Quan hệ mờ trực cảm

Mục lục Lời nói đầu Danh sách hình vẽ Danh sách bảng ii iv v Chương Giới thiệu tập mờ, tập mờ trực cảm 1.1 Tập mờ vài phép toán 1.2 Lôgic mờ 1.2.1 Những khái niệm lôgic cổ điển 1.2.2 Một số phép toán lôgic mờ 1.2.3 Quan hệ mờ 1.2.4 Phép hợp thành quan hệ mờ 1.3 Tập mờ trực cảm 1.3.1 Định nghĩa tập mờ trực cảm số phép toán 1 3 12 14 Chương Quan hệ mờ trực cảm ứng dụng 2.1 Quan hệ mờ trực cảm phép toán 2.2 Phép hợp thành quan hệ mờ trực cảm 2.2.1 Suy rộng phép hợp thành max-min cho quan trực cảm 2.2.2 Một số dạng hợp thành suy rộng khác 2.3 Hợp thành quan hệ mờ trực cảm tập 2.4 Ứng dụng hệ mờ Chương Tập mờ tranh ứng dụng 3.1 Tập mờ tranh 3.1.1 Định nghĩa số phép toán tập mờ tranh 3.1.2 Quan hệ mờ tranh 3.2 Ứng dụng Kết luận Tài liệu tham khảo i 14 16 16 18 18 19 22 26 30 30 30 31 36 39 40 Lời nói đầu Được xây dựng Giáo sư L.Zadeh [15] vào năm 1965, lý thuyết mờ phát triển nhanh, đa dạng, ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Công nghệ mờ cung cấp công nghệ cho ngành công nghiệp làm nhiều sản phẩm thông minh, đáp ứng nhu cầu thị trường cần có điều khiển linh hoạt hơn, thiết bị biết làm việc với toán khó, xử lý nhiều loại thông tin mờ, chưa đầy đủ thiếu xác Không dừng lại đó, năm 1983 K.T.Atanassov đưa khái niệm tập mờ trực cảm [2], góp phần to lớn vào hệ thống lý thuyết mờ, khắc phục hạn chế tập mờ, đặc biệt làm việc với đối tượng ngữ nghĩa tự nhiên mà việc đưa độ thuộc không chưa đủ áp dụng nhiều lĩnh vực hệ hỗ trợ định, y khoa, bầu cử, kinh doanh, Sự xuất tập mờ trực cảm kéo theo hệ thống lý thuyết nghiên cứu ứng dụng rộng rãi Trong quan hệ mờ trực cảm lý truyết quan trọng Quan hệ mờ trực cảm biểu thị mối liên hệ nhiều đại lượng Trong thực tiễn thực chất quan hệ mờ trực cảm quan hệ biến nhận giá trị ngôn ngữ Vì quan hệ mờ với toán thực tiễn có vai trò quan trọng Nhận thấy điều nên chọn đề tài “Quan hệ mờ trực cảm” cho luận văn Luận văn trình bày cách hệ thống lôgic mờ, mờ trực cảm, quan hệ mờ trực cảm bước đầu tìm hiểu quan hệ mờ tranh Luận văn gồm ba chương Chương “Giới thiệu tập mờ tập mờ trực cảm” trình bày số định nghĩa tập mờ tập mờ trực cảm phép toán hệ thống logic mờ Chương “Quan hệ mờ trực cảm ứng dụng” chủ yếu trình bày số tính chất, định lí, mệnh đề quan hệ mờ trực cảm, giới thiệu ứng dụng quan hệ mờ trực cảm chuẩn đoán y khoa Chương “Quan hệ mờ tranh ứng dụng” bước đầu mở rộng quan hệ mờ trực cảm sang quan hệ mờ tranh đề xuất tiếp cận ii LỜI NÓI ĐẦU chuẩn đoán y khoa sử dụng phép hợp thành quan hệ mờ tranh Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn PGS TSKH Bùi Công Cường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Bùi Công Cường, thầy tận tình dạy dỗ, hướng dẫn đưa cho tác giả nhiều bảo quý báu trình tác giả làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô cán công nhân viên Viện Toán học quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Viện Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn anh, chị người bạn tập thể Seminar Hệ mờ- nơron (Viện Toán Học) chia sẻ kinh nghiệm, giáo trình, tài liệu giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 26 tháng năm 2015 Phạm Thị Thêm iii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 Tập mờ tập rõ Hàm thuộc A A’ (hay A*) Hàm thuộc A ∩ B Hàm thuộc A ∪ B iv Danh sách bảng 1.1 Giá trị chân lý mệnh đề 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Giá trị E Giá trị P Giá trị quan hệ hợp thành EC1 P Giá trị hợp thành EC2 P Q quan hệ mờ trực cảm tập P S R quan hệ mờ trực cảm tập S D T quan hệ mờ trực cảm tập P D ST 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 E quan hệ mờ tranh X Y P quan hệ mờ tranh Y Z P C3 E quan hệ mờ tranh với β1 = Tχ , β2 Q quan hệ mờ tranh P S R quan hệ mờ tranh tập S D T quan hệ mờ tranh tập P D ST v 21 21 22 22 28 28 28 29 = ∧ 35 36 36 37 38 38 38 Chương Giới thiệu tập mờ, tập mờ trực cảm Chương trình bày khái niệm tập mờ [1, 15] tập mờ trực cảm [2] 1.1 Tập mờ vài phép toán Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, xét quan hệ phần tử với tập hợp có hai giá trị: (nếu không thuộc) (nếu thuộc) Các tập hợp gọi tập rõ Cho tập X = ∅, tập A (rõ) tập X xác định hàm đặc trưng χA : X → {0, 1} z → χA (z) Trong χA (z) = z ∈ A, z ∈ / A Khi A gọi không gian (tập nền) Trong thực tế, có tập hợp mà đối tượng không định nghĩa rõ ràng hàm đặc trưng Ví dụ tập “Những người đàn ông cao 1.7m” tập rõ, tập “những người đàn ông cao lớn” định nghĩa cụ thể “cao lớn” Khái niệm tập mờ L.A.Zadeh đưa vào năm 1965 nhằm mục đích mô tả tập hợp không rõ ràng, nghiên cứu hệ thống bất định Định nghĩa 1.1 Cho tập X = ∅, A tập mờ không gian X A xác định hàm: µA : X → [0, 1] µA gọi hàm thuộc, µA (x) gọi độ thuộc x vào tập mờ A Đôi người ta kí hiệu A(x) thay cho µA (x) Trong phần tiếp theo, ta kí hiệu F (X) = A|A tập mờ X Chương Giới thiệu tập mờ, tập mờ trực cảm Hình 1.1 Tập mờ tập rõ Ta biểu diễn tập mờ A không gian X theo hai cách sau: A= x, µA (x) : x ∈ X A = µA (x)/x : x ∈ X Ví dụ 1.2 (i) A = “số thực gần 10” có hàm thuộc µA (x) = + (x − 10)2 (ii) X = [0, 130] tập tuổi đời người A = “tuổi trung niên” Khi A tập mờ không gian X (iii) Dấu vân tay “tội phạm” để lại trường tập mờ (iv) X = [−20◦ , 50◦ ] tập nhiệt độ trời A = “Nhiệt độ nóng” tập mờ không gian X Định nghĩa 1.3 Giá tập mờ A tập S(A) = {x ∈ X|µA (x) > 0} Với ≤ α ≤ tập mức Aα cho bởi: Aα = {x ∈ X : µA (x) ≥ α} Tương tự tập rõ, người ta định nghĩa phép toán quan hệ tập mờ Định nghĩa 1.4 Cho A, B ∈ F (X) Khi phép hợp A ∪ B, phép giao A ∩ B phần bù AC tập mờ X với hàm thuộc cho bởi: µA∩B (x) = {µA (x), µB (x)} , ∀x ∈ X Chương Giới thiệu tập mờ, tập mờ trực cảm µA∪B (x) = max {µA (x), µB (x)} , ∀x ∈ X µAC (x) = − µA (x), ∀x ∈ X Định nghĩa 1.5 Cho A, B ∈ F (X) Ta nói: A ⊆ B µA (x) ≤ µB (x), ∀x ∈ X A ⊇ B µA (x) ≥ µB (x), ∀x ∈ X A = B µA (x) = µB (x), ∀x ∈ X Hệ 1.6 Cho A, B ∈ F (X) Khi (A ∪ B)α = Aα ∪ Bα (A ∩ B)α = Aα ∩ Bα Coi ∅ tập mờ với µ∅ (x) = với x, X tập mờ với µX (x) = với x Hệ 1.7 A, B, C ∈ F (X) Các tập A, B, C có tính chất sau: Giao hoán: A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A Kết hợp: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C; A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Lũy đẳng: A ∩ A = A; A ∪ A = A Phân phối: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∩ ∅ = ∅; A ∪ X = X Đồng nhất: A ∪ ∅ = A; A ∩ X = A Hấp thụ: A ∪ (A ∩ B) = A; A ∩ (A ∪ B) = A Luật De Morgan: (A ∪ B)C = AC ∩ B C ; (A ∩ B)C = AC ∪ B C C Cuộn: AC = A 10 Dạng tương đương: AC ∪ B ∩ A ∪ B C = AC ∩ B C ∪ (A ∩ B) 11 Hiệu đối xứng: AC ∩ B ∪ A ∩ B C = AC ∪ B C ∩ (A ∪ B) 1.2 Lôgic mờ 1.2.1 Những khái niệm lôgic cổ điển Kí hiệu P tập hợp mệnh đề P, P1 , P2 , Q1 , Q, mệnh đề Với mệnh đề P ∈ P gán giá trị v(P ) giá trị chân lý (độ đúng) mệnh đề Lôgic cổ điển quy định v(P ) = P (T-true), v(P ) = P sai (F- false) Trên P xác định ba phép toán sau Phép tuyển: P OR Q, kí hiệu P ∨ Q, mệnh đề “ P Q” Chương Giới thiệu tập mờ, tập mờ trực cảm Phép hội: P AND Q, kí hiệu P ∧ Q, mệnh đề “vừa P vừa Q” Phép phủ định: NOT P , ký hiệu P , mệnh đề “không P ” Từ ba phép toán lôgic này, người ta định nghĩa nhiều phép toán khác Một số phép toán quan trọng khác phép kéo theo, kí hiệu P ⇒ Q Khi sử dụng liên kết lôgic: phép tuyển, phép hội, phép phủ định, phép kéo theo phép tương đương (⇔), giá trị chân lý mệnh đề hệ xác định phụ thuộc vào giá trị chân lý mệnh đề gốc P, Q cho Bảng 1.1 Bảng 1.1 Giá trị chân lý mệnh đề P Q 1 0 0 1.2.2 P ∨ ∧ ⇒ ⇔ 1 1 0 1 1 0 1 Một số phép toán lôgic mờ Từ lôgic cổ điển, người ta suy rộng phép liên kết lôgic với mệnh đề có giá trị chân lý v(P ) nhận giá trị đoạn [0, 1], (thay cho quy định v(P ) nhận giá trị 0) Cho mệnh đề P, Q, P1 giá trị chân lý v(P ), v(Q), v(P 1) nhận giá trị đoạn [0, 1] Phần giới thiệu ba phép toán lôgic mờ a) Phép phủ định Định nghĩa 1.8 Hàm n : [0, 1] → [0, 1] không tăng thỏa mãn điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0, gọi hàm phủ định (negation – hay phép phủ định) Định nghĩa 1.9 a) Hàm phủ định n chặt hàm liên tục giảm chặt b) Hàm phủ định n mạnh chặt thỏa mãn n (n(x)) = x, ∀x ∈ [0, 1] Chương Giới thiệu tập mờ, tập mờ trực cảm Hình 1.2 Hàm thuộc A A’ (hay A*) Ví dụ 1.10 (Một số ví dụ hàm phủ định) (i) Hàm phủ định thường dùng n(x) = − x (ii) Hàm phủ định n(x) = − x2 (iii) Họ phủ định (Sugeno,1997) Nλ (x) = 1−x , λ > −1 + λx Hàm (1 − x) phủ định mạnh (1 − x2 ) phủ định chặt, không mạnh Định nghĩa 1.11 (Một cách định nghĩa phần bù tập mờ) Cho X không gian nền, tập mờ A X tương ứng với hàm thuộc A : X → [0, 1] Cho n hàm phủ định, phần bù AC tập mờ A tập mờ với hàm thuộc cho AC (a) = n (A(a)), với a ∈ X Ta thấy định nghĩa phần bù mục 1.1 trường hợp riêng n(x) hàm phủ định thường dùng b) Phép hội Phép hội (phép and-conjunction) phép toán Thường xét tiên đề sau cho v (P ∧ Q): v(P1 and P2 ) phụ thuộc vào v(P1 ) v(P2 ) Nếu v(P1 ) = v(P1 and P2 ) = v(P2 ) với mệnh đề P2 Giao hoán: v(P1 and P2 ) = v(P2 and P1 ) Nếu v(P1 ) ≤ v(P2 ), v(P1 and P3 ) ≤ v(P2 and P3 ) với mệnh đề P3 Chương Quan hệ mờ trực cảm ứng dụng R xác định tích trực tiếp tập triệu chứng S với tập chẩn đoán bệnh D (hay S × D) Từ ta thấy liên quan, độ thuộc độ không thuộc triệu chứng chẩn đoán bệnh Phương pháp chẩn đoán theo ba bước sau: Xác định triệu chứng bác sỹ máy móc y khoa đưa Biểu diễn sở tri thức y khoa quan hệ mờ trực cảm chuyên gia y khoa học thiết bị y khoa đưa Xác định chẩn đoán dựa phép hợp thành quan hệ mờ trực cảm Bài toán đưa ra: Có n bệnh nhân pi , i = 1, 2, , n; pi ∈ P R ∈ IF R(S × D), quan hệ mờ trực cảm Q từ tập bệnh nhân P đến tập triệu chứng S (Q ∈ IF R(P × S)) Rõ ràng kết phép hợp thành hai quan hệ R Q quan hệ mờ trực cảm T = R ◦ Q : P → D cho biết liên quan người bệnh với chẩn đoán bệnh, xác định hàm thuộc: µT (pi , dk ) = ∨[µQ (pi , s) ∧ µR (s, dk )], hàm không thuộc: νT (pi , dk ) = ∧[νQ (pi , s) ∨ νR (s, dk )], ∀pi ∈ P, dk ∈ D Khi cho R Q quan hệ T = R ◦ Q tính Từ hiểu biết Q T , phiên cải thiện quan hệ trực cảm T cho kết tốt là: (i) ST = µT − νT · πT lớn nhất, (ii) Quan hệ T = R ◦ Q bảo toàn Với πT (u) độ lưỡng lự giá trị u tập U , πT = − (µT + νT ) Phiên cải thiện T làm quan hệ mờ trực cảm có ý nghĩa hơn, quan hệ triệu chứng chẩn đoán bệnh có độ thuộc cao độ không thuộc thấp hơn, độ lưỡng lự thấp bước tiếp cận đến “Kiến thức y khoa trực cảm” Nếu chẩn đoán bệnh khác lại có giá trị T , ta xem xét trường hợp có độ lưỡng lự nhỏ Từ phiên thô R, người ta suy luận triệu chứng chẩn đoán bệnh cặp giá trị - độ thuộc độ không thuộc Trong trường hợp, bác sĩ không thỏa mãn với kết quả, R sửa đổi 27 Chương Quan hệ mờ trực cảm ứng dụng Ví dụ minh họa Cho tập P gồm bệnh nhân: Paul, Jadu, Kundu Rohit tập S gồm triệu chứng: sốt, đau đầu, đau dày, ho, đau ngực Khi P = {Paul, Jadu, Kundu, Rohit}, S = {sốt, đau đầu, đau dày, ho, đau ngực} Gọi tập chẩn đoán bệnh D ={sốt virus, sốt rét, thương hàn, vấn đề dày, vấn đề tim (VĐ tim)} Các số liệu đầu vào cho Bảng 2.5, Bảng 2.6 Bảng 2.5 Q quan hệ mờ trực cảm tập P S Q Paul Jadu Kundu Rohit Nhiệt độ (0.8, 0.1) (0, 0.8) (0.8, 0.1) (0.6, 0.1) Đau đầu (0.6, 0.1) (0.4, 0.4) (0.8, 0.1) (0.5, 0.4) Đau dày (0.2, 0.8) (0.6, 0.1) (0, 0.6) (0.3, 0.4) Ho (0.6, 0.1) (0.1, 0.7) (0.2, 0.7) (0.7, 0.2) Đau ngực (0.1, 0.6) (0.1, 0.8) (0, 0.5) (0.3, 0.4) Bảng 2.6 R quan hệ mờ trực cảm tập S D R Nhiệt độ Đau dầu Đau dày Ho Đau ngực Sốt Virut (0.4, 0) (0.3, 0.5) (0.1, 0.7) (0.4, 0.3) (0.1, 0.7) Sốt rét (0.7, 0) ( 0.2, 0.6) (0, 0.9) (0.7, 0) (0.1, 0.8) Thương hàn (0.3, 0.3) (0.6, 0.1) (0.2, 0.7) (0.2, 0.6) (0.1, 0.9) Dạ dày (0.1, 0.7) (0.3, 0.4) (0.8, 0) (0.2, 0.7) (0.2, 0.7) VĐ tim ( 0.1, 0.8) (0, 0.8) (0.2, 0.8) ( 0.2, 0.8) (0.8, 0.1) Khi kết phép hợp thành T = R ◦ Q ST thu Bảng 2.7 Bảng 2.8 Bảng 2.7 T quan hệ mờ trực cảm tập P D T Paul Jadu Kundu Rohit Sốt Virut (0.4, 0.1) (0.3, 0.5) (0.4, 0.1) (0.4, 0.1) Sốt (0.7, (0.2, (0.7, (0.7, rét 0.1) 0.6) 0.1) 0.1) Thương hàn (0.6, 0.1) (0.4, 0.4) (0.6, 0.1) (0.5, 0.3) 28 Dạ dày (0.2, 0.4) (0.6, 0.1) (0.2, 0.4) (0.3, 0.4) VĐ tim (0.2, 0.6) (0.1, 0.7) ( 0.2, 0.5) (0.3, 0.4) Chương Quan hệ mờ trực cảm ứng dụng Bảng 2.8 ST ST Paul Jadu Kundu Rohit Sốt virut 0.35 0.20 0.35 0.32 Sốt rét 0.68 -0.08 0.68 0.68 Thương hàn 0.57 0.32 0.57 0.44 Dạ dày 0.04 0.57 0.04 0.18 VĐ tim 0.08 -0.04 -0.05 0.18 Dựa vào kết Bảng 2.8 bác sĩ chuẩn đoán Paul, Kundu, Rohit bị bệnh Sốt rét Jadu bị đau dầy 29 Chương Tập mờ tranh ứng dụng Gần đây, Bùi Công Cường Vladik Kreinovich định nghĩa tập mờ tranh mở rộng tập mờ tập mờ trực cảm [6, 7, 8] Quan hệ mờ tranh định nghĩa khái niệm xây dựng lý thuyết tập mờ tranh Trong phần này, số tính chất phép hợp thành quan hệ mờ tranh kiểm tra Sau đó, đề xuất cách tiếp cận chẩn đoán y khoa sử dụng phép hợp thành quan hệ mờ tranh Đây nội dung báo đăng kỷ yếu Hội nghị Khoa học Quốc gia lần thứ VII Nghiên cứu ứng dụng Công Nghệ thông tin (FAIR) tháng năm 2014 3.1 Tập mờ tranh 3.1.1 Định nghĩa số phép toán tập mờ tranh Định nghĩa 3.1 [6, 7] Một tập mờ tranh A không gian X tập xác định A = {(x, µA (x) , ηA (x) , νA (x)) |x ∈ X} µA (x) ∈ [0, 1], ηA (x) ∈ [0, 1], νA (x) ∈ [0, 1] gọi độ thuộc, độ trung lập, độ không thuộc x vào A hàm µA , ηA νA thỏa mãn điều kiện ≤ µA (x) + ηA (x) + νA (x) ≤ 1, ∀x ∈ X Khi đó, với x ∈ X, πA (x) = − [µA (x) + ηA (x) + νA (x)] gọi độ từ chối xác nhận x A Kí hiệu P F S(X) tập tất tập mờ tranh không gian X Về bản, tập mờ tranh thể đầy đủ tình người tham gia bầu cử lấy ý kiến trả lời: có, lưỡng lự, không,không trả lời 30 Chương Tập mờ tranh ứng dụng Định nghĩa 3.2 [6, 7] Cho A, B hai phần tử P F Ss a) Phép hợp A ∪ B xác định hàm tương ứng sau: µA∪B (x) = max {µA (x) , µB (x)} , ηA∪B (x) = {ηA (x) , ηB (x)} , νA∪B (x) = {νA (x) , νB (x)} b) Phép giao A ∩ B xác định hàm tương ứng sau: µA∩B (x) = {µA (x) , µB (x)} , ηA∩B (x) = {ηA (x) , ηB (x)} , νA∩B (x) = max {νA (x) , νB (x)} c) Phần bù: CoA = AC = {(x, νA (x) , ηA (x) , µA (x)) |x ∈ X} 3.1.2 Quan hệ mờ tranh Định nghĩa 3.3 [7, 8] Một quan hệ mờ tranh R tập mờ tranh X × Y xác định R = {((x, y), µR (x, y) , ηR (x, y) , νR (x, y)) |(x, y) ∈ X × Y } Trong µR : X × Y → [0, 1] , ηR : X × Y → [0, 1] , νR : X × Y → [0, 1] thỏa mãn điều kiện ≤ µA (x, y) + ηA (x, y) + νA (x, y) ≤ 1, ∀(x, y) ∈ X × Y Ta kí hiệu: P F R(X × Y ) tập tất quan hệ mờ tranh X ×Y Định nghĩa 3.4 [7, 8] Cho X, Y, Z tập khác rỗng E ∈ P F R(X × Y ) P ∈ P F R(Y × Z) Quan hệ hợp thành max − P C1 E xác định P C1 E = {((x, z), µP C1 E (x, z) , ηP C1 E (x, z) , νP C1 E (x, z)) |x ∈ X, z ∈ Z} Trong µP C1 E (x, z) = ∨{[µE (x, y) ∧ µP (y, z)]}, y ηP C1 E (x, z) = ∧{[ηE (x, y) ∧ ηP (y, z)]}, y νP C1 E (x, z) = ∧{[νE (x, y) ∨ νP (y, z)]}, y 31 ∀(x, z) ∈ X × Z Chương Tập mờ tranh ứng dụng Mệnh đề 3.5 [11] Nếu E ∈ P F R(X × Y ) P ∈ P F R(Y × Z) P C1 E ∈ P F R(X × Z) Chứng minh Với (x, z) ∈ X × Z, ta phải chứng minh: µP C1 E (x, z) + ηP C1 E (x, z) + νP C1 E (x, z) ≤ Theo định nghĩa ta có Với ε > 0, tồn y ∗ ∈ Y cho: µP C1 E (x, z) < µE (x, y ∗ ) ∧ µP (y ∗ , z) + ε (3.1) ηP C1 E (x, z) ≤ ηE (x, y ∗ ) ∧ ηP (y ∗ , z) (3.2) νP C1 E (x, z) ≤ νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) (3.3) Từ (3.1), (3.2) (3.3) ta có: µP C1 E (x, z) + ηP C1 E (x, z) + νP C1 E (x, z) < µE (x, y ∗ ) ∧ µP (y ∗ , z) + ηE (x, y ∗ ) ∧ ηP (y ∗ , z) + νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) + ε Ta có hai trường hợp sau: Trường hợp 1: νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) = νE (x, y ∗ ) µE (x, y ∗ ) ∧ µP (y ∗ , z) + ηE (x, y ∗ ) ∧ ηP (y ∗ , z) + νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) + ε = µE (x, y ∗ ) ∧ µP (y ∗ , z) + ηE (x, y ∗ ) ∧ ηP (y ∗ , z) + νE (x, y ∗ ) + ε ≤ µE (x, y ∗ ) + ηE (x, y ∗ ) + νE (x, y ∗ ) + ε ≤ + ε Trường hợp 2: νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) = νP (y ∗ , z) µE (x, y ∗ ) ∧ µP (y ∗ , z) + ηE (x, y ∗ ) ∧ ηP (y ∗ , z) + νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) + ε = µE (x, y ∗ ) ∧ µP (y ∗ , z) + ηE (x, y ∗ ) ∧ ηP (y ∗ , z) + νP (y ∗ , z) + ε ≤ µP (y ∗ , z) + ηP (y ∗ , z) + νP (y ∗ , z) + ε ≤ + ε Vậy µP C1 E (x, z) + ηP C1 E (x, z) + νP C1 E (x, z) < + ε, ∀ε > Hay với (x, z) ∈ X × Z ta có µP C1 E (x, z) + ηP C1 E (x, z) + νP C1 E (x, z) ≤ 32 Chương Tập mờ tranh ứng dụng Định nghĩa 3.6 [7, 8] Cho E ∈ P F R(X × Y ) P ∈ P F R(Y × Z) Quan hệ hợp thành max −prod P C2 E xác định P C2 E = {((x, z), µP C2 E (x, z) , ηP C2 E (x, z) , νP C2 E (x, z)) |(x, z) ∈ X × Z} Trong µP C2 E (x, z) = ∨{µE (x, y) · µP (y, z)}, y ηP C2 E (x, z) = ∧{ηE (x, y) · ηP (y, z)}, y νP C2 E (x, z) = ∧{νE (x, y) + νP (y, z) − νE (x, y) · νP (y, z)} y Mệnh đề 3.7 [11] Nếu E ∈ P F R(X × Y ) P ∈ P F R(Y × Z) P C2 E ∈ P F R(X × Z) Chứng minh Với (x, z) ∈ X × Z, ta phải chứng minh: µP C2 E (x, z) + ηP C2 E (x, z) + νP C2 E (x, z) ≤ Theo định nghĩa ta có Với ε > 0, tồn y ∗ ∈ Y cho: µP C2 E (x, z) < µE (x, y ∗ ) · µP (y ∗ , z) + ε (3.4) ηP C2 E (x, z) ≤ ηE (x, y ∗ ) · ηP (y ∗ , z) (3.5) νP C2 E (x, z) ≤ νE (x, y ∗ ) + νP (y ∗ , z) − νE (x, y ∗ ) · νP (y ∗ , z) (3.6) Từ (3.4), (3.5) (3.6) ta có µP C2 E (x, z) + ηP C2 E (x, z) + νP C2 E (x, z) < µE (x, y ∗ ) · µP (y ∗ , z) + ηE (x, y ∗ ) · ηP (y ∗ , z) + [νE (x, y ∗ ) + νP (y ∗ , z) − νP (y ∗ , z) · νE (x, y ∗ )] + ε Bởi định nghĩa P F R, µE (x, y ∗ ) + ηE (x, y ∗ ) ≤ − νE (x, y ∗ ) , µP (y ∗ , z) + ηP (y ∗ , z) ≤ − νP (y ∗ , z) ⇒ [µE (x, y ∗ ) + ηE (x, y ∗ )] · [µP (y ∗ , z) + ηP (y ∗ , z)] ≤ [1 − νE (x, y ∗ )] [1 − νP (y ∗ , z)] ⇒ µE (x, y ∗ ) · µP (y ∗ , z) + ηE (x, y ∗ ) · ηP (y ∗ , z) + [νE (x, y ∗ ) + νP (y ∗ , z) − νE (x, y ∗ ) · νP (y ∗ , z)] ≤ − µE (x, y ∗ ) · ηP (y ∗ , z) + ηE (x, y ∗ ) · µP (y ∗ , z) ≤ Vậy với ε > 33 Chương Tập mờ tranh ứng dụng µP C2 E (x, z) + ηP C2 E (x, z) + νP C2 E (x, z) < + ε Hay µP C2 E (x, z) + ηP C2 E (x, z) + νP C2 E (x, z) ≤ Định nghĩa sau quan hệ tổng quát sử dụng hai t− chuẩn Định nghĩa 3.8 [11] Cho E ∈ P F R(X × Y ), P ∈ P F R(Y × Z) β1 , β2 hai t−chuẩn Quan hệ hợp thành P C3 E xác định P C3 E = {((x, z), µP C3 E (x, z) , ηP C3 E (x, z) , νP C3 E (x, z)) |x ∈ X, z ∈ Z} Trong µP C3 E (x, z) = ∨{β1 [µE (x, y), µP (y, z)]}, y ηP C3 E (x, z) = ∧{β2 [ηE (x, y), ηP (y, z)]}, y νP C3 E (x, z) = ∧{νE (x, y) ∨ νP (y, z)} y Sự xác nhận P C3 E sử dụng tính chất quan trọng sau t−chuẩn Nếu β t−chuẩn, β (x, y) ≤ (x, y) , ∀x, y ∈ [0, 1] Mệnh đề 3.9 [11] Nếu E ∈ P F R(X × Y ) P ∈ P F R(Y × Z) P C3 E ∈ P F R(X × Z) Chứng minh Với (x, z) ∈ X × Z, ta phải chứng minh: µP C3 E (x, z) + ηP C3 E (x, z) + νP C3 E (x, z) ≤ Theo định nghĩa ta có Với ε > 0, tồn y ∗ ∈ Y cho: µP C3 E (x, z) < β1 [µE (x, y ∗ ) , µP (y ∗ , z)] + ε (3.7) ηP C3 E (x, z) ≤ β2 [ηE (x, y ∗ ) , ηP (y ∗ , z)] (3.8) νP C3 E (x, z) ≤ νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) (3.9) Từ (3.7), (3.8) (3.9) ta có µP C3 E (x, z) + ηP C3 E (x, z) + νP C3 E (x, z) < β1 [µE (x, y ∗ ) , µP (y ∗ , z)] + β2 [ηE (x, y ∗ ) , ηP (y ∗ , z)] + νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) + ε Ta có hai trường hợp sau: 34 Chương Tập mờ tranh ứng dụng Trường hợp 1: νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) = νE (x, y ∗ ) β1 [µE (x, y ∗ ) , µP (y ∗ , z)] + β2 [ηE (x, y ∗ ) , ηP (y ∗ , z)] + νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) + ε = β1 [µE (x, y ∗ ) , µP (y ∗ , z)] + β2 [ηE (x, y ∗ ) , ηP (y ∗ , z)] + νE (x, y ∗ ) + ε ≤ µE (x, y ∗ ) + ηE (x, y ∗ ) + νE (x, y ∗ ) + ε ≤ + ε Trường hợp 2: νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) = νP (y ∗ , z) β1 [µE (x, y ∗ ) , µP (y ∗ , z)] + β2 [ηE (x, y ∗ ) , ηP (y ∗ , z)] + νE (x, y ∗ ) ∨ νP (y ∗ , z) + ε = β1 [µE (x, y ∗ ) , µP (y ∗ , z)] + β2 [ηE (x, y ∗ ) , ηP (y ∗ , z)] + νP (y ∗ , z) + ε ≤ µP (y ∗ , z) + ηP (y ∗ , z) + νP (y ∗ , z) + ε ≤ + ε Vậy µP C3 E (x, z) + ηP C3 E (x, z) + νP C3 E (x, z + ε, ∀ε > Hay µP C3 E (x, z) + ηP C3 E (x, z) + νP C3 E (x, z) ≤ Ví dụ 3.10 Cho:X = {x1 , x2 , x3 },Y = {y1 , y2 , y3 , y4 }, X = {z1 , z2 , z3 }, E ∈ P F R (X × Y ) P ∈ P F R (X × Y ) có giá trị cho Bảng 3.1, Bảng 3.2 Cho Tχ : [0, 1]2 → [0, 1] t−chuẩn định nghĩa T (x, y) = x + y ≤ 1, ∀(x, y) ∈ [0, 1]2 x + y − x + y > 1, Thì hợp thành P C3 E đó: β1 = Tχ , β2 = ∧ cho Bảng 3.3 Bảng 3.1 E quan hệ mờ tranh X Y E x1 x2 x3 y1 (0.7, 0.2, 0.1) (0.5, 0.4, 0.01) (0.3, 0.5, 0.15) y2 (0.1, 0.05, 0.6) (0.8, 0.03, 0.05) (0.9, 0.05, 0.01) 35 y3 (0.02, 0.6, 0.2) (0.2, 0.25, 0.5) (0.45, 0.5, 0.01) y4 (0.07, 3, 0.4) (0.7, 0.15, 0.08) (0.1, 0.1, 0.4) Chương Tập mờ tranh ứng dụng Bảng 3.2 P quan hệ mờ tranh Y Z P y1 y2 y3 y4 z1 (0.75, 0.1, 0.15) (0.2, 0.4, 0.3) (0.06, 0.24, 0.4) (0.3, 0.04, 0.6) z2 (0.5, 0.25, 0.01) (0.36, 0.6, 0.05) (0.55, 0.09, 0.3) (0.4, 0.3, 0.25) (0.45, (0.2, (0.7, (0.4, z3 0.4, 0.2, 0.1, 0.2, 0.01) 0.6) 0.1) 0.1) Bảng 3.3 P C3 E quan hệ mờ tranh với β1 = Tχ , β2 = ∧ P C3 E x1 x2 x3 3.2 z1 (0.45, 0.04, 0.15) (0.25, 0.3, 0.15) (0.1, 0.04, 0.15) z2 (0.2, 0.05, 0.1) (0.15, 0.03, 0.01) (0.25, 0.05, 0.05) z3 (0.15, 0.05, 0.1) (0.1, 0.03, 0.01) (0.15, 0.05, 0.1) Ứng dụng Trong phần đưa ứng dụng quan hệ mờ tranh dựa cách tiếp cận Sanchez [12, 13] để chẩn đoán y khoa Trong ứng dụng này, S tập triệu chứng, D tập chuẩn đoán y khoa, P tập bênh nhân Ta định nghĩa " Tri thức Y khoa tranh" quan hệ mờ tranh R tập triệu chứng S với tập chẩn đoán bệnh D qua thấy kết hợp độ thuộc, độ không thuộc độ trung lập triệu chứng chuẩn đoán bệnh Bây ta mô tả chuẩn đoán mờ tranh Như tương tự phương pháp truyền thống cũ phương pháp chẩn đoán mờ tranh theo bước sau: Xác định triệu chứng Biểu diễn sở tri thức y khoa quan hệ mờ tranh Xác định chẩn đoán dựa phép hợp thành quan hệ mờ tranh Cho Q ∈ P F R (P × S) R ∈ P F R (S × D), rõ ràng quan hệ hợp thành T R Q (T = R ◦ Q) biểu thị "Tình trạng" bệnh nhân chuẩn đoán bệnh Chẳng hạn, tình trạng bệnh nhân xác 36 Chương Tập mờ tranh ứng dụng định quan hệ hợp thành max - T từ P vào D: µT (p, d) = ∨ {µQ (p, s) ∧ µR (s, d)} , s∈S ηT (p, d) = ∧ {ηQ (p, s) ∧ ηR (s, d)} , s∈S νT (p, d) = ∧ {νQ (p, s) ∨ νR (s, d)} , ∀p ∈ P, d ∈ D s∈S Ví dụ 3.11 Ta xét bốn bệnh nhân p1 , p2 , p3 , p4 Các triệu chứng: nhiệt độ (NĐộ), đau dầy (Đ.D.Dày), đau đầu (ĐĐầu), ho, đau ngực (ĐNgực) Do đó: P = {p1 , p2 , p3 , p4 } tập bệnh nhân S ={ Nhiệt độ, Đau đầu, Ho, Đau ngực, Đau dày} tập triệu chứng Khi quan hệ mờ tranh Q ∈ P F R (P × S) cho Bảng 3.4 Cho tập chuẩn đoán bệnh là: D = {Sốt Viral, sốt rét, thương hàn, vấn đề dày, vấn đề tim (VĐ tim)} Khi quan hệ mờ tranh R ∈ P F S (S × D) cho Bảng 3.5 Quan hệ T = R ◦ Q thu cho Bảng 3.6 Mối liên hệ bệnh nhân p bệnh d thể tương ứng qua ba thông số µT (p, d), ηT (p, d), νT (p, d) Với (p, d) ∈ P × D, xác định ST (p, d) tương ứng sau: ST (p, d) = µT (p, d) − νT (p, d) πT (p, d) πT (p, d) = − [µT (p, d) + ηT (p, d) + νT (p, d)] Ta thấy µT (p, d) + ηT (p, d) + νT (p, d) = ST (p, d) = µT (p, d) Nếu ST (p, d) ≥ 0.5 bệnh nhân p kết luận bị bênh d Do dựa vào Bảng 3.7 bác sĩ kết luận bệnh nhân p1 , p3 , p4 bị bệnh sốt rét, p1 , p3 bị bệnh thương hàn bệnh nhân p2 có vấn đề dày Bảng 3.4 Q quan hệ mờ tranh P S Q p1 p2 p3 p4 Nhiệt độ (0.8, 0.03, 0.1) (0.01, 0.2, 0.7) (0.75, 0.15, 0.05) (0.6, 0.25, 0.1) Đau đầu (0.7, 0.05, 0.2) (0.5, 0.05, 0.3) (0.8, 0.1, 0.08) (0.4, 0.15, 0.4) Đau dày (0.1, 0.2, 0.6) (0.65, 0.1, 0.1) (0.15, 0.35, 0.5) (0.2, 0.4, 0.3) 37 Ho (0.7, 0.15, 0.1) (0.05, 0.2, 0.7) (0.3, 0.05, 0.6) (0.6, 0.2, 0.15) Đau ngực (0.2, 0.3, 0.5) (0.07, 0.2, 0.6) (0.1, 0.4, 0.5) (0.35, 0.2, 0.2) Chương Tập mờ tranh ứng dụng Bảng 3.5 R quan hệ mờ tranh tập S D R NĐộ ĐĐầu DDày Ho ĐNgực Sốt Viral (0.4, 0.4, 0.05) (0.4, 0.25, 0.3) (0.1, 0.25, 0.6) (0.45, 0.2, 0.1) (0.05, 0.25, 0.6) Sốt rét (0.8, 0.1, 0.1) (0.1, 0.2, 0.6) (0.01, 0.03, 0.9) (0.65, 0.5, 0.05) (0.03, 0.07, 0.8) Thương hàn (0.3, 0.3, 0.3) (0.75, 0.05, 0.03) (0.1, 0.2, 0.7) (0.2, 0.15, 0.6) (0.01, 0.01, 0.85) Dạ dày (0.15, 0.05, 0.6) (0.3, 0.05, 0.05) (0.8, 0.1, 0.01) (0.25, 0.25, 0.5) (0.1, 0.1, 0.7) VĐ tim (0.05, 0.15, 0.7) (0.01, 0.1, 0.8) (0.1, 0.15, 0.75) (0.15, 0.2, 0.7) (0.9, 0.02, 0.05) Bảng 3.6 T quan hệ mờ tranh tập P D T p1 p2 p3 p4 Sốt Viral (0.45, 0.03, 0.1) (0.4, 0.05, 0.3) (0.4, 0.05, 0.05) (0.45, 0.15, 0.1) Sốt rét (0.8, 0.03, 0.1) (0.1, 0.03, 0.6) (0.75, 0.03, 0.1) (0.6, 0.03, 0.1) Thương hàn (0.7, 0.01, 0.2) (0.5, 0.01, 0.3) (0.75, 0.01, 0.08) (0.4, 0.01, 0.3) Dạ dày (0.3, 0.03, 0.2) (0.65, 0.05, 0.1) (0.3, 0.05, 0.08) (0.3, 0.05, 0.3) Bảng 3.7 ST ST p1 p2 p3 p4 Sốt Viral 0.408 0.325 0.375 0.42 Sốt rét 0.793 -0.062 0.738 0.573 Thương hàn 0.682 0.443 0.7372 0.313 38 Dạ dày 0.206 0.63 0.2544 0.195 VĐ tim 0.06 -0.09 -0.015 0.264 VĐ tim (0.2, 0.02, 0.5) (0.1, 0.02, 0.5) (0.15, 0.02, 0.5) (0.35, 0.02, 0.2) Kết luận Luận văn trình bày quan hệ mờ trực cảm, ứng dụng quan hệ mờ trực cảm chuẩn đoán y khoa mở rộng chúng sang quan hệ mờ tranh Các kết trình bày luận văn bao gồm: (i) Trình bày tập mờ tập mờ trực cảm bao gồm: khái niệm, lôgic mờ, quan hệ mờ phép toán chúng (ii) Trình bày cụ thể quan hệ mờ trực cảm Trình bày khái niệm, phép toán đặc biệt phép hợp thành mờ trực cảm Xây dựng số phép hợp thành cụ thể Trình bày ứng dụng quan hệ mờ trực cảm chuẩn đoán y khoa (iii) Mở rộng quan hệ mờ trực cảm sang quan hệ mờ tranh Xây dựng số phép hợp thành cụ thể quan hệ mờ tranh Đề xuất ứng dụng quan hệ mờ tranh mở rộng Những đóng góp luận văn hệ thống, xếp trình bày lại kiến thức, kết quan hệ mờ trực cảm Các chứng minh định lý, mệnh đề trình bày lại giải thích rõ ràng Đặc biệt Định lý 1.25, Mệnh đề 2.7, Mệnh đề 2.10, Mệnh đề 3.5, Mệnh đề 3.7, Mệnh đề 3.9 tự chứng minh Đồng thời xây dựng ví dụ để minh họa cho khái niệm kết luận văn Đặc biệt mở rộng quan hệ mờ trực cảm sang quan hệ mờ tranh, đề xuất ứng dụng trình bày đăng kỷ yếu Hội nghị Khoa học Quốc gia lần thứ VII Nghiên cứu ứng dụng Công Nghệ thông tin (FAIR) tháng năm 2014 Mặc dù cố gắng chắn luận văn nhiều khiếm khuyết, sai sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Trân trọng cảm ơn! 39 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Công Cường, Nguyễn Doãn Phước (Chủ biên) (2006), Hệ mờ, mạng nơron ứng dụng - Xuất lần 2, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội [2] Krassimir T Atanassov (1986), “Intuitionistic fuzzy sets”, Fuzzy Sets and Systems, vol.20, pp 87-96, [3] Atanassov, K.T., Stoeva, S (1984), “Intuitionistic L - fuzzy sets”, Cybernetics and Systems Research, 2, 539 - 540 [4] P Burillo, and H Bustince (1995), “Intuitionistic fuzzy relations (Part I)”, Mathware Soft Computing, vol 2, pp 25-38 [5] H Bustince, and P Burillo (1996), “Structures on intuitionistic fuzzy relations”, Fuzzy Sets and Systems, vol 78, 293-303 [6] B C Cuong (2013), “Picture fuzzy sets – first results Part 1”, In Preprint of Seminar on Neuro-Fuzzy Systems with Applications, Institute of Mathematics, Hanoi [7] B C Cuong (2013), “Picture fuzzy sets – first results Part 2”, In Preprint of Seminar on Neuro-Fuzzy Systems with Applications, Institute of Mathematics, Hanoi [8] B C Cuong, V Kreinovich (2013), “Picture Fuzzy Sets- a new concept for computational intelligence problems”, In Proceedings of the Third World Congress on Information and Communication Technologies WIICT 2013, pp 1- [9] Bui Cong Cuong, Pham Hong Phong (2014), “New Composition of Intuitionistic Fuzzy Relations”, Knowledge and Systems Engineering Advances in Intelligent Systems and Computing Volume, (244), pp 123-136 [10] Glad Deschrijver, Chris Cornelis, and Etienne E Kerre (2004), “On the Representation of intuitionistic Fuzzy t− Norms and t− 40 Chương Tập mờ tranh ứng dụng Conom”, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Vol.12, no I, February [11] P H Phong, Đ T Hieu, R H Ngan, P T Them (2014), “Some compositions of picture fuzzy relations”, Hội nghị Khoa học Quốc gia lần thứ VII Nghiên cứu ứng dụng Công Nghệ thông tin (FAIR), Thai Nguyen [12] E Sanchez (1976), “Resolution of composition fuzzy relation equations”, Information and Control, vol.30, pp 38-48 [13] E Sanchez (1977), “Solutions in composite fuzzy relation equation Application to Medical diagnosis in Brouwerian Logic”, Fuzzy Automata and Decision Process, Elsevier, North-Holland, pp 221 234 [14] K D Supriya, B Ranjit , R R Akhil (2001), “An application of intuitionistic fuzzy sets in medical diagnosis”, Fuzzy Sets and Systems, vol.117, 209-213 [15] L A Zadeh ( 1965),“Fuzzy Sets”, Information and Control, vol 8, 338-353 41 [...]... các quan hệ mờ trực cảm của X × Y Định nghĩa 2.2 Cho R là một quan hệ mờ trực cảm hai ngôi giữa X và Y Ta định nghĩa quan hệ mờ trực cảm R−1 giữa Y và X bởi các hàm thuộc và hàm không thuộc: −1 µ−1 R (y, x) = µR (x, y) ; νR (y, x) = νR (x, y), ∀(x, y) ∈ X × Y R−1 được gọi là quan hệ ngược của R Định nghĩa 2.3 Cho R là một quan hệ mờ trực cảm hai ngôi giữa X và Y Ta định nghĩa quan hệ bù trực cảm. .. R(y, x) Vậy R là quan hệ mờ tương đương 11 Chương 1 Giới thiệu tập mờ, tập mờ trực cảm Một số phép toán của quan hệ mờ Định nghĩa 1.26 Cho R1 và R2 là hai quan hệ mờ trên X × Y , ta có các định nghĩa sau: a) Hợp của hai quan hệ mờ R1 , R2 là một quan hệ mờ R1 ∪ R2 với µR1 ∪R2 (x, y) = max {µR1 (x, y), µR2 (x, y)} , ∀(x, y) ∈ X × Y b) Giao của hai quan hệ mờ R1 , R2 là một quan hệ mờ R1 ∩ R2 với µR1... bằng quan hệ mờ trực cảm được các chuyên gia y khoa học các thiết bị y khoa đưa ra 3 Xác định các chẩn đoán dựa trên phép hợp thành của các quan hệ mờ trực cảm Bài toán đưa ra: Có n bệnh nhân pi , i = 1, 2, , n; pi ∈ P R ∈ IF R(S × D), quan hệ mờ trực cảm Q từ tập bệnh nhân P đến tập các triệu chứng S (Q ∈ IF R(P × S)) Rõ ràng kết quả phép hợp thành của hai quan hệ R và Q là một quan hệ mờ trực cảm. .. νB (x) |x ∈ X} g) Phép nhân A · B = { x, µA (x) · µB (x) , νA (x) + νB (x) − νA (x) · νB (x) |x ∈ X} 15 Chương 2 Quan hệ mờ trực cảm và ứng dụng 2.1 Quan hệ mờ trực cảm và các phép toán Định nghĩa 2.1 [4, 5] Cho X, Y là các tập khác rỗng Quan hệ mờ trực cảm R là một tập con mờ trực cảm của tập X × Y tức là R có dạng: R= (x, y), µR (x, y), νR (x, y) |(x, y) ∈ X × Y Trong đó: µR : X × Y → [0, 1],... νP ∨Q (x, y) ≥ νR (x, y) R≥P ⇒ ⇒ R ≥ P ∧ Q R≥Q R≤P Chứng minh tương tự với ⇒ R ≤ P ∧ Q R≤Q 17 Chương 2 Quan hệ mờ trực cảm và ứng dụng 2.2 Phép hợp thành của quan hệ mờ trực cảm 2.2.1 Suy rộng phép hợp thành max-min cho quan hệ mờ trực cảm Định nghĩa 2.6 Cho R ∈ IF R (X × Y ) và P ∈ IF R (Y × Z) Quan hệ hợp thành max – min P C1 R được xác định bởi P C1 R = { (x, z) , µP C1 R (x, z) , νP C1 R (x, z) |(x,... Cho R1 và R2 là hai quan hệ mờ trên X × Y , ta nói: R1 ⊆ R2 nếu µR1 (x, y) ≤ µR2 (x, y), ∀(x, y) ∈ X × Y R1 ⊇ R2 nếu µR1 (x, y) ≥ µR2 (x, y), ∀(x, y) ∈ X × Y R1 = R2 nếu µR1 (x, y) = µR2 (x, y), ∀(x, y) ∈ X × Y Định nghĩa 1.28 (Quan hệ mờ trên những tập mờ) Cho tập mờ A trên X với hàm thuộc µA (x), tập mờ B trên Y với hàm thuộc µB (y) Quan hệ mờ trên các tập mờ A và B là quan hệ mờ R trên X × Y thỏa... lự nhất định Tập mờ trực cảm là công cụ hiệu quả để biểu diễn và suy diễn các thông tin không chính xác, nhất quán 1.3.1 Định nghĩa tập mờ trực cảm và một số phép toán cơ bản Tập mờ trực cảm là một dạng suy rộng của tập mờ Bên cạnh hàm thuộc µA (x), Antanassov đã thêm vào khái niệm hàm không thuộc νA (x) Sau đây là định nghĩa tập mờ trực cảm (IF S) Định nghĩa 1.32 [2] Tập mờ trực cảm A trong không... xét ví dụ cụ thể sau: Ta muốn mô tả quan hệ giữa X = {các ngành học của khoa toán của đại học sư phạm Hà Nội } và Z = {Các mức thu nhập(TN) lúc đi làm} Đây là các tập mờ, khó biểu diễn trực tiếp quan hệ giữa chúng Dựa vào kinh nghiệm bản thân chúng tôi xây dựng hai quan hệ R1 trên X × Y và R2 là quan hệ mờ trên Y × Z trong đó 12 Chương 1 Giới thiệu tập mờ, tập mờ trực cảm Y = {Các dạng công việc có thể... Định nghĩa 1.29 Cho quan hệ mờ R trên X × Y a) Phép chiếu của R lên X là projX R = {(x, maxy µR (x, y)) : x ∈ X} b) Phép chiếu của R lên Y là projY R = {(y, maxx µR (x, y)) : y ∈ Y } 1.2.4 Phép hợp thành của quan hệ mờ Định nghĩa 1.30 (Phép hợp thành max-min) Cho R1 là quan hệ mờ trên X × Y và R2 là quan hệ mờ trên Y × Z Khi đó hợp thành max − min R1 ◦ R2 của R1 , R2 là quan hệ mờ trên X × Z được xác... của quan hệ mờ Định nghĩa 1.31 a) Hợp thành max −prod cho bởi: µR1 ◦R2 (x, z) = max {(µR1 (x, y) µR2 (y, z))} ,∀ (x, z) ∈ X × Z y b) Hợp thành max −∗ với ∗ là một t-chuẩn µR1 ◦R2 (x, z) = max {(µR1 (x, y) ∗ µR2 (y, z))} ,∀ (x, z) ∈ X × Z y 13 Chương 1 Giới thiệu tập mờ, tập mờ trực cảm 1.3 Tập mờ trực cảm Tập mờ trực cảm được đề xuất bởi Krassimir Atanassov vào năm 1983 là một mở rộng của tập mờ Zadeh