Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không [r]
(1)Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp THcs n¨m häc 2008-2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có trang CÂU (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình xyz x y z CÂU (2 điểm) a) Giải phương trình b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100 Tính giá trị biểu thức x3 x2 x A y x 10 z xy x 10 yz y xz 10 z 10 CÂU (2 điểm) a) Chứng minh các số x, y, z có tổng là số không âm thì x y3 z 3xyz mn Tìm giá trị nhỏ biểu thức b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện P m2 n m2n m2n m2 n CÂU (1.5 điểm) m 4 x m 3 y 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn CÂU (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R Từ điểm P trên tia tiếp tuyến đường tròn B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn Gọi H là hình chiếu A lên BC, E là giao điểm PC và AH a) Chứng minh E là trung điểm AH b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO Họ và tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có trang) I Một số chú ý chấm bài Hướng dẫn chấm thi đây dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số II §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm CÂU (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình xyz x y z ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Phương trình đã cho tương đương với 1 1 xy yz zx x y z Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö (*) 1 1 xy yz zx z - Nếu z 3 thì (loại) - Nếu z 2 thì phương trình đã cho trở thành 2xy x y 2x 1 2y 1 5 Hay Do (*) nªn chØ cã trêng hîp 2x - = vµ 2y - = 1, suy x = vµ y = - Nếu z 1 thì phơng trình đã cho trở thành xy x y x 1 y 1 2 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 điểm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm Do (*) nên có trường hợp x - = và y - = 1, suy x = và y = 0,25 điểm Nghiệm là: (3 ; ; 1), (3 ; ; 2), (2 ; ; 1), (2 ; ; 3), (1 ; ; 2), (1 ; ; 3) 0,25 điểm CÂU (2 điểm) Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009 (3) a) Giải phương trình b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100 Tính giá trị biểu thức x3 x x A y x 10 z xy x 10 yz y xz 10 z 10 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình 0,25 điểm 4x x 3x 3x 4x x 1 0,25 điểm x x Nghiệm phương trình: b) Ta có 0,25 điểm x 1 x 3 41 0,25 điểm xyz 10 0,25 điểm A xy x 10 z xy x 10 xyz xy x xz 10 z xyz 0,25 điểm A xy x xy x 10 10 xy x z 0,25 điểm A xy x 10 xy x 10 10 xy x x 10 xy = 10 z x 10 xy 0,25 điểm CÂU (2 điểm) a) Chứng minh các số x, y, z có tổng là số không âm thì x y3 z 3xyz b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện P mn Tìm giá trị nhỏ biểu thức m2 n m2n m2n m2 n §¸p ¸n biÓu ®iÓm a) (1,25 điểm) Ta có P x y3 z3 3xyz x y 3xy x y z 3xyz 0,25 điểm x y z 3xy x y 3xyz x y z x y z x y z 3xy x y z x y z x y z x y z 3xy 2 x y z x y z xy yz zx Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009 0,25 điểm 0,25 điểm (4) 2 x y z x y y z z x 0 (Do giả thiết x + y + z ) 3 3 3 Suy P x y z 3xyz 0 và đó x y z 3xyz b) Từ Do đó m n 2mn m n 0 2 và giả thiết suy m n 2mn 1 m2 n m2 n2 m2 n m2 n P 2 mn m n 16m n m n 2 15 m n 16m n 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Áp dụng BĐT a b 2 ab với a, b không âm, đấu đẳng thức có a = b, ta có Kết luận: Pmin 15 17 P 4 17 m n , đạt 0,25 ®iÓm CÂU (1.5 điểm) m x m 3 y 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM b) Với m, đường thẳng (d) không qua gốc toạ độ O(0; 0) m = 4, ta có đường thẳng y = 1, đó khoảng cách từ O đến (d) là (1) m = 3, ta có đờng thẳng x = -1, đó khoảng cách từ O đến (d) là (2) m 4, m th× (d) c¾t trôc Oy, Ox lÇn lît t¹i 0,50 ®iÓm A 0; B ; 0 m vµ m Hạ OH vuông góc với AB, tam giác vuông AOB, ta có 1 OA , OB m m 0,25 ®iÓm 0,50 điểm 1 7 1 2 2 m 3 m 2m 14m 25 2 m 2 OH OA OB 2 2 Suy OH 2 OH (3) Từ (1), (2), (3) ta có GTLN OH là , đạt và m = Kết luận: m = Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009 0,25 ®iÓm (5) CÂU (2,5 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R Từ điểm P trên tia tiếp tuyến đờng tròn B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đờng tròn Gọi H là hình chiếu A lên BC, E là giao ®iÓm cña PC vµ AH a) Chøng minh E lµ trung ®iÓm cña AH b) TÝnh AH theo R vµ kho¶ng c¸ch d = PO §¸p ¸n biÓu ®iÓm P A E B O C H a) Ta có AH // PB (vì AH, PB cùng vuông góc với BC) EH CH PB CB (1) 0,25 điểm Lại có AC // PO (vì AC, PO cùng vuông góc với AB) nên hai tam giác vuông AHC và PBO đồng dạng AH CH PB BO (2) 0,50 điểm Mà CB = 2.BO nên AH = EH hay E là trung điểm AH 0,25 điểm b) Ta có AH2 = HB HC = (2R – HC)HC 0,25 điểm EH.CB EH.CB AH.CB AH.CB AH 2R 2R PB PB = 2PB 2PB 0,25 điểm 4PB2 AH (4R.PB AH.2R).AH.2R 0,25 điểm PB2 AH 2R PB R AH 0,25 điểm R PB2 AH 2R PB 0,25 điểm 2 Mà PB d R nên AH 2R d2 R 2 d 0,25 điểm Hết Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009 (6)