Không gian sobolev và ứng dụng (LV01700)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN HẢI KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN HẢI KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI, 2015 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS Trần Văn Bằng Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn này! Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Văn Hải ii Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Trần Văn Bằng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Văn Hải iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Danh mục kí hiệu iv Lời mở đầu 1 Không gian Sobolev W m,p (Ω) W0m,p (Ω) 1.1 Không gian Lp (Ω) 1.2 Không gian Sobolev W m,p (Ω) 1.3 Không gian Sobolev W0m,p (Ω) 29 Ứng dụng số toán biên 35 2.1 Bài toán biên Dirichlet với toán tử Laplace 35 2.2 Bài toán biên Neumann toán tử Laplace 40 2.3 Tính quy nghiệm 42 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 iv Danh mục kí hiệu • RN Không gian Euclide N chiều • ∆u Laplacian u • ∇u Gradien u • p Liên hợp mũ p, tức • supp f Giá hàm f • f Tích chập f với g g p + p = • (τh f )(x) = f (x + h) thay đổi hàm f • Cc1 (Ω) Không gian hàm khả vi cấp có giá compact Ω • Chuẩn không gian V V • Ω ⊂ RN Tập mở RN • ∂Ω = Γ Biên Ω • W 1,p (Ω), W01,p (Ω), W m,p (Ω), H (Ω), H01 (Ω), H m (Ω) Các không gian Sobolev Lời mở đầu Lý chọn đề tài Như biết, việc nghiên cứu trình động tự nhiên xã hội thường dẫn đến việc khảo sát hay nhiều phương trình đạo hàm riêng việc định lượng hóa đặc trưng đối tượng nghiên cứu đại lượng toán học Nhưng ta dễ nhận thấy quy luật tự nhiên thường dẫn đến hệ thức phi tuyến tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến Tuy nhiên, xuất khó khăn toán học thực Bởi vậy, xây dựng mô hình toán học buộc phải bớt tính xác bỏ qua phần thêm phi tuyến bé chuyển sang tuyến tính hóa lân cận nghiệm cho cách đưa toán toán tuyến tính Vẫn chưa đủ, để giải toán ta lại có thay đổi định giả thiết toán tương ứng nghiệm có thay đổi định Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển toán phức tạp, thế, người ta xây dựng nghiệm suy rộng nó, sau thiết lập độ trơn chúng chứng minh nghiệm cổ điển toán Nói để thấy rằng, không gian nghiệm toán giải có nhiều thay đổi so với không gian nghiệm toán thực tế ban đầu Vì vậy, việc chọn không gian hàm cho nghiệm toán có vai trò quan trọng để đảm bảo tính đặt toán Một không gian phiếm hàm tuyến tính sử dụng rộng rãi lý thuyết phương trình đạo hàm riêng không gian Sobolev Với mong muốn tìm hiểu sâu không gian Sobolev nên em chọn đề tài “Không gian Sobolev ứng dụng” để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu không gian Sobolev: khái niệm, cấu trúc khả ứng dụng nghiên cứu tính chất định tính phương trình đạo hàm riêng Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết không gian Sobolev Tìm hiểu lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Trình bày cách hệ thống không gian Sobolev ứng dụng chúng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: không gian Sobolev ứng dụng Phạm vi nghiên cứu: không gian Sobolev W m,p (Ω) W0m,p (Ω) ứng dụng Phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu tư liệu sách, báo; Sử dụng phương pháp Giải tích hàm Phương trình đạo hàm riêng; Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài Đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống không gian Sobolev, số ứng dụng không gian Sobolev việc nghiên cứu tính chất định tính phương trình đạo hàm riêng Chương Không gian Sobolev W m,p(Ω) m,p W0 1.1 (Ω) Không gian Lp (Ω) Định nghĩa Cho p ∈ R với < p < ∞, ta đặt Lp (Ω) = f : Ω → R; f đo |f |p ∈ L1 (Ω) với 1/p f Lp = f p |f (x)|p dµ = Ω Định nghĩa Ta đặt     f đo có số C L∞ (Ω) = f : Ω → R  cho |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi Ω  với f L∞ = f ∞ = inf C : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi Ω Định lý 1.1 (Bất đẳng thức H¨older) Giả sử f ∈ Lp g ∈ Lp với ≤ p ≤ ∞ Khi f g ∈ L1 |f g| dx ≤ f p g p (1.1) Chứng minh Kết luận rõ ràng p = p = ∞, ta giả sử < p < ∞ Ta nhớ lại bất đẳng thức Young 1 ab ≤ ap + bp p p ∀a ≥ 0, ∀b ≥ (1.2) Bất đẳng thức (1.2) hệ đơn giản với tính lõm hàm log (0, ∞) : log p p a + b p p 1 ≥ logap + logbp = logab p p Ta có |f (x)g(x)| ≤ 1 |f (x)|p + |g(x)|p p p x ∈ Ω Suy f g ∈ L1 |f g| dx ≤ f p p p + g p p p λp g p p (1.3) Thay f λf (λ > 0) (1.3) ta có |f g| dx ≤ Chọn λ = f −1 p g p /p p , λp−1 f p p p + (1.4) ta có điều phải chứng minh Định lý 1.2 (Ascoli–Arzelà) Giả sử K không gian metric compact H tập bị chặn C(K) Giả sử H đồng liên tục đó, ∀ε > 0, ∃δ > cho d(x1 , x2 ) < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε ∀f ∈ H (1.5) Khi bao đóng H C(K) compact Định lý 1.3 (Kolmogorov–M Riesz–Fréchet) Giả sử F tập bị chặn Lp (RN ) với ≤ p < ∞ Giả sử lim |h|→∞ τh f − f p = đồng f ∈ F, tức là, ∀ε > 0, ∃δ > cho τh f − f p (1.6) < ε ∀f ∈ F, ∀h ∈ RN với |h| < δ Khi bao đóng F|Ω Lp (Ω) compact với tập đo Ω ⊂ RN với độ đo hữu hạn Chứng minh Ta chứng minh theo bước sau: 39 cho thuộc L∞ (Ω) Một nghiệm yếu (2.9) hàm u ∈ H01 cho aij Ω i,j ∂u ∂v + ∂xi ∂xj Ω i ∂u v+ ∂xi a0 uv = Ω f v, ∀v ∈ H01 (2.10) a0 uv (2.11) Ω Dạng song tuyến tính liên tục tương ứng a(u, v) = ∂u ∂v + ∂xi ∂xj aij Ω i,j Ω i ∂u v+ ∂xi Ω Nói chung dạng không đối xứng Trong số trường hợp có tính Khi ta sử dụng Định lý Lax-Milgram để có tồn nghiệm yếu Trong trường hợp tổng quát, trí tính bức, ta có Định lý 2.2 Nếu f = tập nghiệm u ∈ H01 (2.10) không gian vectơ hữu hạn chiều, chẳng hạn d chiều Hơn nữa, tồn không gian F ⊂ L2 (Ω) với số chiều d cho f v = ∀v ∈ F [(2.10) có nghiệm ] ⇔ Ω Chú ý Giả sử phương trình tương ứng với (2.10), tức là, với f = 0, có u = nghiệm Với f ∈ L2 , tồn nghiệm u ∈ H01 (2.10) Đặc biệt, a0 ≥ Ω ta chứng minh nhờ phương pháp kiểu nguyên lí cực đại f = u = Do đó, ta đưa toán, giả thiết a0 ≥ Ω (và giả thiết , ≤ i ≤ N ) với f ∈ L2 có tồn nghiệm u ∈ H01 (2.10) hay không? Chứng minh Cố định λ > đủ lớn dạng song tuyến tính a(u, v) + λ uv Ω thỏa mãn điều kiện H01 Với f ∈ L2 , tồn u ∈ H01 thỏa mãn a(u, ϕ) + λ f ϕ ∀ϕ ∈ H01 uϕ = Ω Ω Đặt u = T f, cho: T : L2 → L2 toán tử tuyến tính compact (có điều H01 ⊂ L2 phép nhúng compact) Phương trình (2.10) tương đương với u = T (f + λu) (2.12) 40 Đặt v = f + λu ẩn (2.12) trở thành v − λT v = f (2.13) Theo Định lý luân phiên Fredholm ta có điều phải chứng minh 2.2 Bài toán biên Neumann toán tử Laplace Cho Ω ⊂ RN miền bị chặn thuộc lớp C Ta tìm hàm u : Ω → R thỏa mãn   −∆u+ u = f ∂u ∂n   f cho Ω; ∂u ∂n ∂u ∂n Ω, =0 (2.14) Γ đạo hàm theo vectơ pháp tuyến đơn vị u, tức = ∇u.n, n véc tơ pháp tuyến đơn vị Γ Điều kiện biên ∂u ∂n =0 Γ gọi điều kiện Neumann (thuần nhất) Định nghĩa Một nghiệm cổ điển (2.14) hàm u ∈ C (Ω) thỏa mãn (2.14) Một nghiệm yếu (2.14) hàm u ∈ H (Ω) thỏa mãn ∇u.∇v + fv uv = ∀v ∈ H (Ω) (2.15) Ω Ω Ω Bước A: Mỗi nghiệm cổ điển nghiệm yếu Theo công thức Green có (∆u)v = Ω Γ ∂u vdσ − ∂n ∇u.∇v ∀u ∈ C (Ω), ∀v ∈ C (Ω), (2.16) Ω dσ vi phân diện tích mặt Γ Nếu u nghiệm cổ điển (2.14) u ∈ H (Ω) ta có ∇u.∇v + Ω uv = Ω fv ∀v ∈ C (Ω) fv ∀v ∈ H (Ω) Ω Bởi tính trù mật ta có kết luận ∇u.∇v + Ω uv = Ω Ω Bước B: Sự tồn nghiệm yếu 41 Mệnh đề 2.2 Với f ∈ L2 (Ω), tồn nghiệm yếu u ∈ H (Ω) (2.14) Hơn nữa, u nghiệm toán v∈H (Ω) (|∇v|2 + v ) − fv Ω Ω Bước C: Tính quy nghiệm yếu Điều ta thảo luận mục sau Bước D: Khôi phục nghiệm cổ điển Nếu u ∈ C (Ω) nghiệm yếu (2.14), từ (2.16) ta có (−∆u + u)v + Ω Γ ∂u vdσ = ∂n f v, ∀v ∈ C (Ω) (2.17) Ω Trong (2.17) ta chọn v ∈ Cc1 (Ω) để suy −∆u + u = f Ω Sau trở lại (2.17) với v ∈ C (Ω); nhận Γ ∂u ∂n ∂u vdσ = 0, ∂n ∀v ∈ C (Ω) = Γ Ví dụ 2.2.1 (miền không bị chặn) Trong trường hợp Ω tập mở không bị chặn RN , điều kiện biên thông thường Γ = ∂Ω ta áp đặt điều kiện biên vô cực, ví dụ u(x) → |x| → ∞ Điều nghiệm yếu trở thành điều kiện u ∈ H Tất nhiên ta phải chứng minh u nghiệm cổ điển cho u(x) → |x| → ∞, u phải thuộc H Dưới vài ví dụ điển hình (a) Ω = RN ; Với f ∈ L2 (RN ) phương trình −∆u + u = f RN có nghiệm yếu theo nghĩa sau: u ∈ H (RN ) ∇u.∇v + RN uv = RN fv RN ∀v ∈ H (RN ) 42 N (b) Ω = RN + ; Với f ∈ L (R+ ) toán   −∆u + u = f RN +,   u(x , 0) = với x ∈ RN −1 , có nghiệm yếu theo nghĩa sau: u ∈ H01 (Ω) ∇u.∇v + uv = Ω Ω ∀v ∈ H01 (Ω) f v, Ω N (c) Ω = RN + ; Với f ∈ L (R+ ) toán   −∆u + u = f   ∂u (x ∂xN RN +, với x ∈ RN −1 , , 0) = có nghiệm yếu theo nghĩa sau u ∈ H (Ω) ∇u.∇v + uv = Ω 2.3 Ω ∀v ∈ H (Ω) f v, Ω Tính quy nghiệm Định nghĩa Ta nói tập mở Ω thuộc lớp C m , m ≥ số nguyên, với x ∈ Γ tồn lân cận U x RN song ánh H : Q → U cho H ∈ C m (Q), H −1 ∈ C m (U ), H(Q+ ) = U ∩ Ω, H(Q0 ) = U ∩ Γ Ta Ω thuộc lớp C ∞ thuộc lớp C m với m Định lý 2.3 (Tính quy với toán Dirichlet) Cho Ω tập mở thuộc lớp C 2 với Γ bị chặn (hoặc Ω = RN + ) Cho f ∈ L (Ω) u ∈ H0 (Ω) thỏa mãn ∇u∇ϕ + Ω Khi u ∈ H (Ω) u Ω H2 f ϕ ∀ϕ ∈ H01 (ω) uϕ = ≤C f (2.18) Ω L2 , C số phụ thuộc vào Ω Hơn nữa, Ω thuộc lớp C m+2 f ∈ H m (Ω) u ∈ H m+2 (Ω) u H m+2 ≤C f Hm 43 Đặc biệt, f ∈ H m (Ω) với m > N/2 u ∈ C (Ω) Cuối cùng, Ω thuộc lớp C ∞ f ∈ C ∞ (Ω) u ∈ C ∞ (Ω) Định lý 2.4 (Tính quy cho toán Neumann) Với giả thiết giống Định lí 2.3, ta có kết luận tương tự cho nghiệm toán Neumann, tức với u ∈ H (Ω) cho ∇u.∇ϕ + Ω uϕ = Ω f ϕ, ∀ϕ ∈ H (Ω) (2.19) Ω Chú ý Ta có kết luận tương tự nghiệm toán Dirichlet (hoặc Neumann) toán tử elliptic cấp hai tổng quát, tức u ∈ H01 (Ω) cho aij Ω i,j ∂u ∂ϕ + ∂xi ∂xj Ω i ∂u ϕ+ ∂xi a0 uϕ = Ω f ϕ, ∀ϕ ∈ H01 (Ω) Ω [f ∈ L2 (Ω), aij ∈ C (Ω) ∈ C(Ω)] ⇒ u ∈ H (Ω), với m ≥ 1, [f ∈ H m (Ω), aij ∈ C m+1 (Ω) ∈ C m (Ω)] ⇒ u ∈ H m+2 (Ω) Chúng ta cần chứng minh Định lí 2.3, chứng minh Định lí 2.4 hoàn toàn tương tự Sau ý tưởng để chứng minh Đầu tiên ta xét trường hợp Ω = RN , sau trường hợp Ω = RN + Với miền Ω nói chung ta tiến hành theo hai bước sau: Tính quy miền, tức u quy miền ω ⊂⊂ Ω Ở đây, chứng minh tương tự Ω = RN Tính quy biên, tức u quy lân cận biên Ở chứng minh dựa vào đồ địa phương, trường hợp Ω = RN + Sau phương án: A Trường hợp Ω = RN B Trường hợp Ω = RN + C Trường hợp tổng quát: C1 Ước lượng phần C2 Ước lượng gần biên A Trường hợp Ω = RN 44 Kí hiệu Cho h ∈ RN , h = 0, đặt Dh u = (τh u − u), |h| i.e., u(x + h) − u(x) |h| Dh u(x) = Trong (2.18) lấy ϕ = D−h (Dh u) Điều có thể, ϕ ∈ H (RN ) (vì u ∈ H (|RN ), ta có |∇Dh u|2 + |Dh u|2 = RN f D−h (Dh u) RN RN Dh u H1 ≤ f D−h (Dh u) (2.20) ∀v ∈ H (2.21) Mặt khác, (theo Mệnh đề 1.2) ta có D−h v ≤ ∇v , Sử dụng điều với v = Dh u, H1 Dh u ≤ f ∇(Dh u) 2 , suy Dh u ≤ f H1 Đặc biệt, Dh ∂u ∂xi ≤ f ∀i = 1, 2, , N , (2.22) Áp dụng Mệnh đề 1.2 lần nữa, ta thấy ∂u ∂xi ∈ H u ∈ H Bây ta chứng minh f ∈ H ⇒ u ∈ H Ta kí hiệu Du đạo hàm riêng ∂u , ∂xi ≤ i ≤ N Ta biết Du ∈ H Ta phải chứng minh Du ∈ H Thật vậy, ta cần ∇(Du).∇ϕ + RN (Du)ϕ = RN (Df )ϕ, ∀ϕ ∈ H RN Nếu ϕ ∈ Cc∞ (RN ) ta thay ϕ Dϕ (2.18); trở thành ∇u.∇(Dϕ) + RN f Dϕ, uDϕ = RN RN (2.23) 45 đó, ∇(Du).∇ϕ + RN (Du)ϕ = RN ∀ϕ ∈ Cc∞ (RN ) (Df )ϕ, RN Điều dẫn đến (2.23) Cc∞ (RN ) trù mật H (RN ) Để thấy f ∈ H m ⇒ u ∈ H m+2 ta cần quy nạp theo m áp dụng (2.23) B Trường hợp Ω = RN + Ta sử dụng lại "phép tịnh tiến", theo phương tiếp tuyến, tức theo hướng h ∈ RN −1 × {0} Khi đó, ta nói h song song với biên kí hiệu h Γ Để ý u ∈ H01 (Ω) ⇒ τh u ∈ H01 (Ω) h Γ Nói cách khác, H01 (Ω) bất biến với phép tịnh tiến theo phương tiếp tuyến Chúng ta chọn h Γ ϕ = D−h (Dh u) vào (2.18) |Dh u|2 = |∇(Dh u)|2 + f D−h (Dh u), Ω Ω Ω tức là, Dh u H1 ≤ f D−h (Dh u) (2.24) Bây sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.1 Chúng ta có Dh v L2 (Ω) ≤ ∇v L2 (Ω) ∀v ∈ H (Ω), , ∀h Γ Chứng minh Ta bắt đầu với v ∈ Cc1 (Ω) theo chứng minh Mệnh đề 1.2 (chú ý Ω + th = Ω với t h Γ) Với v ∈ H (Ω) chứng minh dựa tính trù mật Kết hợp (2.24) Bổ đề 2.1, Dh u H1 ≤ f , ∀ h Γ (2.25) Giả sử ≤ j ≤ N, ≤ k ≤ N − 1, h = |h| ek , ϕ ∈ Cc∞ (Ω) Ta có Dh Ω ∂u ∂xj ϕdx = − uD−h Ω ∂ϕ ∂xj dx 46 nhờ (2.25), ∂ϕ ∂xj uD−h Ω dx ≤ f ϕ Cho qua giới hạn h → ta có u Ω ∂ 2ϕ dx ≤ f ∂xj ∂xk ϕ ∀1 ≤ j ≤ N, , ∀1 ≤ k ≤ N − (2.26) Cuối cùng, ta u Ω ∂ 2ϕ dx ≤ f ∂x2N ϕ 2 , ∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω) (2.27) Để chứng minh (2.27) ta sử dụng (2.18) đưa (2.26) ∂ 2ϕ u dx ≤ Ω ∂xN N −1 u i=1 Ω ∂ 2ϕ dx + ∂x2i (f − u)ϕ ≤ C f ϕ Ω Kết hợp (2.26) (2.27), ta kết thúc với u RN + ∂ 2ϕ dx ≤ C f ∂xj ∂xk ϕ ∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω), , ∀1 ≤ j, k ≤ N Vậy u ∈ H (Ω) tồn hàm fj,k ∈ L2 (Ω) cho u RN + ∂ 2ϕ dx = ∂xj ∂xk fjk ϕ, RN + ∀ϕ ∈ Cc∞ (RN + Cuối ta chứng minh f ∈ H m (Ω) ⇒ u ∈ H m+2 (Ω) Kí hiệu Du đạo hàm theo phương tiếp xúc bất kỳ: Du = ∂u , ∂xj ≤ j ≤ N − Đầu tiên ta thiết lập kết sau Bổ đề 2.2 Giả sử u ∈ H (Ω) ∩ H01 (Ω) thỏa mãn (2.18) Khi Du ∈ H01 (Ω) ∇(Du).∇ϕ + Ω (Du)ϕ = Ω (Df )ϕ, ∀ϕ ∈ H01 (Ω) (2.28) Ω Chứng minh Điểm đáng lưu ý chứng minh Du ∈ H01 (Ω) (2.28) suy từ (2.18) cách chọn Dϕ thay cho ϕ (với ϕ ∈ Cc∞ (Ω)) lập luận dựa tính trù mật Cho h = |h| ej , ≤ j ≤ N − 1, cho Dh u ∈ H01 (do H01 bất biến qua phép tịnh tiến 47 theo phương tiếp tuyến) Theo Bổ đề 2.1 có Dh u H1 ≤ u H2 Do đó, tồn dãyhn → cho Dhn u hội tụ yếu tới hàm g H01 (do H01 g yếu L2 Với ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ta có không gian Hilbert) Đặc biệt, Dhn u (Dh u)ϕdx = Ω u(D−h ϕ)dx Ω cho qua giới hạn hn → 0, gϕdx = − Ω Do đó, ∂u ∂xj u Ω ∂ϕ dx, ∂xj ∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω) = g ∈ H01 (Ω) Chứng minh f ∈ H m ⇒ u ∈ H m+2 Điều có cách quy nạp theo m Giả sử điều tới cấp m f ∈ H m+1 Ta biết u ∈ H m+2 nên Du thuộc H01 (Ω) thỏa mãn (2.28) Áp dụng giả thiết quy nạp với Du Df ta có Du ∈ H m+2 Để kết luận, ta cần kiểm tra đạo hàm cấp hai, chẳng hạn ∂2u ∂x2N ∈ H m+1 Thật vậy, theo (2.18) ta có ∂ 2u =− ∂x2N N −1 i=1 ∂ 2u + u − f ∈ H m+1 ∂xi C Trường hợp tổng quát Chúng ta cần chứng minh f ∈ L2 (Ω) ⇒ u ∈ H (Ω) Khi ta có f ∈ H m ⇒ u ∈ H m+2 cách quy nạp theo m trường hợp A B Để đơn giản hóa việc trình bày ta giả sử Ω bị chặn Ta sử dụng phân hoạch đơn vị viết u = k i=0 θi u chứng minh Định lí 1.7 C1 Ước lượng miền Ta khẳng định θ0 u ∈ H (Ω) Vì θ0|Ω ∈ Cc∞ (Ω) nên hàm θ0 u thác triển bên Ω thuộc H (RN ) Hơn θ0 u nghiệm yếu RN phương trình def −∆(θ0 u) + θ0 u = θ0 f − 2∇θ0 ∇u − (∆θ0 )u ≡ g, 48 với g ∈ L2 (RN ) Từ trường hợp A ta suy θ0 u ∈ H (RN ) θ0 u (vì u H1 ≤ f H2 ≤ C( f + u H1 ) ≤C f theo (2.18)) C2 Ước lượng gần biên Ta khẳng định θi u ∈ H (Ω) với ≤ i ≤ k Nhớ lại ta có song ánh H : Q → Ui cho J = H −1 ∈ C (Ui ), H ∈ C (Q), H(Q+ ) = Ω ∩ Ui , vàH(Q0 ) = Γ ∩ Ui Ta viết x = H(y) y = H −1 (x) = J(x) Dễ thấy, v = θi u ∈ H01 (Ω ∩ Ui ) v nghiệm yếu Ω ∩ Ui phương trình def −∆v = θi f − θi u − 2∇θi ∇u − (∆θi )u ≡ g, với g ∈ L2 (Ω ∩ Ui ) g ≤C f Chính xác ta có ∇v.∇ϕdx = gϕdx, ∀ϕ ∈ H01 (Ω ∩ Ui ) (2.29) Ω∩Ui Ω∩Ui Bây chuyển v|Ω∩Ui vào Q+ Đặt ω(y) = v(H(y)) với y ∈ Q+ , nghĩa ω(Jx) = v(x) với x ∈ Ω ∩ Ui Bổ đề sau cho thấy phương trình (2.29) trở thành phương trình elliptic cấp hai ω Q Bổ đề 2.3 Với kí hiệu trên, ω thuộc H01 (Q+ ) thỏa mãn N akl k,l=1 Q+ ∂ω ∂ψ dy = ∂yk ∂yl g˜ψdy, ∀ψ ∈ H01 (Q+ ), (2.30) Q+ g˜ = (g ◦ H) |detJacH| ∈ L2 (Q+ ) hàm akl ∈ Q+ thỏa mãn điều kiện elliptic (2.6) 49 Chứng minh Cho ψ ∈ H01 (Q+ ) đặt ϕ(x) = ψ(Jx) với x ∈ Ω ∩ Ui Khi ϕ ∈ H01 (Ω ∩ Ui ) ∂v = ∂xj k ∂ω ∂Jk , ∂yk ∂xj ∂ϕ = ∂xj l ∂ψ ∂Jl ∂yl ∂xj Do ∇v.∇ϕdx = Ω∩Ui Ω∩Ui j,k,l = Q+ j,k,l ∂Jk ∂Jl ∂ω ∂ψ dx ∂xj ∂xj ∂yk ∂yl ∂Jk ∂Jl ∂ω ∂ψ |detJacH| dy ∂xj ∂xj ∂yk ∂yl Nói riêng ∇v.∇ϕdx = Ω∩Ui với akl = ∂Jk ∂Jl j ∂xj ∂xj akl Q+ kl ∂ω ∂ψ dy, ∂yk ∂yl (2.31) |detJacH| Ta ý akl ∈ C điều kiện tính elliptic thỏa mãn, với ξ ∈ RN , ta có akl ξk ξl = |detJacH| j kl k ∂Jk ξk ∂xj ≥ α |ξ|2 với α > 0, ma trận Jacobian không suy biến Mặt khác, ta có (g ◦ H)ψ |detJacH| dy gϕdx = (2.32) Q+ Ω∩Ui Kết hợp (2.29), (2.31), (2.32) (2.30) Bổ đề 2.3 chứng minh Bây quay trở lại chứng minh ước lượng biên ω ∈ H (Q+ ) với ω H2 ≤ C g˜ Điều rễ suy ra, cách trở lại Ω ∩ Ui , θi u thuộc H (Ω ∩ Ui ) thuộc H (Ω) với θi u H2 ≤C f Như trường hợp B (Ω = RN + ), sử dụng phép tịnh tiến theo phương tiếp Q0 , |h| đủ nhỏ cho ψ ∈ tuyến Trong (2.30) ta chọn ψ = D−h (Dh ω) với h H01 (Q+ ) Ta Dh akl k,l Q+ ∂ω ∂yk ∂ (Dh ω) = ∂yl D−h (Dh ω) (2.33) Q+ Nhưng g˜D−h (Dh ω) ≤ g˜ Q+ D−h (Dh ω) ≤ g˜ ∇Dh ω , (2.34) 50 Mặt khác, ta viết Dh akl ∂ω ∂yk (y) = akl (y + h) ∂ ∂ω Dh ω(y) + (Dh akl (y)) (y), ∂yk ∂yk hệ có Dh akl k,l Q+ ∂ω ∂yk ∂ (Dh ω) ≥ α ∇(Dh ω) ∂yl 2 −C ω ∇Dh ω H1 (2.35) Kết hợp (2.34) (2.35), ta ∇Dh ω ≤ C( ω (vì (2.30) bất đẳng thức Poincaré, ω H1 H1 + g˜ ) ≤ C g˜ (2.36) ≤ C g˜ ) Chúng ta có từ (2.36)-như trường hợp B- Q+ ∂ω ∂ψ dy ≤ C g˜ ∂yk ∂yl Để kết luận ω ∈ H (Q+ ) (và ω Q+ ψ H2 ∀ψ ∈ Cc1 (Q+ ), ∀(k, l) = (N, N ) , (2.37) ≤ C g˜ ) ta cần ∂ω ∂ψ dy ≤ C g˜ ∂yN ∂yN ψ , ∀ψ ∈ Cc1 (Q+ ) (2.38) Với mục đích ta quay trở lại phương trình, thay ψ (1/aN N )ψ (ψ ∈ Cc1 (Q+ )); điều Vì aN N ∈ C (Q+ ) aN N ≥ α > Nó trở thành aN N Q+ ∂ω ∂ ∂yN ∂yN ψ aN N g˜ dy = Q+ aN N ψ− akl (k,l)=(N,N ) Q+ ∂ω ∂ ∂yk ∂yl ψ aN N dy, là,      ∂ω ∂ψ dy Q+ ∂yN ∂yN     = Q+ aN N ∂aN N ∂yN ∂ω ψdy ∂yN + ∂akl ∂yl + (k,l)=(N,N ) ∂ω Q+ ∂yk − (k,l)=(N,N ) ∂ω ∂ Q+ ∂yk ∂yl g˜ ψdy Q+ aN N ψ dy aN N akl ψ aN N dy Kết hợp (2.37) công thức (2.39), ta Q+ ∂ω ∂ψ dy ≤ C( ω ∂yN ∂yN H1 + g˜ ) ψ ∀ψ ∈ Cc1 (Q+ ) (2.39) 51 Điều hoàn thành (2.38) hoàn thành ước lượng gần biên Chú ý Cho Ω tập mở tùy ý u ∈ H (Ω) cho f ϕ ∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ∇u.∇ϕ = Ω Ω Chúng ta giả sử f ∈ H m (Ω) Khi đó, θu ∈ H m+2 (Ω) với θ ∈ Cc∞ (Ω) : chúng m+2 ta nói u ∈ Hloc (Ω) Chứng minh điều xử lý trường hợp C1 suy luận quy nạp theo m Đặc biệt, f ∈ C ∞ (Ω) ⇒ u ∈ C ∞ (Ω) Kết luận tương tự cho nghiệm yếu theo nghĩa u ∈ L2 (Ω) cho − u∆ϕdx = Ω f ϕdx, ∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω) Ω Ta nhấn mạnh chất địa phương kết tính quy toán Eliptic Cụ thể hơn, cố định ω ⊂⊂ Ω; u|ω phụ thuộc vào giá trị f tất Ω không giá trị f ω Ngược lại, tính quy u|ω phụ thuộc vào tính quy f|ω Ví dụ, f ∈ C ∞ (ω) ⇒ u ∈ C ∞ (ω) f không quy bên ω Tính chất gọi hypoelliptic 52 Kết luận Trong luận văn trình bày tổng quan không gian Sobolev ứng dụng việc nghiên cứu tính chất định tính số toán phương trình đạo hàm riêng Hướng nghiên cứu tìm hiểu sâu không gian Sobolev số ứng dụng Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, thầy cô phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin chân thành cảm ơn thầy TS Trần Văn Bằng tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ cảm ơn đóng góp thầy cô giúp luận văn hoàn chỉnh 53 Tài liệu tham khảo [1] H Brezis (2002), Giải tích hàm: Lý thuyết ứng dụng , NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh [2] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội [3] R A Adams (1975), Sobolev spaces, Academic Press [4] H Brezis (2010), , Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer [...]... F bị chặn trong W 1,p (RN ) Ta có điều phải chứng minh 1.3 Không gian Sobolev W0m,p (Ω) Định nghĩa Cho 1 ≤ p < ∞ kí hiệu W01,p (Ω) là bao đóng của Cc1 (Ω) trong W 1,p (Ω) Đặt H01 (Ω) = W01,2 (Ω) Không gian W01,p , với chuẩn trong không gian W 1,p là một không gian Banach tách được và là phản xạ nếu 1 < p < ∞ H01 với tích vô hướng trong H 1 là một không gian Hilbert Do Cc1 (RN ) trù mật trong W 1,p... α = (α1 , α2 , , αN ), với αi ≥ 0 là số nguyên, N αi và Dα ϕ = |α| = i=1 ∂ |α| ϕ αN ∂xα1 1 ∂xα2 2 ∂N Đặt Dα u = gα Thế thì không gian W m,p (Ω) được trang bị chuẩn u W m,p Dα u = p 0≤|α|≤m là một không gian Banach Không gian H m (Ω) = W m,2 (Ω) được trang bị tích vô hướng (u, v)H m = (Dα u, Dα v)L2 0≤|α|≤m là một không gian Hilbert Ta có thể chứng minh rằng nếu Ω là "đủ trơn" với Γ = ∂Ω bị chặn,... kì ϕ ∈ H tồn tại duy nhất u ∈ K sao cho a(u, v − u) ≥ ϕ, v − u , ∀v ∈ K (1.11) Hơn nữa, nếu a là đối xứng thì u được mô tả bởi u∈K 1.2 và 1 a(u, u) − ϕ, u = min v∈K 2 1 a(v, v) − ϕ, v 2 (1.12) Không gian Sobolev W m,p (Ω) Cho Ω ∈ RN là một tập mở và cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.1 Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa bởi W 1,p (Ω) =    p u ∈ Lp (Ω) ∃g1 , g2 , , gN ∈ L (Ω) sao cho... x, y ∈ Ω, với α = 1 − (N/p) và C chỉ phụ thuộc vào Ω, p và N Đặc biệt W 1,p (Ω) ⊂ C(Ω) Chứng minh Xét các toán tử thác triển P : W 1,p (Ω) → W 1,p (RN ) và áp dụng Định lí 1.3, Hệ quả 1.2 và Định lí 1.4 ta có điều phải chứng minh Hệ quả 1.6 Các kết quả của của Hệ quả 1.5 vẫn còn đúng nếu RN được thay thế bởi Ω Định lý 1.10 (Rellich-Kondrachov) Giả sử rằng Ω là bị chặn và thuộc lớp C 1 Khi đó các... mọi ω ⊂⊂ Ω (1.14) và Trong trường hợp Ω = RN và u ∈ W 1,p RN với 1 ≤ p < ∞ tồn tại một dãy (un ) trong Cc∞ RN sao cho un → u trong Lp RN 9 và ∇un → ∇u trong Lp RN N Để chứng minh ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 1.1 Giả sử ρ ∈ L1 RN và v ∈ W 1,p (RN ) với 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó ρ v ∈ W 1,p RN và ∂ (ρ v) = ρ ∂xi ∂v ∀i = 1, 2, , N ∂xi Chứng minh Định lí 1.6 Đặt u (x) =   u (x) , nếu x ∈ Ω  0, và đặt vn = ρn nếu... chung không thuộc vào Cc1 (Q+ ) và do đó nó không được sử dụng như một hàm thử (trong định nghĩa của W 1,p ) Mặt khác, ηk (xN )ψ(x , xN ) ∈ Cc1 (Q+ ) và do đó u Q+ Từ ∂ (ηk ψ) ∂xi ∂ (ηk ψ)dx = − ∂xi Q+ ∂u ηk ψdx ∂xi ∂ψ = ηk ∂x ta có i, uηk Q+ ∂ψ dx = − ∂xi Q+ ∂u ηk ψdx ∂xi (1.22) Cho qua giới hạn khi k → ∞ (theo định lí hội tụ trội), ta nhận được u Q+ ∂ψ dx = − ∂xi Q+ ∂u ψdx ∂xi (1.23) Kết hợp (1.21) và. .. k và (1.29) i=0   suppθi là compact và suppθi ⊂ Ui  suppθ0 ⊂ RN \ Γ ∀i = 1, 2, (1.30) 19 Nếu Ω là một tập mở, bị chặn và Γ = ∂Ω thì θ0|Ω ∈ Cc∞ (Ω) Chứng minh của Định lí 1.7 Chúng ta "làm thẳng" Γ = ∂Ω bởi các bản đồ địa phương và phân hoạch đơn vị Chính xác hơn, vì Γ là compact và thuộc lớp C 1 nên tồn tại các tập mở (Ui )1≤i≤k trong RN sao cho Γ ⊂ Hi ∈ C 1 (Q), k i=1 Hi−1 ∈ C 1 (Ui ), Ui và. .. u ∈ W 1,p (RN ) nói chung, ta sử dụng một dãy (un ) trong Cc1 (RN ) sao cho un → u trong W 1,p (RN ) và un → u hầu khắp nơi Bây giờ ta chứng minh (1.38) Cho u ∈ Cc1 (RN ), x ∈ RN và cho Q là một khối lập phương cạnh r = 1 chứa x Từ (1.41) và bất đẳng thức H¨ older, ta có |u(x)| ≤ |¯ u| + C ∇u Lp (Q) ≤C u W 1,p (Q) ≤C u W 1,p (RN ) , 27 trong đó C chỉ phụ thuộc vào p và N Do đó u L∞ (RN ) ≤C u W 1,p... |∇u|p (1.16) ω Ta đã chứng minh được (iii) với u ∈ Cc∞ (RN ) và 1 ≤ p < ∞ Bây giờ giả sử rằng u ∈ W 1,p (Ω) với 1 ≤ p < ∞ Theo Định lí 1.6, tồn tại một dãy (un ) trong Cc∞ (RN ) sao cho un → u trong Lp (Ω) và ∇un → ∇u trong Lp (ω)N , ∀ω ⊂⊂ Ω Áp dụng (1.16) đối với (un ) và cho qua giới hạn ta có (iii) với mọi u ∈ W 1,p (Ω), 1 ≤ p < ∞ Khi p = ∞, áp dụng kết quả trên (với p < ∞) và cho p → ∞ (iii) ⇒ (ii)... 2 tương đương với chuẩn trong W 1,2 Mệnh đề 1.1 W 1,p (Ω) là một không gian Banach với 1 ≤ p < ∞ W 1,p (Ω) là phản xạ với 1 < p < ∞, và là tách được với 1 ≤ p < ∞ H 1 (Ω) là một không gian Hilbert tách được Định nghĩa 1.2 Cho Ω ⊂ RN là một tập mở Ta nói rằng một tập mở ω trong RN là chứa compact trong Ω và ta viết ω ⊂⊂ Ω nếu ω ⊂ Ω và ω là compact Định lý 1.6 (Friedrichs) Cho u ∈ W 1,p (Ω) với 1 ≤