ĐỊNH lý DẠNG RIEMANN ROCH CHO đồ THỊ và CÁCH TÍNH HẠNG TRÊN một số đồ THỊ đặc BIỆT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN VIỆN TOÁN HỌC VŨ NAM PHONG ĐỊNH LÝ DẠNG RIEMANN-ROCH CHO ĐỒ THỊ VÀ CÁCH TÍNH HẠNG TRÊN MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN VIỆN TOÁN HỌC VŨ NAM PHONG ĐỊNH LÝ DẠNG RIEMANN-ROCH CHO ĐỒ THỊ VÀ CÁCH TÍNH HẠNG TRÊN MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Thị Hà Dương Hà Nội - 2015 Mục lục Lời nói đầu Danh mục kí hiệu CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ 19 2.1 Cấu hình khái niệm liên quan 19 2.2 Các mô hình CF G 21 2.3 Một số loại cấu hình đặc biệt 22 2.4 Cấu hình đồ thị đầy đủ 34 2.5 Từ Dyck liên hệ với cấu hình đồ thị đầy đủ 37 HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ 45 3.1 Các khái niệm tính chất hạng 45 3.2 Định lý dạng Riemann-Roch cho đồ thị 50 3.3 Tính hạng cấu hình đồ thị đầy đủ không dùng từ Dyck 52 Thuật toán tính hạng cấu hình đồ thị đầy đủ 56 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 3.4 Lời nói đầu Trong năm gần đây, mô hình CF G (Chip-firing game) thu hút ý nhiều nhà nghiên cứu, nhiều công trình công bố Trong đó, M Baker S Norine đưa khái niệm mới, hạng cấu hình đồ thị [2] vào năm 2007 Bài toán tính hạng cấu hình đồ thị khó, luận văn trình bầy số tính chất hạng cấu hình đồ thị tổng quát đưa cách tính hạng cấu hình đồ thị đầy đủ, loại đồ thị có tính đối xứng cao Luận văn gồm ba chương Chương trình bày số định nghĩa kết sử dụng Chương Chương Đó khái niệm tính chất đồ thị Chương trình bày định nghĩa, tính chất cấu hình đồ thị dạng mô hình CF G Các kết trình bầy cho đồ thị tổng quát dạng đồ thị đặc biệt, đồ thị đầy đủ Chương trình bày định nghĩa, tính chất cách tính hạng cấu hình đồ thị, đồ thị tổng quát số dạng đồ thị đặc biệt: đồ thị cây, đơn đồ thị 2-chính quy, đồ thị đầy đủ; đó, Lời nói đầu việc tính hạng cho đồ thị đầy đủ trình bầy chi tiết Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn PGS TS Phan Thị Hà Dương Tác giả chân thành cảm ơn cô Phan Thị Hà Dương tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả nhiều trình làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô, anh chị bạn nhóm nghiên cứu cô Phan Thị Hà Dương, thầy cô cán công nhân viên Viện Toán học quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Viện Hà Nội, ngày 31 tháng 08 năm 2015 Vũ Nam Phong Danh mục kí hiệu CF G mô hình Chip-firing game Kn đồ thị đầy đủ n đỉnh ∀i = 1, n ∀i ∈ {1, 2, , n} ei,j số cạnh có hai đầu xi , xj deg(v) bậc đỉnh v di bậc đỉnh xi d− i bậc vào đỉnh xi deg(f ) bậc cấu hình f ∆ ma trận Laplace ∆′ ma trận Laplace thu gọn cấu hình có tất vị trí ε(i) cấu hình có vị trí thứ i 1, vị trí lại δ cấu hình thỏa mãn δi = di − ∀i = 1, n κ cấu hình thỏa mãn κi = di − ∀i = 1, n ∆(i) cấu hình Laplace f ∼ LG g f, g hai cấu hình tương đương f ≁ LG g f, g hai cấu hình không tương đương x i f −→ g cấu hình f bắn chip đỉnh xi cấu hình g Danh mục kí hiệu ∗ f → g cấu hình f sau loạt phép bắn chip cấu hình g |w|x số lần xuất chữ x từ w |w| độ dài từ w An tập hợp từ có n − chữ a n chữ b P tập hợp cấu hình hiệu đồ thị G E tập hợp cấu hình hiệu quả-LG đồ thị G ρ(f ) hạng cấu hình f Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Phần trình bày số kiến thức đồ thị, kiến thức tham khảo từ [1], kiến thức sở sử dụng phần luận văn Định nghĩa 1.0.1 (Đồ thị vô hướng) Một đồ thị vô hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), với V tập, E tập với phần tử đa tập lực lượng hai V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đồ thị vô hướng G Nếu e = {a, b} cạnh G a,b gọi đỉnh liên thuộc với e Cạnh có dạng {a, a} với a ∈ V gọi khuyên Định nghĩa 1.0.2 (Đồ thị có hướng) Một đồ thị có hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), với V tập, E tập tích Đề V × V Các phần tử V gọi đỉnh đồ thị có hướng G, phần tử E Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN gọi cung đồ thị có hướng G Cụ thể, (a, b) ∈ E (a,b) gọi cung G với đỉnh đầu a, đỉnh cuối b có hướng từ a đến b Nếu (a, b) ∈ E đỉnh a b gọi liên thuộc với cung (a,b) gọi kề Cung có dạng (a,a) với a ∈ V gọi khuyên Đỉnh không liên thuộc với cung gọi đỉnh cô lập Số đỉnh G gọi cấp đồ thị G, số cung G gọi cỡ đồ thị G Hình 1.1: Đồ thị vô hướng G Hình 1.2: Đồ thị có hướng G Định nghĩa 1.0.3 (Đa đồ thị) Một đa đồ thị vô hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN tập E đa tập với phần tử đa tập lực lượng hai V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đa đồ thị G Một đa đồ thị có hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập, E đa tập với phần tử thuộc tích Đề V × V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cung đa đồ thị có hướng G Hình 1.3: Đa đồ thị vô hướng G Hình 1.4: Đa đồ thị có hướng G Định nghĩa 1.0.4 (Bậc đỉnh đồ thị) Cho G = (V, E) (đa) đồ thị vô hướng Với đỉnh v ∈ V , đặt NG (v) = {{v, u} ∈ E : u ∈ V } Lực lượng NG (v) gọi bậc Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ → − Chứng minh Dễ thấy G định hướng không chu trình G ← − → − G (thu đảo hướng tất cạnh G ) định hướng − = κ − + f← không chu trình G f→ G G Xét cấu hình f bất kì, gọi λ proof cho ρ(f ), f − λ không hiệu quả-LG ρ(f ) = deg(λ) − → − Do f − λ không hiệu quả-LG nên tồn định hướng không chu trình G − − (f − λ) hiệu quả-LG , µ cấu hình hiệu thỏa mãn: thỏa mãn f→ G − − (f − λ) ∼LG µ f→ G (3.3) − − vào hai vế thu được: κ − (f − λ) ∼LG µ + f← cộng f← G G − − λ ⇒ (κ − f ) − µ ∼LG f← G Do vế phải không hiệu quả-LG ⇒ (κ − f ) − µ không hiệu quả-LG ⇒ ρ(κ − f ) < deg(µ) (3.4) Theo (3.3), ta tính được: − ) − deg(f ) + deg(λ) = m − n − deg(f ) + ρ(f ) + deg(µ) = deg(f→ G Thay vào (3.4) có: ρ(κ − f ) < m − n − deg(f ) + ρ(f ) + (3.5) Đổi vai trò f κ − f ta thu được: ρ(f ) < m − n − deg(κ − f ) + ρ(κ − f ) + 1, 51 (3.6) Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ kết hợp với deg(κ − f ) = 2m − 2n − deg(f ), có: ρ(f ) < deg(f ) − m + n + ρ(κ − f ) + ⇒ ρ(κ − f ) > m − n − deg(f ) + ρ(f ) − (3.7) Từ (3.5) (3.7) suy điều phải chứng minh Nhận xét Như vậy, trường hợp mà tính toán ρ(f ) khó khăn, ta nghĩ đến việc tính ρ(κ − f ) từ tính ρ(f ) nhờ dùng Định lý dạng Riemann-Roch cho đồ thị Ví dụ 3.2.1 Xét lại Ví dụ 3.1.2, ta tính ρ(f ) = deg(µ) − = x1 ,x3 Do G có κ = (1, 0, 1) ⇒ κ − f = (1, −2, 1) −→ (0, 0, 0) ⇒ ρ(κ − f ) = 0, áp dụng Định lý dạng Riemann-Roch cho đồ thị G có số cạnh m = 4, số đỉnh n = 3, tính ρ(f ) = 3.3 Tính hạng cấu hình đồ thị đầy đủ không dùng từ Dyck Mục trình bầy cách tính hạng cấu hình đồ thị đầy đủ dựa vào cấu hình siêu ổn định Mệnh đề 3.3.1 Cho f = (f1 , f2 , , fn ) cấu hình siêu ổn định, hiệu quả-LG đồ thị đầy đủ fi = 0, đó: ρ(f ) = ρ(f − ε(i) ) + 52 Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ Chứng minh Gọi λ proof cho ρ(f ), f − λ không hiệu quả-LG nên tồn j để fj − λj < Xét hai cấu hình g = f − λj ε(j) h = f − fj ε(j) − (λj − fj )ε(i) Ta tính gi = hj = 0, gj = hi = fj − λj gk = hk ∀k ∈ / {i, j} Do tính đối xứng Kn nên ρ(g) = ρ(h) Do λ proof cho ρ(f ) nên ρ(f ) = deg(λ) − = deg(λ) + ρ(f − λ) Áp dụng Bổ đề 3.1.2 với µ = λ µ′ = λj ε(j) được: ρ(f − µ′ ) = ρ(f ) − deg(µ′ ) = ρ(f ) − λj Vì g = f − µ′ nên ρ(g) = ρ(h) = ρ(f ) − λj Do λj − fj ≥ 1, áp dụng Bổ đề 3.1.2 với µ = fj ε(j) + (λj − fj )ε(i) µ′ = ε(i) thu ρ(f − ε(i) ) = ρ(f ) − Chú ý Kết mệnh đề không cho đồ thị, tức việc trừ fi (thành phần thứ i) thỏa mãn fi = chưa làm giảm hạng Ta xét ví dụ sau minh họa cho điều Ví dụ 3.3.1 [8] Cấu hình f = (0, 1, 0, 1, 0, 1) đồ thị bánh xe W5 cho Hình 3.3 (a) có ρ(f ) = = ρ(f ′ ) với f ′ = f − (0, 0, 1, 0, 0, 0) Thật vậy, f hiệu ρ(f ) = Xét g = f − (0, 0, 0, 0, 1, 0), rõ ràng g không hiệu quả-LG gi ≤ hi ∀i ∈ {1, 2, , 6} với h không hiệu quả-LG h cấu hình liên kết với định hướng không chu trình Hình 3.3 (b) Với f ′ = (0, 1, −1, 1, 0, 1), bắn chip x6 (1, 2, 0, 2, 1, −4), sau 53 Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ Hình 3.3: (a) Đồ thị bánh xe W5 (b) định hướng không chu trình giúp tính ρ(f ) bắn chip x1 (−2, 3, 0, 2, 2, −3), bắn chip x2 (−1, 0, 1, 2, 2, −2), sau bắn chip x4 (−1, 0, 2, −1, 3, −1), cuối bắn chip x5 (0, 0, 2, 0, 0, 0) = f ′′ Do f ′′ hiệu ⇒ f ′ hiệu quả-LG ⇒ ρ(f ′ ) ≥ Lại có ρ(f ′ ) ≤ ρ(f ) = nên ρ(f ′ ) = Mệnh đề 3.3.2 Cho f cấu hình đồ thị đầy đủ thỏa mãn tồn hoán vị α ∈ Sn để fα(i) = i − ∀i = 1, n − 1, đó:   −1 fα(n) < ρ(f ) =  f α(n) fα(n) ≥ Chứng minh Do tính đối xứng Kn , ta giả sử f = (0, 1, 2, , n−2, a) với a = fα(n) Vì cấu hình siêu ổn định nên theo Mệnh đề 2.3.3 cấu hình không hiệu quả-LG a < 0, từ chứng minh trường hợp đầu 54 Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ Ta dễ dàng tính deg(f ) = a + (n − 1)(n − 2) =a+m−n+1 n(n − 1) số cạnh Kn Nếu a ≥ m − n ⇒ deg(f ) > 2m − 2n ⇒ ρ(f ) = deg(f ) − m + n − = a với m = Nếu a = f hiệu nên ρ(f ) ≥ trừ a cấu hình thu không hiệu quả-LG , a = ρ(f ) = = a Nếu ≤ a ≤ m − n − ρ(f ) = a Thật vậy, theo Hệ 3.1.2 tăng a từ đến m − n sau m − n lần tăng thêm hạng tăng tối đa m − n (do lần a tăng thêm hạng tăng tối đa thêm 1), kết hợp điều với ρ(f ) = a = ρ(f ) = m − n a = m − n suy lần a tăng thêm hạng tăng thêm Thuật toán Xác định hạng cấu hình đồ thị đầy đủ Input: Cấu hình f = (f1 , f2 , , fn ) Kn Output: ρ(f ) Cách làm: Đầu tiên tìm cấu hình g siêu ổn định mà f ∼LKn g Nếu gn < ρ(g) = −1 Nếu gn ≥ ⇒ ∃i < n thỏa mãn gi = Do ρ(g) = ρ(g − ε(i) ) + Quá trình dừng lại sau r bước (r ≤ deg(g)) nhận cấu hình không hiệu quả-LG , ρ(g) = r − Độ phức tạp: O(n × deg(f )) Nhận xét Ta biết Kn có số cạnh m = Cn2 = 55 n(n − 1) nên Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ tình mà < deg(f ) ≤ 2m − 2n = n2 − 3n deg(f ) có cỡ n2 độ phức tạp O(n3 ) 3.4 Thuật toán tính hạng cấu hình đồ thị đầy đủ Ta mong muốn cải tiến thuật toán tính hạng cuối mục trước nên ta xem xét mối liên hệ với từ Dyck Mệnh đề 3.4.1 Cấu hình siêu ổn định f Kn thỏa mãn f1 ≤ f2 ≤ ≤ fn−1 φ(f ) = aubvb với u, v từ Dyck, đó: φ(f − ε(1) ) = vabub ψ(f − ε(1) ) = fn − |aub|a Chứng minh Xét cấu hình f ′ = f −ε(1) −∆(n) Do fj′ = fj +1 ∀j ∈ / {i, n} f1′ = nên tính φ1 (f ′ ) = abubv, từ liên hợp với từ vabub, áp dụng Mệnh đề 2.5.2 ta có: φ(f ′ ) = vabub Chú ý mục 2.5 suy ψ(f ′ ) = fn′ + n(q − p) − q với p = |abub|a , q = |abub|b , q − p = (do u từ Dyck) Vì vậy, ψ(f ′ ) = fn′ + n − |u|b − = fn − |u|b − = fn − |aub|a fn′ = fn − n + Nhận xét Kết Mệnh đề thay làm việc với cấu hình siêu ổn định f , ta làm việc với cặp (w = φ(f ), s = fn ) Ta định nghĩa hai hàm: θ1 (aubvb) = vabub, θ2 (aubvb, s) = s − |aub|a 56 Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ Khi thuật toán tìm hạng cấu hình siêu ổn định f = (f1 , f2 , , fn ) Kn viết sau: • w := φ(f ); s := fn ; r := −1; • while (s ≥ 0) {s := θ2 (w, s); w := θ1 (w); r := r + 1; } • return r; Định nghĩa 3.4.1 (Sự phân tích từ nguyên tố) Một từ w ∈ Dn phân tích từ nguyên tố tức w = aw1 baw2 b awk bb với wi từ Dyck Bổ đề 3.4.1 Cho f cấu hình siêu ổn định φ(f ) = w Giả sử w = aw1 baw2 b awk bb phân tích từ nguyên tố w, đó: θ1k (w) = abw1 abw2 abwk b θ2k (w, s) = s − (n − 1) Hơn nữa, với cấu hình siêu ổn định g thỏa mãn φ(g) = w1 abw2 abwk ab gn = s − (n − 1) ≥ ρ(g) = ρ(f ) − k Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.4.1 nhiều lần ta thu Bổ đề Định nghĩa 3.4.2 Dẫy độ cao η1 , η2 , , ηm w thỏa mãn ηi = |w(i) |a − |w(i) |b với w(i) tiền tố w mà chữ sau tận lần xuất thứ i a Nhận xét • Cho w ∈ Dn , w = aw1 baw2 b awk bb phân tích từ nguyên tố, 57 Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ ′ η1 , η2 , , ηn−1 dẫy độ cao w Đặt η1′ , η2′ , , ηn−1 dẫy độ cao θ1k (w), đó: ηi′ =    ηi ηi =  η − η > i i • Cho f cấu hình siêu ổn định Kn thỏa mãn (2.4), đặt w = φ(f ), dễ chứng minh ηi = i − − fi Định lý 3.4.1 Cho f cấu hình siêu ổn định Kn , đặt w = φ(f ) η1 , η2 , , ηm dẫy độ cao w Khi đó: n−1 max{0, q − ηi + χ(i ≤ r)} − 1, ρ(f ) = (3.8) i=1 với q r thương số dư chia fn + cho n −   1 i ≤ r χ(i ≤ r) =  0 i > r Chứng minh Nếu fn < ⇒ max{0, q − ηi + χ(i ≤ r)} = ∀i = 1, n − ⇒ ρ(f ) = −1 Nếu fn ≥ 0, đặt q thương chia fn + cho n − giả sử φ(f ) = w phân tích từ nguyên tố là: w = aw1 baw2 b awk bb • Nếu q = ⇒ ≤ fn ≤ n − 1, ρ(f ) xác định sau Với i = 1, k, đặt ni = |aw1 baw2 b awi b|a , n0 = Khi đó, θ2i (w, fn ) = fn − ni ∀i = 1, k ⇒ ρ(f ) nhận giá trị i mà θ2i (w, fn ) < 0, nói cách khác: ρ(f ) = i ⇔ ni ≤ fn ≤ ni+1 , 58 Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ lưu ý với ni ηni = nên n−1 ρ(f ) = |{j|j ≤ r, ηj = 0}| − = max{0, −ηi + χ(i ≤ r)} − i=1 • Nếu q > 0, đặt θ1k (w) = g, ý θ2k+1 (w, fn ) = fn − (n − 1) cho g thỏa mãn φ(g) = v, gn = fn − (n − 1); đó, q ′ = q − với q ′ thương chia gn cho n − dư r Gọi η1′ , η2′ , , ηn′ dẫy độ cao v, có: n−1 max{0, q − − ηi′ + χ(i ≤ r)} − 1, ρ(g) = i=1 theo Bổ đề 3.4.1, ta có: ρ(f ) = ρ(g) + k v = w1 abw2 b abwk ab Dễ dàng kiểm tra được: ηi′ nên từ có: =    ηi ηi =  η − η > i i max{0, q−1−ηi′ +χ(i ≤ r)} =   max{0, q − ηi − + χ(i ≤ r)} ηi =  max{0, q − η + χ(i ≤ r)} i Vì thu được: n−1 max{0, q − ηi + χ(i ≤ r)} − k − ρ(g) = i=1 Thuật toán Xác định hạng cấu hình đồ thị đầy đủ Input: Cấu hình f = (f1 , f2 , , fn ) Kn 59 ηi > Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ Output: ρ(f ) Cách làm: Bước 1: tìm cấu hình g siêu ổn định mà f ∼LKn g Bước 2: lại n − phần tử g theo thứ tự tăng dần, gọi cấu hình thu h = (h1 , h2 , , hn ) Bước 3: tính thương q số dư r chia hn + cho n − 1, đặt ηi = i − − hi ∀i = 1, n − Bước 4: tính hạng f theo công thức: n−1 max{0, q − ηi + χ(i ≤ r)} − ρ(f ) = i=1 Độ phức tạp: bốn bước có độ phức tạp θ(n) nên độ phức tạp thuật toán θ(n) Tính đắn: có Định lý 3.4.1 Ví dụ 3.4.1 Cho cấu hình siêu ổn định f = (0, 1, 1, 3, 10) K5 Tìm ρ(f ) theo hai cách Cách 1: không dùng từ Dyck f − ε(1) = (−1, 1, 1, 3, 10) ∼LG f ′(1) = (0, 2, 2, 4, 6), φ1 (f ′(1) ) = abbaabbab, u = abb, q = |u|b = 2, f ′′(1) = (3, 0, 0, 2, 9), f (1) := (0, 0, 2, 3, 9) ⇒ ρ(f ) = ρ(f (1) ) + f (1) −ε(1) = (−1, 0, 2, 3, 9) ∼LG f ′(2) = (0, 1, 3, 4, 5), φ1 (f ′(2) ) = ababbabab, u = ababb, q = |u|b = 3, f ′′(2) = (2, 3, 0, 1, 7), f (2) := (0, 1, 2, 3, 7) ⇒ ρ(f (1) ) = ρ(f (2) ) + 1, ρ(f ) = ρ(f (2) ) + 60 Chương HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ (2) Theo Mệnh đề 3.3.2 ρ(f (2) ) = f5 = ⇒ ρ(f ) = Cách 2: dùng từ Dyck Có n = 5, f5 = 10 ⇒ q = 2, r = 3, mặt khác có ηi = i − − fi ∀i = 1, nên η1 = 0, η2 = 0, η3 = 1, η4 = i fi 1 ηi 0 ⇒ ρ(f ) = (3 + + + 2) − = q + χ(i ≤ r) 3 q + χ(i ≤ r) − ηi 3 2 Kết luận Chương Nội dung Chương là: (1) Trình bày định nghĩa tính chất hạng cấu hình đồ thị tổng quát (2) Tính hạng cấu hình vài đồ thị đặc biệt (Hệ 3.1.1) (3) Định lý dạng Riemann-Roch cho đồ thị (4) Nêu vài thuật toán tìm hạng cấu hình đồ thị đầy đủ, có thuật toán với độ phức tạp tuyến tính tốt Đóng góp tác giả Ví dụ 3.1.1, 3.1.2, 3.4.1 minh họa cho định nghĩa thuật toán quan trọng chương Tác giả cố gắng nêu chi tiết thuật toán với độ phức tạp tuyến tính để tìm hạng đồ thị đầy đủ 61 Kết luận Luận văn trình bày cấu hình đồ thị hạng cấu hình đồ thị dựa [8] Các công việc bao gồm: (1) Trình bày định nghĩa tính chất cấu hình, hạng cấu hình đồ thị tổng quát (2) Trình bày việc tính cấu hình vài đồ thị đặc biệt, tiêu biểu đồ thị đầy đủ Đóng góp tác giả luận văn hệ thống, xếp trình bầy lại kiến thức Một số chứng minh định lý, bổ đề; số thuật toán trình bầy lại chi tiết, rõ ràng (ví dụ: Bổ đề 2.4.1 chứng minh chi tiết) Tác giả cố gắng xây dựng ví dụ minh họa cho khái niệm kết luận văn (Ví dụ 3.1.1, 3.1.2, 3.4.1) Hạng cấu hình đồ thị vấn đề khó hay Tác giả thử tính cho vài đồ thị đặc biệt kết thu khiêm tốn (Hệ 3.1.1), mong nhận trao đổi, góp ý thầy cô bạn 62 Tài liệu tham khảo [1] Ngô Đắc Tân(2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] M Baker and S Norine(2007), "Riemann-Roch and Abel-Jacobi theory on a finite graph", Advances in Mathematics, (215), 766788 [3] M Baker and F Shokrieh(2013), "Chip-firing games, potential theory on graphs, and spanning trees", J Comb Theory (A), (120), 164-182 [4] B Benson, D Chakrabarty, and P Tetali(2010), "G-parking functions, acyclic orientations and spanning trees", Discrete Mathematics, (310), 1340-1353 [5] N Biggs(1999), "Chip-firing and the critical group of a graph", J of Algebraic Comb., (9), 25-45 [6] A Bjorner, L Lovász, and P.Shor(1991), "Chip-firing game on graphs", European J Combin, (12), 283–291 63 Tài liệu tham khảo [7] R Cori and Y Le Borgne(2003), "The sand-pile model and Tutte polynomials", Advances in App Math., (30), 44-52 [8] Robert Cori, Yvan Le Borgne(2014), "The Riemann-Roch theorem for graphs and the rank in complete graphs", arXiv:1308.5325v2 [9] R Cori and D Rossin(2000), "On the sandpile group of dual graphs", Europ J Comb, (21), 447-459 [10] D Dhar(1990), "Self-organized critical state of the sandpile automaton models", Phys Rev Lett., (64), 1613-1616 [11] D Dhar(2006), "Theoretical studies of self-organized criticality", Physica A, 369(1) [12] D Dhar and S Majumdar(1992), "Equivalence between the Abelian sandpile model and the q → limit of the Potts model", Physica A, (185), 129-135 [13] D Dhar and R Ramaswamy(1989), "Exactly solved model of self-organized critical phenomena", Phys Rev Lett., (63), 16591662 [14] D Dhar, P Ruelle, S Sen, and D Verma(1995), "Algebraic aspects of abelian sandpile model", J Phys A, (A28), 805-831 64 Tài liệu tham khảo [15] A Dvoretsky and T Motzkin(1947), "A problem of arrangements", Duke Math J., (14), 305-313 [16] A Garsia and M Haiman(1996), "A remarkable q, t-catalan sequence and q-lagrange inversion", J Algebraic Combin., (5), 191244 [17] I Gessel and B Sagan(1996), "The Tutte polynomial of a graph, depth-first search, and simplicial complex partitions", Electronic J of Combin., (5), 191-244 [18] D Lorenzini(2012), "Two-variable zeta-functions on graphs and riemann-roch theorems", Int Math Res Notices, (22), 51005131 [19] M Manjunath(2011), "The rank of a divisor on a finite graph: geometry and computation", preprint, arXiv:1111.7251, 2011 [20] C Merino-Lopez(1997), "Chip firing and Tutte polynomials", Ann Combin., (3), 253-259 [21] D Perkinson, J Perlman, and J Wilmes(2011), "Primer for the algebraic geometry of sandpiles", preprint, arXiv:1112.6163, 2011 [22] W T Tutte(1967), "On dichromatic polynomials" J Combin Theory, (2), 301-320 65