Hiệu ứng điện tử hall và shubnikov de haas dao động

Thời gian sống lượng tử Tq của một hạt là thời gian hạt tồn tại trong một trạng thái lượng tử giữa hai lần tán xạ lượng tử liên tiếp, nó cũng chính là thời gian trung bình giữa các lần t

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP

1 Hàm sóng

2 Hiệu ứng điện tử Hall và Shubnikov-de Haas dao động

3: Sơ lược về cấu trúc mạng tinh thể

1 Thời gian sống lượng tử (Thời gian tán xạ lượng tử) và chiều dài tán xạ lượng tử

a Thời gian sống lượng tử Tq của một hạt là thời gian hạt tồn tại trong một trạng thái lượng tử giữa hai lần tán xạ lượng tử liên tiếp, nó cũng chính là thời gian trung bình giữa các lần tán xạ thành công liên tiếp trong một độ dài bất kỳ của hệ Thời gian sống lượng tử đo thời gian va chạm liên tiếp Đặc điểm của thời gian sống lượng tử là không

có sự khác biệt nào giữa quá trình tán xạ với góc tán xạ lớn và quá trình tán xạ với góc tán xạ nhỏ Tất cả các tán xạ đều cho những ảnh hưởng như nhau

b Chiều dài tán xạ lượng tử lq là đại lượng liên hệ với thời gian tán xạ lượng tử theo biểu thức lq = vF.Tq Trong đó vF là vận tốc Fermi của electron ở lân cận mức Fermi

có năng lượng EF vF = 2 *

m

E F

Trong đó m* là khối lượng hiệu dụng của electron

Vì vậy có thể hiểu độ dài tán xạ lượng tử chính là khoảng cách trung bình mà một electron ở mức năng lượng Fermi có thể chuyển động được mà không bị tán xạ Và cũng

vì lý do đó mà độ dài tán xạ lượng tử không thể xác định một cách trực tiếp

2 Bước sóng Fermi

Khi một hạt chuyển động với xung lượng p, năng lượng E, trạng thái của hạt tương đương với một sóng Dobroig có bước sóng λF=h/p Bước sóng Fermi là bước sóng Dobroig của một hạt có năng lượng tồn tại bằng mức năng lượng Fermi

λF= 2π/kF =hc/(EF) Kích thước của một hệ đạt giá trị của kích thước lượng tử nếu kích thước đó có thể so sánh được với bước sóng Fermi Trong thực tế, ta vẫn thấy một hệ thể hiện những

Một trong những đặc điểm đặc biệt của bước sóng Fermi đó là bước sóng Fermi giảm khi mật độ electron tăng lên Bên cạnh đó, mối quan hệ chính xác giữa bước sóng Fermi

và mật độ electron n phụ thuộc vào số chiều không gian của hệ đang xét Cụ thể là

Trong hệ 3 chiều:

3 / 1

3

2 / 3

3 2









=

n

F

π λ

Trong hệ 2 chiều:

2

2

n

F

π

λ =

Trong hệ 1 chiều:

1

4

n

F = λ

Với n1, n2 và n3 lần lượt là mật độ electron trong hệ 1, 2 và 3 chiều Do đó, việc xác định giá trị của bước sóng Fermi có thể thực hiện được thông qua việc xác định mật

độ electron trong hệ Điều này hoàn toàn thực hiện được thông qua hiệu ứng Hall lượng

tử Một khi xác định được bước sóng Fermi, chúng ta có thể xác định được giới hạn để một hệ được coi là có kích thước lượng tử và thể hiện các hiệu ứng lượng tử Hơn nữa, khi xác định được bước sóng Fermi, chúng ta cũng có thể xác định được mức năng lượng Fermi EF, một đại lượng quan trọng trong vật lý bán dẫn  (chém nấy thôi)

2 Thời gian sống vận chuyển ( thời gian tán xạ vận chuyển) và quãng đường

tự do trung bình

a Thời gian sống vận chuyển cho biết thời gian mà một hạt tải vận chuyển theo một hướng xác định trong điện trường hoặc từ trường Chẳng hạn như một hướng vận chuyển của hạt tải điện là electron trong điện trường theo một hướng nào đó Thời gian electron chuyển động theo một hướng xác định chính là thời gian sống vận chuyển theo hướng đó Thời gian sống vận chuyển cho biết mức độ linh động của hạt tải Thời gian sống vận chuyển càng dài thì độ linh động của hạt tải càng lớn Nhìn chung, thời gian sống vận chuyển và thời gian sống lượng tử phụ thuộc vào mật độ hạt tải Dựa vào thời gian sống có thể xác định được cơ chế tán xạ chính của hệ lượng tử

b Quãng đường tự do trung bình là quãng đường trung bình mà một hạt đi được giữa hai lần tán xạ liên tiếp Độ linh động của hạt tải có liên hệ với quãng đường tự do trung bình, khối lượng và kích thước hạt tải Có thể xác định quãng đường tự do trung bình của hạt tải như sau:

Giả sử một hệ hạt tải đồng nhất có đường kính là d Tiết diện tán xạ hiệu dụng của hạt là S=πd2 Gọi v là vận tốc trung bình của hạt, trong thời gian t, hệ hạt nằm trong tiết diện tán xạ hiệu dụng sẽ quét một thể tích mà trong đó diễn ra các tán xạ là

V=Svt = πd2.v.t

Số lượng tán xạ có thể được xác định như số hạt có mặt trong phần thể tích “tán xạ” nói trên Quãng đường dịch chuyển của hệ hạt có thể xác định gần bằng v.t Khi đó, quãng đường tự do trung bình có thể xác định bằng quãng đường dịch chuyển của cả hệ

chia cho số hạt có trong phần thể tích “tán xạ” Gọi nv là mật độ hạt tải Khi đó quãng đường tự do trung bình có thể xác định là

stb = v.t/( πd2.v.t.nv) = 1/ πd2 nv

2 Hiệu ứng lượng tử Hall và Shubnikov-de Haas dao động

a Shubnikov-de Haas dao động

Sung 1.3 cho thấy sự kháng cự của một đồng nhất lượng tử điện tử fi lm cùng

sự chỉ đạo của fl ow hiện tại (các kháng dọc Rxx), cũng như

vuông góc với nó (Hall kháng Rxy) Rõ ràng, cuộc kháng chiến trường

quantizes trong các đơn vị của h / (je2) trong ruộng từ trường mạnh, và trong các đơn vị của h / (2je2) tại ruộng từ nhỏ (j là một số nguyên) Đây là hiệu ứng Hall lượng tử, để được thảo luận trong chương 6 Nó đã được phát hiện bởi von Klitzing và cowork-ers [176] Ngay sau đó, nó trở nên rõ ràng rằng lượng tử này của Hall kháng độc lập với hệ thống tài liệu, miễn là các khí điện tử là hai chiều Trong năm 1982, các quan sát đã được bổ sung bằng các Phát hiện của các phân đoạn hiệu ứng Hall lượng tử bởi Tsui và đồng nghiệp [305]

Sự thay đổi này chỉ được quan trắc trong các mẫu với độ linh động electron rất cao, và có nguồn gốc của nó trong tương tác electron-electron mạnh Chúng tôi sẽ không thảo luận các phân đoạn hiệu ứng Hall lượng tử trong cuốn sách này, mặc dù Nó là hấp dẫn để vữngpect rằng hiệu ứng Hall lượng tử là bằng cách nào đó có liên quan đến các bước dẫn trong danh bạ điểm lượng tử, lượng tử hóa trong cùng một đơn vị Nhưng làm thế nào có thể này được? Kích thước mẫu ở đây là hàng trăm micromet, mà chắc chắn là lớn hơn so với đường tự do trung bình Thứ hai, mẫu là hai chiều Cũng thế, bây giờ chúng tôi đang tìm kiếm tại ngưỡng kháng cự Hall, trong khi trong ví dụ trước, chúng tôi nhìn độ dẫn hai thiết bị đầu cuối (Gxx + Gxy nói đúng), và các từ fi lĩnh là zero Như chúng ta sẽ thấy trong chương 7, có trong thực tế, một gần, mặc dù không phải là hiển nhiên, mối quan hệ giữa hai tác động này

Sung 1.3 dao động Shubnikov-de Haas và các hiệu ứng lượng tử Hall.

Chúng tôi nhìn vào một phép đo theo chiều dọc và kháng chiến trường

(Rxx và Rxy, tương ứng) của một khí điện tử hai chiều như một chức năng của một fi từ ELD áp dụng vuông góc với mặt phẳng của

khí điện tử Các thí nghiệm đã được thực hiện ở nhiệt độ

100mK.

Lưu ý rằng hành vi của Rxx có tương quan mạnh mẽ đến Hall lượng tử hiệu quả Chúng ta quan sát đỉnh kháng dọc vào các bước trong Rxy, trong khi Rxx trở thành số không ở khu vực của lượng tử điện trở Hall những dao độngđược gọi là Shubnikov-de Haas dao động Bất kỳ lời giải thích cho các lượng tử Hiệu ứng Hall do đó nên cũng giải thích sự dao động này, đặc biệt là Thực tế đáng chú ý là kháng biến mất! Cần ghi nhận rằng fi lm lượng tử không trở thành siêu dẫn Bạn có thể tiếp tục thắc mắc tại sao cuộc kháng chiến của một khí điện tử hai chiều khuếch tán có thể tan biến, trong khi đó một chiều khí electron đạn đạo vẫn không bằng không; trong thực tế, nó vẫn còn lớn đáng ngạc nhiên! Nó là một phần thiết yếu của cuốn sách này để trả lời những câu hỏi này, và

để lộ mối liên kết của họ Để bây giờ, chúng tôi rời khỏi nó tại các tuyên bố rằng, trong

LMS fi lượng tử đặt trong ruộng từ trường mạnh, các tán xạ của electron là đàn áp mạnh

mẽ, và các phương tiện giao thông phát triển một nhân vật một chiều

2 Hiệu ứng Hall

Hiệu ứng Hall là một trong các hiệu ứng galvano – từ Đó l;à hiệu ứng động do tác tác động đồng thời điện trường và từ trường Xét hiệu ứng Hall bao gồm cả sự tán xạ của các hạt tải Có thể thu được các kết quả trên cơ sở giải phương trình động Boltzmann Xét hiệu ứng Hall khi trên hạt tải chịu tác dụng của lực

F=e{E+[ ]v∧B} (2.271)

trong từ trường yếu Từ trường yếu à từ trường trong đó thời gian hồi phục τ của hạt tải

nhỏ hơn rất nhiều so với chu kỳ T C theo quĩ đạo tròn trong từ trường

τ <<T C. (2.272)

Do tần số cộng hưởng xiclotron bằng

B

m

e

T C

2 =

= π

ω (2.273)

nên có thể viết (2.272) thành

* 2 * 2 .

B m

e B e

τ << ⇒ = << (2.274)

Do đó, có thể viết tiêu chuẩn cho từ trường yếu là

µB<< 1 (2.275)

Xét hiệu ứng Hall khi tính đến sự tán xạ đối với bán dẫn đồng tính với mặt đẳng năng hình cầu trong điện từ trường không đổi Để tính hằng số Hall, trước hết ta tính mật độ dòng

4 )

( 4

) ( 1

* 3 )

( 1

*

p p

K n

n p

m

eh d

K f K m

eh j

j















τ π

τ

Để tìm f1( )K, ta sử dụng (2.186) và (2.271) đối với bán dẫn đồng tính

{ [ ] } 1( ).

τ

K f f B v E

e

K











 = −

∇

∧ + (2.277) Viết f1( )K dưới dạng

( ) 0 ( ),

f  χ

∂

∂

−

= (2.278)

trong đó χ( )E là một vectơ nào đó chỉ phụ thuộc vào năng lượng E của hạt tải.

Giả thiết hàm phân bố không cân bằng f( )K = f0+ f1( )K khác rất ít hàm phân bố cân bằng f0 do trường yếu Do đó, trong (2.277) có thể thay f bằng f0 ở mọi chỗ chỉ trừ các

số hạng chứa từ trường Vì [ ]v∧Bv= 0 nên từ (2.277) suy ra

[ ] ( ) 1( ),

1

K f K f B v

e f E

e

K K

















∇ (2.279) trong đó

0 0 ,

E

f K

E E

f f

K









∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

=

∇

E

f E

v E

f K

E

f K

K









































∂

∂

∂

∂

−

∂

∂

−

=













∂

∂

−∇

=

Do [ ] [v∧Bχ= B∧ χ]v nên nếu tính đến (2.278) và (2.280) thì có thể viết (2.279) dưới dạng

( ) 0 0 1[ ] .

E

f e K E

f K





















∂

∂

=

∂

∂

−

= χ τ χ (2.281)

Do đó,

* 1[ ] ,











−

n

e

m

e

χ

τ









(2.282)

* 1[ ] .











−

p

h

m









(2.283) Khi giải các phương trình vectơ (2.282) và (2.283) bằng phương pháp gần đúng lien tiếp, ta thu được kết quả sau đối với từ trường yếu

* * [ ] ,













∧

−

−

m

e E m

e

n

e n

e n









χ (2.284)

* * [ ] .

















∧

−

−

m

e E m

e

p

h p

h p









χ (2.285)

Khi sử dụng (2.278) và (2.284) ta tìm được mật độ dòng electron

( ) [ ] .

2 0

2 3

2 2

K n

e e

V n

m

e E K E

f m

e J

B



















τ

τ τ







∂

∂

Nếu tính đến (2.240), (2.242) và (2.244) thì có thể viết (2.286) thành

[ ] .

3

4 3

4

0

2 / 3 2 0

2

3 2

/ 3

*

2

∫

∞

π α

α τ π

α

m

n e d e

E m

n e

n

e n

n









(2.287) Do

,

3

4

0

2 / 3

∫

∞

−

π

τe e e α d (2.288)

= ∫∞ −

0

2 / 3 2 2

3

4

α α τ π

τe e e α d (2.289)

n

e

n

m

eτ

µ = nên ta có

2 2 2

2

E B en r E en E B en E

en

e

e n

n















∧ +

=

∧ +

τ

τ µ

(2.290)

2.

2 2

e

e n

r

τ

τ

= (2.291)

Tương tự, mật độ dòng lỗ trống bằng

Jp =epµp E−r p enµ 2p[B∧E],

(2.292)

2.

2 2

h

h p

r

τ

τ

= (2.293)

Mật độ dòng toàn phần

r

r e r E n p e J J

n

p n n p n

p













∧









−

− +

= +

(2.294) Trong (2.294), các hệ số r , n r p phụ thuộc vào cơ chế tán xạ của hạt tải mà nó xác định thời gian hồi phục τ( )K. Trong trường hợp tán xạ đàn hồi khi K′ =K,E′ =E đối với bất kỳ

cơ chế tán xạ nào, ta có

2 1

2 2 2 2

2

=

=

e e h

h n

p

r

r

τ

τ τ

τ

(2.295)

Ta cũng có r =r và (2.294) trở thành

J=e(pµp+nµn)E−re(pµ 2p − µn2) [B∧E].

(2.296)

Xét trường hợp đơn giản khi dòng điện chạy dọc theo trục x, nghĩa là J x =J,J y =J z

= 0 và từ trường dọc theo hướng z, nghĩa là B x=B y = 0 B z =B. Từ đó và (2.296) suy ra

J x=e(pµp +nµn)E x−re(pµ 2p −nµn2)BE y =J,

(2.297)

J y =e(pµp+nµn)E y−re(pµ 2p −nµn2)BE x= 0

(2.298)

Từ (2.297), (2.298) và trong từ trường yếu, ta tìm được suất điện động Hall E yvà hằng

số Hall R

( )2 ,

2 2

RJB JB n

p

n p e

r E

n p

n p

+

−

=

µ µ

µ µ

(2.299) ( )2.

2 2

n p

n p

n p

n p e

r R

µ µ

µ µ +

−

= (2.300)

Như vậy, hằng số Hall phụ thuộc vào cơ cế tán xạ Đối với tán xạ phonon, 1 , 18

8

3 =

= π

r

Đối với tán xạ ion tạp, 1 , 93

512

315 =

r

Đối với bán dẫn n,

1 .

en r

R= − (2.301)

Độ dẫn của bán dẫn này là

* .

m

e en

en d d σ τ

µ µ

σ = ⇒ = = (2.302)

d

µ là độ linh động cuối Từ đó,

1 R d.

r σ = µ (2.303)

Ngoài ra, Rσ = µH, (2.304)

trong đó µH là độ linh động Hall Từ (2.303) và (2.304) suy ra

µ =H rµd. (2.305)

Như vậy, độ linh động Hall tỷ lệ với độ linh động cuối Trong trường hợp τ = const thì r

= 1(không phụ thuộc vào năng lượng) và

µ =H µd. (2.306)

Điều này đúng đối với kim loại và bán dẫn suy biến

3 Sơ lược về cấu trúc mạng tinh thể

Cấu trúc tinh thể

Nhiều yếu tố và các hợp chất kết tinh trong một khuôn mặt trung tâm khối (fcc) Lạt hành cả Điều này là không đáng ngạc nhiên, kể từ khi cấu trúc tinh thể này đại diện cho một trong những hai ngộ tốt đối với bao bì đóng, trong đó một cách ngây thơ có thể mong đợi để xảy ra khi các lĩnh vực tương tự hoặc tương được xếp chồng lên Cả Si và GaAs có cấu trúc mạng tinh thể này Các hằng số mạng a là chiều dài của một cạnh của một tế bào đơn vị Si là gồm hai Lưới fcc dịch chuyển tương đối với nhau bởi (a / 4, a /

4, a / 4) Cấu trúc tinh thể này cũng được biết đến như là các cấu trúc kim cương GaAs cũng có một cơ sở hai nguyên tử, ngoại trừ rằng ở đây có một nguyên tử cơ bản là Ga và khác là As Đây là kẽm lưới chấm nước Các hằng số mạng tinh thể là 0,565 nmfor

Si và 0,543 nm cho GaAs (cả hai con số giữ cho nhiệt độ phòng) Sung 2.1 cho thấy Si

và các cấu trúc GaAs

Mạng tinh thể đối ứng của một mạng fcc là một cơ thể lập phương tâm (bcc) mạng

Kể từ khi đà tinh thể là bất biến theo bản dịch bằng Lạt đối ứng

Sung 2.1 Tinh thể cấu trúc của GaAs (trái) và Si (trung tâm), cũng như

vùng của mình fi rst Brillouin (phải), một khối tám mặt cắt ngắn Địa điểm cao

đối xứng được dán nhãn là K, Γ và L; xem văn bản.

Sung 2.2 Cấu trúc của một tấm chì Left: Các tế bào đơn vị (màu xám) của điều này mạng tinh thể hình lục giác được mở rộng ra bởi các vectơ mạng , với một hằng số mạng tinh thể của Nó chứa một cơ sở hai nguyên tử carbon (vòng tròn đầy đủ) chiếm các trang web không tương đương các

khoảng cách giữa hai nguyên tử lân cận là 0,142 nm Đúng: đầu tiên fi

Vùng Brillouin của tấm than chì với các điểm đối xứng cao.

Vectơ mạng, chúng ta có thể đại diện cho các hành vi của các electron và các phonon trong vòng một tế bào tiểu của lưới đối ứng, mà luôn luôn được chọn làm đầu tiên fi Vùng Brillouin Đối với một mạng fcc, đây là một khối tám mặt cắt ngắn, gồm sáu hình vuông và hình lục giác tám (xem hình 2.1) Các trung tâm của Brillouin fi đầu tiên vùng được dán nhãn các Γ-point, trong khi các trung tâm của hình lục giác và hình vuông là gọi là L và X-điểm, tương ứng Thỉnh thoảng, một số truy cập trên hướng kỳ lạ hơn các đối xứng thấp hơn, chẳng hạn như K, U, W, đó là nằm ở trung tâm của các cạnh

và góc của vùng Brillouin đầu tiên

Germanium kết tinh trong một cấu trúc kim cương như silicon Bất kỳ nhị phân sự kết

kết quả trong một kẽm lưới chấm nước Kết hợp các yếu tố với nhóm III nitơ có thể dẫn đến hoặc là một mạng fcc hoặc một mạng tinh thể hình lục giác, tùy thuộc vào quá trình kết tinh và các điều trị tiếp theo Đây cũng là trường hợp đối với hầu hết các hợp chất

II-VI, như CdSe hoặc ZnS (trong đó cho các cây chấm kẽm cấu trúc tên của nó, sau khi tất cả) Vì vậy, khi làm việc với các chất bán dẫn, bạn sẽ hầu như không bao giờ gặp bất kỳ cấu trúc tinh thể hơn nữa Để fi kiểu đó phần này, chúng ta hãy chúng ta có một cái nhìn tại một lưới đặc biệt đơn giản, cụ thể là một tấm than chì, các cấu trúc tinh thể thứ hai hình thức carbon bên cạnh kim cương Nó bao gồm một mạng tinh thể hình lục giác của các nguyên tử carbon sp2-lai (Hình 2.2)

Mạng tinh thể đối ứng là lại lục giác Các trung tâm của Brillouin fi đầu tiên vùng được ký hiệu là Γ, các góc của K, và các trung tâm của các cạnh được dán nhãn