 12 + − 3 − 18 + 12 − = = 3 + 3 ×2 + 3 ×22 + 23 − ( ) 3+2 − ( 3−2 ) 3 3 − 3 ×2 + 3 ×2 − 23 = 3+2− 3+2 = c) Cho x3 = y = z Chứng minh rằng: x2 + y + z 2+ 33+3 =1 Chứng minh: x3 y z + + Đặt A = x + y + z = = x y z 3 3 3 x3 x3 x3 + + x y z ( x3 = y = z ) 1 1 A A = x3 + + ÷ = x3 = x ⇒ = x x y z Tương tự : A = x2 + y + z = ⇒33= A ; y 4= 1 1 x3 y z 3 y3 y3 y3 + + =3 + + = 3 y3 + + ÷ = y 3 x y z x y z x y z A z GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Suy ra: + 3 + = 1 1 A A A + + = A + + ÷= A x y z x y z x2 + y + z A ⇒3 = =1 2+ 3+ 2+ 3+ Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : ⇔ + ( ( x + 1) + 1) ( ( x + 1) 2 +2 ) = ( x2 + x + 2) + ( x + x + 3) = (*) ĐKXĐ : ∀x ∈ R Đặt t = x + x + t = ( x + 1) + ≥ (*) ⇔ 1 2 + = ⇔ ( t + 1) + 4t = 5t ( t + 1) 2 t ( t + 1) ⇔ 5t + 10t − 3t − 8t − = ⇔ ( t − 1) ( 5t + 15t + 12t + ) = t −1 = t =1 ⇔ ⇔ Vậy S = { 1} t + 15 t + 12 t + = Pt vô nghiệ m t ≥ 8 ( x + y ) − 10 ( x − y ) − ( x − y ) = ( I) Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : 2 x + y − = 2x − y * Điều kiện xác định : x ≠ y 2 − y 2 − y −10 ÷ ÷− ÷− y ÷ = y =0 ÷ −y ⇔ Nếu x = ( I ) ⇔ : PTVN 2 − =2 y = −y 2 ÷− y Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm Nếu x ≠ ±y Chia vế phương trình (1) cho ( x + y ) ( x − y ) Ta có : 2x − y 2x + y 8 ( x + y ) − 10 ( x − y ) − ( x − y ) = − 10 − = (*) 2x + y 2x − y ⇔ 2 x + y − = 2x + y − = (**) x − y 2x − y GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Đặt t = 2x + y 2x − y 1 −1 t + ÷ = ⇔ t = Ê; t= ( *) ⇔ 8t − 10 − 3t = ⇒ t − ÷ 2x + y = ⇒x= y 2x − y 2 + Với t = Thay vào (**) Ta có : 2× y + y − 2 = ⇔ 6y − =2 2y 2× y − y 1 −1 ⇒ 12y − y − = ⇔ y − ÷ y + ÷ = ⇔ y = ; y = 6 5 ⇒x= × = ( thỏa mãn ĐKXĐ) 2 −1 5 ã Vi y = x = ì = ( thỏa mãn ĐKXĐ) 6 12 −5 −1 5 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm : ; ÷ ; ÷ 4 2 • Với y = + Với t = x + y −1 −3 y - = ⇔x= 2x − y 10 Thay vào (**), ta có: x + y − =2 2x − y - 3y 2× + y= Û 13 y - 65 y - 25 = y 10 2× - y 10 D = 5525 >0 nên phương trình có nghiệm: 65 + 5525 - 3× 65 + 5525 - 195 - 5525 26 y1 = Þ x= = 26 10 260 65 - 5525 - 3× 65 - 5525 - 195 + 5525 26 y2 = Þ x= = 26 10 260 GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N A AM AN PQ + + =1 a) Chứng minh : AB AC AQ AM ×AN ×PQ = b) Xác định vị trí điểm Q để AB ×AC ×AQ 27 M N GIẢI: Gọi H = PN ∩ BC ; I=MP ∩ BC Ta có: AN NC + = AC AC P (1) Mặt khác : Áp dụng định lí Talet Ta có: NC CH CI + IH CI IH = = = + (2) B H Q AC BC BC BC BC CI AM = ; Vì MI // AC nên (3) BC AB Vì ∆ABC ∆PHI (g-g) PH PQ IH PQ IH PH = = ⇒ = mà nên (4) AB AQ BC AQ BC AB AN NC AN CI IH AN AM PQ + = + + = + + =1 Từ (1), (2), (3) (4) Suy : AC AC AC BC BC AC AB AQ AM AN PQ + + =1 Hay AB AC AQ AM ×AN ×PQ CI ×AN ×IH CI ×BH ×IH = = = b) Từ câu a Ta có : AB ×AC ×AQ BC ×AC ×BC BC ×BC ×BC 27 BC ⇔ CI ×IH ×HB = A 27 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm Ta có : M ( CI + IH + HB ) CI ×IH ×HB ≤ 33 AQ GV: Nguyễn Đình Huynh C N BC = 27 Dấu “ = ” xảy CI = IH = HB Đẳng thức xảy Q trung điểm BC AP = I P B H Q I Tổ : Toán - Tin C TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Giải: + Chứng minh ba điểm B; F G thẳng hàng » sd PF · G = IGF · Ta có : ∆IGF cân I nên IF = · Xét ∆OBG : ·AOG = 2OBG ( Tính chất góc ngồi) » − EP » GE » » − FP » 1 GE EF · ⇒ OBG = ·AOG = = − = ÷ ÷ ÷ 2 ÷ 2 2 = ( ) » » 1· · E − EF + FP ÷ GFI + IF 2 2 ÷ · · · GFI + 450 − 450 + IGF = ×2IGF = I· GF 2 Nên ba điểm G, F B thẳng hàng ( tia GF GB trùng nhau) + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ∆ADB : ·ADB = 900 Nên BD = BC ×BA (1) +Áp dung tính chất tiếp tuyến Ta có : BE = BF BG (2) ∆FCB ( g-g) Mặt khác : ∆AGB AB BG = ⇒ BF ×BG = AB ×BC (3) BF BC Từ (2) (3) Suy : BE = AB.BC (4) Từ (1) (4), suy : BD = BE Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 Giải: Từ x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 * Nếu x = ⇒ y = ; Nếu y = ⇒ x = * Nếu x ≠ 0; y ≠ GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Thì x 2013 Đặt t = +y 2013 = 2x 1006 y 1006 x 2013 + y 2013 ⇔ 1006 1006 = ⇔ x y 1006 x x ÷ y 1006 y + y ÷ x = ( *) x ≠0 y t Thì ( *) ⇔ xt + y × = ⇒ xt − 2t + y = Giải phương trình theo biến t Ta có : ∆ ' = b '2 − ac = ( −1) − xy = − xy Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ) Thì ∆ ' = − xy ≥ ⇒ xy ≤ Nên giá trị nhỏ P = – xy = xy = GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin