Đề thi thử cấp tỉnh lần 1 15-16

PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG HỊA TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ĐỀ THI THỬ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn thi: Tốn ĐỀ Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1:(5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: x + x + ×××+ x + b) Tính giá trị biểu thức: A = + + x + ; ( n dấu căn, x ≥ − ) 84 84 + 1− 9 c) Cho x + y = x y ≠ Chứng minh : 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x − x y + 3 Câu 2:(2 điểm) : Một ca nô bè nứa trôi tự rời bến sơng để xi dịng sơng Ca nơ xi dịng 96km trở A, lẫn 10h Trên đường cách A 32km ca nơ gặp bè nứa trơi Tìm vận tốc riêng ca nơ dịng nước Câu 3:( điểm) a) Cho hình vng 4n + đường thẳng Mỗi đường thẳng chia hình vng thành tứ giác có tỉ số diện tích : Chứng minh 4n + đường thẳng có n + đường thẳng qua điểm b) Cho x, y, z > xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: A= 1 + 3 + 3 x + y + y + z + z + x3 + Câu 4: ( điểm)Giải phương trình: x + x + + x − x + = x + Câu 5: ( điểm) Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định cho khoảng cách từ O tới AB R Gọi H trung điểm AB, tia HO cắt đường tròn (O; R) C Trên cung nhỏ AB lấy M tùy ý ( khác A, B) Đường thẳng qua A song song với MB cắt CM I Dây CM cắt dây AB K a) So sánh : ·AIM với ·ACB b) Chứng minh: 1 + = MA MB MK c) Gọi R1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MAK tam giác MBK, xác định vị trí điểm M cung nhỏ AB để tích R1.R2 đạt giá trị lớn Câu 6:( điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a cố định M trung điểm AB, BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM Q · · a) Chứng minh QAB = BAP b) Qua A vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC H Tính giá trị nhỏ diện tich tam giác AHC theo a HẾT GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán – Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1:(5 điểm) a) (2 điểm) x + x + ×××+ x + 1+ 4x +1 4x + + 4x +1 = x + x + ×××+ 4x +1+ 4x +1 +1 = x + x + ×××+ == x + x + ×××+  4x +1 +1   ÷ ÷    4x +1 +1  4x +1 +1 4x +1 +1 = x+ x+ =  = ÷ ÷ 2   84 84 + 1− 9 b) (3 điểm) Tính giá trị biểu thức: A = +   84 84 84   84  84  Suy : A = + +1− + ×3 1 + + ×3 1 + ÷  − ÷ ÷ − ÷ ÷ 9    ÷         84   84   1 + 84 ÷ + ×3  − = − A3 = + ×3 − × + + ì ì ữ ữ  ÷     27  ÷ 27  ÷     A3 = − A ⇔ ( A − 1) A2 + A + = ⇒ A = ( x ) 2( x − y) y x 84  ÷ ÷ 84  ÷ ÷ ÷ ÷  2( x − y) y c) y −1 − x −1 + x y + = y −1 y + y + − x −1 x + x + + x y + ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 2( x − y) − x + x +1 y + y +1 2( x − y) −1 = + + = + 2 y + y + x2 + x + x2 y + x y +3 y + y + x2 + x + = = = = ( ) ( ( ) − x2 + x + + y + y + x y + xy + y + x y + xy + y + x + x + 2 2 ( ) ( + ) − x2 + x + + y + y + x y + xy ( x + y ) + y + xy + x + ( x + y ) + 2 ( ) ( ) − x2 + x + + y + y + x y + y + xy + x + ( x + y ) + 2 2 ( ) ( + 2( x − y) x y +3 2 ) 2( x − y) x2 y + + = 2( x − y) x2 y2 + ( ) ( ) − x2 + x + + y + y + x2 y + ( x + y ) + ( x + y ) + + 2( x − y) x2 y2 + ) + ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) 1 − ( x + y )  = ( x − y ) 1 − ( x + y )  = − x2 + x + + y + y + x y +3 2 x2 y + x2 y + x2 y + Câu 2:(3 điểm) Giải: Gọi x, y vận tốc riêng ca nơ dịng nước ĐK : x> 4; y > 0; x > y Vì ca nơ 10 giờ, ta có phương trình : 96 96 + = 10 x+y x−y Vì ca nô trở gặp bè nứa trôi cách A 32 km, ta có phương trình: GV: Nguyễn Đình Huynh 96 96 − 32 32 + = x+y x−y y Tổ : Toán – Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG  96 96 (1)  x + y + x − y = 10  Ta có hệ PT:   96 + 96 − 32 = 32 (2)  x + y x−y y Từ (2), ta có: 96 96 − 32 32 + = x+y x−y y ( ) ⇒ 96y ( x − y ) + 64y ( x + y ) = 32 x − y ⇔ 160xy = 32x ⇔ x = 5y Thay vào (1), ta có: 96 96 16 24 10y + = 10 ⇔ + = ⇔y=4 6y 4y y y y A M2 E BI + CJ gBC S BIJC EM 2 = = = Giả sử : AI + JD S IADJ FM ×AD Vậy điểm M điểm cố định tỉ số I B Vậy hệ có nghiệm x = 20; y = ( tm) Câu 3:( điểm) a) Giải: Để chia hình vng thành tứ giác đường thẳng phải cắt hình vng cạnh đối diện Đặt tên hình vẽ: Với EF đường đoạn thẳng Nối trung điểm cạnh đối diện C F K D EM = cố định MF Trong hình vng, có đoạn nối trung điểm nên ta xác định điểm thỏa mãn tính chất Vì có 4n + đường thẳng qua điểm nên tồn điểm có n+1 đường thẳng qua ( theo nguyên lí Đirichle) b) Cho x, y, z > xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: A= 1 + 3 + 3 x + y + y + z + z + x3 + Ta có : ( x − y ) ≥ ⇔ x − xy + y ≥ xy 2 3 Vì x, y > nên ( x + y ) ( x − xy + y ) ≥ xy ( x + y ) ⇔ x + y + ≥ xy ( x + y ) + xyz ⇔ x + y + ≥ xy ( x + y + z ) 3 3 Tương tự: y + z + ≥ yz ( x + y + z ) ; ⇔ x + z + ≥ xz ( x + y + z ) 1 1 1 Suy : A = x3 + y + + y + z + + z + x3 + ≤ xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + zx ( x + y + z ) 1 x+ y+z 1 Mà = xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + zx ( x + y + z ) = xyz ( x + y + z ) = xyz = Vậy giá trị lớn A x = y = z = Câu 4: ( điểm) Giải phương trình sau : x + x + + x − x + = x + 2 Giải: Ta thấy : ( x + x + ) − ( x − x + 1) = ( x + ) + x = −4 nghiệm GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn – Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG + Xét x ≠ −4 Trục thức ta có : ( x + 4) 2x + x + − 2x − x + 2 = x + ⇒ 2x2 + x + − 2x2 − x + = x =  x + x + − x − x + = 2 ⇒ 2x + x + = x + ⇔  Vậy ta có hệ:  2 x =  x + x + + x − x + = x +  Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 x= Câu 5: ( điểm) a) Xét ∆ AOH có CosAOH = OH = ⇒ ·AOH = 600 OA ⇒ ·AOB = 1200 ⇒ sđ »AB = 1200 ⇒ ·ACB = 600 + ∆ ABC có đường cao CH đồng thời trung tuyến Vậy ∆ ABC => ·ACB = 600 Vì AI // MB ·AIM = CMB · · » ) = CAB = 600 ( góc nội tiếp chắn BC Vậy ·AIM = ·ACB b) ∆ AIM ·AIM = ·AMI = 600 J M A K B H I O => AM = MI ∆AIC = ∆AMB (c-g-c) » sđ MB · · Vì AC = AB; IAC ; AI = AM = MAB = ⇒ CI = MB ∆MKA ∆MBC ( g-g) nên MK MB = MA MC ∆MKB ∆MAC ( g-g) nên MK MA = MB MC C MK MK MB MA MB + MA 1 + = + = = hay + = MA MB MK MA MB MC MC MC a b c = = = 2R c) Bổ đề: Trong ∆ ABC, ta có : sin A sin B sin C Vậy: Áp dụng bổ đề ta được: AK AK AK BK BK BK = Trong ∆ BKM: R = sin M = sin 60 Trong ∆ AKM: R = sin M = sin 60 = Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm R1, R2 có: R1 + R2 AK + BK 3R R = = = ( Không đổi) 2 3 » Dấu xảy R1=R2 ⇔ AK = BK ⇔ M điểm AB R1 R2 ≤ GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán – Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Vậy R1R2 max = R M điểm cung AB Câu 6:( điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a cố định M trung điểm AB, BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM Q · · a) Chứng minh QAB = BAP b) Qua A vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC H Tính giá trị nhỏ diện tich tam giác AHC theo a GIẢI: a) Qua M, vẽ đường thẳng song song với AD cắt AQ K Áp dụng định lí Talet, ta có: QK QM QM QB = = mà QA QD QD QP QK QB Suy ra: QA = QP ⇒ KB//AP ( Định lí Talet đảo) · Nên BAP = ·ABK ( cặp góc so le trong) (*) H Mà MK // AD; AD ⊥ AB ⇒ MK ⊥ AB; AM = MB Suy : ∆AKB cân K ·ABK = QAB · Q K (**) A · · Từ (*) (**), suy QAB = BAP b) Ta có : ∆ABH B M ∆CBM ( g – g) · · · µ ) Vì ·ABH = CBM = 900 ; BAH = BCM ( phụ với H N AB BH ⇒ = ⇒ AB ×BM = BH ×BC BC BM D a a2 hay BH ×BC = a × = ( cố định) 2 S AHC = C 1 ×AB ×HC = ×AB ×( BC + BH ) ≥ ×AB ×2 BC ×BH 2 Dấu “ = ” xảy BC = BH hay ∆AHC cân A Khi BH ×BC = a2 a2 2a nên Min S AHC = a ×2 = 2 2  GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán – Tin P ... KHẢO Câu 1: (5 điểm) a) (2 điểm) x + x + ×××+ x + 1+ 4x +1 4x + + 4x +1 = x + x + ×××+ 4x +1+ 4x +1 +1 = x + x + ×××+ == x + x + ×××+  4x +1 +1   ÷ ÷    4x +1 +1  4x +1 +1 4x +1 +1 = x+... A − 1) A2 + A + = ⇒ A = ( x ) 2( x − y) y x 84  ÷ ÷ 84  ÷ ÷ ÷ ÷  2( x − y) y c) y ? ?1 − x ? ?1 + x y + = y ? ?1 y + y + − x ? ?1 x + x + + x y + ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 2( x − y) − x + x +1 y... y + z ) ; ⇔ x + z + ≥ xz ( x + y + z ) 1 1 1 Suy : A = x3 + y + + y + z + + z + x3 + ≤ xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + zx ( x + y + z ) 1 x+ y+z 1 Mà = xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z