Bài tập ôn tập môn Giải tích II Xét tính liên tục hàm số a) x2 ( x2 y ) x y f x, y x y m x y b) x sin 1x cos 21y f x, y e 1 c) x2 y2 sin x y2 f x, y x, y x y d) x2 y x, y (0, 0) f x, y x y x y x, y (0, 0) e) 2 x y x y sin 2 x y f x, y x y x y x y Tìm cực trị hàm số a) u x y x y x y2 z2 b) u 2x y z d) u 3x y x y e) u arctan x y y x, y , z f) u x2 y z x y z c) u x3 y z 3x y Tìm cực trị có điều kiện hàm số y2 z2 x y 1 b) u x, y, z x y z với điều kiện z xy a) u x y z với điều kiện x x2 y c) u xy yz với điều kiện x, y , z y z y2 d) u x y z với điều kiện x z 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số a) u x y xy 3xy miền đóng x 1, y b) u x y x y miền D: x 0, y 0, x y c) u x y 12 x 16 y miền D {(x,y): x y 36} Tính vi phân, đạo hàm theo hướng hàm nhiều biến, đạo hàm hàm ẩn a) Cho z hàm ẩn xác định z ye x / z Tính dz 0; 1 b) Cho u ln x y z điểm A 1;1; 1 , B(0;3;1) Tính đạo hàm u điểm A theo U A hướng AB Tìm giá trị lớn u c) u x sin(3 yz ) Xác định Grad u M (1;1;0) với i j 2k d) z z ( x, y) hàm ẩn hai biến xác định hệ thức: yz e z xe y Tính dz 1; Áp dụng tính gần z 0,95; 0, 05 e) y = y(x) hàm số ẩn xác định từ biểu thức: x3 y xy Tính d y điểm x 27 Tính tích phân bội x y z dxdydz với V xác định 2 V z x y b) ( x y)3 ( x y ) dxdy với D miền a) x ze y2 giới hạn đường thẳng D x y 1, x y 3, x y 1, x y 2x c) dxdy D miền x y 4, x 0, y 2 4 x y D d) xyzdxdydz với V miền V e) x2 y2 z2 x y z dxdydz , V miền x y z 1, x, y, z V f) z x y dxdydz V miền giới hạn mặt trụ x y x, z V Tính thể tích vật thể giới hạn mặt a) z x y z b) x y z xyz nằm góc x, y , z c) z x y , y z d) ( x y z ) z ( x y ) nằm góc x, y , z e) z x y , z x y f) ( x 2) y 4, x y z 16 g) x y x z Tính diện tích a) Hình phẳng giới hạn đường cong ( x y ) x3 x2 y b) Hình phẳng giới hạn đường cong xy ( x 0, y 0) c) Hình phẳng giới hạn đường cong x y x y d) Mặt paraboloid z x y nằm mặt trụ x y e) Mặt cầu x y z nằm mặt trụ x y 3x Tính tích phân đường, tích phân mặt a) ( x y )ds với AB nửa phía trục hoành cung tròn x y AB b) y z dydz z x dzdx x y dxdy với S mặt mặt nón x y z z có pháp S tuyến hướng phía 2 2 2 c) x dydz y dzdx z dxdy với S mặt nón x y z z 1 có pháp tuyến hướng phía S d) y z dx z x dy x y dz C đường x y , C ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz x z chiều lấy tích phân e) xdydz ydzdx zdxdy với S mặt hình trụ x y 4, z có pháp tuyến hướng S phía cung x y x f) x 1 e x y dx xe x y dy với OA y 0 theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0) OA g) x y z dydz với S biên miền V : x y z , x có pháp tuyến hướng phía S h) -x OA nửa cung tròn x y y, x chiều từ y x y dx xy x y dy với OA O(0,0) đến A(0,2) 2 i) I x y dx y xy ln( x x y dy L đường tròn x y lấy L theo chiều dương x y dx x y dy với C đường tròn bán kính j) R bao quanh gốc tọa độ Trong trường hợp 2 x y C có áp dụng công thức Green không? k) Tìm điều kiện m để tích phân đường (3 x y ) dx ( mxy y 4) dy không phụ thuộc vào AB đường cong nối A(1;3) B(2; 4) Hãy tính tích phân 10 Giải phương trình, hệ phương trình vi phân a) y y y 4 xe x y' y z o) b) y y y x 1 e x y ' y 3z ln x y x x q) xy y x sin x c) y " y ' y x p) y ' d) e) f) y " y ' y e x e x y " y x sin x y " y sin x r) 1 x y dx x y x dy s) (1 x ) y ' xy (1 x ) (1 x ) y ' xy 1, y (0) g) y " y x e x h) y y y e x 3 x i) j) t) với y 1, y ex y y y xe x u) (1 x y)dx x ( y x)dy y y y y v) y x sin x y sin x x x x y y ' x y x x y y x y w) sin y x dx x sin ydy cách nhân k) l) thêm thừa số tích phân x2 y với điều kiện y 1 x x y) xy y xy e phép đổi biến z x y z) x y " xy ' y x phép đổi biến x et x) xy y x sin y ' 2y z m) z ' y 2z y ' 2y z n) y ' y 2z