Định lý Pick, dãy Farey, vòng tròn Ford và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THẾ HANH ĐỊNH LÝ PICK, DÃY FAREY, VÒNG TRÒN FORD VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THẾ HANH ĐỊNH LÝ PICK, DÃY FAREY, VÒNG TRÒN FORD VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 i Mục lục Lời mở đầu Định lý Pick 1.1 Ví dụ định lý Pick 1.2 Định lý Pick cho hình chữ nhật 1.3 Tam giác vuông canh bên phải 1.4 Định lý Pick cho tam giác 1.5 Định lý Pick cho trường hợp tổng quát 1.5.1 Tổng quan chứng minh 1.5.2 Ghép nối hai đa giác lưới 1.5.3 Các đường chéo bên 1.5.4 Đa giác có lỗ thủng 3 10 10 12 13 14 Dãy Farey 2.1 Khái niệm tính chất 2.2 Tìm kiếm phân số gần dãy Farey Fn 2.2.1 Thuật tốn tìm kiếm cải tiến 2.2.2 Phân tích hiệu suất 2.3 Một số ứng dụng có liên quan đến hình ảnh 2.3.1 Đa giác mô gần 2.3.2 Phân tích hình ảnh 17 17 22 26 26 26 26 29 Vòng tròn Ford liên hệ với định lý Pick, dãy 3.1 Giới thiệu vòng tròn Ford 3.2 Mối liên hệ định lý Pick dãy Farey 3.3 Mối liên hệ dãy Farey vòng tròn Ford Farey 32 32 38 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 ii Danh sách kí hiệu Kí hiệu Tên Lời mở đầu Chúng ta biết đề tài chủ đề gồm định lý Pick, dãy Farey, vòng tròn Ford sử dụng để kết nối ý tưởng từ khía cạnh trực quan hình học đến chất trừu tượng đại số Việc sử dụng định lý Pick lấy ý tưởng từ kiến thức bậc trung học sở dần chuyển lên cấp độ sử dụng lập luận tốn học cao thơng qua việc sử dụng dãy Farey vòng tròn Ford Trong số chương trình giảng dạy tốn học kiến thức đưa cách riêng biệt Qua luận văn tơi muốn trình bày mối liên hệ kiến thức đó, mối liên hệ quan trọng giúp hiểu sâu toán học Với mong muốn tìm hiểu sâu số kiến thức hình học hình ảnh, vài dãy số có tính chất đặc biệt, đồng thời nâng cao thêm kiến thức học chương trình đại học cao học, tơi chọn đề tài Định lý Pick, dãy Farey, vòng tròn Ford ứng dụng làm luận văn cao học Cấu trúc luận văn chia thành 03 chương: Chương định lý Pick trình bày chứng minh phương pháp để tính diện tích đa giác đơn có đỉnh nằm lưới điểm có tọa độ nguyên mặt phẳng xOy Từ “đơn” “đa giác đơn” có nghĩa đa giác khơng có lỗ thủng cạnh khơng cắt Chương trình bày lại phát minh Farey quy trình để tạo phân số thích hợp nằm đoạn [0, 1], gọi dãy Farey Một cách xác, dãy Farey Fn (với số n) dãy phân số tối giản, thực sự, dương, có mẫu số nhỏ n, xếp theo thứ tự tăng dần theo giá trị chúng Chương trình bày định lý Ford biểu diễn hình học phân số a c b d vòng tròn (gọi vòng tròn Ford) nêu mối liên hệ định lý Pick với dãy Farey, dãy Farey với vòng tròn Ford Ford mong muốn minh họa phân số đặc biệt ví dụ Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hồng Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hoàng, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để tơi hồn thành luận văn Qua xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên trang bị kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm nghiên cứu phát triển giáo dục Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp hồn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, giúp đỡ tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Lại Thế Hanh Chương Định lý Pick Trong chương chúng tơi trình bày chứng minh định lý Pick cơng thức tính diện tích đa giác đơn từ đơn giản đến tổng qt thơng qua lưới điểm có tọa độ ngun miền biên đa giác Các kết chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [5], [7] 1.1 Ví dụ định lý Pick Định lý Pick cung cấp cho phương pháp để tính diện tích đa giác đơn giản mà đỉnh nằm lưới điểm - điểm với tọa độ nguyên mặt phẳng x − y Từ "đơn giản" "đa giác đơn giản" có nghĩa đa giác khơng có lỗ thủng cạnh khơng cắt Các đa giác Hình 1.1 đa giác đơn giản, ta nên hiểu từ "đơn giản" áp dụng ý nghĩa định - đa giác đơn giản mặt kỹ thuật có triệu cạnh Rõ ràng cho đa giác với miền lớn, miền khoảng xấp xỉ số lượng điểm lưới Ta đốn chút xấp xỉ tốt nhận cách thêm khoảng nửa điểm lưới “biên” chúng loại nửa nửa ngồi đa giác Nhưng nhìn vào vài ví dụ Hình 1.1 Đối với ví dụ đây, ta cho I số điểm miền trong, B số điểm biên Ta sử dụng ký hiệu A(P ) để diện tích đa giác P Hình 1.1: Ví dụ định lý Pick’s B = 2 B • B : I = 0, B = 3, A(B) = , I + = 2 B • C : I = 28, B = 26, A(C) = 40, I + = 41 B • D : I = 7, B = 12, A(D) = 12, I + = 13 • A : I = 0, B = 4, A(A) = 1, I + E : Có chút phức tạp để ước tính diện tích đa giác E F E bị chia thành hình chữ nhật x hai tam giác vuông với đáy chiều cao 5, ta nhận được: • I = 22, B = 24, A(E) = 33, I + B = 34 F : Nó chí khó tính diện tích cho trường hợp này, sau bổ sung loại bỏ số phần diện tích, nhận rằng: • I = 9, B = 26, A(F ) = 21, I + B = 22 Điều bất ngờ nhìn vào tất sáu ví dụ trên, ta thấy ước tính B I+ ln ln đạt kết xác diện tích cộng thêm Dường lưới đa giác P nào, cơng thức tính diện tích sau BP A(P ) = IP + −1 với IP số điểm lưới nằm hoàn toàn bên P BP số điểm nằm biên P Đây gọi Định lý Pick Ta thử vài ví dụ khác trước tiếp tục 1.2 Định lý Pick cho hình chữ nhật Thay cố gắng tìm cách chứng minh tổng quát từ đầu, kiểm chứng tính đắn Định lý Pick số trường hợp đơn giản Trường hợp đơn giản để xem xét “lưới” hình chữ nhật Hình 1.2: Định lý Pick cho hình chữ nhật Hình chữ nhật đặc biệt Hình 1.2 lưới 14×11 (m = 14 n = 11), có diện tích A = 14 × 11 = 154 Và thật dễ dàng để tính số điểm điểm biên: miền có I = 13 × 10 = 130 điểm, có B = 50 điểm biên Khi ta có liên hệ I+ B 50 − = 130 + − = 154 = A 2 Vì hình chữ nhật đặc biệt định lý Pick chắn Nhưng xét hình chữ nhật có kích thước m × n (với đỉnh nằm lưới nguyên, có cạnh song song với trục Ox, Oy ) điều xảy ra? Diện tích lúc hiển nhiên m × n Lúc dễ dàng thấy số điểm I = (m − 1) × (n − 1) (ta tự kiểm chứng cách xét vài ví dụ cần thiết) Ta thấy số điểm biên hình chữ nhật B = 2m + 2n (bởi B = 2(m + 1) + 2(n + 1) − 4) Vì cho hình chữ nhật có kích thước m × n, ta ln có cơng thức I+ B (2m + 2n) − = (m − 1) × (n − 1) + −1 2 = (mn − m − n + 1) + (m + n) − = mn, cơng thức I + 1.3 B − = A Tam giác vng canh bên phải Có chút khó khăn để công thức cho tam giác vuông canh bên phải, nơi hai cạnh góc vng tam giác nằm dọc theo đường lưới Cách dễ để làm rõ điều ta chọn tam giác nửa hình chữ nhật phần trước, có đường chéo thêm vào, Hình 1.3 Ta xét hình tam giác T với cạnh góc vng có độ dài m n Khi tam giác có diện tích A(T ) = mn , liệu có điểm điểm biên nữa? Quan sát Hình 1.3, ta dễ dàng đếm điểm biên dọc theo cạnh, ta thấy số điểm lưới không nằm đường chéo tam giác Nhưng điều khơng quan trọng Đối với tam giác vng tùy ý với cạnh góc vng dài m n có diện tích A(T ) = mn , giả sử có k điểm đường chéo, khơng kể điểm hai đầu (đỉnh tam giác) Khi dễ thấy số lượng 29 độ dốc nêu phân số tập hợp 0 0 1 10 { ( , , , ), , , , ( , ), , , , , ( , , , )} 10 10 9 10 10 Ta lấy vài phép đối xứng (ứng với 11 ) bảng Tn , đổi chỗ tử số mẫu số cho nhau, cho ta tập hợp { pq | −n ≤ p, q ≤ n} Ta tìm số chúng từ phân số dãy Fn sau: Tn [i][−j] = 2fmax − Tn [i][j], Tn [−i][−j] = 2fmax − + Tn [i][j], Tn [−i][j] = 4fmax − − Tn [i][j] Ta thu ma trận cỡ (2n + 1) × (2n + 1) (các phần tử chúng xác định theo công thức trên) 2.3.2 Phân tích hình ảnh Mơ tả hình ảnh đối tượng vấn đề nghiên cứu nhiều đầy khó khăn Nhiều mơ tả hình dạng kết hợp kỹ thuật khác trình bày sẵn có nhiều tài liệu tảng, chúng đóng vai trò quan trọng việc nhận dạng tự động đối tượng kĩ thuật số mẫu vật Các hình dạng đưa dãy số, dãy số dễ biểu diễn phân tích Các dãy số nằm góc bên góc đường biên đa giác, dãy số cho bao gồm độ lệch hạng độ dốc đường thẳng liên tiếp Nó gần khơng thay đổi thực phép quay; thời gian chạy xử lý hình ảnh giảm, khơng có hoạt động điểm (floating-point) Chỉ sử dụng nhớ truy cập phép trừ, nên ta trình bày mơ tả, số thuật tốn liên quan đến hình dạng áp dụng Hình 2.10 phần góc đỉnh đa giác mô gần Khi đối tượng hình xám bị quay đi, đa giác mơ gần bị lệch lượng không đáng kể Các phần góc, sau tính tốn lại từ đa giác mơ hình ảnh bị quay, quan sát thấy không thay đổi, điều cho ta thấy sức mạnh vốn có 30 hạng dãy Farey độ sai khác chúng việc nắm bắt đặc tính hình dạng Ví dụ v1 Hình ?? có độ sai lệch hạng f1 = 24650, trở thành f1 = 24739 sau tính tốn lại Khi n = 200, ta có 97856 phần tử ma trận Tn Do đó, f1 = 24650 tương ứng với 24650 24739 o o o o 97856 × 360 = 90, 68 f1 = 24739 với 97856 × 360 = 90, 01 ; tổng số lỗi 0, 50o , số nhỏ Hình 2.10: Bất biến đặc điểm hình dạng (độ sai khác hạng Tn ) qua phép quay Kết luận Chương cho thấy hạng phân số dãy Farey sử dụng để cung cấp ước lượng hữu ích giá trị tương đối chúng Việc tìm kiếm phân số dãy Farey cải thiện cách sử dụng bảng Farey Các thuật toán để tìm phân số gần với phân số dãy Farey cho trình bày Tất thuật tốn khơng có thao tác điểm nổi, tiết kiệm thời gian để thực chức Bảng Farey có nhiều ứng dụng xử lý hình ảnh kĩ thuật số phân tích hình dạng, 31 phần Nó đưa số vấn đề quan trọng, chẳng hạn vấn đề nén bảng cách loại bỏ số cột độ sai lệch hạng lớn cột giảm thiểu Những kết tiếp tục nghiên cứu tương lai gần tác giả báo 32 Chương Vòng tròn Ford liên hệ với định lý Pick, dãy Farey Lester R Ford nhà toán học người Mỹ sinh năm 1886 Ford nhận tiến sĩ toán học từ đại học Harvard năm 1917 Các vòng tròn Ford đặt tên theo tên Ford, người nêu khái niệm báo năm 1938 gọi "Phân số" Ford biên tập viên tạp chí toán hàng tháng Mĩ từ năm 1942 đến năm 1946, Chủ tịch Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ từ năm 1947 đến năm 1948 Năm 1964, Hiệp hội Tốn học Hoa Kỳ cơng nhận đóng góp ơng cho tốn học cách thiết lập "giải thưởng Lester R Ford" cho tác giả công bố kết tốn học tạp chí "The American Mathematical Monthly" 3.1 Giới thiệu vòng tròn Ford Vòng tròn Ford hình học thể phân số Ford muốn minh họa phân số, ab dc , vòng tròn Ford cho thấy bạn tìm thấy phân số phân số ab dc cách tìm phân số trung gian chúng, phân số a+b c+d , thể sơ đồ đây: Để biểu diễn hình học phân số này, vẽ điểm đường thẳng trục Ox mặt phẳng tọa độ xOy Ở x = ab với a 33 b số nguyên, phân số dạng tối giản Cho x = ab , ta xây dựng vòng tròn với bán kính 2b12 Bây ta có vòng tròn tâm điểm ab có bán kính 2b12 tiếp xúc với trục Ox nằm góc phần tư thứ mặt phẳng tọa độ Xét ví dụ: x= Vòng tròn L Vòng tròn M Vòng tròn N Vòng tròn O 2 3 4 a b y= 2b2 18 32 18 Việc phân số biểu diễn vòng tròn cho phép Ford phát biểu lại định lý liên quan đến phân số Định lý 3.1.1 (Ford, 1938) Các vòng tròn đại diện hai phân số riêng biệt tiếp xúc hoàn toàn nằm bên lẫn Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta quan sát khoảng cách tâm hai vòng tròn hình thành phân số ab dc (cả hai phân số tối giản) Khoảng cách tâm vòng tròn đoạn thẳng (P Q) từ điểm có tung độ (2b12 ) đến điểm có tung độ (2d12 ) c a Khoảng cách điểm tiếp xúc vòng tròn với Ox | − |, d b 34 tạo đường thẳng (P R) song song với trục Ox Hai đường thẳng P Q P R tạo thành tam giác vng với cạnh góc vng QR có độ dài | 2d12 − 2b12 | 35 Sử dụng định lý Pitago ta được: 2 P Q = P R + QR c a 1 P Q = ( − )2 + ( − )2 d b 2d 2b (cb − ad)2 − 1 P Q = ( + )2 + 2d 2b d2 b2 (cb − ad)2 − P Q = (P S + T Q)2 + d2 b2 Từ phương trình này, ta nói |bc−ad| > 1, P Q > P S+T Q, hai vòng tròn bên ngồi với Nếu |bc−ad| = 1, P Q = P S+T Q, lúc hai vòng tròn tiếp xúc Tuy nhiên, |bc − ad| < 1, |bc − ad| = (vì số nguyên) nên ab = dc điều không thể; xảy trường hợp |bc − ad| < 1| Khi |bc − ad| = P Q = P S + T Q, hai vòng tròn tiếp xúc nhau, ta nhìn vào mối quan hệ hai vòng tiếp xúc để tạo dựng vòng tròn nhỏ tiếp xúc với hai vòng tròn ban đầu tiếp xúc trục Ox Vòng tròn Ford đặc biệt Với hình ảnh sau hai vòng tròn tiếp xúc, tìm kiếm mối quan hệ vòng tròn lớn ( 11 , 12 ) vòng tròn nhỏ ( 12 , 18 ) sơ đồ sau: Bán kính vòng tròn lớn 12 lớn gấp bốn lần bán kính vòng tròn nhỏ 81 Biết bán kính nhỏ 14 lần bán kính lớn, nên ta tự hỏi liệu tỷ số bán kính vòng tiếp xúc khác 41 Để thấy điều này, ta tìm thấy vòng tròn nhỏ khác tiếp xúc với vòng tròn có Ta tìm thấy vòng tròn nhỏ hơn, tiếp xúc với hai vòng tròn ban đầu, nhìn vào trục Ox giá trị 21 11 Bằng cách tìm phân số trung gian, bán kính tại, ta có phân số (1+1) (2+1) = điểm thuộc trục Ox, cho ta vòng tròn Để tìm giá trị y vòng tròn sử dụng cơng thức (2b12 ) tìm bán kính vòng 36 tròn 2.(32 ) = 18 Với ba vòng tròn kết nối này, ta nhận quan sát để thấy xem liệu bán kính vòng tròn có 14 giá trị hai vòng tròn có? Vòng tròn ( 23 , 18 ) có bán kính 19 lần bán kính vòng tròn lớn nhất, 94 lần bán kính vòng tròn thứ hai Vì 14 khơng phải 37 số tỉ lệ Bằng cách sử dụng cách tìm phân số trung gian cho vài điều hạng mục tiếp theo, tạo phân số liền kề mới, thử tìm mơ hình kiên hệ tỉ lệ vòng tròn Bảng cho ta thấy vòng tròn tạo phân số liền kề so sánh tỉ lệ bán kính chúng: Trường hợp x, y( ab , 2b12 ) BK vòng BK vòng Tỉ lệ BK vòng tròn tròn lớn tròn 1 1, 1 2, , 18 , 32 , 50 n−1 n , 2(n2 ) 18 32 50 2(n2 ) 2 2 2 1 16 25 n2 Trên thực tế, quan sát vào bảng cho thấy bán kính phân số trung gian bắt đầu với cặp vòng tròn ( 11 , 12 ) ( 21 , 18 ), ta thực quan sát hạng mục tỷ lệ bán kính chúng: 1 1 1 1 + = 4, + = 9, + = 16, + = 25 18 32 50 Tỉ lệ bán kính vòng tròn lớn chia cho bán kính vòng tròn ln ln số phương hồn hảo (đó 4/1, 9/1, 16/1, 25/1, n2 /1) Trong việc tạo lập bảng có nhãn vòng tròn hạng mục, ta thấy số phương liên tiếp có liên quan đến hạng mục (hoặc số vòng tròn mới) Đối với vòng tròn thứ n cho, ta thấy tỷ lệ vòng tròn lớn ban đầu so với vòng tròn thứ n, n1 Chúng ta chí viết cơng thức để vẽ vòng tròn thứ n này, biết đặt ( n−1 n , 2(n2 ) ) Có vòng tròn Ford liên kết với số hữu tỉ Hơn nữa, đường thẳng y = coi vòng tròn Ford L.R Ford lấy phân số, xem xét gồm phần ý nghĩa số số học, tạo biểu diễn hình học mối liên quan 38 phân số bán kính chúng Các vòng tròn Ford giúp ta biểu thị trực quan khái niệm phân số trung gian mẫu liên kết với phân số Farey 3.2 Mối liên hệ định lý Pick dãy Farey Có mối quan hệ định lý Pick ý tưởng toán học dãy Farey Dãy Farey FN cấp N dãy tăng dần gồm phân số tối giản m n ∈ [0, 1] mà mẫu số không vượt N Một phân số tối giản m n thuộc FN ≤ m ≤ n ≤ N gcd(m, n) = Mối quan hệ định lý Pick dãy Farey đơn giản: Khi ta vẽ hai cặp phân số liên tiếp từ dãy Farey lưới, sử dụng mẫu số tử số cặp thứ tự (m, n) kết nối với điểm gốc (0,0); diện tích tam giác kết ln 21 Diện tích ln 12 điểm vẽ khơng chứa điểm bên lưới Do sử dụng cơng thức Pick ta diện tích A tính công thức A = I + B2 − = + 23 − (vì I = 0, B = 3) Điều sử dụng minh chứng thay 39 cho liên hệ Định lý Pick dãy Farey Một số ví dụ miêu tả 3.3 Mối liên hệ dãy Farey vòng tròn Ford Cho hai vòng tròn Ford C1 C2 có tâm phân số Farey liên tiếp, hai vòng tròn tiếp xúc với Để kiểm chứng hai vòng tròn tiếp xúc nhau, ta cần phải lý tổng quát chúng Thật vậy, tâm C1 C2 phân số Farey liên tiếp chẳng hạn ab < dc , nên chúng có tính chất bd − ac = Do tâm đường tròn C1 ab với bán kính 2b12 , tâm đường tròn C2 dc với bán kính 2d12 Sử dụng định lý Pitago để tìm độ dài P Q nối hai tâm hai vòng tròn 40 Ta xét đẳng thức c a 1 ( + )2 = ( − )2 + ( − )2 2d 2b d b 2d 2b ⇔ c2 2ac a2 + + = − + + − + 4d4 4d2 b2 4b4 d2 bd b2 4d4 4b2 d2 4b4 ⇔ c2 2ac a2 = 2− + 4d2 b2 d bd b ⇔ 2 2 41 Rõ ràng đẳng thức cuối giả thiết dc ab phân số Farey liên tiếp Vậy đẳng thức ban đầu đúng, nghĩa P Q = 2b12 + 2d12 tổng hai bán kính C1 C2 Do C1 tiếp xúc với C2 Vì vậy, vòng tròn Ford có tâm phân số Farey liên tiếp đường tròn tiếp xúc 42 Kết luận Ở luận văn này, xem xét định lý Pick, phân số Farey vòng tròn Ford số lĩnh vực Trong lý thuyết toán học fractal "hỗn loạn" chẳng hạn, phân số Farey chí sử dụng để thiết kế thiết bị âm Điều ấn tuợng thực vấn đề nghiên cứu nhấn mạnh kết nối tốn học với thực tiễn từ xuất Trong luận văn này, ta tin chủ đề sử dụng để kết nối ý tưởng từ chất trực quan hình học đến chất trừu tượng đại số Việc sử dụng định lý Pick lấy ý tưởng từ cấp sở chuyển sang lý luận toán cấp cao thông qua việc sử dụng dãy Farey vòng tròn Ford Trong nhiều chương trình đào tạo, chủ đề khám phá cách riêng biệt Thông qua luận văn này, ta phát nhiều mối liên quan khái niệm Những kết nối quan trọng để ta hiểu sâu toán học, hy vọng học sinh học tốn Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Định lý Pick tính diện tích đa giác đơn Dãy Farey, vòng tròn Ford Mối liên hệ kiến thức 43 Tài liệu tham khảo [B] Tiếng Anh [1] T Davis (2003), Pick Theorem, (tomrdavis@earthlink.net, Oct 27, 2003) (http://www.geometer.org/mathcircles/pick.pdf) [2] S Das, K Halder, S Pratihar, P Bhowmick (2015), Properties of Farey Sequence and their Applications to Digital Image Processing, (https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1509/1509.07757.pdf) [3] J Ainsworth, M Dawson, J Pianta, J Warwick (2012), The Farey Sequence, Year Project School of Math Uni of Edinburgh March 15, 2012 [4] R L Graham, D E Knuth, O Patashnik (1994), "Concrete Mathematics", ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY [5] J Amen, S Green, A Schmidt (2006), Farey Sequences, Ford Circles and Pick’s Theorem Expository Paper, (http://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1001&context=math [6] J H Conway, R K Guy (1996) Farey Fractions and Ford Circles, The Book of Numbers New York: Springer-Verlag, pp 152-156 [7] A Liu (1979), Lattice Points and Pick’s Theorem, Mathematics Magazine, 52, 232- 235 (Retrieved on July 6, 2006 from http://jstor.org) [8] B Paria, S Pratihar, P Bhowmic (2016), On Farey table and its compression for space optimization with guarnteed error bounds, Math Appl (2016), 123–145 (DOI:10.13164/ma.2016.09) ... 26 26 26 26 29 Vòng tròn Ford liên hệ với định lý Pick, dãy 3.1 Giới thiệu vòng tròn Ford 3.2 Mối liên hệ định lý Pick dãy Farey 3.3 Mối liên hệ dãy Farey vòng tròn Ford Farey... Ford biểu diễn hình học phân số 2 a c b d vòng tròn (gọi vòng tròn Ford) nêu mối liên hệ định lý Pick với dãy Farey, dãy Farey với vòng tròn Ford Ford mong muốn minh họa phân số đặc biệt ví... học hình ảnh, vài dãy số có tính chất đặc biệt, đồng thời nâng cao thêm kiến thức học chương trình đại học cao học, tơi chọn đề tài Định lý Pick, dãy Farey, vòng tròn Ford ứng dụng làm luận văn