Tính toán hệ lưới dây hai lớp chịu tải trọng nhiệt độ Calculate two layers of wire mesh under any load and temperature TS Phạm Văn Trung Tóm tắt: Hệ kết cấu dây hai lớp sử dụng rộng rãi công trình nhịp lớn như: công trình công nghiệp, công trình văn hóa, công trình bảo tàng, công trình công cộng Các phương pháp tính toán lưới dây dùng phương pháp tương tự vỏ phi mômen có độ võng nhỏ Bài báo trình bầy phương pháp tính toán hệ kết cấu lưới dây hai lớp theo theo nguyên lý cực trị Gauss Hệ lưới dây chịu tải trọng bất kỳ, biến thiên nhiệt độ môi trường có độ võng Tổng quan hệ lưới dây hai lớp Hiện hệ kết cấu lưới dây hai lớp sử dụng rộng rãi làm mái công trình nhịp lớn: công trình thể thao, văn hóa, công cộng Hiện phương pháp tính toán kết cấu dây dựa phương pháp tương tự dầm dây đơn tương tự vỏ thoải lưới dây Các phương pháp có xét dây cong thoải lưới dây thoải, nghĩa tính gần độ dãn dài dây dùng tỷ lệ độ võng lớn f chiều dài nhịp l nhỏ Kết cấu dây nói chung lưới dây nói riêng tận dụng cường độ cao vật liệu, có trọng lượng nhẹ vượt nhịp lớn, kiếu dáng kiến trúc đa dạng, phong phú ngày nhiều kiến trúc sư nước giới quan tâm thiết kế Việc tính toán thiết kế thi công xây dựng công trình kết cấu dây, lưới dây cần xét đến kết cấu neo tính chất làm việc động lực học công trình Đây đặc điểm chủ yếu kết cấu dây, lưới dây (mái treo) so với loại kết cấu khác Trong nội dung báo xin trình bầy phương pháp tính toán hệ kết cấu lưới dây hai lớp theo theo nguyên lý cực trị Gauss Xây dựng giải toán lưới dây chịu tải trọng tĩnh nhiệt độ Xét hệ lưới dây gồm hai (nhóm I có a dây, nhóm II có b dây) nhóm dây đặt theo hai phương khác Hình Mỗi dây tính từ điểm liên kết đầu đến điểm liên kết cuối vào biên cứng, khoảng cách hai điểm liên kết gọi nhịp dây ký hiệu L Biên cứng kết cấu BTCT thép có chu vi kín có độ cứng lớn Các biên cứng tựa lên kết cấu móng trụ đỡ Trong nghiên cứu ta chưa xét dến độ biến dạng biên Các nhóm dây liên kết với điểm gọi điểm nút lưới dây đánh số theo số tự nhiên 1-n cộng với r điểm liên kết dây với biên cứng Khoảng cách liên tiếp hai điểm nút dây gọi đoạn dây, gọi số đoạn dây m Gọi E môđuyn đàn hồi vật liệu làm dây, A diện tích danh định tiết diện dây Dây giả thiết dây mềm m j k i n Hình Mô hình hệ lưới dây mái treo Hệ lưới dây chịu tác dụng nguyên nhân sau: • Trọng lượng thân lưới Đối với đoạn dây ta quy tải trọng thân tập trung điểm nút mắt lưới Các đoạn dây coi thẳng • Tải trọng lớp cấu tạo mái hoạt tải mái tác dụng vào điểm nút mắt lưới • Tải trọng gió tác dụng vào mái quy tác dụng điểm nút mắt lưới • Nhiệt độ thay đổi tác dụng lên toàn đoạn dây Như trừ nhiệt độ ra, ta coi tải trọng tác dụng lên dây lực tập trung Với hệ tọa độ không gian Oxyz chọn trước ta phân tích lực tập trung nút i phương Ox, Oy Oz trục tọa độ Pxi , Pyi Pzi Hình z y Pyi Pzi O Pxi i x Hình Tải trọng tác dụng lên điểm nút lưới Để thiết lập công thức toán ta xét đoạn dây ik nối hai điểm nút i k liên tiếp dây ban đầu sau chịu tải có vị trí i’k’ Gọi tọa độ ban đầu điểm nút i k hệ trục tọa độ x0i, y0i, z0i x0k, y0k, z0k Gọi tọa độ sau chịu tải điểm nút i’ k’ hệ trục tọa độ xi, yi, zi xk, yk, zk hình z k zk k' zk' zi i' zi' O y i yk yi xi yk' yi' xi' xk xk' x Hình Mô hình tính toán chiều dài đoạn dây Ta có công thức tính chiều dài ban dầu Sik chiều dài sau chịu tải Lik dây theo tọa độ sơ đồ hình học sau: Sik = ( x0k − x0i ) Lik = ( x0k − x0i ) + ( y0k − y0i ) + ( z0k − z0i ) ; + ( y0 k − y0i ) + ( z0k − z0i ) ; 2 2 (1) Độ giãn dài đoạn dây ∆Sik là: ∆Sik = Lik − Sik ; (2) Lực căng đoạn dây ik ký hiệu Tik xác định theo biến dạng là: Tik = ∆Sik EA; Sik (3) Nếu kể đến thay đổi nhiệt độ môi trường, với t0 nhiệt độ ban đầu t nhiệt độ thời điểm biến dạng (trong giai đoạn làm việc), chiều dài đoạn dây ik trạng thái biến dạng phải kể thêm lượng biến thiên nhiệt độ Gọi α hệ số giãn nở nhiệt độ cáp chiều dài dây chịu tải nhiệt độ đồng thời là: T Lik = + ik + α ( t − t0 ) ÷Sik EA (4) Lực căng đoạn dây ik xác định theo biến dạng là: Tik = Lik − Sik EA − α ( t − t0 ) EA; Sik L Tik = ik − − α ( t − t0 ) EA; Sik Hoặc (5) (5a) Chuyển vị điểm nút tương ứng theo phương trục tọa độ Ox, Oy Oz là: ui , vi , wi xác định dựa theo tọa độ sau: ui = xi − x0i , vi = yi − y0i , wi = zi − z0i (6) Lượng cưỡng toán hệ lưới dây theo phương pháp nguyên lý Gauss với m ẩn số lực căng dây theo [LAPT] viết sau: n −1 T Z = ∑ EA ik ÷ Sik − 2∑ ( Pxi ui + Pyi vi + Pzi wi ) → Min EA i =1 i =1 n (7) Tính liên tục dây thể thông qua phương trình hình chiếu đoạn dây thuộc dây lên phương qua hai gối tựa chiều dài nhịp dây, ta có a+b+c phương trình sau: gj = ∑ dây j 2 Tik + α ( t − t0 ) ÷Sik − ( yi − yk ) − ( zi − zk ) − L j = 1 + EA (8) Bây toán lưới dây chịu tải trọng tập trung nút lưới nhiệt độ tóm lại sau: Tìm cực trị phiếm hàm (7) với a+b+c điều kiện ràng buộc (8) Giải toán phương pháp biến thiên thừa số Lagrange cách dùng phiếm hàm mở rộng F: a +b F = Z + ∑λj g j; (9) j =1 Điều kiện cực trị (9) đạo hàm riêng không ta có hệ phương trình chứa ẩn số lực căng Tik ẩn thừa số Lagrange Lagrange λ j sau ∂F = 0; ∂Tik ∂F = 0; ∂λ j (10) Nếu để toán với ẩn số lực căng ta nhận thấy có quán nhiều điều kiện ràng buộc Ta chuyển toán với ẩn số lực căng đoạn dây ẩn số tọa độ điểm nút lưới cách công thức tính lực căng Tik chuyển vị ui , vi , wi vào (7) ta có: Lượng cưỡng toán hệ lưới dây chịu tải trọng nhiệt độ theo phương pháp nguyên lý Gauss với ẩn số tọa độ điểm đặt lực viết sau: Tìm cực trị phiếm hàm n −1 L Z = ∑ EA ik − − α ( t − t0 ) ÷ Sik − 2∑ ( Pxi ui + Pyi vi + Pzi wi ) → Min i =1 i =1 Sik n (11) Hoặc: Z = ∑ EA i =1 ( xk − xi ) + ( yk − yi ) + ( zk − zi ) 2 ( x0k − x0i ) + ( y0k − y0i ) + ( z0k − z0i ) n × ( x0 k − x0i ) 2 2 − − α ( t − t0 ) ÷ × ÷ (12) n −1 + ( y0 k − y0i ) + ( z0 k − z0i ) − 2∑ ( Pxi ( xi − x0i ) + Pyi ( yi − y0i ) + Pzi ( zi − z0i ) ) → Min 2 i =1 Khi thân tọa độ chiều dài dây thỏa mãn điều kiện liên tục nên không cần thêm điều kiện ràng buộc Điều kiện cực trị (12) đạo hàm riêng không ta có hệ 3n phương trình chứa 3n ẩn số tọa độ xi , yi , zi sau ∂Z = 0; ∂xi ∂Z = 0; ∂yi ∂Z = 0; ∂zi i=1…n (13) Giải hệ phương trình (13) ta tìm tọa độ nút lưới sơ đồ biến dạng Các đại lượng khác tính thông qua tọa độ Thuật toán để tính hệ lưới dây chịu tải trọng tập trung nhiệt độ: • Bước 1: Xây dựng toán theo phương pháp nguyên lý Gauss ta toán toán • Bước 2: Từ điều kiện phiếm hàm mở rộng (bài toán 1) phiếm hàm (bài toán 2) ta nhận hệ phương trình đạo hàm riêng • Bước 3: Giải hệ phương trình ta tìm lực căng dây (bài toán 1) tọa độ nút lưới sơ đồ biến dạng • Bước 4: Tính đại lượng có liên quan từ kết hệ phương trình định dạng số liệu kết Hệ phương trình (13) hệ phương trình phi tuyến phức tạp việc giải vấn đề lập trình tính toán Matlab Trình tự lập trình tính toán toán tĩnh Sơ đồ khối chương trình Bắt đầu Khai báo biến Thiết lập công thức tính S, S’ T Thiết lập Hàm Z Thiết lập hệ phương trình đạo hàm riêng Thiết lập Hàm Myfun Khai báo biến Matlab Nhập số liệu đầu vào (các hằng) Giải hệ phương trình [x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options) Định dạng phai kết Vẽ sơ đồ biến dạng mesh(X, Y, Z) Kết thúc • Chương trình Đặt tên là: maihypa1.m Khai báo biến lệnh syms Tính chiều dài đoạn dây theo toạ độ: ( xk − xi ) Sik = + ( yk − yi ) + ( zk − zi ) ; Sik' = 2 (x ' k − xi' ) + ( yk' − yi' ) + ( zk' − zi' ) ; 2 Tính lực căng đoạn dây: Tik = Sik' − Sik ∆S EA = ik EA Sik Sik Thiết lập hàm số Z n −1 T Z = ∑ EA ik ÷ Sik − 2∑ ( Pxi ui + Pyi vi + Pzi wi ) EA i =1 i =1 n Thiết lập hệ phương trình đạo hàm riêng lệnh diff(F,…) ∂z = 0; ∂xi ∂z = 0; ∂yi ∂z = 0; ∂zi • Chương trình Đặt tên myfun.m: Khai báo biến theo thứ tự theo câu lệnh biến ….=x(k) Vào số: Coppy hệ phương trình đạo hàm riêng vào mảng có tên F=[…]; • Chương trình Đặt tên bttinh.m Cho giá trị ban đầu biến x=x0 Dùng câu lệnh: [x,fval]=fsolve(@myfun,x0,options); giải hệ phương trình Định dạng file kết Lệnh đồ họa: mesh(X, Y, Z) Ví dụ Cho mái treo kết cấu dây mềm dạng kết cấu hypa hình vẽ nhóm dây chịu tải có tiết diện A1=0,0040m2; nhóm dây ổn định có tiết diện A2=0,0026m2; Môduyn biến dạng dây E=2.107t/m2 Chịu tác dụng tải trọng thẳng đứng nút lưới Pxi=2 t ; Pyi=2 t; Pzi=10 t hình Kết tính toán Norm of Iteration 10 11 12 13 Func-count 217 434 651 868 1085 1302 1519 1736 1953 2170 2387 2604 2821 3038 First-order Trust-region f(x) 9.00156e+010 7.07815e+010 3.88923e+010 1.24306e+010 6.82842e+008 1.42046e+008 3.6997e+007 1.21756e+007 1.84419e+006 30340.6 4.04368 1.12993e-007 1.25999e-018 1.14682e-018 step 2.5 6.25 15.625 14.3479 10.6191 6.79178 3.27195 0.998902 0.100863 0.00117734 1.66617e-007 3.65434e-014 optimality 2.63e+009 2.18e+009 1.51e+009 9.46e+008 8.34e+007 7.63e+007 5.15e+007 3.38e+007 1.73e+007 2.75e+006 3.52e+004 6.66 1.75e-005 1.75e-005 radius 1 2.5 6.25 15.6 39.1 39.1 39.1 39.1 39.1 39.1 39.1 39.1 39.1 60 50 40 30 20 10 -10 -20 -30 -40 -50 -60 10 20 30 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -5 -5.5 60 50 40 30 20 10 0-10 -20-30 -40-50 -60 10 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Hình Mô hình tính toán ví dụ Những kết nhận được:Tọa độ nút lưới sau biến dạng.Chuyển vị điểm nút lưới.Chiều dài đoạn dây sau biến dạng Nội lực đoạn dây Dưới kết nội lực đoạn dây Các kết khác không xi phép không trình bầy N1 ( Nội lực nhóm dây mang tải) N2 ( Nội lực nhóm dây ổn định) Với kết ta có lực căng lớn nhỏ đoạn dây chịu tải dây ổn định Chuyển vị lớn điểm nút Biến dạng lớn đoạn dây Kết luận Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss xây dựng lời giải cho toán hệ lưới dây chịu tải trọng biến thiên nhiệt độ môi trường: Phương pháp giải toán lưới dây chịu tải trọng bất kỳ, có độ võng mà không dùng cách tương tự vỏ phi mômen Bài báo xây dựng chương trình tính toán toán tĩnh để tính toán ví dụ trình bày báo áp dụng vào thực tế Có thể áp dụng toán sở lý thuyết vào toán thực tiễn cho kết cấu dây hệ dây võng sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Hướng nghiên cứu tiếp toán dao động lưới dây sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Tài liệu tham khảo Phạm Đình Ba (2005), Động lực học công trình, NXB xây dựng, Hà Nội Nguyễn Thừa Hợp (2001), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học quốc gia, Hà Nội Lều Thọ Trình (1985), Cách tính hệ dây theo sơ đồ biến dạng, NXB KH&KT, Hà Nội Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp tính hệ kết cấu dây mái treo, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Lin T Y and Yong B W (1965), Two large shells of posttensioned precast concrete, Civil Engineering, ASCE 35 Paul Lew I Thomas Z Scarangello, Structural Engineering Handbook, Fourth Edition Section 27