GIẢI TÍCH đh QUỐC GIA HCM

ĐạihọcQuốcgiaTP.HCM TrườngĐạihọcBáchKhoa BộmônToánỨngdụng BàiGiảngGiảiTích1 ThS.NguyễnHữuHiệp MỤC Giới hạn liên tục 1.1 Giới hạn dãy số 1.1.1 Bài tập 1.2 Hàm số 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα 1.2.2 Hàm lượng giác 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit 1.2.4 Hàm y = ln x 1.2.5 Hàm Hyperbolic 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược 1.2.7 Hàm Hợp 1.2.8 Hàm ngược 1.2.9 Hàm tham số hóa 1.3 Giới hạn hàm số 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các giới hạn 1.3.3 Vô bé 1.3.4 Vô lớn 1.4 Hàm số liên tục LỤC 5 10 11 11 12 14 15 16 16 17 18 18 19 19 21 22 26 29 33 33 33 36 37 38 41 41 45 52 52 54 57 58 61 Tích phân 3.1 Tích phân bất định 65 65 Đạo hàm vi phân 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Định nghĩa tính chất 2.1.2 Đạo hàm hàm ngược hàm tham số hóa 2.1.3 Đạo hàm cấp cao 2.2 Vi phân 2.3 Định lý giá trị trung bình 2.4 Công thức H’Lopital 2.5 Công thức taylor 2.6 Khảo sát vẽ đồ thị 2.6.1 Tiệm cận 2.6.2 Chiều biến thiên cực trị 2.6.3 Lồi, lõm điểm uốn 2.6.4 Khảo sát hàm số 2.6.5 Tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ MỤC LỤC 3.2 3.3 MỤC LỤC 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Phương pháp tính tích phân bất định 3.1.3 Nguyên hàm hàm hữu tỷ 3.1.4 Nguyên hàm hàm lượng giác 3.1.5 Nguyên hàm hàm vô tỷ Tích phân suy rộng Ứng dụng hình học tích phân 3.3.1 Diện tích hình phẳng 3.3.2 Độ dài đường cong 3.3.3 Thể tích vật thể tròn xoay 3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay Phương trình vi phân 4.1 Phương trình vi phân cấp 4.1.1 Phương trình vi phân tách biến 4.1.2 Phương trình vi phân đẳng cấp 4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính 4.1.5 Phương trình vi phân Bernulli 4.1.6 Bài tập tổng hợp 4.2 Phương trình vi phân cấp 4.2.1 PTVP cấp 4.2.2 PTVP cấp - dạng 4.2.3 PTVP cấp - Dạng 4.2.4 PTVP cấp - dạng 4.3 Hệ phương trình vi phân 4.3.1 Ánh xạ đạo hàm 4.3.2 Hệ phương trình vi phân 4.4 Bài tập ôn tập cuối kỳ 4.5 Đề thi cuối kỳ Đại học Bách khoa TPHCM Trang 65 66 68 70 73 75 78 78 79 80 81 83 83 83 85 86 88 90 91 95 95 95 97 97 98 98 98 101 102 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG GIỚI 1.1 HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1 (Sup-Inf tập hợp) Cho tập A ⊂ R • Cận nhỏ tập A gọi Supremum, ký hiệu sup(A) • Cận lớn A gọi infimum, ký hiệu inf(A) Ví dụ 1.1 a) A = [0, 1) sup(A) = inf(A) = Chú ý tập max(A) = min(A) không tồn Khái niệm sup inf mở rộng max b) A = { |n ∈ N } sup(A) = inf(A) = n c) A = (−∞, 3) sup(A) = inf Định nghĩa 1.2 (Dãy số) Một dãy số ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R u : N −→ R n → u(n) := un Ký hiệu dãy số (un )+∞ n=1 hay đơn giản (un ) un gọi số hạng thứ n dãy √ Ví dụ 1.2 a) Cho dãy số dạng liệt kê (un ) = {1; −2; 1; 4; 0; −5, 8; −3; 3, − 31 , } Số hạng thứ u5 = b) Cho dãy số dạng số hạng tổng quát (un ) : un = Số hạng thứ u7 = (−1)7 + = +1 25 (−1)n + n n2 + u1 = un+1 = 2un + 3, n ≥ Ta có u2 = 2u1 + = 5, u3 = 2u2 + = 13, c) Cho dãy số dạng truy hồi (un ) : Định nghĩa 1.3 (Dãy số đơn điệu) Dãy số (xn ) gọi tăng xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N Dãy số (xn ) gọi giảm xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N Bỏ dấu "=" đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt) Dãy số tăng giảm gọi chung đơn điệu Ví dụ 1.3 Xét tính đơn điệu dãy số (xn ) : xn = Ta có n+1 n+2 (n + 1) + n + (n + 2)2 − (n + 1)(n + 3) xn+1 − xn = − = = > 0, ∀n (n + 1) + n + (n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2) =⇒ xn+1 > xn suy (xn ) dãy tăng 1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Cách khác x+1 Xét f (x) = , x ≥ =⇒ f (x) = > x+2 (x + 2)2 Vậy f (x) đồng biến nên (un ) dãy tăng Định nghĩa 1.4 (Dãy số bị chặn) Dãy (xn ) gọi bị chặn ∃M : xn ≤ M, ∀n Dãy (xn ) gọi bị chặn ∃m : xn ≥ m, ∀n Dãy (xn ) bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Dãy (xn ) bị chặn (|xn |) bị chặn Ví dụ 1.4 Xét tính bị chặn dãy số (xn ) : xn = Ta có < n n+1 n < 1, ∀n ∈ N Suy (xn ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn bị chặn n+1 Định nghĩa 1.5 (Dãy con) Cho dãy (xn ) Dãy (xn ) dãy (xnk )k mà phần tử lấy tùy ý từ (xn ) theo thứ tự tăng dần số Ví dụ 1.5 n = −1, 1, , , , , −2 7 23 17 Dãy = −1, , , , dãy xn 23 17 2n Dãy x2n = = 1, , dãy số chẵn xn (2n) − 17 2n + = −1, , , dãy số lẻ xn Dãy x2n+1 = (2n + 1) − 23 Cho dãy (xn ) : xn = n2 n→+∞ Định nghĩa 1.6 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim un = a hay un −−−−→ a định nghĩa n→+∞ ∀ε > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un − a| < ε Ta nói dãy (un ) hội tụ a Nếu (un ) không hội tụ ta nói (un ) phần kỳ n→+∞ Định nghĩa 1.7 ( dãy số dần vô cùng) Ký hiệu lim un = +∞ hay un −−−−→ +∞ n→+∞ định nghĩa ∀A > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un > A Ta nói dãy (un ) hội tụ a Nếu (un ) không hội tụ ta nói (un ) phần kỳ Tượng tự cho giới hạn dần −∞ Tính chất Cho xn −→ a, yn −→ b; a, b ∈ R ta có i) ii) lim (xn ± yn ) = a ± b iii) lim (xn yn ) = ab iv) n→+∞ n→+∞ Đại học Bách khoa TPHCM lim n→+∞ xn a = , b = yn b lim |xn | = |a| n→+∞ Trang ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ Định lý Giới hạn dãy tồn Dãy hội tụ bị chặn Cho xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ≥ n0 xn −→ a zn −→ a =⇒ yn −→ a Mọi dãy tăng bị chặn hội tụ Mọi dãy giảm bị chặn hội tụ xn → a ⇐⇒ x2n → a x2n+1 → a Số e Người ta chứng minh dãy số xn = 1+ n n dãy tăng bị chặn hội tụ Ký hiệu lim n→∞ n 1+ n =e Số e số vô tỷ có giá trị gần e = 2.718281828 Các giới hạn i) lim α = 0, α > n→∞ n ii) lim α = 0, α > n→∞ ln n iv) lim n→∞ v) lim n→∞ √ n nα = 1, ∀α 1+ a n n = ea , ∀a iii) lim q n = 0, |q| < n→∞ Các dạng vô định ∞ , , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , +∞0 , 00+ ∞ Khi tính giới hạn dạng vô định, ta dùng công thức biến đổi đại số để khử dạng vô định Nếu giới hạn dạng vô định, ta tính bình thường Đại học Bách khoa TPHCM Trang ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Quy tắc 1 = ∞, = 0 ∞ lnα n nβ (β > 0) an (a > 1) n! nn Dấu mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ chia hàm lớn dần hàm lớn chia hàm nhỏ dần vô Ví dụ 1.6 ln5 n a) lim √ = n→∞ n 3n = n→∞ n! b) lim 2n = +∞ n→∞ n100 c) lim log52 n d) lim = n→∞ 3n Ví dụ 1.7 Tính giới hạn sau 2n3 − 3n a) I = lim n→∞ 4n + 3n2 ∞ Dạng Đại lượng n3 lớn nên chia tử mẫu cho n3 ∞ 2− n = +∞ (vì tử dần 2, mẫu dần 0) I = lim n→∞ + n n 2n3 − 4n+1 b) I = lim n n→∞ − 22n−1 + 5n7 ∞ Dạng Đại lượng 4n = 22n lớn nên chia tử mẫu cho 4n ∞ n3 n −4 0−4 I = lim = = n→∞ n n 0− +0 ( ) − +5 n 4 √ c) I = lim n2 + 4n − n + n→∞ Dạng ∞ −√∞ Nhân lượng √ liên hợp ( n + 4n − n)( n2 + 4n + n) n2 +4n− n2 ∞ √ I = lim + lim √ + Dạng n→∞ n→∞ ∞ n2 + 4n + n n2 + 4n + n Chia tử mẫu cho n 4 I = lim +1= √ + = n→∞ 1+0+1 + n4 + √ n √ 1 n4 (3 − ) = lim n n (3 − ) n = 1.30 = n→∞ n→∞ n→∞ n n √ Tương tự, ta chứng minh n Pm → với đa thức Pm d) I = lim e) I = lim n→∞ n 3n4 − 4n3 = lim n 2n+1 − 4n = lim n→∞ 3n + 5n3 20 = Đại học Bách khoa TPHCM n 4n 2− n = Vì lim n→∞ 5n3 1+ n Trang n  1 4n 4n n 2− n 2− n = lim     = n→∞ 5n3 5n3 1+ n 1+ n 3 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ ln2 (2n) (ln + ln n)2 ln f) I = lim + = (0 + 1)2 = = lim = lim n→∞ ln2 n n→∞ n→∞ ln n ln n √ n sin n! g) I = lim n→∞ n √ √+ n n sin n! Ta có ≤ ≤ n+1 √ n+1 √ √ n n sin n! n sin n! Vì lim = lim = nên lim = = =⇒ lim n→+∞ n→∞ n + n→∞ n→∞ n+1 n+1 h) I = lim n−1 n+1 i) I = lim n2 + n2 + n→∞ n→∞ = lim n→∞ 1+ n+1 = lim n→∞ = e−2 = e2 3n2 +1 = lim n→∞ −3 +5 n+1 −2 1+ n+1 (n2 +5) −3 1+ n +5 (n2 +5) 3n2 +1 n +5 3n2 +1 n2 +5 = (e−3 ) = e−9 = n2 e9 n3 +1 2n + n+2 j) I = lim n→∞ 3n + 2n + n3 + Vì lim = , lim = +∞ nên I = n→∞ 3n + n→∞ n + Chú ý dạng vô định Có dạng (2/3)+∞ = √ n 2n + 3n n2 +2 k) I = lim n→∞ 4n2 − 2n √ 2n2 + 3n n Vì lim = , lim = nên I = (1/4)0 = n→∞ 4n2 − 2n n→∞ n +2 Chú ý dạng vô định n 2n3 + 3n n2 +2 l) I = lim n→∞ 4n2 − 2n Bài dạng vô định +∞0 Ta làm sau: √ n n n 2n3 + 3n 2n3 + 3n n2 +2 2n3 + 3n n n2 +2 √ = = n 4n2 − 2n 4n2 − 2n 4n2 − 2n n2 n2 +2 n→∞ −−−→ (1/1)1 = Ví dụ 1.8 Tính giới hạn sau a) I = lim (−1)n Đặt xn = (−1)n n→∞ Ta có x2n = (−1)2n = −→ 1, x2n+1 = (−1)2n+1 = −1 −→ −1 Vậy không tồn giới hạn b) I = lim n→∞ 1−n 1+n n x2n = (−1)2n + Đặt xn = −2 + 2n Đại học Bách khoa TPHCM 1−n 1+n n = (−1)n 2n −→ 1.e−2 = n−1 1+n n = (−1)n + −2 1+n n e2 Trang ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC −2 1+ x2n = (−1) + 2n Vậy không tồn giới hạn 2n+1 2n+1 −→ −1.e−2 = − √ x1 = √ xn+1 = + xn , n ≥ c) lim xn , với xn = n→∞ e2 Viết cách khác: xn = 2+ 2+ √ + (n dấu căn) Dùng quy nạp chứng minh dãy xn tăng bị chặn hội tụ Giả sử xn → a Từ giả thiết ta có √ √ lim xn+1 = lim + xn ⇐⇒ a = + a ⇐⇒ a = n→∞ n→∞ Vậy lim xn = n→∞ + 1.2 1− + d) lim xn , với xn = n→∞ Ta có xn = 1.1.1 1 + ··· + 2.3 n(n + 1) 1 1 − + − + ··· + 3 1 − n n+1 =1− −→ n+1 Bài tập Tính giới hạn lim 4n − 5−n 3n − 22n − 5n6 n2 + 2n − n + lim( ) 2n + lim ln(3n2 − 2n) n9 + 3n2 lim 1+n + n − n2 lim( ) n+2 lim n + (−1)n n sin n! √ lim (1 + n) n − log 10n lim log n n n n2 + n n + 5n lim n 5n + n10 + 2n 2n + n − 10 lim( ) n −1 1+n n − 2 − √n 11 lim( ) n+2 12 lim( 13 lim 2n − n ) 5n + n2 + 2n arctan n! 3n3 + arcsin n 14 lim( n − 1−n ) n2 + 1 15 lim √ n n! n 16 lim √ n n! Tìm lim un biết: √ √ 1 19 u = 3, u = + un n+1 17 un = + + ··· + 1.3 3.5 (2n − 1).(2n + 1) 18 un = (1 + 21 un = √ n (−1)n n ) n 20 un = sin n 1 √ √ +√ √ ··· + √ √ 2n − + 2n + 1+ 3+ Đại học Bách khoa TPHCM Trang 10 ĐS: ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 22 un = 23 u1 = 24 u1 = 1 + + ··· + 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) √ 13, un+1 = √ 5, un+1 = √ 12 + un , n ≥ 26 u1 = 1, un+1 1.2.1 =1+ , un ĐS: ĐS:4 √ ĐS: √ 5un , n ≥ 1 ĐS: 25 u1 = , un+1 = un − u2n 1.2 1.2 HÀM SỐ √ 1+ ĐS: Hàm số Hàm lũy thừa y = xα y y = x2 n = : y = x2 * T XD : D = R * T GT : T = [0, ∞) * Hàm số tăng khoảng (0, ∞) khoảng (−∞, 0) giảm x * Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy y n = −1 : y = x y= * T XD : D = R \ {0} x * T GT : T = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) * Hàm số giảm khoảng (−∞, 0) (0, +∞) x * Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0) Đại học Bách khoa TPHCM Trang 11 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.2.3 4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Phương trình vi phân cấp dạng Dạng y + py + qy = eαx (a cos βx + b sin βx) (2) s αx Nghiệm y = y0 + yr , với yr = x e (A cos βx + B sin βx) • Nếu α + βi nghiệm (*) s = • Nếu α + βi không nghiệm (*) s = Tính đạo hàm yr , yr vào (2) suy hệ số A, B Ví dụ 4.42 Giải phương trình vi phân y + y = sin x − cos x ĐS: y = C1 cos x + C2 sin x + x(− cos x − sin x) Ví dụ 4.43 Giải phương trình vi phân y − 6y + 9y = e3x (x2 + sin x) 4.2.4 Phương trình vi phân cấp - dạng Dạng y + py + qy = eαx (Pn (x) cos βx + Qm (x) sin βx Nghiệm y = y0 + yr , với yr = xs eαx (Hl (x) cos βx + Kl (x) sin βx • Nếu α + βi nghiệm (*) s = • Nếu α + βi không nghiệm (*) s = Trong đó, l = max m, n Hl , Kl đa thức bậc l tổng quát Tính đạo hàm yr , yr vào (2) để tìm hệ Hl Kl Bài tập Giải phương trình vi phân sau Bài y + 4y + 3y = (2x + 1)e−3x ĐS:y = C1 e−x + C2 e−3x + x(− x − )e−3x Bài y + 4y + 4y = 2xe−2x ĐS: y = C1 e−2x + C2 e−2x + x3 e−2x Bài y + 4y + 8y = (x2 + 3x)e−2x ĐS y = e−2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) + ( x2 + x)e−2x 4 Bài y + 3y − 4y = e2x sin x ĐS: y = C1 ex + C2 e−4x + − cos x + sin x e2x 74 74 Bài y − 2y + y = ex cos 2x ĐS: y = C1 ex + C2 xex + − ex cos 2x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 97 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 4.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1 Bài y + 4y = sin 2x − cos 2x ĐS: y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x(− cos 2x − sin 2x) Bài y + 5y + 6y = e−2x (x2 + 3x − cos x) 1 1 ĐS: y = C1 e−2x + C2 e−3x + x( x2 + x − 1)e−2x + e−2x ( cos x − sin x) 2 4.3 Hệ phương trình vi phân 4.3.1 Ánh xạ đạo hàm Định nghĩa 4.1 Cho D : C (R) → C thỏa D(x(t)) = x (t) gọi ánh xạ đạo hàm Ví dụ 4.44 a) Cho x = e2t + 3t2 4.3.2 Hệ phương trình vi phân Ví dụ 4.45 Giải hệ phương trình vi phân Ta viết lại hệ x = x − 2y + 3t y = 2x − 4y + et Dx = x − 2y + 3t Dy = 2x − 4y + et   x = 2C1 + C2 e−3t − et + 2t2 − t − 3 Nghiệm  y = C1 + C2 e−3t + t2 − t Ví dụ 4.46 Giải hệ phương trình vi phân x = −x + 3y + 2te−2t y = 2x + 4y − e−2t (1) (2) Bài giải (D + 1)x − 3y = 2te−2t (1) −2t −2x + (D − 4)y = −e (2) (D-4)(1)+3(2): (D − 4)(D + 1)x − 6x = (−4t + 2)e−2t + 2te−2t − 3e−2t ⇐⇒ (D2 − 3D − 10)x = (−12t − 1)e−2t (3) a) Viết lại hệ b) Phương trình đặc trưng k − 3k − 10 = ⇐⇒ k = −2 ∨ k = 5t Nghiệm y0 = C1 e−2t+C2 e f (t) = (−12t − 1)e−2t : α = −2 =⇒ s = =⇒ xr = t(At + B)e−2t = (At2 + Bt)e−2t =⇒ xr = (−2At2 − 2Bt + 2At + B)e−2t Đại học Bách khoa TPHCM Trang 98 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN =⇒ xr = (4At2 + 4Bt − 8At − 4B + 2A)e−2t Thế vào (3): (4Bt − 8At − 4B + 2A) − 3(−2Bt + 2At + B) − 10Bt = (−12t − 1)e−2t 19 ⇐⇒ A = , B = 49 Suy x(t) = C1 e−2t + C2 e5t + 19 t + 49 e−2t c) Từ (1): y(t) = (x + x − 2te−2t ) C1 52 19 −2t = − e−2t + 2C2 e5t + ( t2 − t+ )e 147 147 Ví dụ 4.47 Giải hệ phương trình vi phân x = 3x − y + t, (1) y = x + y + cos t (2) Bài giải a) Viết lại hệ (D − 3)x + y = t, −x + (D − 1)y = cos t (1)+(D-3)(2): D2 y − 4Dy + 4y = t − sin t − cos t (1) (2) (3) b) Phương trình đặc trưng k − 4k + = ⇐⇒ k1 = k2 = Suy y0 = (C1 + C2 t)e2t (a) Giải D2 y − 4Dy + 4y = − sin t − cos t (3a) y1 = A cos t + B sin t, đạo hàm vào (3a) −A  cos t − B sin t + 4A sin t − 4B cos t + 4A cos t + 4B sin t = − sin t − cos t 13   A=− 25 ⇐⇒  B = 25 13 =⇒ y1 = − cos t + sin t 25 25 (b) Giải D2 y − 4Dy + 4y = t (3b) y1 = At + B, đạo hàm vào (3b)   A = − 4A + 4At + 4B = t ⇐⇒  B = Vậy y = (C1 + C2 t)e2t − 1 =⇒ y2 = t + 4 13 1 cos t + sin t + t + 25 25 4 c) Từ (2) suy y = (C1 t + C1 + C2 )e2t + t sin t − cos t − 25 25 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 99 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 4.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ 4.48 Giải hệ phương trình vi phân x = 2x + y + e2t cos 2t y = −x + y + e2t sin 2t Ví dụ 4.49 Giải hệ phương trình vi phân x = 2x + y + t2 (1) y = −x + 2y + cos t (2) (D − 2)x − y = t2 (1) x + (D − 2)y = cos t (2) (D − 2)pt(1) + pt(2) : (D2 − 4D + 5)x = 2t − 2t2 + cos t Viết lại hệ (3) a) Phương trình đặc trưng k − 4k + = ⇐⇒ k = ± i Nghiệm x0 = e2t (C1 cos t + C2 sin t) b) Giải x − 4x + 5x = 2t − 2t2 (3a) f (t) = 2t − 2t : α = =⇒ s = =⇒ x1 = At2 + Bt + C Đạo hàm vào (3a) suy A = − , B = − , C = − 25 125 2 Suy x1 = t − t − 25 125 c) Giải x − 4x + 5x = cos t (3b) f (t) = cos t : α + βi = i =⇒ s = =⇒ x2 = A cos t + B sin t Đạo hàm vào (3b) suy x2 = − cos t + sin t 8 2 2t Vậy x = e (C1 cos t + C2 sin t) + t − t − − cos t + sin t 25 125 8 Từ (1) suy y = x − 2x − t2 14 22 − − cos t + sin t = e2t ((C2 − 2C1 ) cos t(C1 − 2C2 ) sin t) − t2 − 25 125 8 Bài Tập Giải hệ phương trình vi phân sau Bài Bài x = 3x + 2y + te2t y = 2x + 6y − 6e2t 266 118 2t 32 ĐS: x = −4C1 e2t + C2 e7t + (− t2 − t+ )e y = C1 e2t + C2 e7t + (− t2 − t)e2t 25 25 25 x = 3x − y + tet y = 4x − y − 2et ĐS:x = (C1 + tC2 )et + ( t3 + t2 )et , y = (2C1 + C2 + 2C2 t)et + ( t3 + 2t2 − 2t)et 3 Bài x = −x + 3y + e2t cos t y = 2x + 4y − e2t sin t −1 ĐS:x = −3C1 e−2t + C2 e5t + e2t ( cos t + sin t), y = C1 e−2t + C2 e5t + e2t ( cos t + 17 17 17 sin t) 17 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 100 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp ÔN 4.4 THI CUỐI KỲ Nội dung thi kỳ Khảo sát vẽ đồ thị y = f (x) Xét hội tụ tích phân suy rộng: Loại Tính tích phân suy rộng Ứng dụng hình học tích phân: cho hàm y = f (x) Phương trình vi phân cấp 1: Tách biến; đẳng cấp, tuyến tính, phần Chú ý điều kiện đầu Phương trình vi phân cấp 2: f (x) = eαx Pn (x) f (x) = eαx (a cos βx + b sin βx) Hệ Phương trình vi phân: phương trình ẩn giải phương pháp khử 4.5 Bài tập ôn tập cuối kỳ Bài Khảo sát vẽ đồ thị a) y = x2 x−3 −x−2 b) y = (x − 2)e− x   arctan x , x ≤ x+1 c) y = xe1/x , x > +∞ Bài Cho tích phân I = dx √ Tìm α để tích phân hội tụ Tính tích phân (xα + 1) x2 + x α = +∞ Bài Cho tích phân I = x−3 dx Tìm α để tích phân hội tụ Tính tích phân − x + 1) xα (x2 α = Bài Tính diện tích miền phẳng √ a) D : y = x, x + y = 2, Ox b) D : y = x2 , y = log2 (x + 1), x + y = Bài Tính độ dài đường cong a) y = cosh x, x ∈ [0, 1] √ b) y = − x2 Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay 101 4.5 BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI KỲ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN a) D : y = x, y = arctan x, x = Tính VOy √ √ b) D : y = x2 + 1, y = x + 1, x = Tính VOx , VOy Bài Tính diện tích mặt tròn xoay √ x(x − 13 ), x ∈ [0, 13 ] Tính SOx , SOy √ b) C : y = x − x2 Tính SOx , SOy a) C : y = Bài Cho miền D giới hạn y = 2x2 , y = x2 , y = x a) Tính diện tích D x2 b) Tính độ dài đường cong C : y = , x ∈ [0, 1] c) Tính diện tích mặt tròn xoay cho C quay quanh Ox Oy d) Tính thể tích vật thể tròn xoay cho D quay quanh Ox, Oy Bài Giải phương trình vi phân cấp a) x3 y = y(x2 + y ) √ b) − y dx + y + x2 dy = 0, y(0) = c) (xy + x)dx + (y − x2 y)dy = 0, y(1) = d) y + x2 y = xyy , y(1) = √ e) xy + y − x2√ = 0, y(1) = √ − x2 + = − x2 ĐS: ln |y| + ln √ − x2 − y y2 f) y − = , y(0) = x+1 x+1 √ g) − y dx + y − x2 dy = 0, y(2) = h) ex (y + 2xy) = x, y(1) = y i) xyy − y + xe− x = 0, y(1) = j) xy − y = x tan xy , y(−1) = y y4 k) 3y − √ =√ , y(0) = x2 + x2 + 2y − 3x + , y(0) = l) y = 6x − 4y + Bài 10 Giải phương trình vi phân cấp Bài 11 Giải hệ phương trình vi phân Đại học Bách khoa TPHCM Trang 102 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6 4.6 ĐỀ THI CUỐI KỲ Đề thi cuối kỳ Đề số √ Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = +∞ Câu Tìm α để tích phân x2 + x + x+1 xα dx hội tụ Tính tích phân với α = (x + 1)2 (x2 − x + 1) Câu Tính diện tích miền phẳng giới hạn x = √ y, y = 0, y = − x Câu Giải phương trình vi phân cấp (ye−x + y + 1)dx = (e−x − 2xy)dy Câu Giải phương trình vi phân cấp y + 4y + 4y = cos 3x Câu Giải hệ phương trình vi phân x (t) = 2x(t) − y(t) + sin t, y (t) = x(t) + 2y(t) + cos t Đề số Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = xe− x +∞ Câu Tìm α để tích phân dx √ hội tụ Tính tích phân với α = xα x − x + Câu Tính thể tích vật thể tròn xoay cho miền D giới hạn y = x2 x = y quay quanh Ox quay quanh Oy Câu Giải phương trình vi phân cấp 1: y − 3x2 y = x4 ex Câu Giải phương trình vi phân cấp 2: y − 5y + 6y = e2x (3x − 4) + x Câu Giải hệ phương trình vi phân x (t) = 3x(t) + 4y(t) + 3e−2t , y (t) = x(t) + 6y(t) Đề số Câu Giải phương trình vi phân cấp 1: (ex + 3y + 1)dx = (y − 3x)dx Câu Giải phương trình vi phân cấp 2: y + 5y + 6y = (x + 1)e2x Câu Giải hệ phương trình vi phân √ Câu Tìm α để tích phân Đại học Bách khoa TPHCM x (t) = 3x + y + et , y (t) = 2x + 4y + t xα dx hội tụ Tính tích phân với α = − x2 Trang 103 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 4.6 ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN +∞ Câu Tính tích phân dx (x2 + x + 1)(x + 2) Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 e−x Câu Tính diện tích miền phẳng giới hạn y = −x2 y = x2 − 2x − Đề số Câu Giải phương trình vi phân y + 3x2 y = 3x2 + 3x5 Câu Giải phương trình vi phân y + 3y + 2y = 2x + + 6ex Câu Tính tích phân chứng tỏ phân kỳ I = −1 ex dx x3 +∞ e−x cos 2xdx Câu Tính tích phân I = Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2 e x √ Câu Tính diện tích miền phẳng giới hạn y = x , y = 0, x = 1 + x3 Đề số Câu Giải phương trình vi phân xdy − ydx = 3x2 sin xdx Câu Giải phương trình vi phân y − 4y + 13y = (x2 + 4x)e2x Câu Giải hệ phương trình vi phân +∞ Câu Tìm α để tích phân √ (xα x (t) = 4x + y + 2t + 1, y (t) = 7x − 2y + 3t dx √ hội tụ Tính Tích phân với α = − 1) x2 − Câu Tính tích phân suy rộng I = dx (4x − x2 − 3)3 Câu Tính diện tích mặt tròn xoay cho đường cong C : y = x2 , x = → quay quanh trục Ox Oy Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2 ln x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 104 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6 ĐỀ THI CUỐI KỲ Đề số Câu Giải phương trình vi phân xy − y + ey/x = Câu Giải phương trình vi phân y + 3y − 4y = (x + 1)e−4x x (t) = 3x + 2y + et , y (t) = x + 2y + 3t Câu Giải hệ phương trình vi phân +∞ Câu Tìm α để tích phân xα √ dx hội tụ Tính tích phân α = − 2x − 3x2 Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = e4x−x √ √ Câu Tính thể tích vật tròn xoay cho D giới hạn y = x2 y = − x2 quay quanh trục Ox Đề số e−x 1−x Câu Khảo sát vẽ đồ thị y = +∞ Câu Tìm α để tích phân Câu Tính độ dài cung y = x2 − dx hội tụ Tính tích phân với α = xα (x + 1)(x2 + 1) x2 ln x − , ≤ x ≤ Câu Giải phương trình vi phân y + x sin x thỏa y(π) = 2π x b) x2 y = y y − 3x2 + xy, x > a) y = c) y + 6y + 9y = e3x (3x − 2) Câu Giải hệ phương trình vi phân x (t) = 3x − 4y + 3t, y = 2x − y + e2t Đề số Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = √ +∞ Câu Tìm α để tích phân y = 3x − √ dx hội tụ (4 + xα ) x4 + 5x2 +∞ Câu Tính tích phân suy rộng Đại học Bách khoa TPHCM 8x x2 − dx √ (x + 1) x2 − x + Trang 105 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 4.6 ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN √ Câu Cho miền D giới hạn y = x2 + 1, y = ex , x = Tính thể tích vật thể tròn xoay cho D quay quanh trục Ox Oy Câu Giải phương trình vi phân a) (yexy + 4xy)dx + (xexy + 2x2 + 3)dy = b) (x + y)y = (x + y)2 + c) y − 4y + 3y = cos x + xe3x Câu Giải hệ phương trình vi phân x = x + y + 2et , y = 3x − y − 3t Đề số 9: Dự thính 12/2013 Câu 1) Khảo sát vẽ đồ thị y = +∞ Câu 2) Cho tích phân I = x−1 e2x (2x + 3)dx (x + 1)α (x2 + 4x + 5) (a) Tìm α để I hội tụ (b) Tính I với α = Câu 3) Tính VOx , VOy với D : y = log3 x, y = − x, y = Câu 4) Giải PTVP (x2 + 4)y − 2xy = 6x Câu 5) Giải PTVP y − 6y + 8y = cos 3x Câu 6) Giải PTVP x = 7x + 3y + e10t , y = 6x + 4y + 2e10t Chính quy: 2013-2014 Ca Câu Giải PTVP x y + 2xy + 2x2 dx = (2xy + 3x2 )dy − (2y + 3xy)dx, y(1 + Câu Giải PTVP y − 5y   x Câu Giải hệ PTVP x2   x3 √ 2) = + 6y = (x + 2)e2x = 7x1 − 12x2 + 6x3 = 10x1 − 19x2 + 10x3 = 12x1 − 24x2 + 13x3 Câu Khảo sát vẽ đồ thị y = x2 |x − 2| Câu Tính diện tích miền D : y − x2 = 1, y = x − 1, x = Câu Tính tích phân I = Đại học Bách khoa TPHCM √ dx (x − 1) 6x − x2 − Trang 106 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6 ĐỀ THI CUỐI KỲ +∞ e−x Câu Tìm α để tích phân sau hội tụ I = + ln(1 + x12α ) xα−3 (1 + xα )α−3 Chính quy: 2013-2014 Ca Câu Giải PTVP y = y + x2 cos x x Câu Giải PTVP y + 4y = sin 2x + 1, y(0) = , y (0) = Câu Giải hệ PTVP x = x + 8y + e2t y = 2x + y − √ x + x2 − 2x, x ≤ 0, 2x − x2 , x > Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = Câu Tìm thể tích vật thể tròn xoay VOy (D) biết D : xy = 1, y = x, x = 9y, x > 0, y > +∞ Câu Tính tích phân I = e dx x(ln x + ln2 x + ln x) Câu Khảo sát hội tụ tích phân I = ln xdx x(1 − x)α Dự Thính: 2013-2014-HKII Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số f (x) = (x − 2)e− x +∞ dx x2 (x − 1)α Câu Cho tích phân suy rộng I = (a) Tìm tất giá trị thực α để tích phân hội tụ (b) Tính tích phân α = √ Câu Cho miền D giới hạn y = 2x − x2 trục Ox Tính thể tích diện tích xung quanh cho D quay quanh trục Ox Câu Giải phương trình vi phân cấp 1: y (x) − y(x) = x+1 y(x).(x + 1) Câu Giải phương trình vi phân cấp 2: y (x) + 4y (x) + 3y(x) = xe−3x thỏa điều kiện y(0) = y (0) = Câu Giải hệ phương trình vi phân x (t) = −5x(t) + 3y(t) + tet , y (t) = 3x(t) + 3y(t) − et Đại học Bách khoa TPHCM Trang 107 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 4.6 ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Đề Học Lại - II/2012-2013 Câu Giải phương trình vi phân (a) y cos x + y = − sin x (b) y − 3y + 2y = 2ex x = x + 3y − cos t − sin t y = x + 3y + sin t Câu Giải phương trình vi phân +∞ Câu Cho tích phân I = xm √ dx Tìm điều kiện để tích phân hội tụ tính tích x2 + 8x + phân m = Câu Tính thể tích vật thể tròn xoay cho miền D giới hạn y = ln x, y = 0, x = quay quanh trục Ox Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = xe x Đề ôn tập hè 2014 Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (x − 1)ex +∞ Câu Cho tích phân I = xα dx √ (x + 1) 2x2 − x + a) Tìm α để tích phân hội tụ b) Tính tích phân α = Câu Cho miền D : y = x2 , x = y Tính thể tích vật thể tròn xoay cho D quay quanh trục Ox trục Oy Câu Giải phương trình vi phân cấp 1: y + x2 y = xyy , y(1) = Câu Giải phương trình vi phân cấp 2: y − 3y − 4y = 2x2 e−x , y(0) = y (0) = Câu Giải hệ phương trình vi phân Đại học Bách khoa TPHCM x = −x + 5y + t y = 2x + 8y + tet Trang 108 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp ĐÁP Đề a) Tiêm cận đứng x = ±2, tiệm cận ngang y = ±8 Không có cực trị b) α > 2/3 c) Đề 1) Tiệm cận ngang y = 0, cực đại x = 3/2 2) α > 0, I = 3π + ln 4 3) 4) y = C(x2 + 4) − 5) y = C1 e4x + C2 e2x − 108 sin 3x − cos 3x 325 325 6) x = −1/2C1 e10t + C2 et + 4/3te10t − 1/9e10t , y = C1 e10t + C2 et + 4/3te10t Chính quy: 2013-2014 Ca 1) Phương trình vi phân đẳng cấp y + 2xy + 2x2 + ln y + + x x y + 2xy + 2x2 = ln |x| + 2√2 x2 2) y = C1 e2x + C2 e3x + − x2 − 3x e2x  t −t  x1 = 2C1 e + 3C3 e 3) x2 = C1 et + C2 et + 5C3 e−t   x3 = 2C2 et + 6C3 e−t 4) Tiệm cận x = 2, y = x ± Cực đại (0; 0) cực tiểu (4; 8) 5) S(D) = 24 ln + 25 √ 6) I = π 7) Điều kiện α2 − > ⇐⇒ α > 109 ÁN 4.6 ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chính quy: 2013-2014 Ca 1) y = x cos x + x2 sin x + Cx 2) ytq = C1 cos 2x + C2 sin 2x − x 1 x 1 cos 2x + sin 2x + , yr = − cos 2x + sin 2x + , 4 4 3) x + 2x + 15x = e2t − 8, x = C1 e5t + C2 e−3t − 1 2t e + , y = (x − x − e2t ) 15 15 4) Tiệm cận y = Cực đại (1; 1), cực tiểu (0; 0) 5) Vy = 8π √ ln π 6) I = − 18 7) α < Hè :2014 Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x.e −x2 lnα x e Câu Tìm α để tích phân suy rộng I = +∞ Câu Tính tích phân suy rộng I = x(x2 − 1) dx hội tụ dx + 3) ex (e2x Câu Tính thể tích vật thể tạo miền phẳng giới hạn đường x2 + y = 0, x + y = quay quannh trục Oy Câu Giải phương trình (y cos x − cos 2x)dx + sin xdy = Câu Tìm nghiệm phương trình y” + 7y + 10y = 3xe−2x Câu Giải hệ phương trình x (t) = 5x − 3y + cos 2t, y (t) = −x + 3y − Đáp án −2 Tiệm cận ngang y = Cực đại (2; √ ), cực tiểu (−2; √ ) e e α > − √ π 3 I = − 27 π VOy = Đại học Bách khoa TPHCM Trang 110 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN y = 4.6 ĐỀ THI CUỐI KỲ sin 2x C ( + C) = cos x + sin x sin x y = C1 e−2x + C2 e−5x + e−2x ( x2 x − )   x = C1 e2t − 3C2 e6t − cos t2t + sin 2t + , 40 10  2t 6t y = C e + C e − cos 2t + sin 2t + 40 20 12 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 111 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp