Nghiên cứu việc đưa vào dạy học toán ở trường phổ thông thuật toán chia đôi trong môi trường máy tính bỏ túi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ĐỖ PHẠM ANH TÚ NGHIÊN CỨU VIỆC ĐƯA VÀO DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG THUẬT TOÁN CHIA ĐÔI TRONG MÔI TRƯỜNG MÁY TÍNH BỎ TÚI LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn toán Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Tiến Thành phố Hồ Chí Minh – 2006 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU…….………………………………………………………………………………………………………………………………….1 Lý chọn đề tài câu hỏi xuất phát………………………………………………………………………1 Mục đích nghiên cứu phạm vi lý thuyết tham chiếu………………………………………2 Phương pháp nghiên cứu tổ chức nghiên cứu…………………………………………………….3 Tổ chức luận văn…………………………………………………………………………………………………………3 Chương 1: TỔ CHỨC TOÁN HỌC (TCTH) THAM CHIẾU GẮN LIỀN VỚI THUẬT TOÁN CHIA ĐÔI (TTCĐ)……………………………………………………………5 1.1 Sơ lược lòch sử khái niệm thuật toán….……………………………………………………………5 1.2 TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ…………………………………………………………………….6 1.2.1 TTCĐ sách “Cơ sở giải tích số” B Démidovitch I Maron………………………………………………………….……………………………………………….6 1.2.2 TTCĐ sách “Toán học tin học” Arthur Engel……………………………………………………………………………………………………….10 1.2.3 TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ…………………………………………………….13 1.3 Kết luận chương 1………………………………………………………………………………………………….14 Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI TTCĐ VÀ MÁY TÍNH BỎ TÚI (MTBT)………………………………………… …………………………………………………………………….15 2.1 Mối quan hệ thể chế với TTCĐ……………………….…………………………………………………….15 2.1.1 Tình đưa vào TTCĐ……………………….…………………….……………………………15 2.1.2 Vết TCTH tham chiếu………………………………………………….……………………….21 2.1.3 Kết luận…………….…………………………………………………………………………………………………23 2.2 Mối quan hệ thể chế với MTBT…………………………………………………………………………….24 2.2.1 Tổng quan MTBT…………………………………………………….……………………………….24 2.2.2 Một số tình đưa vào MTBT……………………………………………….……………26 2.2.3 Kết luận……………………………………………………………………………………………………………….29 2.3 Kết luận chương 2………………………………………………………………………………………………….30 Chương 3: THỰC NGHIỆM……………………………………………………………………………………………….31 3.1 Mục đích thực nghiệm…………………………………………………………………………………………………31 3.2 Phân tích tiên nghiệm…………………………………………………………………………………………………31 3.2.1 Tình tổng quát………………………………………………………………………………………31 3.2.2 Lựa chọn hàm số f(x)……………………………………………………………………….…………….31 3.2.3 Nội dung thực nghiệm……………………………………………………….……………………………33 3.2.4 Tiến trình thực nghiệm……………………………………………………………………………………35 3.2.5 Các biến tình huống……………………………………………………………………….…….……… 36 3.2.6 Phân tích chi tiết………………………….………………………………………………………………… 37 3.3 Phân tích hậu nghiệm………………………………………………………………………………………………….45 3.3.1 Các chiến lược có dùng phím nhớ MTBT sử dụng……45 3.3.2 Sự hợp thức hóa tình tính gần nghiệm…………………………….46 3.3.3 Tính thỏa đáng giả thuyết nghiên cứu…………………………………………….48 3.3.4 TTCĐ đưa vào dạy học …………………………………… ……………………….52 3.3.5 Sự xuất ngầm ẩn yếu tố tin học………………………………………….……54 3.3.6 Kết luận thực nghiệm……………………………………………………………………………….55 KẾT LUẬN…………………………………………………………………………………………………………………………………56 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤC LỤC Các phiếu thực nghiệm Một số lời giải tiêu biểu nhóm Protocole TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hoàng Kiếm (2001), Giải toán máy tính nào?, Tập 1, Nxb Giáo dục, Hà Nội Hoàng Xuân Sính (1977), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu khái niệm giới hạn hàm số dạy học toán: Một công nghệ didactique môi trường máy tính bỏ túi, Luận văn Thạc só, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Lê Thò Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Nguyễn Văn Vónh (1999), Học tập hoạt động hoạt động, Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Tạ Duy Phượng (2003), Giải toán máy tính điện tử, Nxb Giáo dục, Hà Nội Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục – Một nghiên cứu khoa học luận didactic, Luận văn Thạc só, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Trònh Công Diệu (1996), Phương pháp tính, Đề cương giảng, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Vụ Giáo dục trung học (2005), Máy tính Casio fx 500 MS – Hướng dẫn sử dụng giải toán, Hà Nội Vụ Trung học phổ thông (2001), Một số vấn đề nâng cao thực hành máy tính Casio, Tp Hồ Chí Minh Dòch sang tiếng Việt 10 Fichtengôn G M (1977), Cơ sở giải tích toán học, Tập 1, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 11 Nyhoff L., Leedstma S (1998), Lập trình nâng cao Pascal với cấu trúc liệu, Nxb Đà Nẵng Tiếng Anh 12 Knuth D E (1997), The art of computer programming, Addison Wesley Longman, California 13 Rotman J (1998), Galois Theory, Springer-Verlag, NewYork 14 Roman S (1995), Field Theory, Springer-Verlag, NewYork 15 Thomas H C., Charles E L., Ronald L R (1990), Introduction to Algoritthms, McGraw-Hill Book Company, NewYork Tiếng Pháp 16 Chabert J L., Barbin E., Guilletmot M., Pajus A M., Borowczyk J., Djebbar A et Martzloff J C (1994), Histoire d’algorithmes, Éditions Berlin 17 Démidovitch B et Maron I (1979), Éléments de culcul numérique, Traduction français, Éditions Mir Moscou, (traduit du russe par V Polonski) 18 Engel A (1985), Mathématique et informatique, Éditions Cedic, Paris 19 Lê Văn Tiến (2001), Étude didactique de liens entre fonctions et équations dans l’enseignement des mathématiques au lycée en France et au Viêt-nam, Thèse, Université Joseph Fourier – Grenoble I PHỤ LỤC Các phiếu thực nghiệm Một số lời giải tiêu biểu nhóm Protocole LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Văn Tiến Mặc dù bận rộn với công tác quản lý công tác chuyên môn, thầy dành nhiề nhiều công sức tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Trần Văn Tấn, PGS.TS Lê Thò Hoài Châu, TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn Hữu Hải, PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Alain Birebent nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức Didactique toán tạo cho niềm yêu thích với chuyên ngành này; xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp Didactique toán khóa 14 Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin trường ĐHSP HCM tạo thuận lợi giúp hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến TS Nguyễn Xuân Tú Huyên giúp đỡ để luận văn dòch sang tiếng Pháp Cuối cùng, xin cảm ơn bạn đồng nghiệp người thân động viên giúp đỡ mặt Đỗ Phạm Thanh Tú MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài câu hỏi xuất phát Lòch sử giảng dạy toán trường phổ thông Việt Nam ghi nhận tiến triển đáng lưu ý yếu tố thuộc Phương pháp số, Tin học thuật toán Cụ thể: • Chương trình lớp 10 năm 1990 yêu cầu đưa vào chương nhan đề “Một số yếu tố phương pháp kỹ thuật tính toán” Mục đích chủ yếu cung cấp cho học sinh hiểu biết bước đầu phương pháp số, thuật toán tin học Phù hợp với chương trình, ba sách giáo khoa (SGK) thời kỳ dành chương để đề cập nội dung trên, tên gọi khác như: “Khái niệm sơ đẳng tin học thuật toán”, “Một số khái niệm phương pháp kỹ thuật tính toán”, “Khoa học kỹ thuật tính toán” Đặc biệt, mở đầu chương “Khoa học kỹ thuật tính toán”, SGK chủ biên Ngô Thúc Lanh viết: “Phương pháp số môn toán học có nhiệm vụ tìm kết số toán Phương pháp số xuất sớm lòch sử Ngày kết số toán thực tiễn luôn mối quan tâm nhà toán học Những toán lớn như: tính toán tiêu kinh tế quốc dân, số liệu dự báo thời tiết, hay quỹ đạo tàu vũ trụ v.v… đòi hỏi phải có phương pháp kỹ thuật tính toán có hiệu lực Yêu cầu cấp bách nguyên nhân trực tiếp đời máy tính điện tử (viết tắt MTĐT) Nhờ có MTĐT nhiều phương pháp số trước có ý nghóa lý thuyết ngày thực được.” Nói cách khác, việc giải toán thuộc phạm vi Phương pháp số yếu tố thúc đẩy đời phát triển MTĐT nói riêng tin học nói chung Như vậy, dù mức độ cấu trúc khác nhau, nội dung “Phương pháp kỹ thuật tính toán” ba SGK lớp 10 xoay quanh ba đối tượng bản, là: Thuật toán, Phương pháp tính Máy tính điện tử (máy vi tính) Điều làm tự hỏi: Phải ẩn đằng sau đối tượng ý đồ nối khớp toán học tin học thông qua thuật toán? • Tuy nhiên, chương trình chỉnh lý hợp năm 2000 chương trình thí điểm phân ban năm 20031 lại loại bỏ hoàn toàn nội dung nêu Thí điểm lớp 10 từ năm học 2003-2004 2 Đặc biệt, chương trình thí điểm phân ban, tin học bắt đầu lấy vò trí môn học độc lập Nhưng việc sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) lại nhấn mạnh nhiều môn học, môn toán Về phương diện thuật toán phương pháp số, hai SGK toán thí điểm lớp 11 (sách Đại số Giải tích, 2, ban Khoa học tự nhiên) đề cập Phương pháp chia đôi việc tính gần nghiệm phương trình Những kiện nêu thể ý đònh lưỡng lự người soạn thảo chương trình SGK Việt Nam việc tính đến yếu tố phương pháp số tin học dạy học toán trường phổ thông Nhưng, điều đặc biệt đằng sau Phương pháp số Tin học có dấu vết Thuật toán Nói cách khác, câu hỏi việc sử dụng thuật toán đối tượng ưu tiên việc nối khớp toán học tin học chương trình SGK toán thời kỳ vấn đề cần thiết làm sáng tỏ Câu hỏi lôi ý đặc biệt Tuy nhiên, phạm vi luận văn thạc só, để đảm bảo tính khả thi chủ đề nghiên cứu, giới hạn vào đối tượng cụ thể, thuật toán chia đôi (TTCĐ) Việc lựa chọn thuật toán xuất phát từ hai lý sau đây: - TTCĐ ưu tiên đề cập nhiều sách Phương pháp số (hay Giải tích số), - Nó xuất tường minh đọc thêm hai SGK toán lớp 11 thí điểm phân ban Mục đích nghiên cứu phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích tổng quát luận văn nghiên cứu vò trí, vai trò TTCĐ mối quan hệ Toán học – Tin học Để làm điều đó, đặt nghiên cứu phạm vi didactique toán Cụ thể, vận dụng số khái niệm công cụ lý thuyết nhân chủng học (lý thuyết chuyển đổi didactique, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, cách đặt vấn đề sinh thái học) lý thuyết tình (đồ án didactique) Trong phạm vi didactique với khái niệm công cụ lý thuyết chọn, mục đích nghiên cứu cụ thể tìm câu trả lời cho câu hỏi sau đây: 1) TTCĐ xuất sách đề cập đến phạm vi phương pháp số? Nó gắn liền với tổ chức toán học (TCTH) nào? Với đặc trưng gì? Nó có mối quan hệ với công cụ tin học máy vi tính (MVT), MTBT? Nó có phải yếu tố cho phép nối khớp toán học tin học? 2) TTCĐ diện chương trình SGK? Đặc trưng TCTH gắn liền với nó? Nó có quan hệ với đối tượng MTBT MVT nói riêng yếu tố tin học nói chung? TTCĐ đối tượng liên quan phải chòu điều kiện ràng buộc thể chế? 3) Làm xây dựng tiểu đồ án didactique để đưa TTCĐ vào dạy học toán trường phổ thông với hỗ trợ MTBT? Phương pháp nghiên cứu tổ chức nghiên cứu Phương pháp luận nghiên cứu mà áp dụng luận văn thực đồng thời việc nghiên cứu hai cấp độ: cấp độ tri thức khoa học cấp độ tri thức cần giảng dạy Nghiên cứu cấp độ thứ yếu tố tham chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế cấp độ thứ hai Tổng hợp kết hai nghiên cứu sở để đề xuất câu hỏi đặc biệt giả thuyết nghiên cứu mà tìm cách trả lời hay hợp thức hóa thực nghiệm Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, trình bày tổ chức nghiên cứu sau: • Làm rõ TCTH gắn liền với TTCĐ số sách bàn phương pháp số để TCTH tham chiếu • Phân tích chương trình SGK toán phổ thông thí điểm để làm rõ mối quan hệ thể chế TTCĐ đối tượng có liên quan; tìm vết TCTH tham chiếu • Tổng hợp kết hai phân tích để đề xuất câu hỏi hay giả thuyết nghiên cứu • Xây dựng đồ án didactique cho phép tìm câu trả lời cho số câu hỏi hay đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu đặt Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần: mở đầu, chương 1, chương 2, chương kết luận • Phần mở đầu trình bày lý chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, mục đích đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp tổ chức nghiên cứu tổ chức luận văn • Trong chương 1, nghiên cứu TTCĐ cấp độ tri thức khoa học Cụ thể, nghiên cứu TTCĐ hai sách bàn phương pháp số để TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ • Trong chương 2, thực phân tích chương trình SGK thí điểm để làm rõ mối quan hệ thể chế với TTCĐ MTBT, đề xuất câu hỏi giả thuyết nghiên cứu Chúng rõ vết mà TCTH tham chiếu để lại đọc thêm giải thích chênh lệch TCTH tham chiếu đọc thêm • Trong chương 3, xây dựng đưa vào thực nghiệm tiểu đồ án didactique nhằm kiểm tra tính thỏa đáng giả thuyết nghiên cứu, tìm câu trả lời cho câu hỏi đưa vào dạy học trường phổ thông TTCĐ • Phần kết luận tóm tắt kết đạt chương 1, 2, nêu số hướng nghiên cứu mở từ luận văn 5 Chương TCTH THAM CHIẾU GẮN LIỀN VỚI TTCĐ Chúng nhắc lại rằng, mục tiêu chương nghiên cứu TTCĐ cấp độ tri thức khoa học qua tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt phần mở đầu: TTCĐ xuất sách đề cập đến phạm vi phương pháp số? Nó gắn liền với TCTH nào? Với đặc trưng gì? Nó có mối quan hệ với công cụ tin học MVT, MTBT? Nó có phải yếu tố cho phép nối khớp toán học tin học? Hai sách mà chọn phân tích là: - “Cơ sở giải tích số” B Démidovitch I Maron, - “Toán học tin học” Arthur Engel Tuy nhiên, trước thực việc phân tích hai sách nêu trên, trình bày sơ lược lòch sử khái niệm thuật toán, nhằm làm rõ cách sử dụng thuật ngữ “thuật toán” luận văn 1.1 Sơ lược lòch sử khái niệm thuật toán Kết mục rút từ công trình Lê Văn Tiến [19] từ việc phân tích phần mở đầu tài liệu “Histoire d’algorithmes” [16] Trước xuất thuật ngữ đặc biệt để thuật toán thuật toán tồn người Babilon người Hy Lạp Nó xuất lónh vực pháp lý, toán học… Khi đó, người ta nói đến trình tự, quy tắc, kỹ thuật, quy trình, phương pháp Cách dùng từ “thuật toán” phương Tây gắn với tên " al − Khwarizmi " , tên nhà toán học nửa đầu kỷ thứ IX Muhammad ibn M usa a l − K h w arizm i Trong sách La tinh thời Trung đại, người ta dùng từ algorisme, algorismus algorithmus để phương pháp tính D’Alembert mô tả từ thuật toán sau: “[…] Nói chung, dùng từ để phương pháp ký hiệu tất kiểu tính Khi đó, người ta nói đến thuật toán tính tích phân, thuật toán tính luỹ thừa, thuật toán sin, v.v…” (Bách khoa toàn thư, 1992) Cuối cùng, từ thuật toán dùng để tất phương pháp tính có tính hệ thống, chí tự động Đặc biệt, với ảnh hưởng công nghệ thông tin, thuật ngữ có đònh nghóa rõ ràng nhờ vào đặc trưng “hữu hạn” cho phép phân biệt từ thuật toán với từ có nghóa rộng phương pháp, quy trình, kỹ thuật: “Thuật toán dãy hữu hạn quy tắc cần thực theo thứ tự số hữu hạn liệu cho để sau số hữu hạn bước đạt tới kết quả, điều độc lập với liệu.” (Encyclopaedia Universalis) Sự xuất khái niệm thuật toán bước chuyển lòch sử thuật toán: “Với việc đưa vào khái niệm thuật toán, lòch sử thuật toán chuyển đổi thành lòch sử lónh vực khoa học mới: thuật toán Lónh vực khoa học tìm thuật toán để giải vấn đề đặc biệt, mà tìm cách giải vấn đề đặt việc nghiên cứu cách tổng quát thuật toán Nghiên cứu đặc biệt phát triển với trợ giúp máy vi tính việc khám phá ngôn ngữ lập trình.” [16, tr.534] Trong tin học, để mô tả số thuật toán, người ta thường dùng phép gán vòng lặp Tóm lại, thuật toán xuất nhiều lónh vực, có toán học tin học Trong lòch sử, thuật toán đặc trưng toán học thường lấy nghóa phương pháp, quy tắc, quy trình, kỹ thuật Tin học đời, thuật toán có đònh nghóa rõ ràng yếu tố tin học Đặc trưng bật thuật toán tin học tính hữu hạn Trong luận văn này, dùng thuật ngữ “thuật toán” theo nghóa chung Theo nghóa này, gọi phương pháp tính (phương pháp chia đôi, phương pháp Newton,…) “thuật toán” Chính vậy, tên đề tài phần mở đầu luận văn, dùng thuật ngữ “thuật toán chia đôi” (TTCĐ) 1.2 TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ 1.2.1 TTCĐ sách “Cơ sở giải tích số” B Démidovitch I Maron Quyển sách gồm 17 chương Chương “Giải gần phương trình đại số siêu việt” có 11 bài: 1) Tách nghiệm 2) Giải phương trình đồ thò 3) Phương pháp chia đôi 4) Phương pháp phần tỷ lệ 5) Phương pháp Newton 6) Phương pháp Newton có sửa đổi 7) Phương pháp phối hợp 8) Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 9) Phương pháp xấp xỉ liên tiếp cho hệ phương trình 10) Phương pháp Newton cho hệ phương trình 11) Áp dụng phương pháp Newton cho trường hợp nghiệm phức Sau phân tích “Phương pháp chia đôi” Bài viết trang 114 115: "Cho phương trình f(x) = 0, (1) với f(x) hàm số liên tục [a;b] f(a)f(b) < Ta tìm nghiệm phương trình (1) cách chia đôi đoạn [a;b] Nếu a+b a+b a+b ) = ξ = nghiệm phương trình Nếu f( ) ≠0 2 a+b a+b mút đoạn [a; ], [ ; b] hàm số lấy 2 f( giá trò khác dấu Gọi đoạn [a1;b1] tiếp tục chia đôi làm Lặp lại việc làm này, ta tìm nghiệm phương trình (1), tìm dãy đoạn chứa [a1;b1], [a2;b2],…, [an;bn],… với (2) f(an)f(bn) < (n = 1, 2,…) bn − an = (b − a ) 2n (3) Dãy số a1, a2,…, an,… tăng bò chặn trên, dãy số b1, b2,…, bn,… giảm bò chặn dưới; kết hợp với (3) chúng có giới hạn chung ξ = lim an = lim bn n →∞ n →∞ Cho n → ∞ , (2) tính liên tục hàm số f(x) ta có [f(ξ )]2 ≤ Do f(ξ) = 0, nghóa ξ nghiệm phương trình (1) ta có ≤ ξ - an ≤ (b − a ) 2n (4) Nếu đoạn [a;b] đoạn tách nghiệm2 phương trình (1) phương pháp cho phép tìm nghiệm phương trình (1) Phương pháp chia đôi giúp đạt ước lượng nghiệm phương trình, số phép tính thực tăng lên ước lượng xác Đoạn chứa nghiệm phương trình 8 Phương pháp chia đôi thực không vất vả máy tính điện tử Sự tính toán mà máy thực cung cấp giá trò hàm số trung điểm đoạn [an;bn] (n = 1, 2,…) giúp chọn lựa nửa đoạn tương ứng Ví dụ Dùng phương pháp chia đôi, cải tiến nghiệm phương trình f(x) ≡ x4 + 2x3 – x – = [0;1] Giải Ta có: f(0) = -1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 – 0,5 – = -1,19; f(0,75) = 0,32 + 0,84 – 0,75 – = - 0,59; f(0,875) = 0,59 + 1,34 – 0,88 – = + 0,05; f(0,8125) = 0,436 + 1,072 – 0,812 – = - 0,034; f(0,8438) = 0,507 + 1,202 – 0,844 – = - 0,135; f(0,8594) = 0,546 + 1,270 – 0,859 – = - 0,043;… Ta đặt ξ= (0,859 + 0,875) = 0,867.” Nhận xét 1) Tác giả không dùng thuật ngữ “thuật toán” mà dùng thuật ngữ “phương pháp” TTCĐ kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ “Giải gần phương trình” Kiểu nhiệm vụ xác đònh rõ ràng Nó xuất đồng thời với tên chương 2) Trước “Phương pháp chia đôi”, tác giả trình bày đònh lý có nội dung sau: “Đònh lý Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] nhận giá trò trái dấu hai đầu mút đoạn này, nghóa f(a).f(b) < 0, đoạn chứa nghiệm phương trình f(x) = 0, nghóa tồn số ξ ∈ (a;b) cho f(ξ) = 0.” (tr.109) Như vậy, với điều kiện f(x) hàm số liên tục [a;b] f(a)f(b) < 0, tồn nghiệm phương trình (1) ngầm hiểu Đònh lý nêu trường hợp đặc biệt đònh lý giá trò trung gian Nếu ta thừa nhận lớp hàm số liên tục nhiều nói tầm ảnh hưởng TTCĐ rộng 3) Sự tồn giới hạn lim an lim bn giải thích dãy hội tụ: n →∞ n →∞ “Đònh lý Giả thử cho biến đơn điệu điệu tăng xn Nếu bò chặn trên: xn ≤ M (M = const; n = 1, 2, 3,…) phải có giới hạn hữu hạn, trường hợp ngược lại dần đến +∞ Cũng giống biến xn đơn điệu giảm luôn có giới hạn Giới hạn hữu hạn bò chặn trong trường hợp ngược lại, giới hạn - ∞ ” [10, tr.71] 9 Việc chứng minh đònh lý dựa tính chất đặc trưng sup inf 4) Khẳng đònh [ f (ξ )]2 ≤ giải thích phần tính chất hàm số liên tục4: Giả sử hàm số f(x) xác đònh khoảng I x0 ∈ I Khi đó, hàm số xn = x0 f(x) liên tục điểm x0 với dãy x1, x2,…, xn,… thuộc I mà lim n →∞ lim f(xn) = f(x0) Tính chất suy từ đònh nghóa giới hạn hàm số n→∞ đònh nghóa hàm số liên tục điểm5 5) Đặt c1 = a +b a+b a +b , c2 = 1 ,…, cn +1 = n n ,… Dùng tiêu chuẩn Cauchy6, 2 chứng minh dãy số hội tụ ξ Chúng gọi dãy số dãy số “trung điểm” 6) Trong công thức (4), ξ “nghiệm đúng” phương trình (1) đoạn [a;b] Tác giả không nêu rõ số nghiệm phương trình (1) đoạn [a;b] Như vậy, đoạn [a;b], phương trình (1) có nghiệm khác ξ Công thức (4) đánh giá sai số tuyệt đối lấy an làm giá trò gần ξ 7) Hàm số cho ví dụ hàm số đa thức Đa thức cho có bậc 4, hệ số nguyên Bằng cách tìm nghiệm hữu tỷ đa thức7, chứng minh đa thức cho nghiệm hữu tỷ Ví dụ cho sẵn đoạn chứa nghiệm [0;1] 8) Dùng đạo hàm khảo sát hàm số f(x) = x4 + 2x3 – x – gặp khó khăn f’(x) đa thức bậc ba nghiệm hữu tỷ Dùng Maple8 để tìm giá trò gần nghiệm, chẳng hạn dùng lệnh > solve ( x ^ + * x ^ − x − 1, x) ; > evalf (%,19) ;, tìm nghiệm x1 ≈ −1,866760399173862093 nghiệm x2 ≈ 0,8667603991738620930 Như vậy, phương trình ví dụ có nghiệm đoạn [0;1] 9) Vì đa thức cho có nghiệm vô tỷ mà trung điểm đoạn chứa nghiệm số hữu tỷ9 nên TTCĐ cho phép xác đònh giá trò gần nghiệm Trong ví dụ, tác giả yêu cầu “cải tiến nghiệm phương trình” ξ “nghiệm gần đúng”10 Như vậy, tác giả dùng thuật ngữ “nghiệm” để “nghiệm gần đúng” Trước đó, thuật ngữ “nghiệm” dùng để “nghiệm đúng”: “Nếu f( a+b a+b ) = ξ = nghiệm phương trình” 2 Xem [10, tr.71-72] Xem [10, tr.92-93] Xem [10, tr.50, 92-93] Xem [10, tr.83] Xem [2, tr.164] Dùng Maple ta tìm giá trò gần nghiệm đến độ xác bất kỳ, dùng MTBT ta tìm giá trò gần nghiệm xác đến chữ số cố đònh Do hai đầu mút đoạn chứa nghiệm [0;1] số hữu tỷ 10 Là giá trò gần nghiệm 10 10) Trong ví dụ, để tính giá trò hàm số f(x) giá trò khác biến số tác giả sử dụng máy tính Thật vậy, tác giả viết: “Phương pháp chia đôi thực không vất vả máy tính điện tử Sự tính toán mà máy thực cung cấp giá trò hàm số trung điểm đoạn [an;bn] (n = 1, 2,…)” (tr.115) Như vậy, máy tính khai thác chức tính toán 11) Tác giả không nói đến sai số Trong ví dụ, việc chia đôi thực đến lần thứ nên sai số tuyệt đối bé 1− Ta có < 10−2 nên sai số tuyệt 2 đối bé 10-2 12) Trong “Phương pháp chia đôi”, việc lấy trung điểm đoạn chứa nghiệm việc cải tiến “nghiệm” phương trình điều kiện dừng (tác giả không nêu trước sai số cải tiến “nghiệm”) Chính không thỏa mãn đặc trưng hữu hạn nên TTCĐ sách “Cơ sở giải tích số” lấy nghóa phương pháp * Quyển sách “Cơ sở giải tích số” trình bày lý thuyết ví dụ mà không đưa tập Ở nhận xét 2)-4), yếu tố công nghệ-lý thuyết giải thích cho kỹ thuật TTCĐ Đó đònh lý giá trò trung gian, dãy hội tụ tính chất hàm số liên tục 1.2.2 TTCĐ sách “Toán học tin học” Arthur Engel Quyển sách gồm chương Chương có tên “Giải tích số” Chương gồm mục Mục có tên “Giải phương trình” gồm bài: Phương pháp chia đôi Phương pháp phần tỷ lệ Phương pháp cát tuyến Phương pháp Newton-Raphson Phép lặp Sau phân tích “Phương pháp chia đôi” (tr.139-141) Phần đầu “Phương pháp chia đôi” viết sau: “Phương pháp chia đôi phương pháp đơn giản, thường gặp việc sử dụng máy vi tính đặc biệt có lợi Giả sử đoạn [a;b] hàm số f liên tục f(a).f(b) < 0, nghóa f nhận giá trò trái dấu hai đầu mút đoạn Theo đònh lý giá trò trung gian f nhận giá trò điểm a b 11 Bắt đầu từ đoạn chứa nghiệm xác đònh trước, ta mô tả thuật toán cho phép thu hẹp đoạn chứa nghiệm nửa, lúc nhỏ sai số tuyệt đối ε 1) x ← a +b 2) Nếu f(x) = dừng x nghiệm 3) Nếu f(x).f(a) > a ← x ngược lại b ← x 4) Nếu a − b > ε , quay lại 1) 5) Ngược lại dừng x = a +b nghiệm Sau n lần lặp thuật toán, nghiệm xác đònh với sai số tuyệt đối bé b−a ” n +1 Nhận xét 1) Tác giả dùng thuật ngữ “thuật toán” để TTCĐ Trong câu “Ngược lại dừng x = a +b nghiệm”, thuật ngữ “nghiệm” dùng để “nghiệm đúng” “nghiệm gần đúng” với sai số ε Ta gặp cách dùng thuật ngữ “nghiệm” tương tự vừa nêu phân tích sách “Cơ sở giải tích số” B Démidovitch I Maron 2) TTCĐ nêu biểu diễn11 ngôn ngữ trình Nó kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình” Kiểu nhiệm vụ xác đònh rõ ràng Nó xuất đồng thời với tên mục chương Theo nhận xét 1), kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình” tìm “nghiệm đúng” “nghiệm gần đúng” với sai số cho trước Như vậy, kiểu nhiệm vụ kiểu nhiệm vụ “Giải gần phương trình” mà ta đề cập phân tích sách “Cơ sở giải tích số” 3) TTCĐ mà tác giả mô tả thỏa mãn đặc trưng hữu hạn Thật vậy, với sai số tuyệt đối ε cho trước, số lần lặp n thuật toán xác đònh từ việc giải bất phương trình b−a ≤ ε (n số nguyên dương) Chính đặc trưng n +1 hữu hạn cho phép phân biệt thuật ngữ “thuật toán” với thuật ngữ “phương pháp” Tuy nhiên, “Phương pháp chia đôi” mà ta phân tích, hai thuật ngữ khác biệt 4) Chiếu theo đặc trưng thuật toán12, TTCĐ nêu đảm bảo tính hữu hạn, tính xác đònh, tính đắn, tính khả thi tính tổng quát Nó cho phép nhận thông tin vào xuất thông tin Nếu người đọc biết phép gán tin học (←) hiểu thuật toán cách dễ dàng 11 12 Xem phương pháp biểu diễn thuật toán [1, tr.59-64] Xem [1, tr.51-56], [12, tr 4-9] 12 5) Yếu tố công nghệ giải thích cho TTCĐ đònh lý giá trò trung gian Tác giả tài liệu nói đến đònh lý giá trò trung gian trước trình bày TTCĐ Như vậy, yếu tố công nghệ đònh lý giá trò trung gian có chức tạo kỹ thuật TTCĐ Nói cách khác, với TCTH liên quan đến TTCĐ mà ta xét, khối kỹ trình bày ứng dụng đơn giản khối tri thức 6) Khi trình bày TTCĐ, tác giả không nêu rõ số nghiệm phương trình đoạn [a;b] Như vậy, đoạn [a;b], phương trình có nhiều nghiệm TTCĐ cho phép tìm “nghiệm” (“nghiệm đúng” “nghiệm gần đúng”) Ta gặp điều phân tích sách “Cơ sở giải tích số” * Các nhận xét 3) 4) cho thấy TTCĐ sách “Toán học tin học” “một dãy hữu hạn quy tắc cần thực theo thứ tự số hữu hạn liệu cho để sau số hữu hạn bước đạt tới kết quả, điều độc lập với liệu” Nói cách khác, thuật toán sách “Toán học tin học” yếu tố tin học Sau mô tả TTCĐ, tác giả xét trường hợp f(a) < 0, f(b) > viết chương trình trang 140 sau: “10 DEF FNF (X) = X*X – X – 20 READ A, B, E 30 X = (A + B)/2 40 IF FNF (X) < THEN A = X ELSE B = X 50 IF ABS (A – B) > E THEN 30 60 PRINT (A + B)/2 70 DATA 1, 3, E – 10 80 END 1,618033989 10 DEF FNF (X) = X*X*X – 2*X – 2,094551482 10 DEF FNF (X) = X*X – 4*COS(X) 1,201538299” Sau viết chương trình này, tác giả rõ: chương trình xét ba phương trình x2 – x – = 0, x3 − x − = x2 – 4cosx = với đoạn chứa nghiệm [1;3] 13 Nhận xét 1) Có thể ngôn ngữ trình cách biểu diễn thuật toán thích hợp cho phép lập trình ngôn ngữ Basic Việc làm thể rõ ý đònh nối kết toán học tin học tác giả 2) Các hàm số xét liên tục ℜ Hai phương trình x2 – x – = x3 − x − = nghiệm hữu tỷ Bằng phép biến đổi đại số thông thường, không tìm “nghiệm đúng” phương trình x − cos x = Các phương trình xét có nghiệm đoạn [1;3] Điều không tác giả nêu tường minh 3) Quan sát liệu nhập vào liệu xuất chương trình trên, thấy sai số nhập vào 10-10 (dòng lệnh 70) in “nghiệm gần đúng” có chín chữ số phần thập phân Xem xét tập, thấy có tập yêu cầu tường minh việc dùng TTCĐ để tìm nghiệm phương trình x3 - 3x - = (tr.145) Nhận xét phương trình x − x − = nghiệm hữu tỷ Ngoài ra, phương trình có nghiệm ℜ Thực phân tích tương tự với TTCĐ, nhận thấy thuật toán: phần tỷ lệ, cát tuyến, Newton-Raphson lặp kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ “Giải gần phương trình” Ngoài tập trang 145, tác giả có đưa thêm vào kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ mà gọi thuật toán chia 10 Mở đầu “Phương pháp chia đôi”, tác giả viết: “Phương pháp chia đôi phương pháp đơn giản, thường gặp việc sử dụng máy vi tính đặc biệt có lợi.” (tr.139) Như vậy, đặc trưng “đơn giản” lý việc đề cập TTCĐ vò trí so với thuật toán khác 1.2.3 TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ Phân tích TTCĐ sách “Cơ sở giải tích số” sách “Toán học tin học” cho thấy tồn TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ Chúng ký hiệu TCTH OM = [T, τ, θ, Θ] với T kiểu nhiệm vụ “Giải gần phương trình”, τ TTCĐ Yếu tố công nghệ-lý thuyết OM đònh lý giá trò trung gian, dãy hội tụ tính chất hàm số liên tục Trong hai sách, tác giả dùng thuật ngữ “nghiệm” để “nghiệm đúng” “nghiệm gần đúng” Sau đây, rõ đặc trưng kiểu nhiệm vụ kỹ thuật hai sách [...]... lại, thuật toán xuất hiện ở nhiều lónh vực, trong đó có toán học và tin học Trong lòch sử, thuật toán là một đặc trưng của toán học và nó thường lấy nghóa là phương pháp, quy tắc, quy trình, kỹ thuật Tin học ra đời, thuật toán có đònh nghóa rõ ràng và nó là một yếu tố của tin học Đặc trưng nổi bật của thuật toán trong tin học là tính hữu hạn Trong luận văn này, chúng tôi dùng thuật ngữ thuật toán ... lónh vực khoa học mới: đó là thuật toán Lónh vực khoa học này không phải tìm một thuật toán để giải một vấn đề đặc biệt, mà tìm cách giải các vấn đề được đặt ra bằng việc nghiên cứu một cách tổng quát các thuật toán Nghiên cứu này được đặc biệt phát triển với sự trợ giúp của các máy vi tính và việc khám phá ra các ngôn ngữ lập trình.” [16, tr.534] Trong tin học, để mô tả một số thuật toán, người ta... kiểu tính Khi đó, người ta nói đến thuật toán tính tích phân, thuật toán tính luỹ thừa, thuật toán sin, v.v…” (Bách khoa toàn thư, 1992) Cuối cùng, từ thuật toán dùng để chỉ tất cả những phương pháp tính có tính hệ thống, thậm chí là tự động Đặc biệt, với sự ảnh hưởng của công nghệ thông tin, thuật ngữ này đã có một đònh nghóa rõ ràng hơn nhờ vào đặc trưng “hữu hạn” và nó cho phép phân biệt từ thuật toán. .. thuật ngữ thuật toán trong luận văn này 1.1 Sơ lược lòch sử của khái niệm thuật toán Kết quả trong mục này được rút ra từ công trình của Lê Văn Tiến [19] và từ việc phân tích phần mở đầu của tài liệu “Histoire d’algorithmes” [16] Trước khi xuất hiện thuật ngữ đặc biệt để chỉ thuật toán thì thuật toán đã tồn tại ở người Babilon và người Hy Lạp Nó xuất hiện ở các lónh vực pháp lý, toán học Khi đó,...4 thuyết nghiên cứu Chúng tôi chỉ rõ vết mà TCTH tham chiếu để lại trong bài đọc thêm và giải thích sự chênh lệch giữa TCTH tham chiếu và bài đọc thêm • Trong chương 3, chúng tôi xây dựng và đưa vào thực nghiệm một tiểu đồ án didactique nhằm kiểm tra tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu, tìm câu trả lời cho câu hỏi mới và đưa vào dạy học ở trường phổ thông TTCĐ • Phần kết luận... điện tử Sự tính toán mà máy thực hiện sẽ cung cấp giá trò hàm số tại trung điểm của mỗi đoạn [an;bn] (n = 1, 2,…)” (tr.115) Như vậy, máy tính được khai thác ở chức năng tính toán 11) Tác giả không nói đến sai số Trong ví dụ, việc chia đôi được thực hiện đến lần thứ 7 nên sai số tuyệt đối bé hơn 1− 0 1 Ta có 7 < 10−2 nên sai số tuyệt 7 2 2 đối bé hơn 10-2 12) Trong bài “Phương pháp chia đôi , việc lấy... từ việc giải bất phương trình b−a ≤ ε (n là số nguyên dương) Chính đặc trưng 2 n +1 hữu hạn cho phép phân biệt thuật ngữ thuật toán với thuật ngữ “phương pháp” Tuy nhiên, trong bài “Phương pháp chia đôi mà ta đang phân tích, hai thuật ngữ này không có sự khác biệt 4) Chiếu theo các đặc trưng của một thuật toán1 2, TTCĐ nêu trên đảm bảo tính hữu hạn, tính xác đònh, tính đúng đắn, tính khả thi và tính. .. thấy các thuật toán: các phần tỷ lệ, cát tuyến, Newton-Raphson và lặp cũng là các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ “Giải gần đúng phương trình” Ngoài ra ở bài tập 5 trang 145, tác giả có đưa thêm vào một kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này mà chúng tôi gọi là thuật toán chia 10 Mở đầu bài “Phương pháp chia đôi , tác giả đã viết: “Phương pháp chia đôi là một phương pháp đơn giản, thường gặp và việc sử... quy trình, kỹ thuật: 6 Thuật toán là một dãy hữu hạn các quy tắc cần thực hiện theo một thứ tự trên một số hữu hạn các dữ liệu đã cho để sau một số hữu hạn bước sẽ đạt tới kết quả, và điều đó độc lập với các dữ liệu.” (Encyclopaedia Universalis) Sự xuất hiện của khái niệm thuật toán là một bước chuyển trong lòch sử thuật toán: “Với việc đưa vào khái niệm thuật toán, lòch sử của các thuật toán đã chuyển... toán theo nghóa chung nhất Theo nghóa này, chúng tôi gọi các phương pháp tính (phương pháp chia đôi, phương pháp Newton,…) là các thuật toán Chính vì vậy, trong tên đề tài và phần mở đầu của luận văn, chúng tôi đã dùng thuật ngữ thuật toán chia đôi (TTCĐ) 1.2 TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ 1.2.1 TTCĐ trong quyển sách “Cơ sở giải tích số” của B Démidovitch và I Maron Quyển sách gồm 17 chương Chương