Định lý Pick, dãy Farey, vòng tròn Ford và ứng dụng

Cấu trúc luận văn được chia thành 03 chương: Chương 1 là định lý Pick trình bày chứng minh một phương pháp để tínhdiện tích các đa giác đơn có đỉnh nằm trên lưới điểm có tọa độ nguyên tr

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LẠI THẾ HANH

ĐỊNH LÝ PICK, DÃY FAREY, VÒNG TRÒN

FORD VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Văn Hoàng

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017

Mục lục

1.1 Ví dụ về định lý Pick 3

1.2 Định lý Pick cho hình chữ nhật 5

1.3 Tam giác vuông canh bên phải 6

1.4 Định lý Pick cho tam giác bất kỳ 8

1.5 Định lý Pick cho trường hợp tổng quát 10

1.5.1 Tổng quan về chứng minh 10

1.5.2 Ghép nối hai đa giác lưới 12

1.5.3 Các đường chéo bên trong 13

1.5.4 Đa giác có lỗ thủng 14

2 Dãy Farey 17 2.1 Khái niệm và tính chất 17

2.2 Tìm kiếm phân số gần nhất trong dãy Farey Fn 22

2.2.1 Thuật toán tìm kiếm cải tiến 26

2.2.2 Phân tích hiệu suất 26

2.3 Một số ứng dụng có liên quan đến hình ảnh 26

2.3.1 Đa giác mô phỏng gần đúng 26

2.3.2 Phân tích hình ảnh 29

3 Vòng tròn Ford và liên hệ với định lý Pick, dãy Farey 32 3.1 Giới thiệu vòng tròn Ford 32

3.2 Mối liên hệ giữa định lý Pick và dãy Farey 38

3.3 Mối liên hệ giữa dãy Farey và vòng tròn Ford 39

Danh sách các kí hiệu

Kí hiệu Tên

Lời mở đầu

Chúng ta đã biết trong đề tài này các chủ đề gồm định lý Pick, dãyFarey, vòng tròn Ford được sử dụng để kết nối các ý tưởng từ khía cạnh trựcquan của hình học đến bản chất trừu tượng của đại số Việc sử dụng định lýPick lấy ý tưởng từ các kiến thức bậc trung học cơ sở và dần chuyển lên cấp

độ sử dụng lập luận toán học cao hơn thông qua việc sử dụng dãy Farey vàvòng tròn Ford Trong 1 số chương trình giảng dạy về toán học thì các kiếnthức này được đưa ra một cách riêng biệt

Qua luận văn này tôi muốn trình bày mối liên hệ giữa các kiến thức đó,những mối liên hệ này rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có thể hiểu sâuhơn về toán học Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn một số kiến thức về hìnhhọc hình ảnh, một vài dãy số có tính chất đặc biệt, đồng thời nâng cao thêmcác kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học, tôi chọn đề tàiĐịnh lý Pick, dãy Farey, vòng tròn Ford và ứng dụng làm luậnvăn cao học của mình

Cấu trúc luận văn được chia thành 03 chương:

Chương 1 là định lý Pick trình bày chứng minh một phương pháp để tínhdiện tích các đa giác đơn có đỉnh nằm trên lưới điểm có tọa độ nguyên trongmặt phẳng xOy Từ “đơn” trong “đa giác đơn” chỉ có nghĩa là đa giác không

có lỗ thủng và các cạnh của nó không cắt nhau

Chương 2 trình bày lại phát minh của Farey về một quy trình để tạo racác phân số thích hợp nằm trong đoạn [0, 1], nó được gọi là dãy Farey Mộtcách chính xác, dãy Farey Fn (với chỉ số n) là dãy các phân số tối giản, thực

sự, dương, có mẫu số nhỏ hơn hoặc bằngn, và được sắp xếp theo thứ tự tăngdần theo các giá trị của chúng

Chương 3 trình bày định lý Ford về sự biểu diễn hình học của 1 phân số

Ford mong muốn minh họa các phân số đặc biệt ví dụ như a

và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể hoàn thành luận văn này.Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạycao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học,Đại học Thái Nguyên đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm nghiên cứu và pháttriển giáo dục Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi cóthể hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoànthành luận văn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Lại Thế Hanh

Chương 1

Định lý Pick

Trong chương này chúng tôi trình bày và chứng minh định lý của Pick

về công thức tính diện tích của một đa giác đơn từ đơn giản đến tổng quátthông qua lưới điểm có tọa độ nguyên ở miền trong và trên biên của đa giác.Các kết quả của chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1], [5],[7]

1.1 Ví dụ về định lý Pick

Định lý Pick cung cấp cho chúng ta một phương pháp để tính diện tíchcủa đa giác đơn giản mà đỉnh của nó nằm trên lưới điểm - điểm với tọa độnguyên trong mặt phẳng x − y Từ "đơn giản" trong "đa giác đơn giản" chỉ

có nghĩa là đa giác không có lỗ thủng và các cạnh của nó không cắt nhau.Các đa giác trong Hình 1.1 là các đa giác đơn giản, nhưng ta nên hiểu rằng

từ "đơn giản" chỉ có thể áp dụng trong một ý nghĩa nhất định - một đa giácđơn giản về mặt kỹ thuật có thể có một triệu cạnh

Rõ ràng cho đa giác với một miền trong lớn, miền này sẽ là khoảng xấp

xỉ bởi số lượng các điểm lưới ở trong nó Ta có thể đoán rằng một chút xấp

xỉ tốt hơn có thể nhận được bằng cách thêm khoảng một nửa các điểm lướitrên “biên” vì chúng là loại nửa trong và nửa ngoài đa giác Nhưng chúng tahãy nhìn vào một vài ví dụ trong Hình 1.1 Đối với các ví dụ dưới đây, ta sẽcho I là số điểm của miền trong, và B là số điểm ở trên biên Ta sử dụng kýhiệu A(P ) để chỉ diện tích đa giác P

E : Có một chút phức tạp hơn để ước tính diện tích của đa giác E và F E

có thể bị chia thành một hình chữ nhật 6 x 3 và hai tam giác vuông với đáy

3 và chiều cao 5, vì vậy ta nhận được:

Điều bất ngờ là nếu nhìn vào tất cả sáu ví dụ trên, ta thấy rằng ước tính

I + B

2 luôn luôn đạt được một kết quả chính xác đó là diện tích cộng thêm

1 Dường như đối với bất kỳ lưới đa giác P nào, thì công thức tính diện tíchsau đây là đúng

Hình 1.2: Định lý Pick cho hình chữ nhật

Hình chữ nhật đặc biệt trong Hình 1.2 là lưới 14 × 11(m = 14 vàn = 11),

vì vậy nó có diện tích là A = 14 × 11 = 154 Và thật dễ dàng để tính số

điểm trong và điểm biên: miền trong có I = 13 × 10 = 130 điểm, và nó có

B = 50 điểm trên biên Khi đó ta có liên hệ

sẽ xảy ra? Diện tích lúc này hiển nhiên là m × n Lúc này dễ dàng thấy rằng

số các điểm trong là I = (m − 1) × (n − 1) (ta có thể tự kiểm chứng bằngcách xét một vài ví dụ nếu cần thiết) Ta cũng thấy rằng số điểm biên củahình chữ nhật đó là B = 2m + 2n (bởi vì B = 2(m + 1) + 2(n + 1) − 4) Vìvậy khi cho một hình chữ nhật có kích thước m × n, ta luôn có công thức

1.3 Tam giác vuông canh bên phải

Có một chút khó khăn hơn để chỉ ra rằng các công thức đúng cho các tamgiác vuông canh bên phải, nơi hai cạnh góc vuông của tam giác nằm dọctheo các đường lưới Cách dễ nhất để làm rõ điều này là ta chọn một tamgiác như là một nửa của một trong các hình chữ nhật ở phần trước, khi đó

có một đường chéo được thêm vào, như Hình 1.3

Ta sẽ xét một hình tam giác T như vậy với 2 cạnh góc vuông có độ dài

m và n Khi đó tam giác này có diện tích là A(T ) = mn2 , nhưng liệu nó cóbao nhiêu điểm trong và bao nhiêu điểm biên nữa? Quan sát Hình 1.3, ta cóthể dễ dàng đếm được các điểm biên dọc theo 2 cạnh, nhưng ta thấy đôi khimột số điểm lưới không nằm trên các đường chéo của tam giác Nhưng điều

đó không quan trọng Đối với một tam giác vuông tùy ý với cạnh góc vuôngdài m và n và có diện tích A(T ) = mn2 , giả sử có k điểm trên đường chéo,không kể những điểm ở hai đầu (đỉnh tam giác) Khi đó dễ thấy số lượng các

Hình 1.3: Định lý Pick cho tam giác vuông canh bên phải

điểm biên là m + n + 1 + k Số lượng các điểm bên trong cũng rất dễ dàngtính toán được Hình chữ nhật cạnh độ dài là m và n sẽ có (m − 1)(n − 1)

điểm trong Sau khi trừ đi k điểm trong nằm trên đường chéo, số còn lại là

(m − 1)(n − 1) − k, số này gấp đôi số điểm trong của tam giác Vậy số điểmtrong của tam giác là I = (m−1)(n−1)−k2

Bây giờ ta kiểm tra Định lý Pick đối với một tam giác vuông canh bênphải, ta nhận được:

= A(T )

Như vậy định lý Pick đúng trong trường hợp này

1.4 Định lý Pick cho tam giác bất kỳ

Giả sử rằng Định lý Pick đã đúng cho các tam giác vuông canh bên phải

và hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục Khi đó ta có thể chứngminh rằng định lý Pick cũng đúng cho một tam giác tùy ý Trong thực tế córất nhiều trường hợp khác nhau để xem xét, nhưng tất cả các tam giác nàyđều ít nhiều giống như các biến thể của Hình 1.4, ở đó là một tam giác T

tùy ý có thể được mở rộng đến một hình chữ nhật bằng cách bổ sung thêmcủa một vài tam giác vuông Trong trường hợp của hình vẽ này, ba hình tamgiác khác được bổ sung thêm vào để được như yêu cầu chẳng hạn là A, B,

và C

Hình 1.4: Định lý Pick cho tam giác bất kỳ

Giả sử rằng tam giác A có số các điểm miền trong là IA và số các điểmtrên biên là BA, tam giác B có các điểm miền trong là IB và các điểm trênbiên là BB, tương tự cho C Gọi hình chữ nhật được xây dựng như trên là

R, và giả sử R có số điểm miền trong là IR và số các điểm trên biên là BR

Vì ta đã biết công thức của Pick cho tam giác vuông và hình chữ nhật nên

ta có:

A(A) = IA + BA

2 − 1A(B) = IB + BB

2 − 1A(C) = IC + BC

2 − 1A(R) = IR + BR

2 − 1

Ta muốn chỉ ra rằng A(T ) = IT + BT

2 − 1.Nhìn vào hình vẽ ta biết rằng

= IR − IA − IB − IC + BR − BA− BB − BC

Giả sử hình chữ nhật R có kích thước m × n, vì vậy nó có diện tích A(R) =

mn, có BR = 2m + 2n và có IR = (m − 1)(n − 1) Nếu chúng ta tính điểmbiên một cách cẩn thận, chúng ta thu được BA+ BBb + BC = BR+ BT hay

(vì các đỉnh góc nhọn của các tam giác xung quanh được tính hai lần ở cả hai

vế của phương trình) Đếm các điểm bên trong của hình chữ nhật ta được

IR = IA+ IB + IC + IT + (BA + BB + BC + BR) − 3 (4)(ở đây ta cần có số −3 ở cuối của phương trình trên bởi vì các góc của tamgiác thực sự bị tính hai lần) Thay thế giá trị BR trong công thức (3) vàophương trình (4) ta được

IR = IA + IB + IC + IT + BT − 3 (5)Bây giờ ta thay thế các giá trị của BR và IR từ phương trình (3) và (5) vào

phương trình (2), và sau khi rút gọn, ta thu được kết quả:

1.5 Định lý Pick cho trường hợp tổng quát

Bây giờ ta biết rằng Định lý Pick đã đúng đối với tam giác tùy ý với đỉnhcủa nó nằm trên lưới điểm (Vì chúng ta đã làm, đã kiểm tra tra một sốtrường hợp khác tương tự những trường hơp mà đã xuất hiện trong phầntrước.) Vậy làm thế nào để chúng ta chỉ ra rằng nó là đúng đối với một đagiác đơn P tùy ý với các đỉnh nằm trên lưới điểm?

1.5.1 Tổng quan về chứng minh

Bằng trực giác, những gì chúng ta nhận thấy là mọi đa giác đơn như đã

đề cập ở trên có thể được xây dựng bằng cách ghép từ các đa giác nhỏ hơn,nơi mà ta đã chứng minh được lý Pick là đúng Ta sẽ mô phỏng về chứngminh này như sau Ta đã chỉ ra rằng mọi đa giác lưới 3 cạnh thỏa mãn định

lý Pick Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng nếu nó đúng cho tất cả các

đa giác 3 cạnh, thì nó cũng đúng đối với tất cả các đa giác 4 cạnh Sau đó,chúng ta chứng minh rằng nếu định lý Pick đúng cho tất cả các đa giác 3 và

4 cạnh thì nó cũng đúng cho tất cả các đa giác 5 cạnh Sau đó, chúng ta chỉ

ra rằng, nếu đó là đúng cho tất cả các đa giác có 3, 4, và 5 cạnh thì nó cũngđúng cho tất cả các đa giác có 6 cạnh, tiếp tục quá trình

Kĩ thuật này đã chính thức được công nhận và nó được gọi là quy nạptoán học tổng quát Trên thực tế, trong thực hành, ta sẽ không làm vô hạncác bước chứng minh như ta vừa mô tả ở đoạn trên, mà chúng ta chỉ làm vớimột số hữu hạn các bước mà thôi Chúng ta sẽ chứng minh nó qua hai bướcsau đây (trong đó bước thứ nhất đã được chứng minh):

• 1 Chứng minh rằng định lý là đúng cho mỗi đa giác lưới có 3 cạnh

• 2 Chứng minh rằng nếu định lý là đúng cho mọi đa giác lưới có 3 hoặc

4 hoặc 5 hoặc hoặc k − 1 cạnh, thì nó cũng đúng cho mọi lưới đagiác có k cạnh

Vì phần thứ hai của chứng minh áp dụng đối với k cạnh bất kỳ, nên nó cóhiệu lực cho tất cả vô hạn bước đã liệt kê ở hai đoạn trên

Một ví dụ cụ thể về ý tưởng tổng quát như đã mô phỏng được minh họatrong Hình 1.5 Chúng ta có một đa giác 23 cạnh: ABC W Ta sẽ chứngminh rằng mọi đa giác như vậy với hơn ba cạnh phải đều có một đườngchéo bên trong (có rất nhiều đường như vậy trong Hình 1.5, nhưng ta chọnđường chéo OW làm một ví dụ), và một đường chéo như vậy sẽ chia đa giácthành một cặp đa giác nhỏ hơn Trong trường hợp này, chia thành đa giác

ABC M N OW có 16 cạnh và đa giác OP Q W có 9 cạnh Vì theo giảthiết quy nạp ta đã biết rằng định lý Pick đúng cho tất cả các đa giác có từ

3đến 22 cạnh, do đó trong cụ thể của ta thì định lý Pick là đúng cho các đagiác có 16 và 9 cạnh Sau đó ta sẽ chỉ ra rằng nếu hai đa giác thỏa mãn định

lý Pick mà chúng được gắn với nhau ở một cạnh chung thì đa giác kết quảcũng sẽ thỏa mãn định lý Pick

Mục tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra phần thứ hai đầu tiên rằng nếu hai đagiác cùng thoả mãn định lý Pick thì kết quả phần ghép lại của chúng cũngthỏa mãn nội dung định lý

Hình 1.5: Định lý Pick cho trường hợp tổng quát

1.5.2 Ghép nối hai đa giác lưới

Giả sử hai đa giác phụ của đa giác P ban đầu là P1 và P2, với P1 có I1

điểm bên trong và các điểm trên biên là B1; P2 có I2 điểm bên trong và cácđiểm trên biên là B2 Ta cũng giả định rằng đường chéo chung của đa giácban đầu ngăn giữa P1 và P2 có chứa điểm m Cho P có I điểm bên trong và

B điểm biên, khi đó:

A(P ) = A(P1) + A(P2) = (I1 + B1

2 − 1) + (I2 + B2

2 − 1)

Vì bất kỳ nào nằm bên trong P1 hoặc P2 đều nằm trong P, và vì m − 2

điểm biên chung của P1 và P2 cũng là điểm thuộc miền trong của P, nên I =

I1+I2+m−2 Lập luận tương tự ta cũng thu đượcB = B1+B2−2(m−2)−2

1.5.3 Các đường chéo bên trong

Để hoàn thành chứng minh Định lý Pick ta phải chứng minh rằng mọi

đa giác đơn có một đường chéo bên trong (tức là một đường chéo nằm tronghoàn toàn đa giác mà nó nối hai điểm là các đỉnh của đa giác) thì đườngchéo này hoàn toàn nằm trong đa giác tạo thành bởi hai của đỉnh của nó

Ví dụ sau cho ta thấy sự tồn tại một đường chéo bên trong đa giác

Hình 1.6: Sự tồn tại của đường chéo bên trong

Chứng minh sự tồn tại của đường chéo bên trong ở ví dụ hình trên được

mô tả qua từng bước như sau: Trước tiên tìm một góc ABC sao cho miềntrong của đa giác nằm ở phía bên của góc nhỏ hơn 180o Sau đó ta chia ralàm hai trường hợp Trường hợp 1, đoạn AC nằm hoàn toàn trong đa giác,trường hợp này ta có đường chéo bên trong làAC; trường hợp 2, một số phầncủa đa giác (như GJ KL trong Hình 1.6) đi vào bên trong tam giác ABC.Khi đó chỉ có hữu hạn đỉnh của đa giác ở miền trong của tam giác ABC;qua mỗi điểm đó, ta dựng một đường thẳng vuông góc với đường phân giáccủa góc ABC Rõ ràng đường thẳng nối B với đỉnh nằm trên đường vuônggần nhất với điểm B sẽ nằm hoàn toàn bên trong đa giác (nếu không thì

nó sẽ cắt một cạnh khác của đa giác, và tại một đầu của cạnh đó sẽ có mộtđường vuông góc với đường phân giác của góc ABC mà nó gần với B hơn,

đó là điều mâu thuẫn).

Lưu ý rằng chúng ta không thể sử dụng các đỉnh gần nhất với B TrongHình 1.6, J là điểm gần B nhất nhưng rõ ràng đoạn J B cắt đoạn KL

1.5.4 Đa giác có lỗ thủng

Cho đến nay, tất cả các đa giác đơn chúng ta đã xem xét, chúng đều không

có lỗ thủng Trong Hình 1.7 là năm ví dụ về đa giác có lỗ thủng Đa giác

A, B và C có một lỗ thủng, trong khi đa giác D và E đều có hai lỗ thủng.Những ví dụ đơn giản này đủ thấy rằng không khó để tính toán các diện tíchcác phần đa giác mà nó nằm ngoài 1 lỗ thủng hoặc ngoài nhiều lỗ thủng

Bảng trên cho thấy số lượng, bao gồm cả diện tích thực tế và diện tích được

dự đoán bởi công thức mà tính toán cho đa giác không có lỗ thủng Trongtrường hợp có một lỗ thủng, ta có một lỗi là 1; trường hợp có hai lỗ thủng,

số lỗi này là 2 Trong thực tế, nếu ta thử thêm một vài ví dụ nữa với một,hai, hoặc nhiều lỗ thủng và thêm các mục bổ sung vào bảng trên đây, thì ta

sẽ nhận ra rằng diện tích này dường như được cho bởi công thức sau đây

A(X) = IX + BX

2 − 1 + n trong đó n là số lỗ thủng

Vì chúng ta đã biết công thức tính diện tích cho các đa giác không có lỗthủng, nên ta có thể sử dụng thông tin kết quả này để tìm ra công thức tínhdiện tích của một đa giác có các lỗ thủng Đầu tiên, ta sẽ tìm công thức tínhdiện tích đa giác có một lỗ thủng và sau đó chúng ta sẽ mở rộng công thứctính cho trường hợp tổng quát có n lỗ thủng

• Đối với trường hợp có một lỗ thủng duy nhất, ta cần chỉ ra rằng diệntích của đa giác được cho bởi công thức A(X) = IX+BX

2 − 1 + 1 = IX +BX

2 Giả sử các đa giác bên ngoài có diện tích A(X)o, có (IX)o điểm bên trong

và có số điểm biên là (BX)o Các đa giác tạo nên các lỗ thủng có diện tích

A(X)h và có (IX)h điểm bên trong và (BX)h điểm biên

Từ những gì ta đã trình bày từ lúc trước, ta biết rằng A(X)o = (IX)o+

Nếu IX và BX là số lượng các điểm ở miền trong và điểm biên của toàn

bộ đa giác đó bao gồm cả các lỗ thủng, thì ta có

(IX)o và (BX)o các điểm trong và các điểm biên) có n lỗ thủng với diện tích

là Ai, với 1 ≤ i ≤ n và có Ii và Bi điểm trong và điểm biên Diện tích A(X)

của đa giác có lỗ thủng (có IX điểm trong và BX điểm biên) được cho bởi:

Chương 2

Dãy Farey

Dãy Farey là một chủ đề được quan tâm bởi nhiều nhà toán học nửa đầucủa thế kỷ trước Với sự xuất hiện của nhiều thuật toán khác nhau liên quanđến sự phát triển của khoa học trong thời gian gần đây, đã có nhiều côngtrình thú vị liên quan đến dãy Farey đã được công bố Chương này trình bàyvấn đề liên quan tới việc tìm kiếm một phân số bất kì trong một dãy Farey

và nó liên quan tới quá trình xử lý hình ảnh

Cho một phân số tùy ý pq (với 0 < p < q) và một dãy Farey Fn, ta đềxuất một thuật toán mới bằng cách sử dụng phương pháp Regula Falsi vàkhái niệm Bảng Farey để tìm được phân số của dãy Fn gần pq nhất Tất cảcác tính toán đều nằm trong tập các số nguyên, đó là một điều thuận lợi.Đồng thời ta cũng xem xét một số ứng dụng dãy Farey vào quá trình xử lýảnh khi thích hợp Ta cũng đưa ra một vài kết quả thử nghiệm để minh họacho tính hiệu quả và khả quan của nó

2.1 Khái niệm và tính chất

Vào năm 1816, John Farey đã phát minh ra một quy luật khá bất ngờ đểtạo ra các phân số thực sự nằm trong khoảng [0, 1], mà chúng được gọi làdãy Farey Khái niệm đó chính thức được xác định như sau

Định nghĩa 2.1.1 Dãy Farey thứ n, kí hiệu Fn, là một dãy các phân số tốigiản trong [0, 1], mà mẫu số của chúng nhỏ hơn hoặc bằng n, được sắp xếptheo thứ tự tăng dần theo giá trị của chúng

Từ định nghĩa ta thấy mỗi dãy Farey bắt đầu bởi giá trị 0 (tức là số 01) vàkết thúc bởi giá trị 1 (tức là 11) Một điều thú vị đó là, mỗi dãy Fn được sinh

ra từ dãy Fn−1 ngay trước nó bằng cách chèn thêm phân số a+ab+b00, nó đượcgọi là phân số trung gian, giữa mỗi cặp phân số liên tiếp ab và ab00 của Fn−1,chú ý loại bỏ các phân số tối giản có mẫu vượt quá n Ta thấy rằng mỗi dãy(ngoại trừ F1) có một số lượng lẻ các hạng tử và có hạng tử ở giữa luôn là 12

Tiếp theo ta định nghĩa khái niệm hạng của phân số của dãy Farey

Định nghĩa 2.1.2 Ta nói, một phân số pq của Fn có hạng r nếu và chỉ nếutồn tại r − 1 phân số trong Fn nhỏ hơn pq (xem Hình 2.1)

Hình 2.1: Một dãy Farey Fn có fmax phân số với hạng lần lượt là 1, 2, , fmax

Người ta thấy có hai vấn đề điển hình trong chuyện về dãy Farey Thứnhất là bài toán về hạng: Cho trước một phân số p/q, hãy tìm hạng của

nó trong dãy Fn Thứ hai là bài toán về thống kê thứ tự: Cho trước hai sốnguyên dương n và k, hãy tìm phần tử có hạng k của dãy Fn

Tiếp theo ta xét một số tính chất của dãy Farey, liên quan đến vấn đề taquan tâm

Mệnh đề 2.1.1 Cho hai phân số ab < dc là hai phân số liên tiếp nhau trongdãy Fn khi đó bc − ad = 1 và b + d ≥ n + 1.

Chứng minh Cho ab và dc là liên tiếp nhau trong dãy Fn Khi đó ta chứngminh bằng quy nạp rằng bc − ad = 1 Đẳng thức 1.1 − 0.0 = 1 là đúng đốivới F1, và bất đẳng thức 1 + 1 ≥ 1 + 1 là đúng với F1 Giả sử kết quả đãđúng đối với các phân số liên tiếp ab và dc của Fn Ta có Fn = { ,ab,dc, }

và bc − ad = 1 Nếu b + d < n + 1 thì a+cb+d (hay dạng rút gọn của nó) đãxuất hiện ở Fn rồi, lúc đó mâu thuẫn với tính chất liên tiếp của hai phân

số ab và dc Do đó chỉ có thể xảy ra b + d ≥ n + 1, trong trường hợp này

Chứng minh Bởi vì a+cb+d − ab = b(b+d)bc−ad > 0 và dc − a+cb+d = d(b+d)bc−ad > 0

Mệnh đề 2.1.3 Cho số thực x tùy ý thuộc [0, 1], khi đó có một phân số a/b

trong Fn thỏa mãn ab gần nhất x sao cho |x − ab| ≤ b(n+1)1

Chứng minh Bằng cách sử dụng thuật toán tìm kiếm nhị phân, ta có thểgiả sửx nằm giữa hai phân số liên tiếp ab và dc của dãy Farey Fn Khi đó theotính chất trên đây ta cóbc − ad = 1 và b ≤ n, d ≤ n Mặt khác ab < a+cb+d < cd.Nếu ab < x < a+cb+d thì x − ab < a+cb+d − ab = ab+cb−ab−adb(b+d) = b(b+d)1 Ta biết rằng

b + d ≥ n + 1 Do đó

x − a

b <

1b(b + d) ≤ 1

b(n + 1).