CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHÉP DỜI HÌNH- BIẾN HÌNH

TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VỀ PHÉP DỜI HÌNH- BIẾN HÌNH BÀI TỐN : QUỸ TÍCH CỦA ĐIỂM I.PHÉP TỊNH TIẾN Bài tốn : Cho hình H , hình H có điểm M Tìm quỹ tích điểm M hình H có điểm A thay đổi ( Thường điểm A chạy đường (C ) cho sẵn ) Cách giải : - Dựa vào tính chất biết , ta tìm véc tơ cố dịnh nằm hình H ( Với điều kiện : véc tơ có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ) - Sau dựa vào định nghĩa phép tịnh tiến ta suy M ảnh A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định - Dựa vào tính chất thay đổi A ta suy giới hạn quỹ tích Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm (O,R) điểm A thay đổi đường tròn Chứng minh trực tâm tam giác ABC nằm đường tròn cố định Giải - Kẻ đường kính BB’ Nếu H trực tâm củauuur tam giác ABC AH=B’C Do C,B’ cố uuuur định , B’C véc tơ cố định ⇒ AH = B ' C Theo định nghĩa phép tịnh tiến điểm A biến thành điểm H Nhưng A lại chạy (O;R)rchouuuu nên H chạy r đường tròn (O’;R) ảnh (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v = B ' C - Cách xác định đường tròn (O’;R) Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C Sau uuuur uuuur dựng véc tơ : OO ' = B ' C Cuối từ O’ quay đường trịn bán kính R từ tâm O’ ta đường trịn cần tìm Ví dụ Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , cịn đỉnh C chạy đường trịn (O;R) Tìm quỹ tích đỉnh D C thay đổi Giảiuuu :r uuur - Theo tính chất hình bình hành : BA=DC ⇒ AB = CD Nhưng theo giả thiết A,B cố định uuur uuur , AB cố định Ví C chạy (O;R) , D ảnh C qua phép tịnh tiến theo AB , D chạy đường tròn O’ ảnh đường tròn O uuuur uuur - Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau dựng véc tơ OO ' = AB Từ O’ quay đường trịn bán kính R , đường trịn quỹ tích D Ví dụ Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) với hai điẻm A,B Tìm điểm M uuuuur uuur (O;R) điểm M’ (O’R’) cho MM ' = AB Giải a Giả sử ta lấy điểm M (O;R) Theo giả thiết , M’ ảnh M qua phép tịnh uuur tiến theo véc tơ AB Nhưng M chạy (O;R) M’ chạy đường tròn ảnh (O;R) qua phép tịnh tiến Mặt khác M’ chạy (O’;R’) M’ giao đường trịn ảnh với đường tròn (O’;R’) b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường trịn (O’;R’) ta tìm N (O;R) giao (O;R) với đường tròn ảnh (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình số giao điểm hai đường tròn ảnh với hai đường tròn cho Ví dụ Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định Một đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM AN cắt tiếp tuyến B P,Q Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ NPQ ? Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH Giải - Tam giác MPQ có QA đường cao , ta kẻ MM’ vng góc với PQ MM’ cắt QA trực tâm H OA đường trung bình tam giác MNH suy : uuuur uuur uuur uuur MH = 2OA = BA Vậy phép tịnh tiến theo BA biến điểm M thành điểm H Nhưng M uuur chạy (O;AB) H chạy đường tròn ảnh (O;AB) qua phép tịnh tiến BA - Tương tự tam giác NPQ - Giới hạn quỹ tích Do M khơng trùng với A,B đường trịn ảnh bỏ hai điểm ảnh A,B PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Bài tốn : Cho hình H điểm A thuộc hình H thay đổi Tìm quỹ tích điểm M A thay đổi Cách giải • Bước 1: Xét vị trí A M Sau dó tìm H có đường thẳng cố định trung trực đoạn thẳng AM ( Chính trục đối xứng ) • Nếu A chạy đường (C ) , theo tính chất phép dối xứng trục , M chạy đường (C’) ảnh (C ) qua phép đối xứng trục Ví dụ ( Bài 10-tr13-HH11NC ) Cho hai điểm B,C cố định nằm đường tròn (O;R) điểm A thay đổi đường trịn Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh trực tâm H nằm đường tròn cố định Giải - Vẽ hình Gọi H giao ba đường cao tam giác ABC Kéo dài AH cắt (O;R) H’ Nối CH’ - Chứng minh IH=IH’ Thật Ta có : ∠A = ∠BCH ' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1) CH ⊥ AB ⇒ ∠A = ∠BCH ( ) Từ (1) (2) suy : ∠BCH = ∠BCH ' CI ⊥ AH ' Mặt khác :  Chứng tỏ tam giác HCH’ tam giác cân Do BC vng góc với HH’ , BC đường trung trực HH’ Hay H H’ đối xứng qua BC Cho nên A chạy đường trịn (O;R) H’ chạy (O;R) H chạy đường tròn (O’;R) ảnh đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC - Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B C tam giác ABC suy biến thành đường thẳng Vì đường trịn (O’;R) bỏ điểm ảnh B,C * Chú ý : Ta cịn có cách khác chứng minh H H’ đối xứng qua BC - Kẻ AA’ ( đường kính (O) ) suy BHCA’ hình bình hành , BC qua trung điểm I A’H - A’H’ song song với BC ( vng góc với AH ) - Từ suy BC đường trung bình tam giác AHH’ – Có nghĩa BC qua trung điểm HH’ Mặt khác AH vng góc với BC suy BC trục đối xứng HH’ , hay H H’ đối xứng qua BC Ví dụ Cho tam giác ABC có trực tâm H a/ Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính b/ Gọi O1 , O2 , O3 tâm đường trịn nói Chứng minh đường tròn qua ba điểm O1 , O2 , O3 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải Trang Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH a/ Giả sử O1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , theo taons ví dụ O1 ảnh (O) qua phép đối xứng trục BC Cho nên bán kính chúng Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác cịn lại có bán kính bán kính (O) b/ Ta hồn tồn chứng minh O1 , O2 , O3 ảnh O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB Vì bán kính đường trịn Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC tam giác O1O2O3 PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Bài tốn : Cho hình H điểm M thay đổi đường (C ) ( thuộc H ) Tìm quỹ tích điểm N M thay đổi Cách giải : • Bước 1: Tìm điểm I cố định cho I trung điểm MN • Bước 2: Dựa vào tính chất phép đối xứng tâm I ta suy quỹ tích N Ví dụ ( tốn 2-tr17-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) hai điểm A,B cố định Với điểm M , ta xác định điểm M’ uuuuur uuur uuur cho MM ' = MA + MB Tìm quỹ tích điểm M’ điểm M chạy (O;R) Giải -uuurGọi I trung điểm củauuuuu ABr Theo tính chất véc tơ trung tuyến : uuur uuur uuur MA + MB = 2MI , suy : MM ' = MI Có nghĩa I trung điểm MM’ - Ví A,B cố định , I cố định Do DI : M → M ' Nhưng M chạy (O;R) M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm I chạy đường tròn ảnh (O;R) - Cách xác định (O’;R) sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO Sau lấy O’ làm tâm , quay đường trịn có bán kính R Ví dụ ( Bài 17-tr19-HH11NC) Cho hai điểm B,C cố định đường tròn (O;R)và điểm A thay đổi tren đường trịn Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh trực tâm H tam giác ABC nằm đường tròn cố định ( Hay : tìm quỹ tích H A thay đổi ) Giải - Vẽ hình theo giả thiết cho Nối đường kính AM , tìm vị trí H Ta thấy CH ∟AB MB∟AB suy CH//BM Tương tự BH//MC tứ giác BHCM hình bình hành , đoa hai đường chéo BC MH cắt trung điểm I BC - Do B,C cố định I cố định Vậy H ảnh M qua phép đối xứng tâm I Mặt khác M chạy (O;R) H chạy đường trịn (O’;R) ảnh (O;R) qua phép đối xứng tâm I Ví dụ ( Bài 34-tr10-BTHH11NC) Cho đường thẳng a điểm G không nằm a Với điểm A nằm a ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích hai điểm B C A chạy a? Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ tính chất tam giác ta thấy góc ∠AGC = ∠AGB = 1200 Như phép quay tâm G với góc quay ϕ = 1200 bién A thành C biến A thành B Nhưng A chạy d B C chạy đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay ϕ = 1200 Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH Ví dụ ( Bài 35-tr10-BTHH11NC) Cho đường tròn (O) tam giác ABC Một điểm M thay đổi (O) Gọi M điểm đối xứng với M qua A, M điểm đối xứng với M qua B M điểm đối xứng với M qua C Tìm quỹ tích điểm M ? Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ ta có : Do M , M đối xứng qua B BM = BM ( 1) - Vì M M đối xứng qua C : CM = CM (2) Từ (1) (2) chứng tỏ BC đường trung bình tam giác M 1M M , có nghĩa BC// M 1M (3) - Gọi D trung điểm M M AD đường trung bình tam giác MM 1M ⇒ AD / / M 1M (4) Từ (3) (4) suy AD//BC tứ giác ABCD hình bình hành Có nghĩa D cố định Như : DD : M → M Mà M chạy (O) M Chạy đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép đối xứng tâm D PHÉP VỊ TỰ * Để giải tốn quỹ tích điểm M điểm A thay đổi đường (C ) cho sẵn Trước hết ta cần phải làm số việc sau Trong hình H cho , ta tìm điểm A thay đổi đường (C ) cho sẵn ( đường trịn , đường thẳng ) cho AM nằm đường thẳng qua điểm cố định I Gán cho A M với I hai tam giác dồng dạng , từ tìm tỉ số khơng đối k uuur uur Viết đẳng thức véc tơ : IM = k IA để kết luận M ảnh A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự k Nếu A chạy (C ) M chạy (C’) ảnh (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k Nêu cách dựng (C’) Ví dụ ( Bài 29-tr29-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi đường tròn Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ tích điểm N Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ tính chất đường phân giác chia cạnh đối diẹn làm hai doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai cạnh Ta có kết sau : * Do O,I cố định OI=a không đổi Gọi N chân đường phân giác góc MOI NI OI a NI a a = = ⇔ = ⇔ IN = IM NM OM R NM + NI a + R a+R uur a a uuur IM ⇒ IN = IM Hay : ⇔ IN = a+R a+R Vì I cố định V( I ,k ) : M → N Nhưng M chạy đường tròn (O;R) N ( N thuộc IM) , từ ta có : chạy đường tròn (C’) ảnh (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k * Cách xác định (O’;R’) sau uur uuur - Nối OI , tìm O’ cho : IO ' = kOI , từ suy O’ - Bán kính R’ xác định cơng thức : k= R’/R suy : R’=kR ( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay đường tròn có bán kính O’N ) Ví dụ ( Bài ƠN chương I-tr35-HH11-NC) Cho đường trịn (O) có đường kính AB Gọi C điểm đối xứng với A qua B PQ đường kính thay đổi (O)khác với đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA ,PB M N a/ Chứng minh Q trung điểm CM , N trung điểm CQ b/ Tìm quỹ tích điểm M,N đường kính PQ thay đổi Trang Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH Giải a Vẽ hình Từ hình xẽ ta thấy : Nối AQ, BQ , C đối xứng với A qua B ta có B trung điểm AC : BA=BC (1) Mặt khác BQ vng góc với AQ ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) PA vng góc với AQ ( góc nội tiếp chắn ½ đường trịn ) suy PA // BQ BQ đường trung bình tam giác ACM , nghĩa Q trung điểm CM - Tương tự BN đường trung bình tam giác ACQ N trung điểm CQ : NC=NQ (2) b/ Từ (1) (2) ta có đẳng thức véc tơ : uuuur uuur ( 1) ⇔ CM = 2CQ ⇒ V( C ;2) : Q → M Cho nên M chạy đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép vị tự tâm C , tỉ số vị tự uuur ( ) ⇔ CN = uuur CQ ⇒ V  : Q → N Vậy N chạy đường tròn (O’’) ảnh (O) qua  C ÷  2 phép vị tự tâm C tỉ số k=1/2 - Hướng dẫn học sinh cách xác định hai tâm O’ O’’ Ví dụ ( Bài 9-tr35-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) điểm A cố định Một dây cung thay đổi (O;R) có độ dài uuur uuur uuur r m khơng đổi Tìm quỹ tích điểm G cho GA + GB + GC = Giảỉ * Vẽ hình cho học sinh Từ hình vẽ lấy I trung điểm BC , nối OI ( OI vng góc với BC ) A điẻm cố định ( nằm (O) hay không cần nằm (O) Do B,O cố định , góc OIB vng BC thay đổi I chạy đường tròn tâm O bán kính R’= R2 − m2 ( Xét tam giác vuông BOI ) * Từ giả thiết G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất trọng tâm tam giác uuur uur AG = ⇔ AG = AI ⇒ V  : I → G Do : G chạy đường trịn (O’) ảnh ta có : AI 3  A; ÷  3 đường tròn (O;R’) qua phép vị tự tâm A ,tỉ số vị tự 2/3 Ví dụ ( Bài toán 6-tr39-HH11CB) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O)bán kính R , dỉnh B,C cố định A thay đổi (O) Chứng minh trọng tâm G tam giác ABC chạy đường trịn Giải - Vẽ hình , Gọi I trung điểm BC , I cố định B,C cố định Theo tính chất uur uur trọng tâm : IG = IA ⇔ IG = IA ⇒ VI3 : A → G Nhưng A chạy (O) G chạy (O’) ảnh (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số 1/3  uuur uur  IO ' = IO   ⇒  O '; R ÷ - Xác định (o’;R’) hệ :    R ' = R  Ví dụ Cho hai đường trịn (O;R) (O’;3R) tiếp xúc với A Nếu O biến thành O’ phép vị tự tâm A tỉ số vị tự ? Giải - Vẽ hình Từ giả thiết : AO’=R’, AO=R suy AO’=3AO uuuur uuur Hay : AO ' = 3OA ⇒ VA : O → O ' Do tỉ số vị tự k=3 Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH Ví dụ Cho đường trịn O điểm P cố định ngồi (O) Từ P kẻ tiếp tuyến thay đổi PBC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC ? Giải Vẽ hình Gọi I trung điểm BC theo tính chất đường kính qua điểm dây cung : OI vuông góc với BC Như I nằm đường trịn đường kính OP Mặt khác theo tính chất trọng tâm , G nằm AI cách A khoảng 2/3 AI uuur uur , hay : AG = AI ⇒ VA3 : I → G Nhưng I chạy đường trịn đường kính OP G chạy đường tròn (O’) ảnh đường trịn đường kính OP qua phép vị tự tâm A tỉ số 2/3  uuuur uuur  AO ' = AH - Cách xác định O’ hệ :  ( Với H trung điểm OP )  R ' = OP = OP  3 Ví dụ Cho đường tròn (O;R) điểm I cố định với OI=2R M điểm di động O , phân giác góc IOM cắt IM M’ Tìm quỹ tích điểm M’ M chạy đường trịn O Giải - Vẽ hình Theo tính chất đường phân giác : uuuur uuur M 'I OI 2R IM ' 2 IM ' 2 = = =2⇒ = = ⇔ = → IM ' = IM ⇔ IM ' = IM MM ' OM R IM '+ M ' M + IM 3 Vậy : Qua phép vị tự tâm I tỉ số 2/3 biến điểm M thành điểm M’ , M chạy đường tròn (O;R) M’ chạy (O’;R’) ảnh (O;R) qua phép vị tự tâm I  uuur uur  IO ' = IO - Để xác định (O’;R’) :  R ' = R  Ví dụ Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với A , đường kính kẻ từ A cắt (O) ,(O’) theo thứ tự B,C Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O);(O’) M,N Tìm quỹ tích giao điểm T BN CM , d thay đổi ? Giải Vẽ hình minh họa Căn hình vẽ , ta có phân tích : BM CN vng góc với đường thẳng d , suy BM//CN (1) Hai tam giác OCN đồng dạng với tam giác OBM : TN CN CA 2R ' R ' TN + TB R '+ R BN R '+ R R = = = = ⇒ = ⇔ = = k ↔ BT = BN TB BM CB 2R R BT R BT R R '+ R R uuur R uuur R+R' BN ⇒ VB : N → T Nhưng N chạy (O’;R’) T chạy Hay : BT = R+ R' R đường tròn ảnh (O’) qua phép vị tự tâm B tỉ số k = R + R' ( HD học sinh cách tìm giới hạn quỹ tích ) Ví dụ ( Bài 73-tr17- Ơn CI-BTHH11-NC) Cho điểm P nằm đường tròn (O) Một đườnguuuu thẳng thay đổi qua P , cắt (O) r uuur uuur hai điểm A,B Tìm quỹ tích điểm M cho PM = PA + PB Giải Vẽ hình minh họa choi học sinh Căn hình vẽ ta có phân tích : Trang Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH - Gọi I trung điểm AB Theo tính chất trung điểm dây cung OI vng góc với AB , có nghĩa I chạy đường trịn đường kính OP (1) uuuur uuur uuur uuur - Theo quy tắc véc tơ trung tuyến ta có : PM = PA + PB = 2MI ⇒ M phải nằm d uuuur uur I,P nằm d Ví : PM=2MI=2(PM-PI) suy PM=2PI hay : PM = PI ⇒ VP2 : I → M Vậy phép vị tự tâm P biến điểm I thành thành M Nhưng I lại chạy (O;OP) M phải chạy đường tròn ảnh (O) qua phép vị tự tâm P tỉ số k=2 Ví dụ 10 Cho đường trịn (O) điểm P ngồi O M điểm thay đổi O H hình chiếu vng góc của O PM a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác POM ? b/ Tìm quỹ tích điểm H trung điểm I PH ? c/ Tìm quỹ tích trọng tâm K tam giác OPH ? Giải Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ hình vẽ phân tích cho HS biết : -Vì H hình chiếu O PM OH vng góc với PM , H nằm đường trịn O’ có đường kính OP - Gọi J trung điểm PO ( J tâm đường trịn O’) G phải nằm MJ theo uuur uuur tính chất trọng tâm : JG = JM ⇒ VJ3 : M → G Nhưng M lại chạy đường tròn O G chạy đường tròn O’’ ảnh O qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 uur uuur - Vì I trung điểm PH PI=1/2PH hay : PI = PH ⇒ VP2 : H → I Nhưng H lại chạy tâm J bán kính OP , I chạy đường tròn ảnh đường tròn tâm J qua phép vị tự tâm P tỉ số k= ½ - Trọng tâm K tam giác OPH phải nằm JH theo tính chất trọng tâm , ta có : uuur uuur JK = JH ⇒ VJ3 : H → K Do K chạy đường tròn ảnh đường trịn tâm J bán OP kính qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 Ví dụ 11 Cho đường tròn O điểm A nằm O , M điểm di động đường trịn O a/ Tìm quỹ tích trung điểm I AM ? b/ Đường trung trực AM cắt đường trịn O P P’ Tìm quỹ tích chân đường vng góc H kẻ từ O đến PP’ ? c/ Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác APP’ ? Giải - Vẽ hình minh họa cho học sịnh Từ hình vẽ cho học sinh số kết : uur uuuur AM ⇒ VA2 : M → I Như qua phép vị tự * Vì I trng điểm AM : AI = tâm A tỉ số ½ biến M thành I , M chạy đường tròn O , I chạy đường tròn ảnh O qua phép vị tự tâm A tỉ số k=1/2 * Đường trung trực AM phải qua I vuông góc với AM II BÀI TỐN TÌM ĐIỂM TỊNH TIẾN VÉC TƠ Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC ) Cách giải • Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ( Khi đường thẳng d đường trung trực AB , suy M thuộc d MA=MA’ ) • Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , đường thằng cắt d M M điểm • Bước 3: Chứng minh nhận xét : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( khơng đổi) A cố dịnh , A’ cố định , suy A’B khơng đổi Chú ý : Trường hợp xảy A,B nằm trái phía với d Ngồi : Có trường hợp biến thể thay đường thẳng d hai đường thẳng // cách đoạn cho trước khơng đổi Ví dụ Hai thơn nằm hai vị trí A,B cách sơng ( Xem hai bờ sống hai đường thẳng song song ) Người ta dự kién xây cầu bắc qua sông (MN) làm hai đoạn thẳng AM BN Tìm vị trí M,N cho AM+BN ngắn Giải uuuur ur - Vì khoảng cách hai bờ sống không đổi , MN = U ur - Tìm A’ ảnh A qua phép tịnh tiến theo U Khi AMNA’ hình bình hành : A’N=AM - Do : MA+NB ngắn Vì : MA+NB=A’N+NB Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AB lấy điểm P , tia đối tia CD lấy điểm Q Hãy xác định điểm M BC điểm N AD cho MN//CD PN+QM nhỏ Giải - Giống toán khoảng cách hai cạnh hình chữ nhật khơng đổi ta thực theo cách toán sauuuu:r ur uuuur - Tìm ảnh điểm Q qua phép tịnh tiến theo CD = U = QQ ' Khi MN=QQ’ , suy MQ=NQ’ Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn P,N,Q’ thẳng hàng - Các bước thực : uuur ur uuuur +/ Tìm Q’ cho : CD = U = QQ ' +/ Nối PQ’ cắt AD điểm N +/ Kẻ NM //CD cắt BC M Vậy tìm M,N thỏa mãn yêu cầu toán r VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO u = ( a; b ) KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ) Cách giải : • Bước 1: lấy điểm M(x;y=f(x) ) (C ) • Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ phép tịnh tiến • Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 Đó phương trình (C’ ) cần tìm r Ví dụ Trong mặt phẳng (Oxy) cho u = ( 1; −2 ) a/ Viết phương trình ảnh đường trường hợp sau : +/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ? +/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0 b/ Viết phương trình đường trịn ảnh đường trịn (C ) : x + y − 4x + y − = Trang Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH c/ Viết phương trình đường (E) ảnh (E) : d/ Viết phương trình ảnh (H) : x2 y2 + =1 x2 y2 − =1 16 Giải a/ Gọi M(x;y) thuộc đường cho M’(x’;y’) thuộc đường ảnh chúng x ' = 1+ x  x = x '− ⇒  y ' = −2 + y  y = y '+ Theo công thức tọa độ phép tịnh tiến ta có :  Thay x,y vào phương trình đường ta có : - Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 ⇔ 3x’-5y’-12=0 - Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0 2 b/ Đường tròn (C’) : ( x '− 1) + ( y '+ ) − ( x '− 1) + y '+ − = hay : x + y − 6x + y + 10 = x '− 1) c/ Đường (E’) : ( ( y '+ ) + ( x − 1) =1⇔ ( y + 2) + =1 9 2 2 x '− 1) y '+ ) x − 1) y + 2) ( ( ( ( d/ Đường (H’): − =1⇔ − =1 16 16 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ NHẤT ( Khi A,B hai điểm nằm phía d ), MA − MB ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm hai phía d ) Cách giải : • Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d • Bước 2: Nối A’B , đường thẳng cắt d M Là điểm cần tìm • Bước 3: Chứng minh M điểm Ví dụ (Bài 9-tr13- HH11NC) Cho góc nhọn xOy điểm A nằm góc Hãy tìm điểm B Ox , điểm C Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải - Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox - Nối A’B’ cắt Ox B , cắt Oy C Đó hai điểm cần tìm - Chứng minh B,C hai điểm cần tìm Thật : Do A’ đối xứng với A qua Oy , CA=CA’ (1) Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox ta có BA=BB’ (2) Gọi P chu vi tam giác ABC P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( từ (1) (2) ) Ví dụ 2: Cho đường thẳng d hai điểm A,B nằm phía với d Tìm điểm M d cho MA+MB đạt giá trị nhỏ ? Giải - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d M M điểm cần tìm - Thật : Vì A’ đối xứng với A qua d MA=MA’ (1) Do : MA+MB=MA’+MB=A’B Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH - Giả sử tồn M’ khác M thuộc d : M’A+M’B=M’A’+M’B ≥ A ' B Dấu xảy A’M’B thẳng hàng Nghĩa M trùng với M’ Ví dụ Cho đường thẳng d hai điểm A,B ( nằm hai phía d ) Tìm điểm M d cho MA − MB đạt GTLN Giải - Gọi A’ điểm đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d M M điểm cần tìm - Thật : MA − MB = MA '− MB = A ' B Giả sử tồn điểm M’ khác với M d , : M ' A − M ' B = M ' A '− M ' B ≤ A ' B Dấu xảy M’A’B thẳng hàng , nghĩa M trùng với M’ Ví dụ Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) đường thẳng d a/ Hãy tìm hai điểm M M’ nằm hai đường trịn cho d đường trung trực đoạn thẳng MM’ b/ Hãy xác định điểm I d cho tiếp tuyến IT với (O;R) tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành góc TIT’ nhận đường thẳng d đường phân giác ngồi Giải Vẽ hình : a/ Giả sử M nằm (O;R) M’ nằm (O’;R’) tỏa mãn u cầu tốn - Vì d trung trực MM’ M’ nằm đường tròn (C’) ảnh đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d Mặt khác M’ lại nằm (O’;R’) M’ giao (C’) với (O’;R’) - Từ suy cách tìm : • Tìm hai đường trịn ảnh hai đường tròn cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt (C’) (C’’) • Hai đường trịn cắt hai đường tròn cho M , M Sau kẻ hai đường thẳng d’’ d’’’ qua M , M cắt (O;R) (O’;R’) M '1 ; M '2 • Các điểm cần tìm ( M 1M '1 ) ( M M '2 ) b/ Nếu MT MT’ nhận d phân giác góc TIT’ MT MT’ đối xứng qua d Từ suy cách tìm : - Gọi d’ ảnh MT qua phép đối xứng d nghĩa d’ tiếp tuyến đường tròn (C ) ảnh (O;R) qua phép đối xứng trục d Mặt khác d’ tiếp tuyến (O’;R’) Cho d’ tiếp tuyến chung (C ) với (O’;R’) Từ ta suy cách tìm M : • Tìm (C ) ảnh (O;R) qua phép đối xứng trục d • Kẻ d’ tiếp tuyến chung (C ) (O’;R’) Khi d’ cắt d M Chính điểm cần tìm • Tương tự áp dụng cho (O’;R’) - Số nghiệm hình số giao điểm tiếp tuyến chung cắt d TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài toán : Cho điểm A(x;y) đường thẳng d : ax+by+c=0 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ? Cách giải : Trang 10 Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH x'  uuuuur uuuur  x ' = 3x  x = ⇒ Theo tính chất phép vị tự : OM ' = 3OM ⇔   y ' = 3y  y = y '   x'  y' Thay (x;y) vào d:  ÷+  ÷− = ⇔ 2x '+ y '− 12 = Vậy d’: 2x+y-12=0 3 3  x '+  x '+   x =  −2 ÷− = −2 uuuur uuur  x '+ = −2 ( x + 1)    ⇔ b/ Tương tự ta có : IM ' = −2 IM ⇔   y '− = −2 ( y − )  y =  y '−  + = y '−  ÷  −2  −2   x '+   y '−  Thay vào d :  ÷+  ÷− = ⇔ 2x '+ y '+ = Do d’’: 2x+y+2=0  −2   −2  Ví dụ ( Bài 1.24-tr33-BTHH11) 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ): ( x − 3) + ( y + 1) = Hãy viết phương trình đường trịn (C’) ảnh đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2 Giải Gọi O(3;-1) tâm (C ) có bán kính R=3 Đường trịn (C’) có tâm J(x;y) bán kính R’ ảnh (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 Theo tính chất phép vị tự ta có : ur uur  x − = −2 ( − 1)  x = −3 IJ = −2 IO ⇔  ⇔ ⇒ J = ( −3;8 ) R’=2R=2.3=6 y =  y − = −2 ( −1 − ) Vậy (C’) : ( x + 3) + ( y − ) = 36 III BÀI TỐN DỰNG HÌNH 2 PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Ví dụ ( Bài tốn 3-tr17-HH11NC) Cho hai đường trịn (O;R) (O’;R’) cắt hai điểm B,C Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt (O;R) (O’;R’) M N cho A trung điểm MN Giải - Giả sử đường thẳng d dựng xong , A trung điểm MN N ảnh M qua phép đối xứng tâm A N phải nằm đường tròn (O’’) ảnh đường trịn (O;R) ( M chạy (O) ) Mặt khác N lại thuộc (O’;R’) N giao (O’’) với (O’;R’) Từ suy cách dựng +/ Dựng đường tròn (O’’) ảnh đường tròn (O) : Nối OA , đặt OA=O’’A +/ Đường tròn (O’’) cắt đường tròn (O’) N Nối NA cắt (O) M - Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình số giao điểm (O’’) cắt (O’) Ví dụ ( Bài 18-tr19-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d điểm I Tìm điểm A (O;R) điểm B d cho I trung điểm đoạn thẳng AB Giải - Vẽ hình Do I trung điểm AB B ảnh A qua phép đối xứng tâm I Mặt khác A chạy (O;R) B chạy đường trịn (O’’) ảnh (O) qua phép đối xứng tâm I Nhưng B lại nằm d B giao d với (O’’) Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 17 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH -Từ suy cách tìm Nối IO đặt IO=IO’’ , sau dựng đường trịn (O’’) bán kính R , cắt d B Nối BI cắt (O;R) A - Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình số giao điểm (O’’) với d PHÉP VỊ TỰ Để xác định điểm M ta xem ảnh điểm A biết qua phép vị tự , xem M giao của đường cố định với ảnh đường biết qua phép vị tự Ví dụ Cho tam giác ABC có hai góc B,C nhọn Dựng hình chữ nhật DEEG có EF=2DE với hai đỉnh D,E nằm BC hai đỉnh F,G nẵm hai cạnh AC AB Giải - Vẽ hình ( thỏa mãn yêu cầu toán ) * Phân tích : + Giả sử hình chữ nhật dựng xong , AB lấy điểm G’ , dựng hình chữ nhật G’F’E’F’ có E’F’=2D’E’ hai đỉnh D’,E’ thuộc BC , nối BF’ cắt AC F , ta có : BG GD 2GF GF = = = Chứng tỏ B,F’F thẳng hàng Ta có BG ' GD ' 2G ' F ' G ' F ' thể xem hình chữ nhật DEFG ảnh hình chữ nhật D’E’F’G’ qua phép vị tự tâm B tỉ số vị tự : BG = k Từ suy cách dựng BG ' * Cách dựng : - Lấy điểm G’ tùy ý AB , sau dựng hình chữ nhật G’F’E’D’ có E’F’=2 D’E’, hai đỉnh D’E’ nẵm BC - Nối BF’ cắt AC F , đường thẳng qua F song song với BC cắt AB G Gọi D E hình chiếu G F BC Thì hình chữ nhật DEFG hình chữ nhật cần dựng * Chứng minh : Thật : Vì GF //G’F’ , GD//G’D’ nên : GF BG GD = = Từ suy : G ' F ' BG ' G ' D ' GD G ' D ' = = Như hình chữ nhật dựng thỏa mãn yêu cầu toán GF G ' F ' Ví dụ ( Bài 1.25-tr33-BTHH11CB) Cho nửa đường trịn đường kính AB Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm nửa đường tròn , hai đỉnh cịn lại nằm đường kính AB nửa đường trịn Giải Vẽ hình , từ hình vẽ ta có bước sau * Phân tích Giả sử hình vng MNPQ dựng xong thỏa mãn yêu cầu toán ( với M,N nẵm AB , P,Q nằm nửa đường tròn ).Gọi O trung điểm AB Nối OQ OP, dựng hình vng M’N’P’Q’ cho M’,N’ nằm AB O trung điểm M’N’ Khi ta có : ⇔ OQ OP PQ = = =k OQ ' OP ' P ' Q ' Ta xem MNPQ ảnh M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O tỉ số k= PQ Từ suy P 'Q ' : * Cách dựng - Dựng hình vng M’N’P’Q’ ( có M’N’ thuộc AB O trung điểm M’N’ ) - Nối OP’ OQ’ chúng cắt (O,AB) P Q - Hình chiếu P Q AB N M Khi MNPQ hình vng cần dựng Trang 18 Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH * Chứng minh : Do M’N’P’Q’ hình vng , M’N’//AB Tam giác OM’N’ đồng dạng với tam giác OPQ suy : PQ OP OQ PN QM = = =k= = P ' Q ' OP ' OQ ' P' N ' Q'M ' Ví dụ ( Bài 1.26-tr33-BTHH11CB) Cho góc nhọn Oxy điểm C nằm góc Tìm Oy điểm A cho khoảng cách từ A đến trục Ox = AC Giải - Vẽ hình Căn vào hình vẽ ta có phân tích sau * Phân tích : Gọi B hình chiếu A Ox theo đầu tam giác ABC tam giác cân đỉnh A ( AB=AC ) Giả sử tam giác A’B’C tam giác cân đỉnh A’ có A’B’ vng góc với Ox Dễ dàng nhận thấy hai tam giác đồng dạng ta có : AC OC AB = =k= Ta coi tam giác ABC ảnh tam giác A’B’C’ qua phép vị tự A ' C ' OC ' A' B ' tâm OP tỉ số vị tự k Từ suy cách dựng : * Cách dựng : - Nối OC , sau Oy lấy điểm A’ , tìm B’ hình chiếu A’ Ox ( kẻ A’B’ vng góc với Ox) - Dùng com pa lấy A’ làm tâm , quay cung trịn có bán kính A’B’ cắt OC C’ - Từ C kẻ hai đường thẳng song song với hai cạnh A’C’ C’B’ chúng cắt hai cạnh Oy Ox A B Tam giác ABC tam giác cần tìm * Chứng minh : Giống cách phân tích Ví dụ ( Bài tập O.11-tr76-BTHH10 –T6-2000) Cho tam giác nhọn ABC Hãy dựng hình vng MNPQ cho M,N nằm cạnh BC , P,Q nằm hai cạnh cịn lại tam giác Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ ta có cách phân tích : Gọi hình vng M’N’P’Q’ có cạnh M’N’ thuộc BC M’N’=N’P’=P’Q’=Q’M’ a cố định Nếu ta coi hình vng MNPQ ảnh phép vị tự tâm B với tỉ số vị tự : PQ PM PQ P ' Q ' = ⇔ = = ⇒ PQ = PM Suy cách dựng P 'Q ' P ' N ' PM P ' N ' - Trên AB lấy điểm Q’ , kẻ đường thẳng qua Q’ vng góc với BC cắt BC M’ Sau đặt M’N’=A’M’ , dựng hình vng M’N’P’Q’ - Nối BP’ cắt AC P , kẻ hai đường thẳng qua P // với N’P’ M’N’ chúng cắt BC AB N Q Cuối kẻ qua Q đường thẳng vng góc với BC cắt BC M ta hình vng MNPQ cần dựng * Chú ý : Ta cịn có cách khác - Dựng hình vng BCM’N’ nằm ngồi tam giác ABC Gọi B’C’ giao AB AC với M’N’ Như phép vị tự tâm A tỉ số vị tự : k= AB biến tam giác AB ' AB’C’ thành tam giác ABC , Cho nên biến hình vng BCPQ thành hình vng MNPQ cần tìm Vì ta cần kẻ qua B’ C’ hai đường thẳng vng góc với BC chúng cắt cạnh Ac AB điểm P Q , cắt BC N M Hình vng MNPQ tìm Ví dụ Gọi A giao hai đường đường tròn cắt O O’ Hãy dựng qua A đường thẳng cắt hai đường tròn B C cho AC=2AB Giải Vẽ hình minh họa Từ hình vẽ ta có phân tích sau Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 19 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH uuur uuur - Từ giả thiết , ta có : AC = −2 AB ⇒ VA−2 : B → C Như phép vị tự tâm A biến B thành C Từ ta có cách dựng : - Dựng đường tròn ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 Giao đường tròn ảnh với đường tròn (O’) C Đường thẳng AC đường thẳng d cần dựng - Chứng minh : Do C ảnh B qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 AC=2AB Ví dụ Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi với A( có bán kính khác ) Một điểm M nằm đường tròn (O) Dựng đường tròn qua M tiếp xúc với O O’ Giải - Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ có phân tích - Gọi S tâm vị tự (O) (O’) ,N ảnh M qua phép vị tự tâm S M’ giao điểm thứ hai AN với (O’) , Gọi O’’ giao OM với O’M’ ( Chú ý : OM//O’N ) ta có : O '' M O '' M ' = ( O ' N = O ' M ') nên O’’M=O’’M’ Chứng tỏ (O’’) tiếp O'N M 'O ' xúc với (O) (O’) M M’ - Cách dựng : Tìm tâm S ( kẻ tiếp tuyến chung O O’ cắt OO’ S Nối SA cắt (O’) N M’ O’ giao OM với O’M’ IV BÀI TOÁN CHỨNG MINH PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Để làm dạng toán chứng minh ta cần phải kiến thức phép đối xứng tâm phép quay Đồng thời phải nhớ lại kiến thức tam giác , tứ giác : Hình bình hành , hình vng , hình chữ nhật Ví dụ ( Bài toán 1-tr17-HH11NC) Cho hai tam giác OAB OA’B’ Gọi C D trung điểm đoạn thẳng AA’ BB’ Chứng minh OCD tam giác ? Giải Xét phép quay tâm O với góc quay góc lượng giác ( OA,OB)= 600 Rõ ràng A biến thành B A’ biến thành B’ , phép quay biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ Từ suy phép quay biến C thành D , OC=OD Vì góc quay 600 tam giác cân OCD tam giác Ví dụ ( Bài 43-tr11-BTHH11NC) Về phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng BCMN ACPQ có tâm O O’ a/ Chứng minh cố định hai điểm A,B cho C thay đổi đường thẳng NQ ln qua điểm cố định b/ Gọi I trung điểm AB Chứng minh IOO’ tam giác vuông cân Giải a/ Vẽ hình theo giả thiết cho Từ hình vẽ , giải cho học sinh toán phụ : Cho hai điểm A,B cố dịnh , với điểm M với hai phép quay tâm A , tâm B có góc quay phép hợp hai phép quay phép đối xứng mà tâm đối xứng đỉnh gốc vng tam giác vng cân OAB ( O tâm đối xứng ) - Như : QA : C → N QB : C → Q ⇒ NQ qua tâm đối xứng H xác định cách dựng tam giác vuông cân HAB Trang 20 Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH b/ Tương tự : QO : C → B ; QO ' : C → A ⇒ AB qua tâm đối xứng I xác định tam giác vuông cân OO’I ( với I đỉnh góc vng ) Như tam giác O’OI tam giác vuông cân PHÉP VỊ TỰ Ta hay gặp toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định , hay điểm nằm đường tròn cố định , hình vng …tóm lại hình H cố định Khi ta cần chứng minh đường thẳng qua tâm vị tự hai hình H H’ chứng minh M nằm đường trịn ảnh hình H qua phép vị tự tâm I tỉ số k Ví dụ Cho hai đường trịn (O ) ( O2 ) ngồi , đường trịn (O) thay đổi tiếp xúc với ( O1 ; R1 ) tiếp xúc với ( O2 ; R2 ) Chứng minh đường thẳng nối hai tiếp điểm qua điểm cố định Giải Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ hình vẽuuuur , phânuuuuur tích cho học sinh thấy : O1O ∩ O2O = O Kẻ O2 M '/ / O1M Thì ta có O1M ⇑ O2 M ' MM’ qua tâm vị tự hai đường trịn Do : O2 M ' O2 N R ' = = =k O1M O1M R * Gọi M,N thứ tự hai tiếp điểm (O) với hai đường tròn ( O1 ; R1 ) ; ( O2 ; R2 ) Thì * Hai tam giác : ONM đồng dạng với O2 NM ' suy : ON OM ON ON = ⇒ = = ⇒ ON = OM Vậy MN qua tâm vị tự cố định O2 N O2 M ' OM O2 M ' hai đường tròn : ( O1 ; R1 ) ; ( O2 ; R2 ) Ví dụ Cho hai đường trịn O O’ tiếp xúc với A Một góc vng xAy quay xung quanh A , tia Ax cắt O M , tia Ay cắt O M’ Chứng minh đường thẳng MM’ qua điểm cố định Giải uuuuur uuuur Nối MM’ cắt O’ N ta thấy : O ' N song song chiều với AM Tương tự A’ uuuuuur uuuur uuuur uuuuuur giaocủa OO’ với với O’ ta thấy : A ' M ' / / AM ⇒ OM / / O ' M ' Suy MM’ qua tâm vị tự hai đường trịn Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC với trọng tâm G Gọi A’,B’,C’ trung điểm cạnh BC,CA,AB a/ Phép vị tự biến A thành A’,B thành B’ C thành C’ ? b/ Chứng minh tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trực tâm tam giác A’B’C’ uuur uuur c/ Gọi H trực tâm tam giác ABC , chứng minh : GO = − GH Suy G,O,H nằm đường thẳng ( Đường thẳng Ơ-le ) Giải a/ Theo tính chất trọng tâm tam giác : 1 uuur uuur uuuur − − − uuur uuur uuur 2 GA ' = − GA ⇒ VG : A → A '; GA ' = − GA ⇒ VG : A → A '; GB ' = − GB ⇒ VG : B → B ' 2 Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 21 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH uuuur − uuur GC ' = − GC ⇒ VG : C → C ' Như phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 biến ba điểm A,B,C thành ba điểm A’,B,C’ b/ Vì O giao ba đường trung trực , OB’ ∟AC , AC//A’C’ OB’∟A’C’ Chứng tỏ OB’ đường cao tam giác A’B’C’ Tương tự OA’ OC’ O trực tâm tam giác A’B’C’ c/ Do tam giác A’B’C’ ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 cho uuur uuur nên H biến thành O : GO = − GH PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỊNH TIẾN VÉC TƠ Bài Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O;R) (O’;R’) điểm A (O;R) uuuur uuur Xác định điểm M (O;R) diểm N (O’;R’) cho MN = OA Bài ( Làm tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9) Bài ( Làm tập : 2;3- HH11CB-trang ) GỢI Ý uuuur uuur uuur : M → N Do N nằm đường tròn ảnh (O;R) Mặt Bài Vì : MN = OA ⇒ TOA khác N lại nằm (O’;R’) N giao đường trịn ảnh với với (O’;R’) Từ suy cách tìm : - Vè đường trịn tâm A bán kính R , đường trịn náy cắt (O’;R’) N - Kẻ đường thẳng d qua N song song với OA , suy d cắt (O;R) M Bài a/ Bài 4-trang 9-HH11NC uuur ur - Vì A,B cố định suy : AB = U uuuuur uuur uuur uuuuur uuur uuur uuur r :M → M ' - Từ giả thiết : MM ' + MA = MB ⇒ MM ' = MB − MA = AB Chứng tỏ : Tuuu AB - Nhưng M chạy (O;R) M’ chạy đường tròn (O’;R) ảnh (O;R) b/ Bài  x1' = x1cosα − y1 sin α + a  x2' = x2 cosα − y2 sin α + a ; N ' ' - Tọa độ M’ N’ : M '  '  y1 = x1 sin α + y1cosα + b  y2 = x2 sin α + y2cosα + b - Khoảng cách d M,N khoảng cách d’ M’N’ Ta có : MN = M 'N ' = ( x2 − x1 ) ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) ( cos α + sin α ) + ( y 2 − y1 ) ( cos α + sin α ) = ( x − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 2 - Phép F phép dời hình x ' = x + a Đây công thức phép tịnh tiến y' = y +b - Khi : α = → sin α = 0; cosα = ⇒  c/ Bài - Nếu F1 : M ( x; y ) → M ' ( y; − x ) ; N ( x '; y ' ) → N ' ( y '; − x ' ) khoảng cách hai điểm MN M’N’ : MN = ( x '− x ) + ( y '− y ) ; M ' N ' = ( y '− y ) + ( − x '+ x ) Chứng tỏ MN=M’N’cho nên phép dời hình - Nếu : F2 : M ( x; y ) → M ' ( 2x; y ) ; N ( x '; y ' ) → N ' ( 2x '; y ' ) Khi khoảng cách hai điểm : MN = Trang 22 ( x '− x ) + ( y '− y ) ; M ' N ' = ( x '− x ) + ( y '− y ) 2 Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH - Rõ ràng : MN< M’N’ : Do khơng phải phép dời hình theo định nghĩa : Phép dời hình phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách chúng Bài a/ Bài 2- trang - Từ B C kẻ đường thẳng // với AG Sau đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ hình bình hành ) - A’ trùng với G Tam giác GB’C’ ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG uuur uuur - Nếu D ảnh phép tịnh tiến theo véc tơ AG : AG = AD ⇒ D phải trùng với G b/ Bài 3-trang  xA' = − = ↔ A ' ( 2;7 ) tọa độ y = + =  A' - Theo công thức tọa độ phép tịnh tiến : A ' =   x B ' = −1 − = − ↔ B ' = ( −2;3)  yB ' = + = điểm B ' =  - Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : ảnh đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v theo cơng thức tọa độ củ phép tịnh tiến x ' = x −1  x = x '+ ⇒ Thay vào phương trình d : (x’+1)-2(y’-2)+3=0  y ' = y +  y = y '− ta có : M '  Hay d’: x’-2y’+8=0 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Bài Gọi m đường phân giác góc A tam giác ABC Chứng minh với điểm M m , chu vi tam giác MBC không nhỏ chu vi tam giác ABC Bài Cho (E) với hai tiêu điểm F1 , F2 Gọi M điểm nằm (E) không nằm đường thẳng F1 F2 m phân giác đỉnh M tam giác M F1 F2 Chứng minh m cắt (E) M ( đường thẳng m gọi tiếp tuyến E M ) Bài Cho đường tròn (C ) : x + y − 6x + y + = Tìm phương trình đường trịn (C’) qua phép đối xứng trục d : x-y-0 Bài Cho hai đường thẳng d : x-y+2=0 d’: 3x+4y-1=0 Tìm đường thẳng m ảnh đường thẳng d qua phép đối xừng trục d’ Bài Cho đường thẳng d: x+y-2=0 hai điểm A(-4;-3) ,B(2;-1) Tìm điểm M d cho MA+MB đạt giá trị nhỏ Bài Cho hai điểm A(4;3) B(-2;0) Tìm đường thẳng d : x+y-2=0 điểm M cho MA − MB đạt gía trị lớn Bài 7.( Bài 39-tr106-BTHH10NC) 4 7   Cho tam giác ABC có đỉnh A  ; ÷ Hai đường phân giác hai góc B C lần 5 lượt có phương trình x-2y-1=0 x+3y-1=0 Viết phương trình cạnh BC tam giác GỢI Ý CÁCH GIẢI Bài Kẻ đường phân giác ngồi góc A Tìm điểm C’ đối xứng với C qua m T a có : MB+MC=MB+MC’ ≥ BC ' Mà BC’=AB+AC Suy MB+MC+BC ≥ AB + AC + BC Đó điều phải chứng minh Bài Giả sử trục lớn (E) 2a , tức M nằm E : MF1 + MF2 = 2a Theo cách chứng minh , M’ nằm phân giác m : Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 23 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH M ' F1 + M ' F2 ≥ MF1 + MF2 = 2a Dấu xảy M’ trùng với M Vậy M’ khác M M’ khơng nằm E Suy m cắt E điểm M Bài Đường trịn (C ) có tâm I(3;-1) bán kính R=3 Gọi I’ tâm đường tròn (C’) Nếu I I’ đối xứng qua d ta có hệ : x − + y −1 = x + y = x =  ⇔ ⇔ ⇒ I ' = ( 0; )  x + y −1  x − y = −4 y =  − = Vậy đường tròn (C’): x + ( y − ) = đối xứng với (C ) qua trục đối xứng d Bài Gọi A giao d d’ tọa độ A nghiệm hệ : x − y + =  x = −1 ⇔ ⇒ A = ( −1;1) Trên d lấy điểm M(0;2) Tìm M’(x;y) ảnh  3x + y − = y =1 ur M qua phép đối xứng trục d’ ( có U = ( 4; −3) Khi tọa độ M’ nghiệm hệ : 33  4 x − ( y − ) = x=−   4x − y + =    33  25 ⇔   x −1   y +  ⇔ ⇒ ↔ M ' =  − ; ÷  25 25  3x + y + =  y = 3  ÷+  ÷− =       25 Khi đường thẳng m đối xứng với d qua d’ đường thẳng AM’ qua A(-1;1) có véc uuuuur  19  ur x +1 y −1 ; − ÷/ /U = ( 8; −19 ) suy (m) : = Hay đường thẳng 19  25 25  tơ phương AM ' =  (m) : 19x-8y+27=0 Bài Tìm tọa độ A’(x;y) đối xứng với A(-4;-3) qua phép đối xứng trục d: x+y-2=0  x + − ( y + 3) = x − y +1 = x =  ⇔ ⇔ ⇒ A ' = ( 5;6 ) Suy hệ :  x − y − + −2=0  x + y − 11 = y =   2 uuuur ur Lập đường thẳng (A’B) qua A’(5;6) có véc tơ phương A ' B = ( −3; −7 ) / /U = ( 3; )  x = + 3t t∈R  y = + 7t Do (A’B):  Vậy M giao (A’B) với d tọa độ M nghiệm hệ :  t = − 10  x = + 3t  23    23  ⇒ M =  ;− ÷  y = + 7t ⇔  x = 10  10 10  x + y − =     y = − 10  Bài Tương tự cách làm tập , ta có tạo độ A’(x;y) đối xứng với A(4;3) qua d nghiệm hệ   x − − ( y − 3) = x=  x − y =   ⇒ A' =  ;  ⇔ ⇔ :  x +   y −   ÷ 2 2 x + y − =  ÷+  ÷− = y =      uuuur   3 ur Đường thẳng (A’B) qua B(-2;0) có véc tơ phương : A ' B =  − ; − ÷/ /U = ( 7;3) 2 Trang 24 Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218  TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH  x = −2 + 7t t ∈ R Điểm M cần tìm giao (A’B) với d , tọa Do (A’B):   y = 3t  t =  x = −2 + 7t    4 6 ⇔  x = ⇒ M =  ; ÷ độ M nghiệm hệ :  y = 3t 5 5 x + y − =    y =  Bài Tìm tọa độ hai điểm M,N ảnh A qua phép đối xứng trục hai đường phân giác hai góc B C , M,N phải nằm BC Từ đường thẳng (BC) đường thẳng (MN) : y+1=0 PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Trong Oxy cho M (2 ; 3), tìm ảnh điểm M qua phép đối xứng qua đường thẳng y - x = Bài mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: = 4, tìm phương trình đường tròn (C’) ảnh ( C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = Bài Cho hình vng ABCD tâm O Phép quay Q có tâm quay O góc quay giá trị , phép quay Q biến hình vng ABCD thành ? uur Với uuur Bài Nếu IA = AB phép vị tự tâm I biến A thành B theo tỉ số k bao nhiêu? Bài 2: Cho đường tròn (C ) : x + y − x + y + = Tìm phương trình đường trịn đối xứng với (C ) qua đường thẳng (d ) : x − y = Bài Cho hai đường thẳng (k ) : x − y − = , (l ) : x + y = Phép đối xứng tâm I biến (k ) thành (k ') : x − y + = , (l ) thành (l ') : x + y − = Tìm tọa độ I Bài Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng (∆) : x − y + = qua điểm I ( −1; ) 2 −2 Bài 7: Cho đường tròn (C ) : ( x − 1) + ( y − ) = Ảnh (C ) qua phép vị tự VO đường tròn (C ') có phương trình Bài Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1) Phép dời hình có cách thực r liên tiếp phép đối xứng qua tâm O phép tịnh tiến theo vectơ v(2;3) biến M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N Bài Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2) Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số vị tự k = -2 phép đối xứng tâm O biến M thành điểm N Tìm tọa độ N Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(1;1) đường thẳng d: x+ y + = Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ , tìm phương trình d’ Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 25 ... ĐT: 0985.270.218 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH - Rõ ràng : MN< M’N’ : Do khơng phải phép dời hình theo định nghĩa : Phép dời hình phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm... TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH a/ Từ hình vẽ ta thấy ảnh C qua phép quay tâm A góc 900 C’ C’’ cho tam giác ACC’ ACC’’ tam giác vuông cân b/ Ta nhận thấy ảnh C qua phép quay... cho AC=2AB Giải Vẽ hình minh họa Từ hình vẽ ta có phân tích sau Sưu tầm biên soạn - Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 19 TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH - BIẾN HÌNH uuur uuur - Từ