LUẬN VĂN THẠC SĨ PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG ĐƯỢC BẢO VỆ THÀNH CÔNG NĂM 2004 VỚI SỰ GIÚP ĐỠ CỦA CÁC GIÁO SƯ, TIẾN SÍ KHOA HỌC THUỘC VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NĂM, TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN, TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN.
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tự hoàn thành Các kết luận văn trung thực chưa công bố tạp chí Tác giả Phan Duy Thanh ii LỜI CẢM ƠN Trong trình học Cao học viết Luận văn tốt nghiệp, tác giả nhận nhiều ủng hộ Phòng giáo dục đào tạo huyện Tam Nông – Phú Thọ, lãnh đạo đồng nghiệp trường THCS Dị Nậu, giúp đỡ quý báu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tác giả nhận chia sẻ, động viên bạn đồng nghiệp người thân Trong trình thực Luận văn thạc sĩ Toán học, tác giả nhận hướng dẫn trực tiếp TS Nguyễn Minh Khoa chuyên môn Thầy nhiệt tình, tận tâm bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức cung cấp nhiều tài liệu quý báu Thầy dẫn cho tác giả trình bày kiến thức thu qua học tập ngiên cứu cách có hệ thống luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ động viên quý báu Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Phan Duy Thanh iii MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa…………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………… i Lời cảm ơn…………………………………………………… ii Mục lục…………………………………………………………… iii MỞ ĐẦU NỘI DUNG…………………………………………………………… Chương Phép biến đổi tích phân Fourier cosine Tích chập Fourier cosine với hàm trọng γ ( y ) = cos ay .5 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 1.2 Tích chập Fourier cosine với hàm trọng γ ( y ) = cos ay Chương II Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosin với hàm trọng .13 (2-1) Định nghĩa 13 (2-2) Định lý kiểu Watson Bổ đề 2.1 13 (2-3) Định lý kiểu Plancherel 19 Định lý 3.4 .19 (2-4) Các ví dụ .22 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 iv CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Các không gian hàm dùng luận văn ¡ + = { x ∈ R : x > 0} L(¡ + ) tập hợp tất hàm f xác định ( 0, +∞ ) cho +∞ ∫ f ( x ) dx < +∞ v MỞ ĐẦU 1) Lý chọn đề tài Phép biến đổi tích phân vấn đề trụ cột giải tích toán học, đời không ngừng phát triển khoảng hai trăm năm qua Phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng toán học nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác quang học, điện, lượng tử, y sinh học, âm thanh, Các phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trò đặc biệt lý thuyết ứng dụng, trước hết phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Xuất phát từ toán thực tế nghiên cứu trình truyền nhiệt năm 1807 Fourier hoàn thành công trình phép biến đổi tích phân Fourier [ 6] Phép biến đổi tích phân Fourier có dạng (Xem [ 2] ) ( Ff ) ( y) = 2π +∞ ∫e − iyx f ( x )dx, f ∈ L1 (¡ * ) ; (0.1) −∞ ( Ff ) ( y) = Lim N →+∞ 2π +N ∫e − iyx f ( x )dx, f ∈ LP ( ¡ ) (0.2) −N Trong trường hợp f hàm số chẵn lẻ ta nhận phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine có dạng sau (xem [ 6,10] ): ( FC f ) ( y ) = π +∞ ∫ f ( x)cos( xy)dx, f ∈ L1 ( ¡ + ) ; (0.3) ( FS f ) ( y ) = π +∞ ∫ f ( x)sin( xy)dx, f ∈ L1 ( ¡ + ) (0.4) vi Và ( FC f ) ( y ) = Lim N →+∞ π N ∫ f ( x)cos( xy)dx, ( FS f ) ( y ) = Lim N →+∞ π f ∈ LP ( ¡ + ) ; (0.5) f ∈ LP ( ¡ + ) (0.6) N N ∫ f ( x)sin( yx)dx, N Ở giới hạn hiểu theo chuẩn không gian LP (¡ + ) Các định nghĩa trùng f ∈ L1 (¡ + ) ∩ LP ( ¡ + ) Cùng với phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân, hướng phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỷ 20 Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f, g phép biến đổi Fourier có dạng sau (Xem [ ] ): ( f *g)(x) = F 2π +∞ ∫ f (y)g ( x − y)dy, x ∈ ¡ (0.7) −∞ Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F ( f *g)( y ) = ( Ff )( y ).( Fg )( y ), ∀y ∈ ¡ ; ∀f , g ∈ L1 ( ¡ ) F (0.8) Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập hai hàm f, g phép biến đổi Fourier cosine (Xem [ ] ): ( f F*g)(x) = 2π C +∞ ∫ f (y) g ( x + y) + g ( x − y ) dy, x > (0.9) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Đẳng thức Parseval sau (Xem [ ] ): FC ( f *g)( y ) = ( FC f )( y ).( FC g )( y ), ∀y > 0; ∀f , g ∈ L1 ( ¡ + ) ; F (0.10) ( f *g)( x) = Fc [ ( Fc f )( y ).( Fc g )( y ) ] ( x ), ∀x > 0; f , g ∈ L2 ( ¡ + ) F (0.11) vii Vào năm 2004 tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa xây dựng tích chập với hàm trọng γ ( y ) = cos y hai hàm f, g thuộc L1 (¡ + ) phép biến đổi Fourier cosine (Xem [ 8] ): f *γ g ( x) = F ÷ 2π c +∞ ∫ f ( y) g ( x + u + 1) + g ( x − u + ) + g ( x + u − ) + g ( x − u − ) du, x > (0.12) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ Fc f *F g ÷( y ) = cos y.( Fc f )( y ).( Fc g )( y ), ∀y > c (0.13) Đối với tích chập hai hàm f, g cố định hàm, chẳng hạn hàm g cho hàm f thay đổi không gian hàm ta nhận phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Phép biến đổi tích phân với thống xây dựng theo hướng phép biến đổi Watson dựa tích chập Melin phép biến đổi Melin Gần số phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tích chập suy rộng khảo sát (Xem [ 3,5,9,11] ) Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trong luận văn mình, tác giả xét tích chập với hàm trọng γ ( y ) = cos ay phép biến đổi tích phân Fourier cosine Dựa tích chập tích chập (0.9) để xây dựng nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng nhận diều kiện cần đủ để phép biến đổi xây dựng unita không gian L2 (¡ + ) Định lý kiểu Plancherel tính bị chặn phép biến đổi xây dựng không gian LP (¡ + ) chứng minh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Phương pháp nghiên cứu viii Sử dụng phép biến đổi tích phân, tích chập biết kết giải tích, giải tích hàm ix CHƯƠNG I PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER COSINE TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG γ ( y ) = cos ay 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f ∈ L( ¡ + ) , hàm ( Fc f ) xác định sau: fˆc ( y ) = ( Fc f )( y ) = π +∞ ∫ f ( x)cos(yx)dx (1.1) gọi biến đổi Fourier cosine hàm f Ta có công thức nghịch đảo: f ( x) = ( Fc fˆ )( x) = π +∞ ∫ fˆ ( y)cos(yx)dy c −x Ví dụ Tìm biến đổi Fourier cosine hàm f ( x) = e , x > Ta có: +∞ −x ( Fc f )( x) = e cos(yx)dx π ∫ = π = = +∞ ∫ e − (1−iy ) x + e − (1+iy ) x dx 2 1 + π 1 − iy + iy π + y2 Ví dụ Tìm biến đổi Fourier cosine hàm: { 0, x≥a f ( x) = m, 0< x < a Ta có: (1.2) x a 2 sin ya ( Fc f )( y ) = m cos(yx)dx = m π π y ∫ 1.1.2 Các tính chất phép biến đổi Fourier cosine Tính chất Phép biến đổi tích phân Fourier cosine phép biến đổi tuyến tính f , g ∈ L( ¡ + ), ∀α , β ∈ ¡ Chứng minh Với mọi: Ta có: Fc [ α f ( x) + β g ( x)] ( y ) = π +∞ ∫ [ α f ( x) + β g ( x)].cosyxdx =α π +∞ ∫ +∞ f ( x).cosyxdx + β g( x).cosyxdx π ∫ = α ( Fc f)( y ) + β ( Fc g)( y ) Vậy Fc phép biến đổi tuyến tính Với a > 0, đặt f a ( x) = f (ax) Khi ta có: Tính chất y ( Fc f a )( y ) = (( Fc f )( ) a a Chứng minh Thật vậy: ( Fc f a )( y ) = π = a π = a π = +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ ∫ f (ax).cosyxdx y f (ax).cos( ax)dx a y f (t).cos( t)dt(t = ax) a y ( Fc f )( ) a π a xix f →g g ( x) = n ∑ j =0 +∞ d j (−1) a j j ÷ f (u ) k1 ( x + u + a ) + k1 ( x − u + a ) + k1 ( x + u − a ) dx ∫ j + k1 ( x − u − a ) du + f (u ) k2 ( x − u ) + k ( x + u ) du , x > +∞ ∫ (2.4) unita L2 (¡ + ) phép biến đổi ngược có dạng: f ( x) = n ∑ j =0 +∞ d j (−1) a j j ÷ g (u ) k1 ( x + u + a ) + k1 ( x − u + a ) + k1 ( x + u − a ) dx ∫ j + k1 ( x − u − a ) du + +∞ ∫ g (u ) k2 ( x − u ) + k ( x + u ) du , x > (2.5) Chứng minh Điều kiện cần: Như biết h ( y ) , yh ( y ) , y h ( y ) ∈ L2 ( ¡ + ) d d2 ( Fh ) ( x); ( Fh ) ( x); ( Fh ) ( x) ∈ L2 (¡ + ) (Định lý 68, [ 10] ) Hơn dx dx d2 ( Fh ) ( x) = F ( −iy ) h( y) ( x) dx (2.6) Đặc biệt, h hàm chẵn cho n ∑ j =0 a j y j ÷h( y ) ∈ L2 ( ¡ + ) có đẳng thức sau: n ∑ j =0 d2j (−1) a j j ÷( Fc h ) ( x) = Fc dx j n ∑ j =0 a j y j ÷h( y ) ( x ) (2.7) xx Giả sử k1 , k2 ∈ L2 (¡ + ) thỏa mãn điều kiện (2.3) Sử dụng bổ đề 2.1 đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập ta có: g ( x) = n ∑ j =0 d2j (−1) a j j ÷Fc 2π cos ay ( Fc k1 ) ( y ) ( Fc f ) ( y ) dx j + 2π ( Fc k2 ) ( y ) ( Fc f ) ( y ) ( x) = Fc 2π n ∑ j =0 a j y j ÷( 2cos ay.( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k2 ) ( y ) ) ( Fc f ) ( y ) ( x) Điều kiện (2.3) ra: 2π n ∑ j =0 a j y j ÷( 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) ( y) ( Fc f ) ( y ) ) ∈ L2 ( ¡ + ) Do g ∈ L2 ( ¡ + ) Hơn theo đẳng thức Parseval phép biến đổi Fourier cosine: f = Fc f g L2 ( ¡ + = Fc f L2 ( ¡ ) 2π = ) L2 ( ¡ từ điều kiện (2.3) ta nhận được: + ) = f n ∑ j =0 L2 ( ¡ a j y j ÷ 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) ( y ) ( Fc f ) ( y ) + ) L2 ( ¡ Điều phép biến đổi (2.4) unita Bên cạnh đó, từ 2π n ∑a y j j =0 2j ÷ 2cos ay.( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) ( y ) ( Fc f ) ( y ) ∈ L2 ( ¡ + ) , ta có: ( Fc g ) ( y ) = 2π n ∑ j =0 a j y j ÷ 2cos ay.( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) ( y ) ( Fc f ) ( y ) + ) xxi Do ( Fc f ) ( y ) = 2π n ∑a y j j =0 2j ÷ 2cos ay.( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) ( y ) ( Fc f ) ( y ) Lại điều kiện (2.3): 2π n ∑ j =0 a j y j ÷ 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) ( y ) ( Fc g ) ( y ) ∈ L2 ( ¡ + ) Công thức (2.7) dẫn đến: f ( x) = Fc 2π = n ∑ j =0 a j y j ÷ 2cos ay.( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) ( y ) ( Fc g ) ( y ) ( x ) ( ) d2j ( −1) a j j ÷Fc 2π ( Fc k1 ) ( y) ( Fc g ) ( y ) + 2π ( Fc k2 ) ( y ) ( Fc g ) ( y) ( x) dx j =0 n ∑ j Sử dụng công thức (2.7) bổ đề 2.1 ta có: f ( x) = n ∑ j =0 +∞ d j (−1) a j j ÷ g (u ) k1 ( x + u + a ) + k1 ( x − u + a ) + k1 ( x − u − a ) du ÷ ÷ dx ∫ j ∞ + g (u ) k ( x − u ) + k2 ( u + x ) du , x > ∫ Do phép biến đổi (2.4) unita L2 (¡ + ) , biến đổi ngược xác định công thức (2.5) Điều kiện đủ Giả sử phép biến đổi (2.4) unita ¡ + Khi tích đẳng cự L2 (¡ + ) phép biến đổi Fourier cosine f L2 ( ¡ + ) = ( Fc f ) L2 ( ¡ dẫn đến: g L2 ( ¡ = Fc f +) 2π = L2 ( ¡ + ) = f n ∑a y j j =0 L2 ( ¡ + ) 2j ÷ 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) ( y ) ( Fc f ) ( y ) L2 ( ¡ +) + ) xxii Ở k1 , k2 ∈ L2 (¡ + ) Do đó, toán tử nhân M θ [ ] với θ ( y ) = 2π n ∑ j =0 a j y j ÷ 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k2 ) ( y ) Unita L2 (¡ + ) Điều tương đương với θ ( y ) = ¡ + Tức là: 2π n ∑a y 2j j j =0 ÷ 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k2 ) ( y ) = 1, ∀y > Như k1, k2 thỏa mãn (2.3) Chứng minh cho định lý 2.2 hoàn thành Nhận xét: 1) Chúng ta lưu ý điều kiện ∈ L2 ( ¡ + ) n ∑a y 2j thỏa mãn j j =0 P( y ) = n ∑a y j 2j nghiệm thực j =0 2) Bây ta tồn hàm k1, k2 thỏa mãn điều kiện (2.3) n Giả sử a j ( j = 1, n) số thực cho đa thức ∑a y j 2j nghiệm j =0 thực, h1 , h2 ∈ L2 ( ¡ + ) thỏa mãn đẳng thức sau: ( F h ) ( y) ( F h ) ( y) = c c n ( + cos ay ) ∑ a y 2j (2.8) j j =0 Sự tồn hàm h1 , h2 thỏa mãn (2.8) đảm bảo Cụ thể, ta lấy: xxiii ei 1( y ) h1 ( x) = Fc α ( x) ; n 2j + c os ay a y ( ) j j =0 ∑ i 2( y) e h2 ( x) = Fc β ( x) n 2j + c os ay a y ( ) j j = ∑ Ở α , β số dương thỏa: α + β = Đặt k1 ( x) = 2π h *γ h ( x) k ( x ) = h *γ h ( x ) 1F 2÷ ; 2÷ 2π F c c Dễ dàng chứng minh k1 , k2 ∈ L2 (¡ + ) Hơn nữa: 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) ( y ) cos ay ( Fc h1 ) ( y ).( Fc h2 ) ( y ) + ( Fc h1 ) ( y ) ( Fc h2 ) ( y ) 2π 2π = ( Fc h1 ) ( y ) ( Fc h2 ) ( y ) (1 + cos 2ay ) 2π = n 2j 2π aj y = ∑ j =0 Vì k1 , k2 thỏa mãn điều kiện (2.3) (2-3) Định lý kiểu Plancherel Định lý 3.1 Cho k1 , k2 hai hàm khả vi L2 (¡ + ) thỏa mãn điều kiện (2.3) giả sử K1 ( x) = n ∑ j =0 d2j (−1) a j j ÷.k1 ( x) ; K ( x) = dx j n ∑ j =0 d2j ( −1) a j j ÷.k ( x) bị chặn dx j địa phương Cho f ∈ L2 ( ¡ + ) , với số dương N Ta đặt: xxiv N g N ( x) = ∫ f (u) K ( x + u + a ) + K ( x − u + a ) + K ( x + u − a ) + K ( x − u − a ) du 1 1 N + f (u ) K ( x − u ) + K ( x + u ) du , x > ∫ Khi ta có: 1) g N ∈ L2 (¡ + ) N → ∞, g N hội tụ L2 (¡ + ) đến hàm g ∈ L2 ( ¡ + ) Hơn g L2 ( ¡ + ) = f L2 ( ¡ + ) 2) Nghịch đảo N f N ( x) = g (u ) K1 ( x + u + a ) + K1 ( x − u + a ) + K1 ( x + u − a ) + K1 ( x − u − a ) du ∫ N + g (u ) K ( x − u ) + K ( x + u ) du , x > ∫ Thuộc L2 (¡ + ) hội tụ L2 (¡ + ) tới f N → ∞ N Chứng minh: Đặt f = f χ (0, N ) Bằng đổi biến, ta có: (3.1) xxv ∞ g N ( x) = K1 (u ) f N ( x + u + a ) + f N ( x − u + a ) + f N ( x + u − a ) + f ∫ N ( x − u − a ) du ∞ + K (u ) K ( x − u ) + K ( x + u ) du ∫ = n ∑ j =0 ∞ d j (−1) a j j ÷ k1 (u ) f N ( x + u + a ) + f N ( x − u + a ) + f N ( x + u − a ) dx ∫ j ∞ +f N ( x − u + a ) du + ∫ k (u ) k ( x − u ) + k ( x + u ) du 2 Ta đổi thứ tự lấy tích phân vi phân tích phân khoảng hữu hạn Đổi biến trở lại ta nhận được: g N ( x) = n ∑ j =0 d2j (−1) a j j dx j N k x + u + a + k x − u + a + k x + u − a du ( ) ( ) ( ) ÷ 1 ÷ ÷ ∫ N + f (u ) k2 ( x − u ) + k2 ( x + u ) du ∫ Từ từ Định lý 2.2 ta kết luận g N ∈ L2 (¡ + ) ta kết luận g N ∈ L2 (¡ + ) Nhận g ảnh f qua phép biến đổi (2.4) Khi định lý 2.2 dẫn tới g ∈ L2 ( ¡ + ) g L2 ( ¡ + ) = f L2 ( ¡ + ) Hơn công thức lặp (2.5) tỏa mãn Ta có: xxvi ( g − g N ) ( x) = n ∑ j =0 ∞ d j (−1) a j j ÷ ( f − f N ) (u ) k1 ( x + u + a ) + k1 ( x − u + a ) dx ∫ j ∞ ) ∫ ( f − f ) (u) k ( x − u ) + k ( x + u ) du + k1 ( x + u − a ) du + N 2 Lại định lý 2.2, g − g N ∈ L2 ( ¡ + ) g − g N Từ f − fN L2 ( ¡ +) → L2 ( ¡ +) = f − fN L2 ( ¡ + ) N → ∞ , g N hội tụ L2 (¡ + ) đến g N →∞ Phần thứ định lý chứng minh tương tự Nhận xét: 1) Định lý 2.2 định lý 3.1 phép biến đổi tích phân (2.4) Unita L2 (¡ + ) phép biến đổi ngược xác định bới công thức (2.5) Hơn toán tử tích phân (2.4) (2.5) xấp xỉ L2 (¡ + ) theo chuẩn toán tử (3.1) (3.2) tương ứng 2) Nếu giả thiết: K1 ( x) = n ∑ chặn ¡ j =0 + d2j (−1) a j j ÷.k1 ( x) K ( x) = dx j d2j ( −1) a j j ÷.k ( x) bị dx j =0 n ∑ j phép biến đổi (2.4) toán tử bị chặn từ L1 (¡ + ) vào L∞ ( ¡ + ) Mặt khác Định lý 3.1 toán tử (2.4) bị chặn L2 (¡ + ) Khi theo định lý nội suy Rierz dẫn tới kết sau Định lý 3.2 Giả sử k1 , k2 thỏa mãn điều kiện (2.3) giả sử K1 ( x), K ( x) xác định định lý bị chặn ¡ + Cho ≤ p ≤ q số mũ liên hợp nó, tức là: 1 + = Khi phép biến đổi : p q N xxvii N f ( x) → g ( x) = lim f (u ) K1 ( x + u + a ) + K1 ( x − u + a ) + K1 ( x + u − a ) N →∞ 0 ∫ ) + K1 ( x − u − a ) du + N ∫ f (u) K ( x − u ) + K ( x + u ) du 2 (3.2) toán tử bị chặn từ Lp (¡ + ) vào Lq ( ¡ + ) Ở giới hạn hiểu theo chuẩn Lq ( ¡ + ) (2-4) Các ví dụ: Ta đề cập vài ví dụ nhân k1 , k2 thỏa mãn điều kiện (2.3) tương ứng với phép biến đổi (2.4) Ví dụ 4.1 Cho ( F k ) ( y ) = c ( Fc k2 ) ( y) = cos ay ; 2π ( + y ) sin ay 2π ( + y ) (4.1) Rõ ràng k1 , k2 xác định (4.1) thỏa mãn điều kiện (2.3) Hơn nữa: cos ay k1 x = Fc = 2 π + y ( ) 2π = 4π +∞ ∫ +∞ ∫ cos ay.cos( xy ) + y2 cos( x + a) y + cos( x − a) y dy + y2 Từ công thức (1.4.1) [ 4] ta nhận 1 1 k1 x = e + ÷e − ax ; 2 e Mặt khác : (4.2) xxviii +∞ sin ay sin ay.cos( xy ) k2 x = Fc dy ( x) = π + y2 2π ( + y ) ∫ = 4π +∞ ∫ 2cos xy − cos( x + 2a ) y − cos( x − a) y dy + y2 Lần sử dụng công thức (1.4.1) [ 4] , ta có: k2 ( x) = e − e −2 − e ) e − ax ( Ví dụ 4.2 Cho ( Fc k1 ) ( y ) = ( F k ) ( y) = c ; 2π ( + y ) i sin ay 2π ( + y ) Rõ ràng 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) y = (4.3) 2π ( + y ) Hơn công thức (1.2.11) [ 4] dẫn tới: k1 x = 2π +∞ ∫ cos( xy ) e− x dy = + y2 Sử dụng công thức (2.2.14) [ 4] , ta có: i k2 x = π +∞ ∫ sin ay.cos( xy ) i dy = 1+ y 2π +∞ ∫ sin( x + a ) y − sin( x − a ) y dy + y2 (4.4) Ở Ei tích phân [ 4] Ví dụ 4.3 Cho ( Fc k1 ) ( y ) = isin ay ; 2π ( + y ) Rõ ràng 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k ) y = ( F k ) ( y) = c cos2ay 2π ( + y ) 2π ( + y ) Hơn nữa: k1 x = i e − x − a Ei ( x + a ) − e x + a Ei ( − x − a ) − e − x + a Ei ( x + a ) + e x −a Ei (− x + a ) 4π xxix Và: k2 x = π +∞ ∫ cos2ay.cos( xy ) dy = 1+ y 2π +∞ ∫ cos( x + 2a) y + cos( x − 2a) y dy = ( e −2 + e ) e − ax 1+ y Ví dụ 4.4 Ta xét trường hợp mở rộng ví dụ 4.1 Cho ( Fc k1 ) ( y ) = cos ay 2π ( y + b ) n +1 sin ay ( Fc k2 ) ( y ) = 2π ( a + y ) n +1 (4.5) Dễ thấy k1 , k2 xác định theo biểu thức (4.5) điều kiện (2.3) Hơn nữa: cos ay k1 x = Fc ( x) = 2 n +1 2π 2π ( y + b ) = 4π +∞ ∫ +∞ cos( x + a) y + cos( x − a) y (y + b2 ) n +1 cos ay.cos( xy ) ∫ (y + b2 ) n +1 dy dy Sử dụng công thức (1.2.28) [ 4] ta nhận được: n e− ( x−a ) z π d n e−( x+a ) z n d k1 ( x ) = (−1) n ÷+ (−1) n ÷;( z = b ) 2n! dz z z z n (4.6) Tương tự sin ay k2 x = Fc ( x) = 2 n +1 4π 2π ( a + y ) +∞ ∫ 2cos( xy ) − cos( x + a) y − cos( x − a ) y (b + y2 ) n +1 dy Lại sử dụng công thức (1.2.28) [ 4] ta được: d n e− x z n π k2 ( x ) = 2(− 1) n 2n! dz z n e− ( x+ a ) z d n e− ( x− a ) z n d n π ÷ − (− 1) n ÷ − (− 1) n ÷÷÷;( z = b ) z 2n dz z z Ví dụ 4.5 Cho k1 , k2 hàm thuộc L2 (¡ + ) xác định : xxx ( Fc k1 ) ( y ) = cos ay sin ay ; ( Fc k2 ) ( y ) = 2π ( x n + b n ) 2π ( x n + b n ) (4.7) Dễ thấy k1 , k2 xác định (4.7) thỏa mãn điều kiện (2.3) Do k1 , k2 ∈ L2 (¡ + ) nên ta có: cos ay k1 x = Fc ( x) = 2n 2n 4π 2π ( x + b ) +∞ ∫ cos( x + a) y + cos( x − a ) y dy x2n + b2n Sử dụng công thức (1.3.29) [ 4] ta nhận được: ( k −1) π 2k − 1) π ( 2k − 1) π n − b( x + a ) sin n ( k1 ( x) = + b ( x + a ) cos sin e 8nb n−1 k =1 2n 2n ∑ + n ∑ e ( k −1) π − b( x − a ) sin 2n k =1 ( 2k − 1) π ( 2k − 1) π sin + b ( x − a ) cos 2n 2n Tương tự sin ay k2 x = Fc ( x ) = 2n 2n 4π 2π ( x + b ) +∞ ∫ 2cos( xy ) − cos( x + 2a) y − cos( x − 2a) y dy x2n + y 2n Do sử dụng công thức (1.3.29) [ 4] ta có: k2 ( x ) = n ∑e ( k −a ) π − bx sin 2n k =1 − n ∑ e ( k −1) π − b( x + a ) sin 2n ( 2k − 1) π ( 2k − 1) π sin + b ( x + 2a ) cos 2n 2n ( k −1) π − b( x − a ) sin 2n ( 2k − 1) π ( 2k − 1) π sin + b ( x − 2a ) cos 2n 2n k =1 − n ∑e k =1 ( 2k − 1) π ( 2k − 1) π sin + b ( x − a ) cos 2n 2n xxxi KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày tích chập Fourier cosine có hàm trọng từ nghiên cứu phép biến đổi phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng Nhận điều kiện cần đủ để phép biến đổi tích phân nói unita không gian L2 (¡ + ) thiết lập công thức biến đổi ngược Trình bày cách chứng minh định lý hàm Plancherel xét tính bị chặn không gian Lp (¡ + ), ≤ p ≤ Đồng thời trình bày số ví dụ minh họa cho biến đổi tích phân kiểu tích chập xây dựng xxxii TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] M.Abramowitz and I.A.Stegan, Hand book of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Tables, Natimal Burean of Standards Applied Mathematics Series, 55, Washington D.C 1964 [ 2] S.Bochwer and K.Chandrasek Lharom, Fourier transforms, Princeton Univ, Press, Princeton, 1949 [ 3] L.E.Briltina, A class of integral transforms related to the fourier cosine convolution, Integral transforms and Special Functions 16 (5) (2005), 379 389 [ 4] A.Erdelyi and H.Bateman, Table of Integral Transforms, Vol.I.McGraw - Hill Book Co., New York - Toronto - London, 1954 [ 5] F.Al-Munsallom and Vu Kim Tuan, A class of convolution transforms, Fract.calc.Apple.Anol (3) (2010), 303-314 [ 6] I.N.Snedon, Fourier transforms, Mc Gray - Hill, New York 1951 [ 7] I.N.Sneddon (1972), The use of integral transforms; Mc Gray – Hill, New York [ 8] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa, On the convolution with a weight – function for the Cosine – Fourier integral transforms Acta Math.Vietnam 29 (2) (2004), 142 - 162 [ 9] Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Thanh Hong, Genneralired convolution transforms and Toeplitz plus Halvel integral equations Frac.Cal.amel Appl.Anal 11 (2) (2008), 153 - 174 [ 10] E.C.Titchmarsh, Introduction to the theory of Fourier integrals (Third Edition), Chelsea Publishing Co., New York, 1986 xxxiii [ 11] T.S.B.Yavonbovich, transforms of the Vontorovich – Lebedev convolution type Collect Math 54 (2) (2003), 99 - 110 [...]... minh +∞ ∫ ∫ xvii CHƯƠNG II PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG γ ( y ) = cos ay Trong chương này ta xét một lớp các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập Fourier cosine và tích chập Fourier cosine với hàm trọng γ ( y ) = cos ay (2-1) Định nghĩa: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine và tích chập Fourier cosine với hàm trọng γ ( y ) = cos ay có... 2n 2n xxxi KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày tích chập mới Fourier cosine có hàm trọng và từ đó nghiên cứu phép biến đổi phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng Nhận được điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân nói trên là unita trong không gian L2 (¡ + ) và thiết lập công thức biến đổi ngược Trình bày cách chứng minh định lý hàm Plancherel và xét tính bị chặn trong không gian... 1.2 Tích chập Fourier cosine với hàm trọng : γ ( y ) = cos ay xiii Định nghĩa 1.2.1 Tích chập Fourier cosine với hàm trọng γ ( y ) = cos ay của hai hàm f,g được xác định bởi: f *γ g ( x) = 1 F ÷ 2 2π +∞ ∫ f (t ) g ( x + a + t ) + g ( x + a − t ) + g ( x − a + t ) c 0 + g ( x − a − t ) dt (1.8) Định lý 1.2.2 Giả sử các hàm f và g ∈ L(¡ + ) Khi đó tích chập Fourier cosine Với hàm trọng. ..xi Định nghĩa 1.1.2 Cho f , g ∈ L(¡ + ) ; tích chập của hai hàm f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine có dạng: 1 ( f *g)(x) = F 2π c +∞ ∫ f (y) g ( x + y) + g ( x − y ) dy, x > 0 (1.3) 0 Tính chất 3 (Định lý tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine ) Tích chập (1.3) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau: Fc ( f *g)(y) = ( Fc f )( y ).( Fc... du ÷ ÷ dx 0 ∫ j ∞ + g (u ) k 2 ( x − u ) + k2 ( u + x ) du , x > 0 ∫ 0 Do đó phép biến đổi (2.4) là unita trên L2 (¡ + ) , và biến đổi ngược được xác định bởi công thức (2.5) Điều kiện đủ Giả sử phép biến đổi (2.4) là unita trên ¡ + Khi đó do tích đẳng cự trên L2 (¡ + ) của phép biến đổi Fourier cosine f L2 ( ¡ + ) = ( Fc f ) L2 ( ¡ dẫn đến: g L2 ( ¡ = Fc f +) 2π = L2 ( ¡ + ) =... hội tụ trong L2 (¡ + ) đến g khi N →∞ Phần thứ 2 của định lý được chứng minh tương tự Nhận xét: 1) Định lý 2.2 và định lý 3.1 chỉ ra phép biến đổi tích phân (2.4) là Unita trong L2 (¡ + ) và phép biến đổi ngược được xác định bới công thức (2.5) Hơn nữa các toán tử tích phân (2.4) và (2.5) có thể xấp xỉ trong L2 (¡ + ) theo chuẩn bởi các toán tử (3.1) và (3.2) tương ứng 2) Nếu chúng ta giả thiết: K1... ¡ + ) Do đó g ∈ L2 ( ¡ + ) Hơn nữa theo đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier cosine: f = Fc f g L2 ( ¡ + = Fc f L2 ( ¡ ) 2π = ) L2 ( ¡ và từ điều kiện (2.3) ta nhận được: + ) = f n ∑ j =0 L2 ( ¡ a j y 2 j ÷ 2cos ay ( Fc k1 ) ( y ) + ( Fc k 2 ) ( y ) ( Fc f ) ( y ) + ) L2 ( ¡ Điều đó chỉ ra phép biến đổi (2.4) là unita Bên cạnh đó, từ 2π n ∑a y j j =0 2j ÷... ( x + u + a ) + f N ( x − u + a ) + f N ( x + u − a ) dx 0 ∫ j ∞ +f N ( x − u + a ) du + ∫ k (u ) k ( x − u ) + k ( x + u ) du 2 2 2 0 Ta đổi thứ tự lấy tích phân và vi phân đối với các tích phân trên khoảng hữu hạn Đổi biến trở lại ta nhận được: g N ( x) = n ∑ j =0 d2j (−1) a j 2 j dx j N k x + u + a + k x − u + a + k x + u − a du ( ) ( ) ( ) ÷ 1 1 1 ÷ ÷ ... 2π n ∑a y 2j j j =0 là điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân: (2.3) xix f →g g ( x) = n ∑ j =0 +∞ d 2 j (−1) a j 2 j ÷ f (u ) k1 ( x + u + a ) + k1 ( x − u + a ) + k1 ( x + u − a ) dx 0 ∫ j + k1 ( x − u − a ) du + f (u ) k2 ( x − u ) + k 2 ( x + u ) du , x > 0 +∞ ∫ 0 (2.4) là unita trên L2 (¡ + ) và phép biến đổi ngược có dạng: f ( x) = n ∑ j =0 +∞... + v) + cos(u + a − v) 0 0 + cos(u − a + v) + cos(u − a − v) ] f (u ) g (v)dudv (1.15) Bằng phép đổi biến đổi t=u, x=u+a+v, ta có: +∞ +∞ 1 2π ∫ ∫ cos y(u + a + v) f (u) g (v)dudv 0 0 +∞ +∞ 1 = 2π 1 cos yx f (t ).g(x-t-a)dxdv − 2π t +a ∫∫ 0 +∞ t + a ∫ ∫ cos yx f (t ).g(t+a-x)dxdt 0 (1.16) 0 Bằng phép đổi biến đổi t=u, x=-(u+a-v), ta có: +∞ +∞ 1 2π ∫ ∫ cos y(u + a − v) f (u).g (v)dudv 0 0 +∞ +∞ 1 2π