Tính tốn dao động riêng hệ lưới dây Calculate the vibration of the wire grid TS Phạm Văn Trung Tóm tắt: Hệ kết cấu dây hai lớp sử dụng rộng rãi cơng trình nhịp lớn như: cơng trình cơng nghiệp, cơng trình văn hóa, cơng trình bảo tàng, cơng trình cơng cộng Các phương pháp tính toán dao động riêng lưới dây dùng phương pháp tương tự vỏ phi mơmen có độ võng nhỏ Bài báo trình bầy phương pháp tính tốn dao động riêng hệ kết cấu lưới dây hai lớp theo theo nguyên lý cực trị Gauss với khối lượng quy tập trung mắt lưới Tổng quan dao động riêng hệ lưới dây hai lớp Qua nghiên cứu tính tốn động lực học kết cấu dây tác giả [4]; [5] trước xây dựng phương trình vi phân cân động lực học chung cho kết cấu sở lý thuyết phi tuyến hệ môi trường liên tục rằng: Các phương trình cân động lực học lưới dây nhận từ phương trình cân động lực học vỏ phi mômen cách cho ứng suất cắt vỏ không Dựa vào kết nghiên cứu đánh giá tính chất làm việc động kết cấu dây nói chung lưới dây (mái treo) nói riêng Để thấy rõ tính chất tốn qua phương trình cân dây đơn thoải có chiều dài 2l [6, tr 42] ∂ f EAq x H − ∂x 2lH l Trong đó: λ l λ λ q x ∂2 f x fdx = ∫ l g l ∂t −l (1) H - lực căng ngang dây trạng thái cân tĩnh; f - Độ võng dây; EA- Độ cứng chịu kéo dây; λ x q ( x ) = q - Tải phân bố khối lượng m(x) dây l q ( x) m( x ) = với g gia tốc trọng trường; g λ - số bất kỳ, λ=0 ta có tải trọng tĩnh phân bố khối lượng phân bố Phương trình (1) nhận xem đường biến dạng dây thoải (tỉ lệ độ võng lớn so với nhịp nhỏ thua 1/10 dây 1/5 vỏ), nghĩa bỏ qua thành phần phi tuyến chuyển vị đứng W Các tác giả với vài biến đổi tìm lời giải phương trình vi phân (1) dạng Bessell với số phân số cộng với đại lượng khác Lời giải cho thấy tần số dao động riêng dây phụ thuộc vào biên độ dao động Trong nội dung nghiên cứu xin trình bầy phương pháp tính tốn dao động riêng hệ lưới dây theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss 2 Xây dựng giải tốn tìm trị riêng hệ lưới dây • Xây dựng tốn Xét hệ lưới dây gồm hai nhóm (nhóm I có a dây, nhóm có b dây) dây đặt theo hai phương khác (Hình 1), Mỗi dây tính từ điểm liên kết đầu đến điểm liên kết cuối vào biên cứng, khoảng cách hai điểm liên kết gọi nhịp dây ký hiệu L Biên cứng hệ kết cấu BTCT thép có chu vi kín có độ cứng lớn Các biên cứng tụa lên kết cấu móng trụ đỡ Trong nghiên cứu ta chưa xét dến độ biến dạng biên Các nhóm dây liên kết với điểm gọi điểm nút lưới dây đánh số theo số tự nhiên n, số điểm liên kết dây với biên cứng r=2(a+b) Khoảng cách liên tiếp hai điểm nút dây gọi đoạn dây, gọi số đoạn dây n Gọi E môduyn đàn hồi vật liệu làm dây, A diện tích danh định tiết diện dây, mi khối lượng dây kết cấu bên quy tập trung nút i i mi Hình Mơ hình tốn tìm trị riêng hệ lưới dây • Để đơn giản tính toán ta quy khối lượng mái trọng lượng dây tập trung nút lưới dây Như ta có n khối lượng tập trung n nút lưới • Việc xây dựng tốn tìm trị riêng hệ lưới dây thực giống tốn tĩnh [3] lực qn tính coi lực ngồi lấy đạo hàm riêng • Khi cho khối lượng mk độ lệch ban đầu theo phương đứng wk, lưới dây dao động nhiệm vụ cần xác định tần số dạng dao động Biên độ dao động khối lượng mi viết dạng xid = ui eiωt yid = vi eiωt (2) zid = wi eiωt Khi dao động khối lượng mi chịu tác động lực quán tính: f mix = mi xi = −miω 2ui e iωt f miy = mi yi = − miω vi e iωt (3) f mi z = mi zi = − miω wi e iωt Khí xây dựng tốn tìm tần số dao động riêng ta coi lực quán tính tải trọng ngồi thực tốn tĩnh { Pi = { Pxi, Pyi, Pzi} = f mkx , f mky , f mk z } (4) Khi d©y chịu tác dụng lực tập trung P i nút i (i=1-n) dây bị biến dạng có vị trí mới, đoạn ik ik Lúc tọa độ nút i k sơ đồ biến dạng xi, yi, zi xk, yk’, zk’ (H×nh 2) z i(xi,yi,zi) y fmyi O i'(x'i,y'i,zi' ) fmxi x fmzi Hình Lực qn tính tác dụng lên khối lượng Để thiết lập công thức toán ta xét đoạn dây ik nối hai điểm nút i k liên tiếp dây ban đầu sau chịu tải có vị trí i’k’ Gọi tọa độ ban đầu điểm nút i k hệ trục tọa độ x0i, y0i, z0i x0k, y0k, z0k Gọi tọa độ sau chịu tải điểm nút i’ k’ hệ trục tọa độ xi, yi, zi xk, yk, zk hình z k zk k' zk' zi i' zi' O y i yk yi xi yk' yi' xi' xk xk' x Hình Mơ hình tính tốn chiều dài đoạn dây dao động Ta có cơng thức tính chiều dài ban dầu S ik chiều dài sau dao động Lik dây theo tọa độ sơ đồ hình học sau: Sik = ( x0k − x0i ) + ( y0 k − y0i ) + ( z0k − z0i ) ; Lik = ( x0k − x0i ) + ( y0 k − y0i ) + ( z0k − z0i ) ; 2 (5) Độ giãn dài đoạn dây ∆Sik dao động là: ∆Sik = Lik − Sik ; (6) Lực căng đoạn dây ik ký hiệu Tik xác định theo biến dạng là: Tik = L ∆Sik L − Sik EA = ik EA = ik − 1÷EA; Sik Sik Sik (7) Thay (5) vào (7) ta có Tik = ( xk − xi ) + ( yk − yi ) + ( zk − zi ) 2 ( x0 k − x0i ) + ( y0 k − y0i ) + ( z0k − z0i ) 2 − 1÷EA; ÷ (8) Chuyển vị điểm nút tương ứng theo phương trục tọa độ Ox, Oy Oz là: ui , vi , wi xác định dựa theo tọa độ sau: ui = xi − x0i , (9) vi = yi − y0i , wi = zi − z0i Lượng cưỡng toán hệ lưới dây theo phương pháp nguyên lý Gauss với m ẩn số lực căng dây theo [3] viết sau: n −1 T Z = ∑ EA ik ÷ Sik − 2∑ ( Pxi ui + Pyi vi + Pzi wi ) → Min EA i =1 i =1 n (10) Thay (8) (9) vào (10) ta có: Lượng cưỡng tốn tìm dao động riêng lưới dây theo phương pháp nguyên lý Gauss với ẩn số tọa độ điểm đặt lực viết sau: Z = ∑ EA i =1 n ( xk − xi ) + ( yk − yi ) + ( zk − zi ) 2 ( x0 k − x0i ) + ( y0k − y0i ) + ( z0 k − z0i ) 2 2 1ữ ì ữ ( x k x0 i ) + ( y0 k − y0i ) + ( z k − z i ) 2 (11) n −1 −2∑ ( Pxi ( xi − x0i ) + Pyi ( yi − y0i ) + Pzi ( zi − z0i ) ) → Min i =1 Bài tốn tìm tần số dao động riêng tốn có vơ số nghiệm Để chuẩn hóa cho nghiệm ta cho trước biên độ dao động khối lượng thứ k đó, tức ta bổ sung vào phiếm hàm (11) điều kiện ràng buộc: g = vk − v; (12) Trong v giá trị cho trước, tốn tìm trị riêng thường chọn v đơn vị Giải toán phương pháp biến thiên thừa số Lagrange cách dùng phiếm hàm mở rộng F: F = Z + λ g; (13) Điều kiện cực trị (13) đạo hàm riêng khơng ta có hệ 3n+1 phương trình chứa 3n ẩn số tọa độ xi , yi , zi ẩn thừa số Lagrange λ sau ∂Z = 0; ∂xi ∂Z = 0; ∂yi (14) ∂Z = 0; ∂zi ∂Z = 0; ∂λ Lưu ý thục tế lực quán tính f mxi , f myi f mzi hàm tọa độ lấy đạo hàm (13) theo (14) ta coi lực quán tính tải trọng Tức ta để: f mkx = P ( xi − x0i ); f mky = P ( yi − y0i ); (15) f m k z = P ( zi − z0 i ) ; coi số Sau lấy đạo hàm ta thay lực qn tính theo (3) vào phương trình đạo hàm riêng ta hệ phương trình Giải hệ phương trình ta tần số dao động riêng biên độ dao động riêng tương ứng Các phương trình (14) viết cho điểm lưới i với điểm lân cận m, n, j, k sau ∂Z = ∑ EAir ∂xi r = m,n, j ,k (x i − xr ) +(y − y ) +(z 2 i r i − zr ) ( x i − x0 r ) + ( y i − y r ) + ( z i − z r ) ( xi − x r ) + ( y i − y r ) + ( z i − z r ) −1 ( xi − xr ) − Pxi ; ∂Z = ∑ EAir ∂yi r = m, n, j , k ∂Z = ∑ EAir ∂zi r = m,n, j ,k (x i − xr ) +(y − yr ) + ( zi − z r ) 2 i ( x0 i − x0 r ) + ( y i − y r ) + ( z i − z r ) ( xi − x r ) + ( y i − y r ) + ( z i − z r ) (x i − xr ) +( y − y ) +(z 2 i r i − zr ) ( x0 i − x0 r ) + ( y i − y r ) + ( z i − z r ) ( xi − x r ) + ( y i − y r ) + ( z i − z r ) −1 ( yi − yr ) − Pyi ; (16) −1 ( zi − z r ) − Pzi ; Sau có hệ phương trình đạo hàm riêng (16) ta cho λ=0 thay lực tác dụng P (15) lực quán tính theo (2) vào (16) rút gọn ta có: EA ∑ ir r = m,n, j ,k EA ∑ ir r = m, n, j , k EA ∑ ir r = m, n, j , k (x ) −1 2 ( x0i − x0r ) + ( y0i − y0r ) + ( z0i − z0r ) ( xi − xr ) + 2miω ( xi − x0i ).eiωt = 2 xi − xr + ( yi − yr ) + ( zi − zr ) ( xi − xr ) + ( yi − yr ) + ( zi − zr ) − 2 ( x0i − x0r ) + ( y0i − y0 r ) + ( z0i − z0 r ) ( yi − yr ) + 2miω ( yi − y0i ).eiωt = 0; (17) 2 ( xi − xr ) + ( yi − yr ) + ( zi − zr ) i − xr + ( yi − yr ) + ( zi − zr ) ( (x i 2 ) ) − xr + ( yi − yr ) + ( zi − zr ) 2 ( x0i − x0 r ) + ( y0i − y0 r ) + ( z0i − z0r ) ( xi − xr ) + ( yi − yr ) + ( zi − zr ) −1 ( zi − zr ) + miω ( zi − z0i ).eiωt = 0; • Giải tốn Thuật tốn để xác định tần số dao động riêng dạng dao động: • Bước Xây dựng toán theo phương pháp nguyên lý Gauss ta biểu thức (11) • Bươc Từ điều kiện cực trị phiếm hàm mở rộng ta nhận hệ phương trình đạo hàm riêng (14) Khí lấy đạo hàm ta coi lực quán tính tải trọng ngồi (coi số) • Bước Thay lực quán tính vào ta hệ phương trình (17) • Bước Giải hệ phương trình ta tìm tần số dao động riêng biên dộ dao động Để tính tần số dạng dao động ta thực chu trình lặp • Bước Tính đại lượng có liên quan từ kết hệ phương trình định dạng số liệu kết quả, vẽ dạng dao động Sơ đồ khối chương trình Bắt đầu Khai báo biến Thiết lập cơng thức tính S, S’ T Thiết lập Hàm Z (12) Thiết lập hệ phương trình đạo hàm riêng (16) Thiết lập Hàm Myfun Khai báo biến Matlab Nhập số liệu đầu vào (các hằng) Giải hệ phương trình [x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options) Định dạng file kết Vẽ sơ dạng dao động mesh(X, Y, Z) Kết thúc Ví dụ Cho mái treo kết cấu dây mềm dạng kết cấu hypa hình vẽ nhóm dây chịu tải có tiết diện A1=0,0040m2; nhóm dây ổn định có tiết diện A2=0,0026m2; Môduyn biến dạng dây E=2.107kN/m2 Chịu tác dụng khối lượng mi nút dây Xác định tần số dao động riêng dạng dao động riêng mái 60 50 40 30 20 10 -10 -20 -30 -40 -50 -60 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -5 -5.5 60 50 40 30 20 10 0-10 -20-30 -40-50 -60 10 20 30 40 50 60 70 90 80 100 110 Hình cơng trình sơ đồ tính hệ lưới Q trình tính lặp Matlab Norm of First-order Trust-region Iteration Func-count f(x) 218 8.99818e+010 436 7.07502e+010 654 3.88678e+010 872 1.43806e+010 1090 8.72469e+009 1308 6.7655e+009 1526 5.57696e+009 1744 4.86075e+009 1962 4.31507e+009 2180 3.90323e+009 10 2398 3.56648e+009 11 2616 3.2908e+009 12 2834 3.05434e+009 13 3052 2.85141e+009 14 3270 2.67244e+009 15 3488 2.51482e+009 16 3706 2.37328e+009 17 3924 2.2465e+009 18 4142 2.13117e+009 step 2.63e+009 2.5 5.28489 1.76692 1.25555 0.726741 0.660732 0.477293 0.479758 0.36816 0.38472 0.30732 0.328372 0.267672 0.289228 0.23847 0.259608 0.215567 optimality radius 2.18e+009 1.51e+009 1.04e+009 4.78e+008 3.61e+008 2.75e+008 2.41e+008 2.11e+008 1.78e+008 1.74e+008 1.46e+008 1.48e+008 1.25e+008 1.28e+008 1.09e+008 1.12e+008 9.64e+007 1e+008 2.5 6.25 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 120 130 19 4360 2.02662e+009 0.236093 8.67e+007 20 4578 1.93059e+009 0.196893 9.04e+007 21 4579 1.93059e+009 13.2122 9.04e+007 22 4797 1.88903e+009 3.30306 8.01e+007 23 5015 1.70623e+009 3.30306 7.93e+007 24 5233 1.41571e+009 8.25765 6.49e+007 25 5451 8.27654e+008 20.6441 4.18e+007 26 5669 3.22042e+008 19.2322 1.12e+008 27 5887 2.15891e+007 6.87282 5.5e+007 28 6105 7.36738e+006 4.12207 3.22e+007 29 6323 115989 1.08813 5e+006 30 6541 289.003 3.71767 6.65e+004 31 6759 18.3448 2.54803 1.53e+004 32 6977 0.515499 1.77885 268 33 7195 0.013727 1.378 10.9 34 7413 0.000247285 0.875095 0.758 35 7631 8.99322e-007 0.314657 0.0277 36 7849 4.09974e-011 0.0319266 0.000296 37 8067 1.88036e-018 0.000268286 2.25e-005 38 8285 1.30355e-018 1.77591e-008 2.33e-005 Optimization terminated: relative function value changing by less than max(options.TolFun^2,eps) and sum-of-squares of function values is less than sqrt(options.TolFun) 13.2 13.2 13.2 3.3 3.3 8.26 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 20.6 Kết tính tốn ω = 0.0039 Dạng dao động thứ Lực căng dao động nhóm dây lớp ( N1; N2 ) Biên độ dao động (U1; V1; W1) Dạng dao động: dạng không gian đường biên độ -60 -50 -40 -30 -0.005 -20 -0.01 -10 -0.015 10 -0.02 20 -0.025 60 30 50 40 30 20 10 -10 -20 -30 -40 -50 -60 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 40 50 60 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Dạng dao động thứ ω = 0.4863 Dạng dao động thứ ω = 0.7936 Dạng dao động: dạng không gian đường biên độ ω = 3.7598 Dạng dao động thứ Dạng dao động: dạng không gian đường biên độ x 10 -60 -4 -40 -20 0 -1 20 -2 -3 60 40 40 20 -20 -40 -60 20 40 60 80 100 120 140 60 20 40 60 80 100 120 140 Kết luận Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss xây dựng toán lời giải xác cho tốn dao động riêng hệ lưới dây khối lượng tập trung nút lưới Tần số dao động riêng hệ dây phụ thuộc vào biên độ dao động Khi chi biên độ khác ta nhận dạng dao động riêng có tần số khác Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss xây dựng tốn lời giải xác cho toán dao động riêng hệ lưới dây với độ võng Cách xây dựng không sử dụng đến giã thiết độ võng nhỏ, không dùng cách tương tự vỏ phi mômen Nghiên cứu xây dựng chương trình tính tốn để tính tốn ví dụ áp dụng vào thực tế Có thể áp dụng toán sở lý thuyết vào toán thực tiễn cho kết cấu dây hệ dây võng sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Hướng nghiên cứu tiếp toán dao động vỏ sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Tài liệu tham khảo Nguyễn Thừa Hợp (2001), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học quốc gia, Hà Nội Lều Thọ Trình (1985), Cách tính hệ dây theo sơ đồ biến dạng, NXB KH&KT, Hà Nội Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp tính hệ kết cấu dây mái treo, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Lin T Y and Yong B W (1965), Two large shells of posttensioned precast concrete, Civil Engineering, ASCE 35 Paul Lew I Thomas Z Scarangello, Structural Engineering Handbook, Fourth Edition Section 27 Ивович В А., Покровский Л Н (1989) Динамический расчет висячих покрытий Москва Стройиздат pp 138 ... dựng toán lời giải xác cho tốn dao động riêng hệ lưới dây khối lượng tập trung nút lưới Tần số dao động riêng hệ dây phụ thuộc vào biên độ dao động Khi chi biên độ khác ta nhận dạng dao động riêng. .. quán tính tải trọng ngồi (coi số) • Bước Thay lực quán tính vào ta hệ phương trình (17) • Bước Giải hệ phương trình ta tìm tần số dao động riêng biên dộ dao động Để tính tần số dạng dao động. .. Xây dựng giải tốn tìm trị riêng hệ lưới dây • Xây dựng tốn Xét hệ lưới dây gồm hai nhóm (nhóm I có a dây, nhóm có b dây) dây đặt theo hai phương khác (Hình 1), Mỗi dây tính từ điểm liên kết đầu