Bài tập ôn tập giải tích II

Bài tập ôn tập môn Giải tích II Xét tính liên tục hàm số a)  x2 ( x2  y ) x  y  f  x, y    x  y  m x  y  b)  x sin 1x cos 21y  f  x, y    e 1 c)  x2  y2 sin x  y2 f  x, y      x, y  x y  d)  x2  y  x, y   (0, 0)  f  x, y    x y   x  y    x, y   (0, 0)  e)   2 x  y    x  y  sin 2 x y f  x, y     x  y   x  y  x  y  Tìm cực trị hàm số a) u  x  y   x  y  x y2 z2 b) u     2x y z d) u  3x y  x  y e) u  arctan x  y  y  x, y , z   f) u  x2  y  z  x  y  z c) u  x3  y  z  3x  y Tìm cực trị có điều kiện hàm số y2  z2   x  y  1 b) u  x, y, z   x  y  z với điều kiện   z  xy  a) u  x  y  z với điều kiện x   x2  y  c) u  xy  yz với điều kiện   x, y , z   y  z  y2 d) u  x  y  z với điều kiện x   z  4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số a) u  x y  xy  3xy miền đóng  x  1,  y  b) u  x  y  x  y miền D: x  0, y  0, x  y  c) u  x  y  12 x  16 y miền D  {(x,y): x  y  36} Tính vi phân, đạo hàm theo hướng hàm nhiều biến, đạo hàm hàm ẩn a) Cho z hàm ẩn xác định z  ye x / z  Tính dz  0; 1  b) Cho u  ln  x  y  z  điểm A 1;1; 1 , B(0;3;1) Tính đạo hàm u điểm A theo  U  A   hướng AB Tìm giá trị lớn       u c) u  x sin(3 yz ) Xác định Grad u  M (1;1;0) với   i  j  2k  d) z  z ( x, y) hàm ẩn hai biến xác định hệ thức: yz  e z  xe y  Tính dz 1;  Áp dụng tính gần z  0,95; 0, 05  e) y = y(x) hàm số ẩn xác định từ biểu thức: x3  y  xy   Tính d y điểm x  27 Tính tích phân bội  x  y  z  dxdydz với V xác định  2 V  z  x  y b)  ( x  y)3 ( x  y ) dxdy với D miền a) x  ze  y2 giới hạn đường thẳng D x  y  1, x  y  3, x  y  1, x  y  2x c)  dxdy D miền x  y  4, x  0, y  2 4 x  y D d)  xyzdxdydz với V miền V e)  x2 y2   z2  x  y  z dxdydz , V miền x  y  z  1, x, y, z  V f)  z x  y dxdydz V miền giới hạn mặt trụ x  y  x,  z  V Tính thể tích vật thể giới hạn mặt a) z  x  y  z  b) x  y  z  xyz nằm góc x, y , z  c) z  x  y , y  z  d) ( x  y  z )  z ( x  y ) nằm góc x, y , z  e) z  x  y , z   x  y f) ( x  2)  y  4, x  y  z  16 g) x  y  x  z  Tính diện tích a) Hình phẳng giới hạn đường cong ( x  y )  x3  x2 y  b) Hình phẳng giới hạn đường cong     xy ( x  0, y  0)   c) Hình phẳng giới hạn đường cong  x  y    x  y  d) Mặt paraboloid z  x  y nằm mặt trụ x  y  e) Mặt cầu x  y  z  nằm mặt trụ x  y  3x Tính tích phân đường, tích phân mặt a)  ( x  y )ds với  AB nửa phía trục hoành cung tròn x  y   AB b)   y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy với S mặt mặt nón x  y  z   z   có pháp S tuyến hướng phía 2 2 2 c)  x dydz  y dzdx  z dxdy với S mặt nón x  y  z   z  1 có pháp tuyến hướng phía S d)   y  z  dx   z  x  dy   x  y  dz C đường x  y  , C ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz x z   chiều lấy tích phân e)  xdydz  ydzdx  zdxdy với S mặt hình trụ x  y  4,  z  có pháp tuyến hướng S phía  cung x  y  x f)   x  1 e x  y dx  xe x  y dy với OA  y  0 theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0)  OA g)  x y  z dydz với S biên miền V : x  y  z ,  x  có pháp tuyến hướng phía S h)   -x  OA  nửa cung tròn x  y  y,  x   chiều từ y  x  y  dx   xy  x  y  dy với OA O(0,0) đến A(0,2) 2 i) I    x  y dx  y xy  ln( x  x  y dy  L đường tròn  x     y    lấy   L theo chiều dương  x  y  dx   x  y  dy với C đường tròn bán kính j)  R  bao quanh gốc tọa độ Trong trường hợp 2 x  y C có áp dụng công thức Green không? k) Tìm điều kiện m để tích phân đường  (3 x  y ) dx  ( mxy  y  4) dy không phụ thuộc vào    AB đường cong nối A(1;3) B(2; 4) Hãy tính tích phân 10 Giải phương trình, hệ phương trình vi phân a) y  y  y  4 xe x y'  y  z o)  b) y  y   y   x  1 e x  y '  y  3z ln x y x x q) xy  y  x sin x c) y " y ' y  x p) y ' d) e) f) y " y ' y  e x  e x y " y  x sin x y " y  sin x r) 1  x y  dx  x  y  x  dy  s) (1  x ) y ' xy  (1  x ) (1  x ) y ' xy  1, y (0)  g) y " y  x e x h) y  y  y  e  x  3 x i) j) t) với y    1, y     ex y  y  y  xe x u) (1  x y)dx  x ( y  x)dy  y  y  y y  v) y  x sin   x  y sin x x   x  x  y  y '  x  y  x  x  y   y  x  y   w) sin y  x dx  x sin ydy  cách nhân k)  l) thêm thừa số tích phân x2 y  với điều kiện y 1  x x y) xy  y   xy  e phép đổi biến z  x y z) x y " xy ' y  x phép đổi biến x  et x) xy  y  x sin y '  2y  z m)  z '  y  2z y '  2y  z n)   y '  y  2z