GV: Nguyễn Kim Khánh – THPT Hòn Đất ÔNTẬP TOÁN 12 TÓM TẮT CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP A. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÍNH CHẤT BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1) Cho hàm số ( ) 3 2 y f x ax bx cx d= = + + + , 0a ≠ . 1) Định điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên TXĐ? Ta tính 2 3 2y ax bx c ′ = + + Hàm số đồng biến trên TXĐ 2 0 3 0 a b ac > ⇔ ′ ∆ = − ≤ ; Hàm số nghịch biến trên TXĐ 2 0 3 0 a b ac < ⇔ ′ ∆ = − ≤ 2) Định điều kiện để hàm số có cực đại , cực tiểu? Với 0a ≠ . Hàm số có cực đại , cực tiểu 2 3 0b ac ′ ⇔ ∆ = − > 3) Định điều kiện để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm 0 x Ta tính 2 3 2y ax bx c ′ = + + ; 6 2y ax b ′′ = + Hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x ( ) ( ) 0 0 0 0 x x y y ′ = ⇔ ′′ < ; Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x ( ) ( ) 0 0 0 0 x x y y ′ = ⇔ ′′ > Bài 2) Cho hàm số ( ) 4 2 y f x ax bx c= = + + , 0a ≠ 1) Định điều kiện để hàm số ( ) y f x= có 2 cực đại (hoặc 2 cực tiểu) Ta tính ( ) 3 2 4 2 4 2y ax bx x ax b ′ = + = + Hàm số có 2 cực đại 0 0 a ab < ⇔ < (hoặc 0a < và 0b > ) Hàm số có 2 cực tiểu 0 0 a ab > ⇔ < (hoặc 0a > và 0b < ) 2) Định điều kiện để đồ thị hàm số ( ) y f x= luôn luôn lõm (hoặc lồi) Ta tính ( ) 3 2 4 2 4 2y ax bx x ax b ′ = + = + , 2 12 2y ax b ′′ = + Đồ thị hàm số luôn luôn lõm 0 0 a ab > ⇔ ≥ (hoặc 0a > và 0b ≥ ) Đồ thị hàm số luôn luôn lồi 0 0 a ab < ⇔ ≥ (hoặc 0a < và 0b ≤ ) Bài 3) Cho hàm số ax b y cx d + = + , 0, 0c ad bc≠ − ≠ Định điều kiện để hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác định? TXĐ: \ d D R c = − hay ; ; d d c c −∞ − ∪ − +∞ ÷ ÷ . Ta tính ( ) 2 ad bc y cx d − ′ = + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định 0ad bc ⇔ − > Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 0ad bc⇔ − < Bài 4) Cho hàm số ( ) 2 Ax Bx C y f x ax b + + = = + , 0Aa ≠ 1) Định điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác định? Tr. 1 GV: Nguyễn Kim Khánh – THPT Hòn Đất ÔNTẬP TOÁN 12 TXĐ: \ b D R a = − . Ta tính 2 2 2 ( ) Aax Abx Bb aC y ax b + + − ′ = + Để ý rằng biểu thức y’ luôn cùng dấu với biểu thức ( ) 2 2g x Aax Abx Bb aC= + + − Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ( ) ( ) 2 0 0 g Aa Ab Aa Bb aC > ⇔ ′ ∆ = − − ≤ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ( ) ( ) 2 0 0 g Aa Ab Aa Bb aC < ⇔ ′ ∆ = − − ≤ 2) Định điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu Với 0Aa ≠ , Hàm số có cực đại, cực tiểu ( ) ( ) 2 0 g Ab Aa Bb aC ′ ⇔ ∆ = − − > Chú ý: Nếu 0 x là điểm cực trị của hàm số. Ta có: 2 0 0 0 0 0 2Ax Bx C Ax B y ax b a + + + = = + Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng hoặc một đoạn. 1) Cho hàm số ( ) y f x= liên tục trên khoảng ( ) ;a b . Tìm ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; max ; min a b a b f x f x Ta khảo sát sự biến thiên của hàm số ( ) y f x= trên khoảng ( ) ;a b . Nếu trên khoảng ( ) ;a b có duy nhất một cực trị thì giá trị cực trị của hàm số sẽ ứng với ( ) ( ) ; max a b f x hoặc ( ) ( ) ; min a b f x . 2) Cho hàm số ( ) y f x= liên tục trên đoạn [ ] ;a b . Tìm ( ) [ ] ( ) [ ] ; ; max ; min a b a b f x f x . Ta tính đạo hàm ( ) f x ′ , giải phương trình ( ) 0f x ′ = để tìm tất cả các điểm tới hạn ( ) 1,2, . i x i = của hàm số trên đoạn [ ] ;a b . Tính ( ) ( ) ( ) , , i f a f b f x . Từ đó suy ra ( ) [ ] ( ) [ ] ; ; max ; min a b a b f x f x cần tìm. 3) Chú ý: Trường hợp tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) sin ,cosy f x x= trên một khoảng hay một đoạn còn có thể sử dụng tính chất sin cos 1x x= = Bài 6: Chứng minh tính chất lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số ( ) ,y f x m= , m: tham số. Ta tính ( ) y f x ′′ ′′ = . Biện luận dấu của ( ) f x ′′ theo tham số m B. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) y f x= Phương trình của đường thẳng có kệ số góc k và đi qua điểm ( ) ( ) 0 0 ;x f x là: ( ) 0 0 y k x x y = − + 1) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) 0 0 ;x f x (hoặc tại điểm có hoành độ bằng 0 x hoặc tại điểm có tung độ bằng 0 y ): Ta cần xác định toạ độ tiếp điểm ( ) ( ) 0 0 0 ;x y f x= , hệ số góc ( ) 0 k f x ′ = , sau đó viết PTTT. 2) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc đồ thị của hàm số ( ) y f x= khi biết hệ số góc k của đường thẳng Ta tìm toạ độ tiếp điểm ( ) 0 0 ;x y bằng cách: Giải phương trình ( ) f x k ′ = được nghiệm là 0 x , tính ( ) 0 0 y f x= sau đó viết PTTT 3) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc đồ thị của hàm số ( ) y f x= khi biết đường thẳng đi qua điểm có toạ độ ( ) 1 1 ;x y Giả sử đường thẳng cần tìm có hsgóc k thì phương trình đường thẳng có dạng: ( ) 1 1 y k x x y= − + . (1) Để tìm k ta giải hệ: ( ) ( ) ( ) 1 1 f x k x x y f x k = − + ′ = , Thay k tìm được vào pt(1) ta được PTTT cần tìm Tr. 2 GV: Nguyễn Kim Khánh – THPT Hòn Đất ÔNTẬP TOÁN 12 4) Định điều kiện để đồ thị hàm số ( ) ,y f x m= tiếp xúc đường thẳng ( ) 1 1 y k x x y= − + , (m: tham số) Ta giải và biện luận theo m để HPT: ( ) ( ) ( ) 1 1 ,f x m k x x y f x k = − + ′ = có nghiệm. Bài 8: Cho hàm số ( ) y f x= có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C) , biện luận số nghiệm của phương trình ( ) , 0g x m = theo tham số m. Cần biến đổi phương trình ( ) , 0g x m = về dạng ( ) ( ) f x kx h m= + . 1) Nếu k = 0, Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng ( ) y h m= song song với trục Ox 2) Nếu k 0 ≠ , ta cần xác định 0 y để đường thẳng 0 y kx y= + tiếp xúc đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C), vị trí các đường thẳng 0 y kx y= + , ( ) y kx h m= + để biện luận số nghiệm của phương trình đã cho. C. BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐƯỜNG CÔNIC: Bài 9: Dựa vào phương trình chính tắc của đường cônic. Tìm các yếu tố của đường cônic: 1) Elip: 2 2 2 2 1 x y a b + = . Từ 2 2 2 2 2 2 b a c c a b= − ⇒ = − . Ta tính được a, b, c. Toạ độ các đỉnh: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ;0 , ;0 , 0; , 0;A a A a B b B b− − , Toạ độ các tiêu điểm: ( ) ( ) 1 2 ;0 , ;0F c F c− Độ dài trục lớn: 2a, độ dài trục bé: 2b, tiêu cự 1 2 2F F c= . Tâm sai: ; 0 1 c e e a = < < Bán kính qua tiêu của điểm ( ) 0 0 ;M x y thuộc elip: 0 0 1 2 , cx cx F M a F M a a a = + = − 2) Hypebol: 2 2 2 2 1 x y a b − = . Từ 2 2 2 2 2 2 b c a c a b= − ⇒ = + . Ta tính được a, b, c. Toạ độ các đỉnh: ( ) ( ) 1 2 ;0 , ;0A a A a− . Toạ độ các tiêu điểm: ( ) ( ) 1 2 ;0 , ;0F c F c− Độ dài trục thực: 2a, độ dài trục ảo: 2b, tiêu cự 1 2 2F F c= . Tâm sai: ; 1 c e e a = > Bán kính qua tiêu của điểm ( ) 0 0 ;M x y thuộc hypebol: 0 0 1 2 , cx cx F M a F M a a a = + = − Phương trình các tiệm cận b y x a = ± . Phương trình các đường chuẩn : (đối với elip và hypebol) 1 : a x e ∆ = − ứng với tiêu điểm ( ) 1 ;0F c− 2 : a x e ∆ = − ứng với tiêu điểm ( ) 2 ;0F c 3) Parabol: 2 2y px= . Trong đó 0p > gọi là tham số tiêu. Toạ độ đỉnh: ( ) 0;0O . Toạ độ tiêu điểm: ;0 2 p F ÷ . Phương trình đường chuẩn: 2 p x = − Bán kính qua tiêu của điểm ( ) 0 0 ;M x y thuộc parabol: 0 2 p FM x= + Bài 10: Tiếp tuyến của đường cônic: 1) Tiếp tuyến tại điểm ( ) 0 0 ;M x y thuộc cônic. Ta áp dụng công thức phân đôi toạ độ Đối với elip: 0 0 2 2 1 x x y y a b + = . Đối với hypebol: 0 0 2 2 1 x x y y a b − = . Đối với parabol: ( ) 0 0 y y p x x= + 2) Điều kiện tiếp xúc của một đường thẳng 0Ax By C+ + = đối với cônic: Tr. 3 GV: Nguyễn Kim Khánh – THPT Hòn Đất ÔNTẬP TOÁN 12 Elip 2 2 2 2 1 x y a b + = điều kiện tiếp xúc là: 2 2 2 2 2 a A b B C+ = với 0C ≠ Hypebol 2 2 2 2 1 x y a b − = điều kiện tiếp xúc là: 2 2 2 2 2 a A b B C− = với 0C ≠ Parabol: 2 2y px= .điều kiện tiếp xúc là: 2 2pB AC= D. BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU: Bài 11: Phương trình của mặt phẳng: Nếu mặt phẳng (P) đi qua điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z và có vectơ pháp tuyến ( ) ; ;n A B C= r thì có phương trình tổng quát là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = hay 0Ax By Cz D+ + + = trong đó 0 0 0 D Ax By Cz= − − − . 1) Mặt phẳng ( ) ABC có vectơ pháp tuyến ,n AB AC = r uuur uuur 2) Mặt phẳng (P) nếu song song (hoặc chứa) hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có các vectơ chỉ phương 1 u ur , 2 u uur và với 1 u ur , 2 u uur không cùng phương thì vectơ pháp tuyến của mp(P) là 1 2 ,n u u = r ur uur 3) Mặt phẳng (P) nếu song song (hoặc chứa) đường thẳng d, và vuông góc với mp(Q) lần lượt có vectơ chỉ phương d u uur , và vectơ pháp tuyến q n uur , và với d u uur , q n uur không cùng phương thì vectơ pháp tuyến của mp(P) là , p d q n u n = uur uur uur 4) Chú ý: Nếu hai mặt phẳng mà vuông góc với nhau thì hai VTPT của hai mặt phẳng đó cũng vuông góc. Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng đó là hai vectơ cùng phương. Bài 12: Phương trình của đường thẳng: 1) Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có PT: Ax + By + Cx + D = 0 và A x + B y + C x + D = 0 ′ ′ ′ ′ thì d có phương trình tổng quát là: Ax + By + Cx + D = 0 A x + B y + C x + D = 0 ′ ′ ′ ′ . Ta cũng có vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: ; ; d B C C A A B u B C C A A B = ÷ ′ ′ ′ ′ ′ ′ uur 2) Nếu đường thẳng d đi qua điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z và có vectơ chỉ phương ( ) ; ; d u a b c= uur thì: Đường thẳng d có phương trình tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + Đường thẳng d có phương trình chính tắc là: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = Bài 13: Cho đường thẳng d không vuông góc với mp(P). Tìm phương trình của đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P): Ta tìm phương trình của mp(Q) chứa đường thẳng d và (Q) vuông vóc với mp(P). Khi đó phương trình của đường thẳng d’ là: ( ) ( ) pt mp P pt mp Q Bài 14: Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z trên mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 Bước 1: Ta viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M và ∆ vuông góc với mp(P). Phương trình tham số của đường thẳng 0 0 0 : x x At y y Bt z z Ct = + ∆ = + = + . Suy ra toạ độ điểm H= ( ) 0 0 0 ; ;x At y Bt z Ct+ + + với 0t ≠ Thay toạ độ điểm H vào phương trình của mp(P) ta tính được t, từ đó tính được toạ độ điểm H. Tr. 4 GV: Nguyễn Kim Khánh – THPT Hòn Đất ÔNTẬP TOÁN 12 Bài 15: Tìm toạ độ điểm M’ là điểm đối xứng của điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z qua mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 Bước 1: Tương tự bước 1 của bài 14. Suy ra toạ độ điểm M’= ( ) 0 0 0 ; ;x At y Bt z Ct+ + + với 0t ≠ Bước 2: Lập luận vì M và M’ đối xứng nhau qua mp(P) nên ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d M P d M P ′ = suy ra: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 A x At B y Bt C z Ct D Ax By Cz D+ + + + + + = + + + . Giải phương trình ta tìm được t, từ đó tính được toạ độ điểm M’ Bài 16: Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z trên đường thẳng 1 1 1 : x x at y y bt z z ct = + ∆ = + = + Bước 1: Ta viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M và mp(P) vuông góc với ∆ . Phương trình tổng quát của mp(P) là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0a x x b y y c z z ax by cz d− + − + − = + + + = . Bước 2: Vì H ∈∆ nên toạ độ của điểm H ( ) 1 1 1 ; ;x at y bt z ct+ + + Bước 3: Thay toạ độ điểm H vào phương trình mp(P) ta được: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0a x at b y bt c z ct d+ + + + + + = . Giải phương trình ta tính được t , từ đó tính được toạ độ điểm H. Bài 17: Tìm toạ độ điểm M’ là điểm đối xứng của điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z qua đường thẳng 1 1 1 : x x at y y bt z z ct = + ∆ = + = + Bước 1: Tương tự bước 1 của bài 16. Bước 2: Ta giả sử H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆ . Vì H ∈∆ nên toạ độ của điểm H ( ) 1 1 1 ; ;x at y bt z ct+ + + . Lập luận vì M và M’ đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ suy ra điểm H là trung điểm của đoạn MM’, suy ra toạ độ điểm M’ ( ) 1 0 1 0 1 0 2 2 ;2 2 ;2 2x at x y bt y z ct z= + − + − + − Bước 3: Thay toạ độ điểm M’ vào phương trình mp(P) ta được: ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0a x at x b y bt y c z ct z d+ − + + − + + − + = . Giải phương trình ta tính được t , từ đó tính được toạ độ điểm M’. Bài 18: Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c R− + − + − = Ta tính được: Mặt cầu (S) có tâm ( ) ; ;I a b c= và có bán kính R 1) Tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm T ( ) 0 0 0 ; ;x y z là mặt phẳng đi qua điểm T và có vectơ pháp tuyến ( ) 0 0 0 ; ;n IT x a y b z c= = − − − r uur . Phương trình của tiếp diện là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0x a x x y b y y z c z z− − + − − + − − = 2) Viết phương trình mp(P) có vectơ pháp tuyến ( ) ; ;n A B C= r và tiếp xúc mặt cầu (S). Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng 0Ax By Cz m+ + + = với m là tham số phải tìm. Mp(P) là tiếp diện của mặt cầu (S) khi ( ) ( ) ,d I P R= 2 2 2 Aa Bb Cc m R A B C + + + ⇔ = + + (1) Từ (1) ta tìm được giá trị của m, từ đó tìm được phương trình mp(P). 3) Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho biết vị trí tương đối của mp(P) đối với các đường thẳng hoặc mặt phẳng cho trước thay vì cho biết vectơ pháp tuyến của mp(P), tuỳ thuộc đề bài mà ta tìm được vectơ pháp tuyến của mp(P) Bài 19: Tìm tâm và bàn kính của đường tròn (C) có phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 x a y b z c R Ax By Cz D − + − + − = + + + = Đường tròn (C) là giao tuyến của mp(P): 0Ax By Cz D+ + + = và mcầu (S) có tâm ( ) ; ;I a b c= và có bán kính R 1) Gọi H là hình chiếu của điểm I trên mp(P) ta tính khoảng cách ( ) ( ) ,IH d I P= và nếu IH R< ta tính toạ độ điểm H 2) Suy ra đường tròn (C) có tâm H và bán kính 2 2 r R IH= − Tr. 5 . hàm số ( ) y f x= luôn luôn lõm (hoặc lồi) Ta tính ( ) 3 2 4 2 4 2y ax bx x ax b ′ = + = + , 2 12 2y ax b ′′ = + Đồ thị hàm số luôn luôn lõm 0 0 a ab >. Nguyễn Kim Khánh – THPT Hòn Đất ÔN TẬP TOÁN 12 TÓM TẮT CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP A. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÍNH CHẤT BIẾN THI N VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ