Đề thi HSG cấp tỉnh Phú yên lớp 9 năm 14-15

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO PHÚ YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có trang) Họ tên thí sinh KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS Năm học : 2014 – 2015 Mơn thi : Tốn Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Số báo danh Chữ kí Câu 1: (5,0 điểm) a) Cho x > 0, y> x Chứng minh rằng: y+ x = y + y2 − x + y − y2 − x ; y + y2 − x − − ( − a ) ÷  y− x = y − y2 − x + − a  ( + a )  b) Rút gọn biểu thức: P = + 1− a2  x − 12 x = y − 12 y Câu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình  2  x + 5y = Câu 3: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Tia Mx song song với AB cắt BC D, tia My song song với BC cắt AC E tia Mz song song với AC cắt AB F Chứng minh rằng: 3S DEF ≤ S ABC ( S ABC : diện tích tam giác ABC, S DEF : diện tích tam giác DEF ) Câu 4: (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R), dây cung AB cách tâm O khoảng d ( < d < R) Hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc M, tiếp xúc với AB C, D tiếp xúc với đường tròn (O) điểm E, F (O1; O2 O nằm nửa mặt phẳng bờ AB) a) Gọi N trung điểm cung nhỏ AB Chứng minh: NC.NE = ND.NF b) Khi hai đường tròn (O1), (O2) thay đổi, điểm M chạy đường nào? Câu 5: (3,5 điểm) Gọi S(n) tổng chữ số số tự nhiên n Hãy tìm số tự nhiên n biết S(n) = n2 – 2015n + < S(n) ≤ n - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………… Số báo danh:…………… Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2: …………………… GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: (5,0 điểm) a) Cho x > 0, y> x Chứng minh rằng: y + y2 − x + y+ x = y − y2 − x Bình phương hai vế, ta có: ⇔ y+ x = VP : y + y2 − x y − y2 − x y + y2 − x y − y2 − x + +2 × 2 2 y + y2 − x y − y2 − x y + y2 − x y − y2 − x + +2 × 2 2 = y+2 y2 − ( y2 − x ) y− x = y2 − = y+2 y + y2 − x − ( y2 − x ) : VT = y+ x y − y2 − x Chứng minh tương tự : y − y2 − x nên y + y − x − 2 b) Rút gọn biểu thức: ĐKXĐ : −1 ≤ a ≤ ý : y + y2 − x > + − a  ( + a ) −  P= + − a2 = 1+ 1− a2 ( ( ( 1− a)  1+ 1− a2 ÷ = )( + a − − a + − a2 + 1− a )= )( ( y − y2 − x >0 )( + a − − a + a + − a2 + − a 1+ 1− a2 + − a2 ( 1+ a − 1− a ) ( )( ) 2 2 Suy : P = + − a + a + − a − − a = + − a − − a ( ( = − − a2 ) ) = 2a )  2a; ≤ a ≤  Vậy P =  − 2a; -1 ≤ a 2015 S(n) = n2 – 2015n + = n(n-2015) + Vì n > 2015 nên n – 2015 ≥ ⇒ n ( n − 2015) + > n hay S(n) > n Nên ∀n f 2015 khơng có giá trị n thỏa mãn u cầu tốn • Nếu n < 2015: S(n) = n2 – 2015n + = n2 – – 2015n + 2015 – 2006 = (n-1)(n+1) – 2015( n-1) – 2006 = (n-1)(n-2014) – 2006 + n = : S(n) = > ( = n) ( không thỏa mãn) + n = 2014: S(n) = - 2006 < ( không thỏa mãn) + < n < 2014 : n − ≥ 0; n-2014