ðịnh lý Picard Lưới nguyên tập hợp tất điểm mặt phẳng tọa độ ðê-các vng góc với tọa ñộ nguyên Một ña giác gọi nguyên tất đỉnh thuộc lưới nguyên Trong viết ñề cập ñến ñịnh lý Picard cho diện tích ña giác nguyên số ứng dụng giải tốn hình học tổ hợp Trước hết ñến với số khái niệm I – Tam giác nguyên thủy Một tam giác nguyên ñược gọi nguyên thủy ngoại trừ đỉnh khơng có điểm nằm cạnh tam giác có tọa độ ngun Hình ví dụ số tam giác nguyên thủy Hình ðịnh lý Tam giác nguyên ngun thủy có có diện tích Chứng minh Cho tam giác nguyên thủy , xét hình chữ nhật nguyên nhỏ với cạnh song song với trục tọa ñộ, chứa tam giác Tất trường hợp xảy biểu diễn hình Hình Trường hợp a, b rõ ràng tam giác ngun thủy điểm K hình vẽ có tọa ñộ nguyên Trường hợp d bao hàm trường hợp c giả sử đỉnh nằm OA, OB (trường hợp đặc biệt trùng với O Như ta cần xét trường hợp d, cách khơng tính tổng qt, xem O(0;0); D(p;0); A(q;0); E(0;r); B(0;s) Kí hiệu I(P) số điểm nguyên nằm bên không nằm cạnh đa giác P Khi ta có: I(OAFB)=(q-1).(s-1) Vì ñoạn AB không chứa ñiểm nguyên nên I(OAB)= I(OAFB):2=(q-1).(s-1):2 Tương tự ta có: I(ACD)=(q-p-1)(r-1):2 I(CBE)=(s-r-1)(p-1):2 Tam giác ABC khơng chứa điểm ngun nên I(OAB)- I(ACD)- I(CBE)=p.r ñây p.r ñúng số ñiểm nguyên nằm ODCE, ñiểm nguyên nằm cạnh CD, CE trừ ñiểm D E Từ ñó suy (q-1).(s-1)- (q-p-1)(r-1)-( s-r-1)(p-1)=2pr ⇔ qs – ps – qr = Kí hiệu S(F) diện tích hình phẳng F, S(ABC)=S(OAB)-S(CBE)-S(CDA)-S(CEOD) = qs − rq + rp − ps + pr − 2rp qs − rq − ps qs r ( q − p ) p ( s − r ) = = − − − rp = 2 2 2 Như ta ñã chứng minh chiều thuận ñịnh lý Ngược lại, giả sử tồn tam giác nguyên với diện tích mà khơng ngun thủy Khi ta cần chứng minh tam giác ngun ln phân hoạch thành tam giác nguyên thủy Nếu tam giác ngun khơng ngun thủy ABC có điểm nằm cạnh ngun Khi tồn cạnh chứa ñiểm nguyên, ta nối ñiểm với đỉnh (hình 3), đoạn nối khơng chứa ñiểm nguyên trừ hai ñầu mút nên tam giác ñược chia ra, ngoại trừ nhiều hai tam giác chứa cạnh AB, AC (trong trường hợp cạnh AB, AC chứa điểm ngun), ngun thủy Kí hiệu hai tam giác không nguyên thủy ABP AQC, từ P, Q ta nối tương ứng với ñiểm nguyên nằm cạnh AB, AC Khi tồn tam giác chia ñều nguyên thủy Hình Nếu tam giác ABC chứa số điểm ngun (hình 4) Ta chọn ñiểm nối chúng với ñỉnh ABC, thu ñược tam giác nhỏ Ta tiếp tục trình chọn phân hoạch tam giác tam giác nhỏ Vì số ñiểm nguyên nằm bên tam giác ABC hữu hạn nên đến thời điểm q trình dừng thu ñược tam giác nguyên bên khơng chứa điểm ngun nào, cạnh có chứa ñiểm nguyên, ta tiếp tục áp dụng cách phân hoạch ñã phần ñể thu ñược tất các tam giác ñược phân hoạch ñều nguyên thủy Hình Như tam giác ngun khơng ngun thủy ABC phân hoạch tam giác nguyên thủy, mà tam giác có diện tích phần thuận ñịnh lý, từ ñó S(ABC) > , mâu thuẫn cho ta chứng minh phần ñảo ðịnh lý ñược chứng minh Qua ñịnh lý ta thấy: tam giác nguyên ln có diện tích số hữu tỉ diện tích khơng nhỏ Ví dụ: Một tam giác nguyên ABC mà cạnh khơng có điểm ngun ngồi đỉnh, bên tam giác có điểm ngun G Chứng minh ñiểm G trọng tâm tam giác Giải Theo cách phân chia ñịnh lý 1, tam giác ABC ñược phân chia thành tam giác ngun thủy ABG; BCG; CAG, đó: SABG = SBCG = SCAG = ðiều suy G trọng tâm tam giác ABC II – ðịnh lý Picard Trong phần nhắc ñến ña giác, xem chúng ña giác ñơn, nghĩa đa giác bị chặn biên đường gấp khúc khơng tự cắt Hình thí dụ đa giác khơng đơn Hình ðịnh lý (Picard) Với đa giác ngun P diện tích tính theo cơng thức S ( P) = m + n −1 m số ñiểm nguyên nằm trong, n số ñiểm nguyên nằm cạnh ña giác (kể ñỉnh ña giác) Chứng minh Bổ ñề: Bất kì đa giác đơn có số đỉnh lớn ñều tồn ñường chéo nằm hoàn toàn ña giác ñó Từ ñó quy nạp dễ dàng chứng minh k-giác phân hoạch thành k-2 tam giác mà ñỉnh chúng ñỉnh ña giác ban ñầu Do ñó tổng góc k-giác ñơn ñúng (k-2) π Mỗi tam giác nhận ñược từ cách phân hoạch k-giác nguyên P ta tiếp tục chia nhỏ chúng thành tam giác nguyên thủy cách ñã trình bày định lý Diện tích tam giác ngun thủy , số tam giác nguyên thủy ñược chia ñúng N = 2.S ( P ) khơng phụ thuộc vào cách chia Và ñiều ta cần chứng minh tương ñương với: N = 2m + n − Tổng tất góc thuộc tam giác ngun thủy chia mà góc có ñỉnh ñỉnh k-giác P tổng góc ña giác này, (k-2) π (hình 7a) Tổng tất góc thuộc tam giác ngun thủy chia mà góc có đỉnh nằm cạnh khơng trùng với đỉnh k-giác P (n-k) π (hình 7b) Hình Tổng tất góc thuộc tam giác ngun thủy chia mà góc có đỉnh nằm bên đa giác 2m π (hình 7c) Mặc khác tổng tất góc tất tam giác ngun thủy chia N π Do đó: N π =(k-2) π +(n-k) π + 2m π ⇔ N=2m+n-2 Suy điều cần phải chứng minh Thí dụ: hình 6, áp dụng cơng thức Picard, ta có diện tích đa giác ngun S =9+ 11 27 −1 = 2 m = 9; n = 11 Hình Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh khơng tồn tam giác có ñỉnh nguyên Giải Một tam giác có ñỉnh nguyên có diện tích hữu tỉ a2 Một tam giác cạnh a có diện tích là số vơ tỉ Vì khơng tồn tam giác có đỉnh ngun Bài 2: Cho hình vng có cạnh n mặt phẳng tọa độ Chứng minh chứa nhiều (n+1)2 điểm nguyên Giải Nhận xét: Khoảng cách nhỏ hai điểm ngun Chu vi hình vng cạnh n 4n, nên có khơng q 4n điểm ngun cạnh Gọi I J theo thứ tự số ñiểm nguyên nằm cạnh hình vng Theo định lý Picard ta có: S = I + Suy ra: I + J = n2 + J - 1=n2 J 4n + = ( n + 1) , điều phải chứng minh +1 ≤ n + 2 Bài 3: Giả sử n-giác nguyên lồi cho bên cạnh khơng chứa điểm nguyên khác ñỉnh, chứng tỏ n ≤ Bài 4: Chứng minh với hai ñiểm nguyên A; B cho ñoạn nối chúng khơng chứa điểm ngun khác, tìm điểm C cho tam giác ABC nguyên thủy Khoảng cách từ C ñến AB biết ñộ dài AB = d Bài 5: Xét n ñiểm nguyên ( n ≥ ) cho ba ñiểm chúng ñều lập thành ñược tam giác mà trung tuyến khơng cắt điểm ngun khác Tìm số n lớn ñược Bài 6: Hãy mặt phẳng 1000 điểm cho khơng có điểm chúng thẳng hàng khoảng cách hai điểm số vơ tỉ, cịn diện tích tam giác bất kì, mà đỉnh chọn từ điểm nói trên, số hữu tỉ