Luận văn thạc sĩ toán học: Định lý KKM - FAN, các kết quả tương đương và áp dụng
Trang 1Ap dụng của định lý KKM-Fan
Định lý điểm bất động của Tarafdar năm 1987 (Định lý 2.3.1) cĩ thể được phát biểu dưới dạng khác như sau
Định lý 3.1 Cho X là khơng gian vector tơpơ Hausdorff, 0 # A4 C X, A lơi và ánh xa yg: A~ Acé gid tri Idi, khác rỗng Giả sử:
(i) el (y) mé trong A, Vy € A;
() tơn tại Xo thỏa Ú # Xe C Xị C A, với Xị là tập con lổi compact, sao cho A\ U yo! (y) la compact hoac réng
yeXo
Khi đĩ, tồn tại # € A sao cho # € ¿(#)
3.1 Bài tốn bất đẳng thức biến phân (VI)
Cho X và Y là các khơng gian Banach thực, Ú # K C X, K lỗi, compact Ánh xạ T : K ~ L(X,Y) théa T(x) 4 0, T compact và guhc trong K Ánh xạ Œ: K ~ Y cĩ ảnh là nĩn lỗi đĩng, phần trong khác rỗng, C(z) A Y va Anh xa W: K ~~ Y xác định bởi W(z) = Y\(—intC(#)) cĩ grW đĩng yếu trong X x Y Khi đĩ, bài tốn bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau:
(VI) Tìm # € K sao cho Vz € K, 3 € T(#) : (t,x — Z) ¢ —intC(z)
Năm 1997, bằng cách sử dụng tính giả đơn điệu và tính nửa liên tục theo hướng, Lin-Yang-Yao đã đạt được kết quả về sự tổn tại nghiệm của bài tốn (VI) như sau
Trang 2Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 31 Định lý 3.1.1 Nếu 7 là C-giả đơn điệu yếu trên K thì bài tốn (VI) cĩ nghiệm
Chứng minh Ta xét các ánh xạ ì, F>: K ~+ K xác định bởi
Fi(y) = {a € K |As € Tx: (s,y— +) ý —intC(z)}, Vụ € K, Fo(y) = {a € K |at € Ty: (t,y— x) £ —intC(z)}, Vụ € K
Nhận thấy Ƒ;() 4 0 (vi Vy € K,y € Fi(y)) Khi do,
1) #¿ là ánh xa KKM That vay, trudc hét ta chttng minh F; 1a 4nh xa KKM Gia sử phản chứng "+ khơng là ánh xạ KKM, nghĩa là 3ê = Som € U Filys) i=l ¿1
(- >0,Vi = TR A= 1) Khi d6 @ Â Fi(y),Ơi = Tom Tite l Vs € T(2):
1
(5,44 — ) € —intC(&), Vi = Tym Do —infC(2) là nĩn lỗi nên 3) Àj(s,w — Ê) €
set
—intŒ(#) Vì s tuyến tính liên tục nên
3 `Ài(s,Uị — 8) = (sx — ») =(s,ê— #) =0€ —intC(3)
gut t=1
Suy ra C(#) = Y (tái giả thiét) Do T la C-gid don digu y€u nén Fy(y) C
Fy(y), Wy € K Vi vay, Fy cling [a ánh xạ KKM
2) F›(u) đĩng yếu và suy ra F2(w) compact yếu, Vụ € ý Thật vậy, với € K, ta lay {va} C F5(u),za # € K Ta cần chứng minh £ € #;(w) Với mỗi œ, Zo € Fo(y), nghia là 3„ € Ty : (ta, T— za) £ —intC(za) Mà Tự là compact trong tơpơ chuẩn L(X,Y) nén {ta} c6 day con hdi tu dén t* € Ty Khong mat tính tổng quát, ta giả sti tg — £* (ở đây f* liên tục từ tơpơ yếu trên X vào tơpơ yếu trên Y) Do đĩ, (t*,y— 2a) — (,— #) yếu trong Y Mặt khác,
Ita -#*,9 = tally < [Ite — tll ecx,yy- lly — #allx -
Do |lfa — f?|[zx,y —> 0 và lly = zal|y bị chặn nên
(ta — t*, y — Za) — 0 trong Y
Trang 3Từ 1) và 2), áp dụng Bổ đề 2.2.1, ta được
8 Fry) #0 yeK
Khi đĩ, 3z € Ƒ;(w),Vụ € K Ta định nghĩa ánh xạ Ƒ: |0, 1] ~› Y xác định bởi
F(a) = (T(œw +(1— œ)#),u— #), Vụ € K
Do 7 là guhc, cĩ giá trị compact, khác rỗng nên # là usc và #'([0, 1]) là compact trong tơpơ chuẩn Y Lấy {a„} C [0,1],œ„ — 0 Vì Va„,3# € Fš(azy + (1— o„)#) nên đưa € Tan + (1— ứn)#) : (try ng + (1 — aa)# — #) £ —intC(2#) Tức là, (fa, ý — #) ¢ —intC(z) Mà {(f„, — #)} C Ƒ'(Í0,1]) compact, khơng mất tính tổng quát ta giả sử (try -%) > w €Y Do F Ila usc nên w € Ƒ(0) Do đĩ, 3ý € 7# : = (t, — #) Kết hợp với giả thiết ør(W”) đĩng, ta được (†, — #) ý —intŒ(#) Điều này cĩ nghĩa Z là
nghiệm của bài tốn (VỊ) 5
Phần tiếp theo ta xét đến một dạng khác của bài tốn bất đẳng thức biến phân (VI), đĩ là bài tốn tựa bất đẳng thức biến phân (QVI) Bài tốn này khác với bài tốn (VI) ở chổ: với bài tốn (V]), việc tìm nghiệm giới hạn trên một tập cố định W; cịn với bài tốn (QVI), nghiệm phụ thuộc vào ảnh của một ánh xạ đa trị
3.2 Bài tốn tựa bất đẳng thức biến phân (QVI)
Cho X va Y là hai khơng gian vector tơpơ Hausdorff, £ AC X và A lơi đĩng Ánh xạ Œ: A ~> Y cĩ ảnh là nĩn lỗi đĩng và phần trong khác rỗng, 7: A ~› L(X,Y), K:A~ X và ánh xạ g: A — A đơn trị liên tục Ta xem xét hai bài tốn tựa bất đẳng thức biến phân sau đây:
(QVI;) Tìm # € AnelK(#) sao cho Vz € K(#), 3i € T(#) : (f,# — g(#)) € Y\ — intC(#) (QVI;) Tìm # € AneclK(#) sao cho Vz € K(#), Ví € T(#) : (t,# — g(Z)) € Y\ — intC(#) Đặt E:= {z€ A:z cclK(ø)}
Trang 4Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 33 Định lý 3.2.1 Giả sử A compact và
() An K(z) lồi, khác rỗng, Vz € 4; K~!(0) mở trong 4, Vụ € 4; clK() là usc;
(2) nếu #¿ — #,1a — ,fa € T(z„) thì tổn tai t € 7(),#s, a.fa € T(za) sao cho
(ta, ya) —> (t,0);
(iti) Y\—intC(.) déng va Va € A, 3 € T(z) : (t,x — g(x)) € Y\—intC(z)
Khi do, bai todn (QVL) c6 nghiém
Chứng minh Với z, € A, dat:
“he spy z— g(x)) C —intC(x)},
P(x) nếu z€ E
ton nếu z€ A\B,
Q(y) = A\®
Khi đĩ,
1) @ là anh xa KKM That vay, gid st? Q khéng la ánh xạ KKM, nghĩa là 32 =
Yaw ¢ U Q(yi) ({o1 ssn) CA,œ¡>0,i =TH Say = 1) Khi đĩ 2 £
i=l
Ql), Vi = Tin n Nghĩa là ¡ € ®(2),Vi = 1,n Nếu £ € E:¡ € K(£)n P(â)
Suy ra (T(?),¡ — g(2)) C —imtC(#), Vi = 1n Do đĩ
(T(#),@ — g(#)) -Ím (2) b3 sức~o en) = Yratr (2) (£)) C—intC(2)
(mâu thuẩn giả thiết ()) Nếu £ € A\E:¡ € An K(ê),Vi = 1,n Theo giả thiết (¿) suy ra @ € K(#) C elK(ê), tức là ¿ € E (mâu thuẩn)
2) Q(w) đĩng, Vụ € A That vậy, ta cĩ:
®'(w) ={ze E:c K(z)n P(z)}U{z € A\E:c K(z)}
={z€E:zeK"'q)nP"'()}U{ze A\E:+ K"'(w)}
= [EN Ky) AP (y)] U [(A\E) NK") = K()n[(EnP~*)) 0(A\®)
Trang 5Do đĩ,
Q0) = A\ [K~”(w)n (P10) 0 (A))] = [A\K”10ø)]0[4\0P'0)0(4\9)]
=[A\K-10)]0[(4/-10))nZ]
Theo giả thiết ta được 4\~}{g) đĩng Như vậy để Q(y) dong, ta cin chứng
minh # đĩng và A\P-'(y) đĩng Trước hết ta chúng minh đĩng Theo
giả thiết (2), clK(.) là usc và cĩ giá trị đĩng nên clK(.) đĩng Khi đĩ, lấy 2a € E,za — #o thì øo € eLK(#o), nghĩa là zo € E Do vậy đĩng Tiếp theo ta chứng minh 4\P~!{) đĩng Ta cĩ,
A\P-1{u) = {z A: 3t c T(e), (tụ — g(œ)) €Y\ — intC(s)}
Lấy z„ € A\PT!(u),z„ — zo Cần chứng minh zo € A\P-!(w) Ta cĩ, za €
A\P-'(u), nghĩa là 3a € T(#a), (fa, — 9(%a)) € Y\ — intC (x) Theo gia thiét
(ii), tén tai to € T(xo) va day con zøz,f¿ € 7(z¿) sao cho (tz,— g(zs)) — (to, y — ø(zo)) Kết hợp với giả thiết (27) suy ra (to, — Ø(2o)) € YẦ\ — intC(zo) Do d6, ap € A\P7'(y)
3) Do A compact, Q(y) C A va Q(y) déng nén Q(y) compact Từ 1),2),3), áp dụng Bổ đề 2.2.1 ta được
(Q0) #0
1eA
Khi đĩ, 3z € J Q(y) = đ (A\®~14ø)) = A\ (v #20) Tức là, ý Đ(Z), Vụ €
1J€A 1eA 1€A
A Suy ra ®(Z) = 0 Nếu # € A\E: An K(#) = đ (mâu thuẩn với giả thiết (9) Như vậy # € , nghĩa là @ € clK(z), khi dé K(z)M P(Z) = 0 Nghia la Ve € K(#),a P(#) Tức là tổn tại f € 7T(#) sao cho (#,z — g(#)) € Y\ — intC(#) Điều này cĩ nghĩa # là nghiệm của bài tốn (QV];) n Nhận xét 3.2.1
Trang 6Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 35 (a) Tồn tại ÿ € A sao cho A\K~!(g) compact va tén tai B C A, B compact
sao cho Wx € A\B,(T(x),9— x) C —intC(z)
(b) Tén tai y € A sao cho A\K~!(g) compact va E compact
That vậy, tính compact của 4 trong định lý trên được dùng để chứng minh “tồn tại € A sao cho (2) compact” Với (a), để chứng minh Q(ÿ) compact, ta cần chứng minh (A\P~!{ø))E compact Như trong chứng minh định lý trên được
E " Theo (a) ta duge Vx € A\B,x € Gọi Do đĩ, A\B C P71(g) Suy ra
A\P-1(0) CB Do B compact nên 4\P~!(ÿ) compact Với (b), để chứng minh
Q() compact, ta chỉ cần chứng minh ki (0) đĩng Điều này được thực hiện
giống như trong chứng minh định lý trên
Giả thiết (2) trong định lý trên sẽ hiển nhiên thỏa mãn nếu, X và Y là các khơng gian Banach, 7 là usc trong 4 và cĩ giá trị compact
Thật vậy, với za — #, 4 — Do 7 là usc nên Ve > 0, 3/() sao cho
T(N(x)) C B(T(a),¢) := {t€ L(X,Y) : 3# € T(z), ||U — t|| < e}
Ta giả sử z„ € N(z) Khi d6, Vtg € T(xa), Sta € T(z) : |Ita — tall < ¢ Do T(x) compact nên 3 € T(z), đi; — † Mặt khác,
lứa — 4] < [to — #2||+ lứa — f| < e + lứa — a)
Cho e — 0, ta được ¿¿ — ỉ Do đĩ, (fs,¿) — (£,) Tức là giả thiết (22) thỏa Định lý 3.2.2 Gia st A compact, g(x) =x va
() An K(z) lồi, khác rỗng, Vz € 4; K~!(w) mở trong 4, Vụ € 4; clK() là usc; (ii) Va € E,Wy € K(x), VA € [0,1]: Ay + (1— À)+ € K(x);
(itt) T la glhc va C-gid don diéu trén A; (iv) Y\ — intC(.) đĩng
Trang 7Chứng minh Với z,€ A,¿ = 1,2, đặt:
P(z):={ze€ A: (T(),z— z) C —intC(z)}, meinen wera ,(t,z— x) € —intC(z)},
oe 3 K(œ)nP(ø) — nếuz€E,
AN K(2) néu z € A\E,
Q0) := A\®;*@)
Véi y € A,
A\Pyl(y) = {x € A: 3t € T(z), (t,y— 2) € Y\ — intC(z)}, A\Py\(y) = {x € A: (T(y),y—2) CY\ — intC(z)}
Khi đĩ,
1) Q; là ánh xạ KKM Thật vậy, tương tự như chứng minh @ là ánh xạ KKM trong Định lý 3.2.1 ta cũng chứng minh được @¡ là ánh xạ KKM Theo giả thiết (22),
ta được A\P; '(u) C A\P; '(w), suy ra Qi(y) C Q2(y) Do vậy Q; cũng là ánh
xạ KKM
2) Qa(u) đĩng, Vụ € A Thật vậy, tương tự trong chứng minh Định lý 3.2.1 ta được
Qa(y) = [AI 30)] 0 [(AVP10)) n#]
Chứng minh Q; đĩng tương tự như chứng minh Q() đĩng trong Định lý 3.2.1, chỉ khác ở chứng minh wis (y) dong Lay ta € A\Pz !{w), >„ — zo, cần chứng minh zo € A\Pÿ}{(ø) Ta cĩ, véi méi a, ra € A\P;'(y), nghĩa là £ P›(za), tức là Ví € T() : ae — Za) € Y\ —intC(zq) Theo gid thiét (iv) ta suy ra
(t,y — ao) € Y\ — intC(ao) Tite lA xp € A\ Pz (y)
3) Do A compact, Q2(y) déng, Qo(y) C A nén Qo(y) compact Từ 1),2), 3), áp dụng Bổ đề 2.2.1 ta được
(| Q2(y) #0
yeA
Khi đĩ, 3# € đ 0) = đ (A\®;"(y)) = A\ U ®;ˆ(w), tức là y £ ®(Z),Vụ € A
ye ye 1
Trang 8Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 37
nghĩa là # € cK(z), khi đĩ K(#)n P(#) = 0 Nghĩa là Vụ € K(Z),y £ P;(z) Với
€ K(z), ta định nghĩa ánh xạ Z : [0,1] ~ Y xác định bởi
2) = (Toy + 1 —)2),9 — 2)
Theo (i) thi T la glhc tại #, do đĩ Z là lsc tại 0*, nghĩa là Vz € Z(0),V+„ —› 0†, 3z„ € Z(qn) : 2n 7 2 Theo (it), Zn = ry + (1 — +„)# € K(#), do đĩ #„ £ Pa(Z), tức là (T (Zn), En — 2) C Y\ —intC(Z) Do dé, véi zn € Z(yn), tn tai tn € T(En) sao cho
1 i
Zn = (try — Z) = 1 (fa, Ta + (1 — a)# — #) = an (tn) Zn — Z) € Y\ — intC(z)
Yn n
Do z, > z va Y\ — intC(z) déng nén z € Y\ — intC(z) Nhu vay ta duge: Vz € Z(0),z € Y\ — intC(#) Suy ra Z(0) C Y\ — intC(#) Tức là (T(#), — #) CY\— intC(Z),Vụ € (#) Điều này cĩ nghĩa # là nghiệm của bài tốn (QV]:) a Nhận xét 3.2.2 Tương tự như trong Nhận xét 3.2.1
Giả thiết compact của 4 trong định lý trên cĩ thể được thay thế bởi một trong hai giả thiết sau đây:
(a) Tén tai y € A sao cho A\K~!(y) compact va tén tai B C A, B compact sao cho Vz€ A\Đ, 3 c T(0) : (,ð— 2 € -intC(z)
(b) Tơn tại ÿ € A sao cho 4\K~!(ÿ) compact và E compact
Năm 2005, Khánh-Lưu, hai tác giả của hai định lý trên, đã mở rộng hai kết quả trên bằng cách thêm vào hàm ƒ: 4x 4 —¬ Y thỏa ƒ(z,z) € C(x) N —C(z),Vz € A Lúc này bài tốn tựa bất đẳng thức biến phân là như sau
Cho X và Y là hai khơng gian Banach thực, # 4C X và 4 lỗi đĩng Ánh xạ Œ: A ~ Y cĩ ảnh là nĩn lỗi đĩng, phần trong khác rỗng và C(z) # Y;7': A ~ L(X,Y); K:A> X cĩ giá trị lỗi khác rỗng và Y\ — intC(.) là ánh xạ đĩng yếu (tức là đồ thị của nĩ đĩng trong X x Y với các tơpơ yếu của X và Y) Ta xem xét hai bài tốn tựa bất đẳng thức biến phân sau đây:
Trang 9(QVI/) Tim z € AN clK(Z) sao cho Vz € K(Z), Vt € T(2), (t,a—Z) + f(x, Z) € Y\ — intC(z) Dat E:= {x € A: x €clK(zx)}
Định nghĩa 3.2.1 Giả sử C là nĩn lỗi của Y, AC X và A lơi Anh xa f: X > Y được gọi là C-lỗi trên A nếu, Vz, € A4, V+ € [0, 1],
(—3)f(z) + +ƒf(w) — ƒ(~ 3)# + +w) € C
Định lý 3.2.3 Giả sử :
(2) 7 la guhe trén A va T(x) compact, khác rỗng;
(ii) (T ƒ) là C-giả đơn điệu yếu trên 4; Vz € A, f(., x) là Œ(z)-lỗi trên 4;
() Vz,€ A,Vz¿ — # yếu, 3zs là dãy con của xạ, Ju € —C(x)+ f(y, 2), f(y, ta) >
+ yếu;
(iv) Vx € A,AN K(x) # 0; K~!(z) mở yếu, clK(.) đĩng yếu ; Vz € E,Vụ €
K(z),V+ € (0,1],+ + (1— +)z € K(z);
(ø) 3DC A,D #0, D compact yếu ; 3Xo C A, Xo chứa trong tập con lỗi compact yếu của 4A sao cho Vz € A\D, 3z € XoNK (zx), (T(z), 2 — 2) + f(z, x) C —intC(z) Khi đĩ, bài tốn (QVH) cĩ nghiệm
Chứng minh Với z, € A,¿ = 1,2, đặt:
Đị(ø):= {z € A: (T(ø),z — #) + ƒ(,#) C —intC(+)}, ạ(z) := {z€ A:(TŒ),z— #) + ƒ(z,z) C —intC(z)}, site K(x) N P,(x) in z„eE,
AN K(z) nếu z€ A\E,
Qiú) := A\®; (0)
Nhận thấy LJ K~!(w) = A Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh bao hàm (Đ) Lấy
yeA
Trang 10Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 30
1) Qo la Anh xa KKM Thật vậy, trước hết ta chứng minh Q¡ là ánh xạ KKM Giá
sử phản chứng Q¡ khơng là ánh xạ KKM, nghĩa là 3£ = » d7; É U Q10):
Khi đĩ ê ý Qi(0;).Vj = I.n Tức là ; € #;(Ê),Vj = 1m Nếu £ € Á\P: ụ 6 An K(2),Vj =T1yn Do K() lỗi nên ơ = Sai € K(&) ¢ clK (8), nghĩa =
là @ © E (mau thudn) Néu @ € E: y; € K(#)n P(2),Vj = 1,n, nghĩa là (T(2).; — 8) + ƒ(w;,8#) C —intC(2) Khi đĩ,
0=(,ê— 2)
= Dal (,¿ — ®) + f(y, 4) I~ Dato
= = mi (Œ,, — 8) + ƒ(w,,#)] + | (Spams ) = S>2/0,) ~ /(8.#)
€ —intC(é) — C(#) - C(Ê)
Do đĩ 0 € —intC(2) Suy ra C() = Y (mau thugn) Do (7, ƒ) là C-giả đơn điệu yéu nén (A\P; '(y)) C (A\Py"(y)) Suy ra Q¡() C Qa(w) Vì vậy, Q; cũng là
ánh xạ KKM
2) Q›(u) đĩng yếu, Vụ € A Thật vậy, tương tự như trong chứng minh Định lý
3.2.1 ta được
i0) = [A\K”10w)] 0 [(AV 0) nEÌ
“Trước hết ta chứng minh E đĩng yếu Theo (0), Vz € A\D,3z € Xefn K(z),
nghĩa là z € Xo,z € K-4(z) Do dé, A\D Cc K!(z) C A, suy ra z€Xo
A\ U K-\(z) c D Do D compact yếu nên 4\ J K~}{z) compact yếu
zeXo zeXo
Áp dụng Định lý 3.1 ta được 3z € A : # € K(#) Suy ra E # Ú Hon
nữa, do clK(.) đĩng yếu nên E cũng đĩng yếu Tiếp theo ta chứng minh A\Py*(y) đĩng yếu Lấy z„ € A\P'{),za — z € A yếu Cần chứng minh z € A\Pÿ'{(w) Ta cĩ za € A\Pz'(w), do đĩ y £ (z4), nghĩa là Ata € T(y) : (tary — Za) + f(y, ta) € Y\ — intC(z_) Do T(y) compact nén cd day con tg va t € T(y) dé tg — t Ma (ts,y — 23) = (ta —t,y — xg) +(t,y — x) và f liên tục nên (f,— #s) — (ft, — z) yếu Ta lại cĩ,
Trang 11-Vì lliz — £|| — 0 và |l¿¿ — £|| bị chặn nên suy ra (2z, — #¿) — (f,— z) yếu Theo (iii), cĩ day con x, ctia zg va u € —C(x) + f(y, x) sao cho ƒ(,#+„) — tu yéu Két hop véi tinh déng ctia Y\ —intC(.), ta được (f,—+)-+u € Y\—intC(z)
Suy ra
(t.y—2) + fly,z) =(Lu—z)+u+ ƒ(u,z) —w € Y\ — intC(z) + C(z)
Do dé t(y — x) + ƒ(9,+) € Y\ — intC(z) Tức là z € A\ Py (y)-
3) Theo (v), Va € A\D, az € Xo N K(z), (T(2),z — #) + ƒ(,#) C —intC(z), nghĩa là z € Ø¿(z), do đĩ z €6 U #1) Suy ra A\D CỤ 91) Vi vay,
z€Xo zeXo
fđ\ @(z)= đ\ (A\;1)) =4\ U Ø2!) CĐ
2€Xo 2€Xo 2€Xo
Tw 1), 2),3), 4p dung Dinh ly KKM-Fan (Dinh ly 2.2.1) ta được
(z0) #9
yeA
Khi d6, 3% € Qo(y), Vy € A, tite lA y  đa(Z),V A Suy ra ®;(#) = Ú Nếu & € A\E: AN K(z) = O (mau thudn véi gid thiét (iv)) Nhu vậy z € E, khi dé K(zZ)M P:(z) = 0 Nghia la Vy € K(z),y ¢ P,(Z), tie la 3t € T(y), (Ey — #) + f(y,t) € Y\ — intC(z) Gid st Z khong 1a nghiém cia (QVI}), nghĩa là 3ÿ € K(#),Vs € T(?), (s,ỹ — #) + ƒ(Ø,#) € —intC(#) Do 7 là guhc nên với À > 0 đủ nhỏ, (T (Ag+ (1 = A)z),9 — £) + f(g, B) C —intC(z) Mat khac,
(E,ø—#) + (8.8) = 2 [,Að+ (L—A)# — 8) + f (AV + (1 — À)#, 8)]
xi
xIMŒ,#)+(1—A)/ŒG,7) — ƒ (Ag + (1 —A)#,8)]= =~ˆ (6.8)
€Y\ — intC(#) + C(#) + C(#) n—ŒC(#)
Do đĩ (f,ÿ— #) + ƒ(Ø,#) € Y\ — intC(#) (mâu thuẩn) Như vậy, # là nghiệm của bài
tốn (QVI) a
Ta cĩ thể tránh gid thiét T(x) compact, Vr € X (cũng như việc làm nhẹ giả thiết (0) và mạnh giả thiết (/)) như sau
Định lý 3.2.4 Ta thay các giả thiết (2), (), (0) của định lý trên bằng các giả thiết
Trang 12Chương 3 Ap dụng của định lý KKM-Fan 41 () 7 là guhc trên A;
(') (7, /) là C-giả đơn điệu trên 4; Vz € A, ƒ(.,z) là Œ(z)-lồi trên 4;
(v') ID c A,D 490, D compact y&u va Xo chứa trong tập con lỗi compact yếu của 4 sao cho Vz € A\D, 3z € Xo NK(z), (T(z), 2-2) + f(z, x)) M (—intC(2)) F 0
Khi đĩ, bài tốn (QVI) cĩ nghiệm
Chứng minh Ta định nghĩa P;,®;,Q;,2 = 1,2 như trong chứng minh Định lý 3.2.3 và định nghĩa thêm, với z, € A,
P3(a) := {2 € A: Ht € T(), (tz— #) + ƒ(,z) € —intC(#)}, _ J Kœ)nP(z) nếu # € F,
s ANK(z) nếu z€ A\E,
Qz(0) := A\3'(0)
®(z) :
Tương tự như trong chứng minh định lý trên Áp dụng Định lý KKM-Fan (Định lý 2.2.1) cho ánh xạ Q¿, ta sẽ tìm được nghiệm của bài tốn (QVI:) n Định lý 3.2.5 Giả sử các giả thiết của Định lý 3.2.3 được thay đổi như sau : Bỏ tính C-giả đơn điệu yếu của (7, ƒ) trong giả thiết () Thay tính guhc của 7 trong (i) bằng tính usc trong tơpơ yếu của X và tơpơ chuẩn của L(X,Y)
Khi đĩ, bài tốn (QVI,) cĩ nghiệm
Ching minh Nhận thấy rằng, nếu # € n Qi(y) thi z la nghiệm của bài tốn (QVI) Muốn vậy ta cần chứng minh 8 Only ) # @ bang cach sit dung Dinh ly KKM-Fan (Dinh lý 2.2.1) Chứng minh tơng tự như trong Định lý 3.2.3, chỉ khác
ở bước chứng minh tính đĩng yếu của Q¡ Lấy bất kỳ € A,za¿ # € Á,za €
A\PZ'{ø), nghĩa là St € T(ta) : (f4, — #a) + ƒ(,za) € Y\ — intC(za) Do 7 là usc nên Ve > 0,3W(z),7(N(z)) C B(T(z),e) Ta cĩ thể xem z„ € N(x) Khi đĩ,
3t, € T(z), |ta — f2|| < e Vì T(z) compact nén tổn tại t € T(z) va day con ty >t
Do đĩ, ||¿ — |] > 0 Ly luan tuong ty như trong chứng minh Dinh ly 3.2.3 ta được
ze A\P;'(y) n
Trang 13Định lý 3.2.6 Giả sử các giả thiết của Định lý 3.2.4 thỏa mãn với giả thiết (#) được
thay thế bởi:
() 7 là glhc trên A
Khi đĩ, bài tốn (QVI/) cĩ nghiệm
Chứng minh Chứng minh tương tự như trong chứng minh Định lý 3.2.4 ta được 3z € ƒ1 Qa(w) Bây giờ ta đi chứng minh # là nghiệm của (QVI;) Ta cĩ
yeA
ze f0) = f1 (410) = A\ LJ #10
yeA 1eA 1eA
Tức là ý ®¿(Z),Vụ € A Suy ra ®(#) = Ú Nếu # € A\E: An K() = đ (mâu thuần) Như vậy z € E, khi đĩ X(#)n Pa(#) = ƒ Nghĩa là Vụ € K(Z),y ý P;(z) Tức là (T(0),u— #) + ƒ(.#) CY\ — intC(#) Với mỗi y € K(#), ta định nghĩa ánh xạ G(A) «= (T(Ay+(1—À)Z),u— #) Theo giả thiết (), Vợ € G(0),VÀ¿ — Ú†, đạy € GOn):9n > g- Do gn € G(An) nén Ath € T(Yn), Yn = Any + (1 — An)E € K(Z) sao cho Gn = (tn, y — £) Suy ra, (tn Yn — B) + f(Yn, @) € Y\ — intC(z) Khi đĩ,
Gn + FC, 2) = 5 [tn Any + (1 = An) — 8) + Aufl BD
= x lứa, tà — 2) + ƒ(0n, 2)}
+ 5 Daflus) + (1= Àn)ƒ,8) = Any + (1 ~ and, 2)] — TT (g8)
€ Y\ — intC(z)
Cho n — oo ta được g + ƒ(0,#) € Y\ — intC(#) Điều này đúng với mọi y € K(Z) và với mọi g € G(0) = (7Œ), — #) Vậy # là nghiệm của bài tốn (QVI;) a
3.3 Bài tốn cân bằng
3.3.1 Bài tốn cân bằng vơ hướng (EP)
Trang 14Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 4 Cho X là khơng gian vector tơpơ thực, X* là khơng gian vector đối ngẫu của X,
0# KC X,ƒ: Kx K ¬R và ƒ(z,z) > 0,Vz € K Khi đĩ,
(EP) Tim ø € K sao cho ƒ(+,ÿ) < 0,V+€ K Dựa vào kiểu đơn điệu của ƒ, chúng ta cũng cĩ bài tốn cân bằng sau
(EP') Tìm # € K sao cho ƒ(#,) > 0,Vụ € K Sau đây là kết quả về sự tồn tại nghiệm cho bài tốn (EP)
Trước khi phát biểu định lý ta nhắc lại bổ đề sau
Bo dé 3.3.1.1 (Bổ đề về compact) Giả sử E là một khơng gian tơpơ compact, {H:¡ec1} là họ các tập con đĩng của Nếu mọi họ hữu hạn tập con của {Ƒ;}, „ giao nhau khác rỗng thì ƒ1 ”¡ # 0
ier
Định lý 3.3.1.1 Cho X là khơng gian vector tơpơ Hausdorff, # K C X va K léi đĩng Giả sử hai hàm ¿,: K x K — IR thỏa:
(i) Vz, € K, nếu ú(z,) < 0 thi g(a, y) < 0;
() với z cố định, z € X, ¿(z,.) nửa liên tục dưới trên mọi tập compact của K; () mọi tập con hữu han A của #4, ta cĩ sup (min(z,)) <0;
€coA #€Ậ
(¿ø) tổn tại Ở C _W, Ở lỗi compaet sao cho một trong hai điều sau thỏa mãn: (a) Vy € K\C, Ax € C sao cho ¢(z,y) > 0
(b) dao € C sao cho Vy EK\C, (xo, y) > 0
Khi đĩ, tổn tại ý € Ở sao cho g(z,ÿ) < 0,Vz € K Hơn nữa tập các nghiệm là compact
Chứng minh Đặt A = {zị, ,z„} C W, B = co(AUC) C K, rõ ràng P là tập
compact Xét anh xa S: ~› xác định bởi S(z) = {u€ B:0(z,w) <0} Với
{a, zm} CC Ta được co{zi, ,z„} CÚ 9(z) Thật vậy, giả sử tổn tại
y € co{z, ,2m} sao cho y ¢ 6(z¡), Ví = 1,m, tchrã là j(z¡,) > 0, V2 = 1,mm (mâu thuẩn với ()) Do giả thiết (2) và B compact nén Va € X,a € S(x) Do dé, eLS(z) khác rdng, compact Ap dung Dinh ly KKM-Fan (Định lý 2.2.1) ta được:
(| lS(a) 40
Trang 15Mặt khác, theo giả thiết (¿), (2) ta được:
QM clS(z) C a) cad{yé B: (x,y) <0} = (1 {y € B: (x,y) < 0}
2€B eB 2€B
Lấy ø € ƒ\ clS(z) Ta chứng minh ÿ € Ơ Nếu (a) thỏa: giả sử ÿ ý Œ, nghĩa là xeB
3zo € Ở: (øo, ÿ) > 0 (mâu thuẩn) Nếu () thỏa: ta được S(zo) C Œ, do Ở đĩng nên
suy ra ÿ € Œ Vậy, VA C K,
(ì{u<C:e(,) < 0} #0 eA
Với z € K, ta dat T(x) :-= {y EC: v(x, y) < 0} C C Khi đĩ, A Tứ) z 9 và Tự x)
compact, Vz € K Do C compact nén theo B6 dé 3.3.1.1 ta được f 7œ) # 0 Khi
zeK
đĩ, 3ụ € a T(x) C Œ, tức là cĩ ÿ € Ở sao cho ¿(z,ÿ) < 0,Vz € K và tập nghiệm
chính là úp đ\ <Œ: g(z,) < 0} compact oO
rek
Nhận xét 3.3.1.1 Nếu X là compact thì giả thiết (2ø) của định lý trên khơng cần
3.3.2 Bài tốn cân bằng vector (VEP)
Sau đây là bài tốn cân bằng vector được Chadli và Riahi giới thiệu trong [6]
Cho X và Y là hai khơng gian vector tơpơ, K C X, K lơi đĩng Giả sử các ánh xạ
ƒ:KxK »Y và C: K ¬ Y théa:
(A) Ve € K, f(x, 2) = 05
(B) Va € K,C(x) la non 1éi mở trong Y sao cho —el (C(x)) (C(x) U {0}) = {0} (tức là C(x) IA nén cé dinh va (B) dam bao 0 ¢ C(x) va —clC(x)NC(x) = 0, Va € K)
(VEP) Tim z € K sao cho f(Z,y) ¢ C(z), Vy € K
Định nghĩa 3.3.2.1 Cho X, Y là hai khơng gian vector và K C X Khi đĩ, a) Ánh xạ g: K — Y được gọi là C-lơi nếu Vz, € , Vơ € |0, 1], ta cĩ
g(ax + (1 —a)y) — [ag(z) + (1 — a)g(y)] € C (ax + (1 — a@)y) U {0} b) Ánh xạ ƒ: K x K — Y được gọi là C-giả đơn điệu nếu Vz, € K, ta cĩ
Trang 16Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 45 Định lý 3.3.2.1 Cho X, Y là hai khơng gian vector tơpơ, X 1a Hausdorff, 0 4 K CX, K lỗi đĩng và các ánh xạ ƒ: K x K — Y, Œ: K ~> Y sao cho Vz € #, C(z) là nĩn lỗi mở cĩ đỉnh Giả sử :
() f la C-gia đơn điệu;
(ui) Va e K, {ye K: f(x,y) € elC(y)} dong va f(z, ) 1a C-léi;
(it) clC là uhc trên K;
() Vụ € K, ƒ(.,ø) là liên tục theo hướng;
(uv) tén tai BC X, B compact va yo € KM B sao cho f(x, yo) € C(z),Vz e K\B
Khi đĩ, (VEP) cĩ nghiệm
Chứng minh Trước tiên, ta định nghĩa hai hàm Ƒì, #¿ Với € Y,
Ay) = (we K: f(x,y) €C(a)}, Foy) = {ee K : f(y.) € lC(2)}
Tit (A) va (B) suy ra y € Fi(y) M9 Fa(y), Vy € K Bài tốn (VEP) cĩ nghiệm, nghĩa là 3z€ K: ƒ(Z,w) ý C(#),Vụ € K Tức là ƒ\ "¡(w) #0 Điều sẽ được chứng minh
yeK
nếu ta chỉ ra được bao hàm sau :
0⁄ (e0) € ƒ Bữ) c { R0)
yek yok eK
1) Chứng minh ƒẬ1 el1()c f %0)
yek yek
Từ (2) suy ra F1(ø) C F2(ø) Từ () suy ra Ƒ2(w) đĩng Do đĩ, elF1(g) C F2(0) 2) Chứng minh ƒ1 F;(w) C a Fy(y)
yek
Lay € ƒ\ F›(), nghĩa hh “Wy € K,ƒ(w,z) € clC(#) Khi đĩ, cố định € K,
yeK
= tụ + (1— #)# € K với 0< t < 1 Ta được ƒ(,#) € clC(Z) Vi f(y,.) |
C-léi nén
F (ye ty + (1 = t)z) — [Ef (yy) + (1 — t)F (ue, #)] © C (ty + (1 — t)z) U {0}
Tức là
Trang 17Do C(w,) và C(#) là nĩn khác rỗng nên suy ra
ƒ(w,#) — ƒ(uu,9) € 7 fly) + Cứu) U{0}) C elC(#) + clC(0,)
“Theo (), với mỗi y € K va lan can V ctia 0 trong Y, tồn tại ổ € (0, 1) sao cho clƠ (tụ +(1— Ê)#) C clƠ(#) + V, nghĩa là clC (w) C clC(#) + V với t € |0, ð) Kết hợp với giả thiết (ø) ta được — ƒ(#, ) € clŒ(#)+V, với mọi lân cận V trong K vay € K Do dé —f(Z,y) € elC(#), Vụ € K Suy ra —ƒ(z, ) ý C(#), Vụ € K Tức là # € Ƒ1(w),Vụ € K Vì vậy, #€ 1) 0)
veK Chứng minh ƒ1 c11() # Ú
eK
“Trước hết ta chứng minh el7¡ là ánh xạ KKM Giả sử phản chứng 3ê = 3) À;z¡ #
i=l n
Ueli(z) Khi đĩ, @ ¢ clFi(xi), Vi = 1m, nghĩa la f(@, ai) € C(Ê), Vi = Tới
i=l
Vì Ơ(z) là nĩn lỗi nén suy ra SD Af (2,2) € C(2) Mat khde,
i=l
— Sof (G21) = f(@.8) — OS (8,0) = f («3 a2) ¬» ˆ
i=1 i=l i=l i=1
€ C(&) U {0}
Điều này mâu thuẩn với (B) Tiếp theo, từ giả thiết () suy ra Vz € K\B,z ¢ Fi(o) Do d6 Wx € Fl(wo),# € Đ, tức là Ƒi(0o) CB Vì B compact nén clF,(yo) compact Vay, ta thấy clFì thỏa các giả thiết của Bổ đề 2.2.1, ta được
1) clFi(y) 4 0 n
yeK Nhận xét 3.3.1
() Nếu K C X và K compact thì giả thiết (ø) cĩ thể bỏ Thật vậy, giả thiết (ø)
(i)
của định lý được dùng để chứng minh (1 eLF1(ø) # 0 Do vay, néu K compact
thì khi dé F,(y) compact Vy € K Suy nn #0) #0
y
Trang 18Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 47
3.4 Bài tốn tựa cân bằng (QEP)
Cho X,Y, Z là các khơng gian vector tơpơ thực, X 1a Hausdorff, 0 4 AC X va A léi dong Cac anh xa C: A Y,/K: A~ X,T: A~ Z thda C(x) là nĩn lỗi đĩng với intC(x) # 0, K(x) 4 0 va K(2) 16i, Vz € A Cho f : T(A) x Ax AY la dnh xa
don tri Khi đĩ, bài tốn tựa cân bằng được phát biểu như sau
(QEP) Tìm # € Af\clK(#) sao cho Vụ € K(#), 3t € T(z) : ƒŒ,,#) # intC(z Dat E:= {4 € A: x €clK(z)}
Định nghĩa 3.4.1 Cho Z,.4,C,7 và ƒ như trên Với z € 4, ánh xạ ƒ được gọi là
n
T(x)-tua lom né€u véi bat ky {y1, ,9n} C A va a; > 0,2 = Tn, Daj; = 1, tổn tại
Cd
t € T(x) sao cho
ƒ(T(), tị, z) C imtC(2),i= Tas f ¢ Sn ) €intC(z)
„=1
Định lý 3.4.1 Giá sử cĩ ánh xạ ø: TA) x A x A — Y thơa:
(i) voi x,y € A, néu g (T(z), y, x) Z intC(x) thi f (T(x), y,x) Z intC(2)s
() ø( z) là T(z)-tựa lõm và g (t,x, x) ¢ intC(x), Vx € A,VE € T(2);
(tii) Vy € A, {x € A: f (T(2),y,2) Z intC(x)} đĩng;
(iv) AN K(x) 4 0,¥a € A; K-1(y) mé trong A, Vy € As clK(.) IA usc;
(v) tén tai DC A, D #0, D compact va Xp C A, Xo chita trong tập con Iéi compact của A sao cho Vz € A\D, Aye € XON K (2), f (T(x), yor 2) € intC(z)
Khi đĩ, (QEP) cĩ nghiệm Chứng minh Với z, € A, đặt: Đị@) := {z € A: ƒ(T(), z, z) C intC(s)}, P,(x) := {z € A: g(T(a), z, x) C intC(z)}, sae K(z)N P(x) néu z € E, AN K(z) néu x € A\E, Qi00) := A\®;ˆ(y)
Trang 191) @¡ là ánh xạ KKM Thật vậy, trước hết ta chứng minh Q¿ là ánh xạ KKM Giả sử phản chúng 3? = 3) azø; # Ủ Qa(g,), tức là # ý Qz(g),Vj — Tạm Do đĩ
2, 6 Y= TE Nea Ey; € K(@)n P;(8), nghĩa là g(T(2),tụ, 8) C
intC(#),Vj = 1n Vì ø(,.,2) là 7(z)-tựa lõm nên 3 € T(#) : g(f,4,2) €
intŒ(2) (mâu thuẩn với (/)) Nếu £ € A\, nghĩa là £ ý eLX(8): ụ € ANK (4)
Suy ra @ € AN K(é) Do d6 & € clK(&) (mau thudn) Từ (¿) suy ra War €
A, P;(x) C P(z) Do đĩ Qo(y) C Qi(y), Vy 6 A Vậy Q¡ cũng là ánh xa KKM
2) Q¡(w) đĩng, Vụ € 4A Thật vậy, tương tự trong chứng minh Định lý 3.2.1 ta được
Quy) = [AE ()] 0 [(AVPE1@)) nEỊ
Mì An Xứ) # Ú,Vz € A nên |J K~!{u) = A Để chứng minh Q;() đĩng, ta
yeA
chỉ cần chứng minh # đĩng và An ) đĩng Trước hết ta chứng minh K(.) cĩ điểm bất động để suy ra # # 0 va E dong Theo (iv), K~!(y) mé trong A, Vụ € A Theo (ø), Vz € A\D, 3u; € Xon K(z), nghĩa là Sy, € Xo, x € K7! (yx) Do dé, A\D C J K-!(z)C A Suy ra A\ J K~!(z) CD Do Ð compact nên 4\ K“l„ compact Vậy theo Định lý 3.1, 3z€A:z€ K(z) Do đĩ E #0 Ma elK(.) là usc và cĩ gid tri déng nén clK(.) là đĩng Vì vậy E dong
Ro rang A\P;"(y) = {2 € Ary ¢ P(w)} = {e€ A: f(T(x),y,2) ¢ imtC(a)}
đĩng theo giả thiết (2)
3) Tit (v) suy ra Wa € A\D, Aye € Xo : Ye € Oi(x) Do dd A\D C U 97!(z) C
~eXo
A Suy ra A\ U ®¡'{z) CD Vì vậy f Qi(z) = đ (4¡'+)) =
~€Xo z€Xo z€Xo
A\ U ®¡1z)C D Do D compact nên ƒ\ Q¡(z) compact
zeXo €Xo
Từ 1),2), 3), áp dụng Định lý KKM-Ean (Định lý 2.2.1) ta được
(ei) #0
yeA
Khi đĩ, 3z € ƒ1 Q¡) 16A = A\ U ®¡'(), tức là ý ©1(Z), Vy € A Do dé 0; (2) = 0 veA
Trang 20Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 49
Nhận xét 3.4.1
1) “Ta cĩ thể giải thích các giả thiết của Dinh lý 3.4.1 như sau: (2) là kiểu don điệu yếu, cĩ thể nĩi đĩ là tính giả đơn điệu của ƒ đối với ø; () và (¿ø) là rõ; (/2) là tính lse của ƒ(7(.),,.) đối với nĩn chuyển động C(.); (o) là điều kiện bức 2) Trong định lý trên ta cĩ thể thay (ø) bằng (0): tồn tại D C 4, D compact và
xg € A sao cho Va € A\D, x9 € K(x), 9 (T(x), x0, Z) € intC(x)
3) Ta cé thé thay (é), (i) trong dinh ly trén bang cdc gia thiét (7’), (ii) nhu sau:
(v) Va,y € A, néu g (T(x), y,x) Z C(x) thi f (T(x), y, x) Z intC (x);
(i) với mỗi {wì, ,„} CA,n > 2 và # € co{t, ,Un}, # # 0ì = Ln, ton tại j € {1, , n} để Vz € A,g(T(#),,) # C(#) và ƒ (T(z),z, +) #@ Cữ)
C O(x)}\ {x}
Khi đĩ tất cả những gì cĩ được từ (2), ø cũng cĩ thể nhận he từ (), () That vay, trong chứng minh ta đặt ›(z) := {w€ A: ø(T(z),0,z
Định lý 3.4.2 Giả sử các giả thiết (2ø), (ø) của Định lý 3.4.1 thỏa mãn và thêm các giả thiết
() trong giả thiết (/) ta thay ø bởi ƒ;
() nếu z,U€ A,za — #,#a € A và tạ € T(za) thì cĩ £ € T(z),u € C(z) + ƒ(t,.z
và các dãy con #z,fz sao cho ƒ(fa, , #4) — tý (vi) Y\intC(.) đĩng
Khi đĩ, (QEP) cĩ nghiệm
Chứng minh Tương tự như chứng minh Định lý 3.4.1 Xem [I0]
Sau đây là một ví dụ chỉ ra giả thiết (2#) trong định lý trên là khơng thể thiếu
Ví dụ 2 Cho X =Y =Z=R,A = |0, 1], K(z) = |0, 1],C(z) = R.,7) = |0, !] và =1 nếu =0.5
ƒŒ,u,z) =
Trang 21Ta thấy rằng khơng cĩ # € |0, 1] để Vụ € K(#) = |0, 1], 3£ € 7(#) = [0,1]: ƒ(Œ.,#) # ¿ntŒ(%) Nghĩa là (QEP) khơng cĩ nghiệm Ta cũng nhận thấy tất cả các giả thiết của Định lý 3.4.2 thỏa mãn, trừ giả thiết (¿) Thật vậy, lấy z bất kỳ, ¡ = 0, = 1,œ = a = 0.5 Khi đĩ, ƒ(T(z),¡.z) = {1} € intC(z) Nhưng ƒ (T(ø), ii + œsa,3) = {—1)1, Vi € T(x) Nghĩa là khơng cĩ ‡ € 7(z) để ƒ (f, œiì + œsa,) € intC(z) Tức là /(.,.,z) khơng 7(z)-tựa lõm Tức là giả thiết (#) khơng thỏa
3.5 Bài tốn tựa cân bằng đối xứng (SQEP)
Cho X,Y, Z là các khơng gian vector t6p6, X va Y la Hausdorff Cho K,D,C là các
tap con lỗi đĩng, khác rỗng của X,Y, Z tuong ting, intC 4 0 Cho S,A: K x D ~~
K\T.B:KxD~D;F:KxDxK~Z;G: Dx K x D~ Z; S(z,y) va T(2,y)
lồi, khác rỗng với mọi (z,) € K x D Ta xét hai bài tốn tựa cân bằng đối xứng sau: (SQEP¡) Tìm (z,ÿ) € K x D sao cho # € S(Z,9), 9 € T(Z,9) và
F(x, 9,2") A(Y\ — intC) 4 0, Vx € S(z, 9), V2" € A(Z, 9), Gty, zy") N(Y\ — intC) 4 0, Vy € T(z, 9), Vy* € B(Z, 7) (SQEP;) Tìm (#,ÿ) € K x D sao cho # € S(#, ÿ),ÿ € 7T(Z, ø) và
f(,g,+') C Y\ — intŒ,V+ € S(#,ÿ),V+* € A(Z,ÿ), G(w,#,") CY — intŒ, Vụ € T(z, ÿ), Vụ" € B(#, ÿ) Dat E(x, y):= {(a,y) € K x D: 2 € S(z,y),y € T(x, y)}
Định nghĩa 3.5.1 Cho X và Z là các khơng gian vector, 8 C X,Œ C Z, C léi, khac
rỗng, intŒ # ƒ và ánh xạ F`: X x 8 ~ Z Khi đĩ,
(i) được gọi là C-tựa lỗi ứng với theo kiểu 1 nếu V{z, ,#„} C X,V{œ, , an}
CR.,3)œ =1, ¿=1
dz} € Byi=1,n: F(aj;,2%) C -intC > Ja* € B: F (= re) Cc -intC
=
(ii) F được gọi là Ở-tựa lỗi ứng với Ø theo kiểu 2 nếu V{zạ, ,z„} C X,V{ai, ,az}
CR, Va =1,
t=1
3z; € B,¡= 1n: F(z,z?)n —inC # Ú > 3z'cB:F (= ait") đ —intŒ # Ú
1
Trang 22Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 51 Nhận xét 3.5.1 Néu Z = R, Ƒ là ánh xạ đơn trị chỉ phụ thuộc z € X thì (2) và () trùng nhau và trở thành:
a n n
F(x;) < 0,i=1,n > Va; >0, Na =1,F (= az) <0
i=l
i=l
Định lý 3.5.1 Giá sử :
() V(œ,) € KxD,V(z*,u") € A(z, y)xB(a,y), F(x, y,2*) Z —intC va Gly, 2, y*) £
—intC; :
() V(a,y) € K x D, F(.,,.) và G(.,z,.) là C-tựa lỗi ứng với A và B theo kiéu 1
tương ứng;
(i) V(œ,u) € KxD, tập {(#,ÿ) € KxD|F(z,,+*) # —intC và G(,#,") # —intC , V(z*,*) € A(z,0) x B(œ,)} đĩng trong K x D;
(iv) 5(.,.) và 7(.,.) là usc trong x D; V(z,u) € K xD, S~!(z) và T~'{g) là mở
trong K x D;
(v) néu K x D khơng compact thì tổn tại K x Ð C K x D, K x Ð khác rỗng,
compact va Ao x Dụ chứa trong tập con lỗi compact ctia K x D sao cho V(z, ) € (K x D)\ (K x D) ,3(2,%) € [Ko x Do]n|[S(z,) x 7(,)], 3(z*,*) € A(x, y) x B(x, y), F(Z, y, 2") C —intC hoac G(g, x, y*) C —intC
Khi d6, (SQEP;) cé6 nghiệm
Chting minh V6i (2, y) € K x D, dat:
P(x,y) := {(#,9) € (K x D)|A(2*,y*) € A(z, y) x B(x, y), F(4,y, 2") © —intC hoac G(g, x,y") C —intC}, S(z,w) x T(z,))n P(z, 9) nếu (#,1) € E,
)xT(z,w) néu (x,y) € (K x D)\E,
=(K (x,y)
Khi do,
1) Q( ) là ánh xạ KKM Thật vậy, giả sử phản chứng 3(2,ÿ) = >8) e
Trang 23ta (xj, yj) € ®(£,0),Vj = 1,n Nếu (#,0) € E, khi đĩ (z;,;) € P(£,ơ),Vj = 1m Nghĩa là 3(z7,?) € A(2,ÿ) x B(2,ð) sao cho F(z;,,z7) © —intC hoac G(y;,@,y}) © intC Do F(„,ÿ,.) và G(„2,.) là C-tya Idi ing voi A(4, 9) và B(z,g) tuong ting theo kigéu 1 nén 3(2*',ÿ*) € A(£,0) x B(#,%) sao cho F(a,9, i) € —intC hoac G(0, #,ÿ*) C —intŒ (mâu thuẩn với (i) Néu (2,9) €
(K x D)\E, nghia là (#,9) ¢ S(#,9) x T(4,9), khi d6 (2j,y;) € S(#,9) x
T(%,§),Vj =Ton Do dé (4, §) € S(4, 8) x T(&, 8) (mâu thuần)
Q(x, y) dong, V(a,y) € K x D That vay, ta cĩ:
®'(z,) ={(,0) € E: (z,y) € [S(@, 9) x T(z, D)] P(#, g)}
U{(Z,ÿ) € (K x D)\E: (z,u) € S(Z,9) x T(z, 9)} ={(.ÿ) €E: (,g) € [S”'()710)]n Pˆ'(ø,w)}
U{(#,ø) € (K x D)\E: (&,9) € 6"!(z)nT~1{(w)}
={8 ')n7”!(u)nPˆ'{z,g)}0 {[(K x Ð)\E]nST1(z)n71(w)} =S\(2) Ty) A {Po (a, y) U[(K x D)\E]}
Do dé,
Q(z, y) = BA về )nT1(w)n{P '{z,u)0|(K x D)\E]}
= {[K xÐ]\[S '()n7r! m¬A a)
Trước hết ta chứng minh # đĩng Do Š(+,y) # và 7(z, w) # Ú, V(z,u) € KxD nên S(z,) x 7(œ,) #,V(z)€KKxD.Dodđĩ J_ S!{z)nTr"1(w) =
(œu)cKxD
K x D Theo gid thiét (v), (x,y) € (K x DỊN(Đ x D),3(z,g) € [Kạ x Dạ]n
(S(x,y) x T(x, y)], nghia la, 3(z, 9) € Ko x Do, (x,y) € SZ) NT“(g) Do dé,
(rue Ye S-'()n7~Wg) Do vậy (#,9)€Kox Do
(KxD\KxD)C (|J_ 5 '2)nT"!)G KxD
(x,y)€Kox Do
Suy ra
(Kx D\ (J Sa)ATKy) CK x D
Trang 24Chương 3 Ap dụng của định lý KKM-Fan 53
Vi K x D compact nén (Kx D)\\ U_ SF!1{z)n7”1(w) compact Kết hợp
với giả thiết (2ø), áp dụng Định ý 31 ta được S(.,.) x T(.,.) cĩ điểm bất động trong K x D Nghia la E # Ø Hơn nữa, do S5(.,.) và 7(.,.) là usc và cĩ giá trị đĩng nên # đĩng Rõ ràng
(K x DP"'(z,w)
={(#,ÿ)€ KxD: (z,u) ý P(z,0)}
{(#,0) € K xD:V(+*,u*) € A(z,) x B(z,g), Fíœ, +") Z —intC và Gly, Z,y*) Z —intC} đĩng (theo ())
3) Theo (v), V(x, y) € (K x D)\(K x ° A(z, 9) € (Ko x Do) (S(z,) x T(x, 9))-
Nghĩa là, 3(Z, ÿ) € Kox Dạ, (z,) € ®~1(Z, ø) Do đĩ, (z, y) € U ®-!(z,0) (x,y)EKoxDo Do vay (K x D)\(K x D)C ®-!{z,u)C K x D Suy ra FT) (Kx D\P ey) =(KxD\ YO @ ey) RxD (œ)€KoxDụ (z)€Kox Dạ
Do K x D compact nén NM QAay) = M = ((K x D)\@"1(z,y))
(x,y)€Kox Do (x,y)€Kox Do
compact
Từ 1),2), 3), áp dung Dinh ly KKM-Fan (Dinh lý 2.2.1) ta được
f) Qa.) 40
(2.y)€K xD
Khi do, (z,9)€ = (zu)eKxD @(z»)=(KxÐ)\ (xy)eKxD U_ #*(z) Tức là (z,w) ¢
%(#,ø), V(z,u) € K x D Do dé ®(z, ÿ) = Ø Nếu (#,) € (K x D)\E, khi đĩ S(#, ÿ) x T(#,ÿ) = 0 (mâu thuẩn với 9,7' khác rỗng, V(z,) € K x D) Nhu vay, (Z,9) € B, khi đĩ (S(z, ø) x 7(,ø))n P(z, ø) = 0 Nghĩa là, V(z,) € S(Z,) x T(z, g), (z,9) £
P(z,ø) Tức là, V(z,) € S(z,9) x T(z, 9), V(x", y*) € A(#,0) x B(#,9),
F(z,y,2*) Z —intC va G(y,z,y") Z —intC
Trang 25Sau đây là ví dụ chứng tỏ giả thiết (2) của định lý trên là cần thiết
Ví dụ 3 Cho X = Y = Z = R,K = D= |0,1]C = R.,S(z,) = T{z,w) =
(0,1].4(,) = {z},B(,v) = {0},F(œ,0,z°) = {e' - 2},G(w,5.') = Âu 2}
Khi đĩ, với z¡,z† € A(z, 0) và ¡, ý € Đ(z,), tức là z¡ = z‡ = 2,y = yf = y Ta chi
il
cAn lay 2* = 2%, y* = y7, khi đĩ giả thiết () thỏa mãn Ở đây, tập trong (2) là rỗng nên giả thiết (///) thỏa Giả thiết (2ø) hiển nhiên thỏa Do # và D là compact nên giả thiết (ø) cũng thỏa Như vậy, các giả thiết (2) — (ø) thỏa mãn Tuy nhiên, (SQEP¡) khơng cĩ nghiệm Thật vậy, V(#,ÿ) € K x D,V(z,z*) € S(#,ÿ) x A(Z,),V(u,") €
T,ÿ) x B(,0),
T{œ,g,z")=+z°—2<0, G(w,z,w*)=w*—2<0
Tương tự như trên ta cũng cĩ thể chỉ ra các ví dụ để chứng tỏ các giả thiết (/) — (0)
là khơng thể thiếu Xem [2]
Định lý 3.5.2 Giả sử :
(2) thay * ƒ —intỞ ” trong (¡) của Định lý 3.5.1 bằng “ C Y\ — intC ”; (ii) thay * kiểu 1 ” trong (2) của Định lý 3.5.1 bằng * kiểu 2 ”;
(iv) thay * ¢ —intC ” trong (#) của Định lý 3.5.1 bằng * C YẦ — intŒ ”; (iv) giống (¿ø) của Định lý 3.5.1;
(v) thay * C —intC ” trong (0) của Định lý 3.5.1 bằng * £ Y1 — intC ”
Khi đĩ, (SQEP;) cĩ nghiệm
Chứng minh Tương tự như trong chứng minh Định lý 3.5.1, nhưng ta định nghĩa lại P(z,) như sau:
Trang 26Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 55
3.6 Bài tốn bao hàm thức biến phan (IP)
Cho X,Y,Z là các khơng gian vector tơpơ thực, X là Hausdorff, 0 # AC X, A lồi
đĩng Các ánh xạ S\,5;: A = X,T: Ax X ~ 2; F.GŒ:T(Ax X)xXxA~Y
Ta xem xét bốn bài tốn bao hàm thức biến phân sau đây
(IP;) Tìm # € S¡(#) (z
(IP;¿) Tìm # € S¡(Z) sao cho Vụ € %(#), 3í € T(Z, 9), PŒ,u,# (IP¿) Tìm # € S¡(#) sao cho Vy € S2(Z), Vt € T(%,y), F(t y, (IP¿) Tìm # € S¡(Z) (#), 3f € T(,9), F(u,#
sao cho Vụ € Sa(#), Ví € T(£, 0), F(t,,#
sao cho Vy € Sp
Định nghĩa 3.6.1 Cho X là khơng gian vector, 4 C X và 4 lỗi, D va K là các tập Céc anh xa F,G: Dx Ax A~ K;T:X x A~ D Khi do,
1) Ƒ được gọi là G-tựa lỗi ứng với 7 theo kiểu 1 nếu V{zi, ,#„} C A,Vz €
cof{ay, , tn}, dé € {1, ,n} sao cho F(t,2;, x) € G(t, x, x), Vt € T(x, 24)
2) F duoc gọi là Œ-tựa lỗi ứng với 7 theo kiểu 2 nếu thay *V£” trong 1) bang “St” 3) Ƒ được gọi là G-giống tựa lỗi ứng với 7 theo kiểu 1 nếu V{z, ,#„} C A,Vz €
COLD, monn} AE (1 cng n} sao cho F(t, 2;,2) AG(t, x, 2) #0, Vt € T(x, 24)
4) F duoc goi là G-giống tựa lỗi ứng với 7 theo kiểu 2 néu thay “Vt” trong 3) bằng
SH,
Sau đây là một số định lý về sự tồn tại nghiệm cho các bài tốn nĩi trên
Định lý 3.6.1 Giả sử :
(i) A compact;
(ii) S4(.) dong, So(x) 4 0, co(So(x)) € Si(z), AN So(x) £ 0, 52 1() mở, Vz,€ 4;
(ii) F la G-tua lỗi ứng với 7 theo kiểu l;
(0) Vục A,{z€ A:Vt€ T(z,u), F(t,u,z) C G(,z+,+)} đĩng
Trang 27Chứng minh Với z, € A, dat:
E:=[zeA:zeS(e)},
P(z) := {z € A: 3t € T(z, z), F(t,z,z) # G(,z,#)}, B(x) := io So(a) N P(x) néu z € E,
AN So(z) nếu z€ A\E,
Q(y) = A\O1(y)
Khi đĩ,
1) Q(.) là ánh xa KKM trong A That vay, giả sử phản chứng 3ê = = ayy; € A
sao cho # ¢ U @(,), nghĩa là # ý Q(w;),V7 = 1,n Suy ra ; € ®(Ê),Vj = l,m Nếu 2 € E: w; 6 S;(2)n P(2),Yj = 1n Khi đĩ, y¡ € P(2),Vj = 1,n Tức la at € T(2,;),F(u;,2) ý G(,2,8),Vj = 1n (mâu thuẩn với (/)) Nếu & € A\E: yj € An (2),Vj = In Khi đĩ yj € S2(#) C co(S2(#)) Vj = Tn Do đĩ # € eo(5a(2)) C S¡(2) Tức là ê € E (mâu thuẩn)
2) Q() đĩng, Vụ € A Thật vậy, ta cĩ:
=|B a NP*(y)] U [(A\E) 9.55 "(y)]
= S51(y)n [P1(y) U(A\B)] -
Do đĩ,
Q0) = A\{5;7(w)n[P 1@)U(A\#)]}
= {A\s7\(y)} U {A\ [P*@) U(A\B)]}
= {A\5y"(y)} U{[A\P*(y)] NE}
Ta nhận thấy # đĩng (theo ()) và
A\P"'(u)={x+€cA:xé P7l(y)} ={reEA:y¢ P(x)}
={reEA:VteT(x,y), F(t.y,2) C G(t,a,x)} dong (theo (iv)) Từ 1),2) và giả thiết (2), áp dụng Định lý KKM-Fan (Định lý 2.2.1) ta được
(90) #0
Trang 28Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 5
Khi đĩ, 3 € 1 QW) = f1 (A\#-1g) = A\ U #ˆ1(y) Tức là y # ®(7),Vụ € 4:
i yeA ic
y y
Do đĩ, ®(#) = 0 Nếu ø€ A\E: An %(Z) = O (mau thuẩn với ()) Như vậy #€ E: S$o(%) 9 P(x) = 0, nghia la, Vy € S2(z),y ¢ P(z) Tic la, Vy € S2(Z), Vt € T(z, y), F(t,y, 2) © G(t,z,z) Diéu nay cé nghia z 1a nghiém ctia (IP) D Sau đây là các định lý về sự tồn tại nghiệm cho các bài tốn (IP;), Pa), (P4) Việc chứng minh tương tự như định lý trên
Dinh lý 3.6.2 Giả sử các giả thiết (2) và (24) giống như Định lý 3.6.1 và (vii) F la G-tua lỗi ứng với 7 theo kiểu 2;
(iv) Vục A, {z€ A: 3t € T(,), Fứ,,z) C GŒ,z,+)} đĩng
Khi đĩ, (IP;) cĩ nghiệm
Định lý 3.6.3 Giả sử các giả thiết (¿) và (2) giống như Định lý 3.6.1 và (wii) F la G-gidng tựa lỗi ứng với 7 theo kiéu 1;
(0) Vục A,{zc€ A:Vt€ ase F(t,y,z)G(t, 2, x) # O} dong Khi đĩ, (IP¿) cĩ nghiệm
Định lý 3.6.4 Giả sit cdc gid thiét (i) va (ii) giống như Định lý 3.6.1 và
(iti) F la G-gidng tựa lồi ứng với 7 theo kiểu 2;
(iv) Vy € A, {2 € A: St € T(z,0), F(,u,+)nGứŒ,z,z) # 0} đĩng